AC 0 + ADAD 0
2.1 ĐÁP ÁN
1. B 2. B 3. A 4. B 5. A 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C
11. A 12. C 13. B 14. D 15. D 16. B 17. D 18. C 19. B 20. B 21. A 22. C 23. B 24. C 25. C 26. C 27. D 28. A 29. A 30. C 31. D 32. B 33. C 34. D 35. B 36. A 37. A 38. B 39. A 40. A 41. B 42. A 43. D 44. A 45. C 46. D 47. C 48. B 49. A 50. D 51. D 52. A 53. C 54. D 55. A 56. D 57. D 58. A 59. D 60. C 61. A 62. B 63. B 64. D 65. C 66. C 67. C 68. C 69. C 70. B 71. C 72. B 73. C 74. C 75. C 76. C 77. C 78. A 79. C 80. B 81. D 82. A 83. B 84. D 85. C 86. D 87. C 88. D 89. A 90. D 91. B 92. C 93. C 94. C 95. A 96. C 97. B 98. C 99. A 100.A 101.D 102.D 103.C 104.C 105.B 106.D 107.D 108.C 109.D 110.B 111.C 112.A 113.B 114.D 115.A 116.C 117.C 118.B 119.D 120.D 121.B 122.B 123.B 124.D 125.A 126.C 127.C 128.C 129.C 130.B 131.C 132.A 133.D 134.D 135.D 136.A 137.D 138.C 139.B 140.C 141.B 142.D 143.C 144.D 145.A 146.C 147.D 148.D 149.A 150.D 151.B 152.A 153.A 154.B 155.B 156.B 157.B 158.D 159.A 160.D 161.B 162.A 163.A 164.D 165.A 166.D 167.B 168.C 169.B 170.A 171.D 172.D 173.B 174.D 175.A 176.B 177.C 178.D 179.C 180.B 181.D 182.C 183.C 184.A 185.D 186.C 187.A 188.B 189.D 190.C 191.C 192.C 193.A 194.C 195.A 196.A 197.B 198.A 199.B 200.D 201.D 202.A 203.D 204.A 205.C 206.C 207.A 208.C 209.B 210.A 211.C 212.D 213.C 214.A 215.D 216.A 217.A 218.B 219.B 220.B 221.D 222.C 223.D 224.A 225.C 226.A 227.C 228.D 229.D 230.D
3 VẬN DỤNG THÁP
Câu 1. Trong không gian Ox yz, cho ba điểm A(1; 3;−2),B(0;−1; 3),C(m;n; 8) (với m,n là tham số). Tìm tất cả các giá trị củam,nđể ba điểm A,B,Cthẳng hàng.
A. m=3,n=11. B. m= −1,n= −5. C. m= −1,n=5. D. m=1,n=5.
Câu 2. Trong không gian Ox yz, cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có toạ độ các đỉnh A(1; 1; 1), B(2;−1; 3),D(5; 2; 0), A0(−1; 3; 1) .Toạ độ đỉnhC0là
A. (6; 2; 2). B. (6; 0; 2). C. (0; 1; 3). D. (4; 2; 2).
Câu 3. Trong không gianOx yz, cho hai điểm A(2;−3; 2) và B(3; 5; 4). Tìm tọa độ điểm M trên trụcOzsao cho M A2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M(0; 0; 49). B. M(0; 0; 0). C. M(0; 0; 67). D. M(0; 0; 3). -Lời giải.
GọiM(0; 0;z)=⇒# »
M A=(2;−3; 2−z)và # »
MB=(3; 5; 4−z).
=⇒M A2+MB2=47+(2−z)2+(4−z)2=f(z)
Khảo sát hàm f(z), ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại z=3=⇒M(0; 0; 3)
Chọn đáp án D ä
Câu 4. Trong không gianOx yz, cho tứ diệnABCDvớiA(0; 0; 3),B(0; 0;−1),C(1; 0;−1)vàD(0; 1;−1).
Mệnh đề nào dưới đâysai?
A. AB⊥BC. B. AB⊥BD. C. AB⊥CD. D. AB⊥AC.
Câu 5. Trong không gianOx yz, cho ba véc-tơ #»a=(−1; 1; 0),#»
b =(1; 1; 0),#»c =(1; 1; 1). Khẳng định nào dưới đâysai?
A. ¯¯#»c¯¯=p3. B. #»a⊥#»b
. C. ¯¯#»a¯¯=p2. D. #»b
⊥#»c. Câu 6. Trong không gianOx yz, cho điểmMthỏa mãn hệ thứcOM# »
=2#»i +#»j
.Hãy xác định tọa độ của điểmM.
A. M(0; 2; 1). B. M(1; 2; 0). C. M(2; 0; 1). D. M(2; 1; 0). Câu 7. Trong không gianOx yz, cho ba véc-tơ #»a=(−1; 1; 0), #»b
=(1; 1; 0), #»c =(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?
A. #»b
⊥#»c. B. |#»c| =p3. C. |#»a| =p2. D. #»b
⊥#»a.
Câu 8. Trong không gianOx yz, cho các điểm A(2; 1; 1),B(−1; 2; 3). Tìm tọa độ điểm Msao cho
# »
AM=2BM# ».
A. M(−4; 3; 5). B. M µ1
2;3 2; 2
¶
. C. M(1; 3; 4). D. M(5; 0;−1).
Câu 9. Trong không gianOx yz, cho ba điểm A(2;−1; 5),B(5;−5; 7)và điểmM(x;y; 1). Với giá trị nào củax,ythì A,B,M thẳng hàng?
A. x=4,y= −7. B. x=4,y=7. C. x= −4,y= −7. D. x= −4,y=7.
Câu 10. Chọn hệ tọa độOx yz, sao cho bốn đỉnhA,B,D,A0của hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 là A(0; 0; 0),B(1; 0; 0),D(0; 1; 0), A0(0; 0; 1).Tìm tọa độ điểmC0.
A. C0=(1; 1; 1). B. C0=(0; 1; 1). C. C0=(1; 1; 0). D. C0=(0; 1; 0).
Câu 11. Trong không gian Ox yz, cho tam giác ABC có A(1; 1; 1),B(5; 1;−2) và C(a; 5; 1). Tìm a>0biếtcosB AC=12
25.
A. a=4. B. a=3. C. a=5. D. a=1.
Câu 12. Trong không gian Ox yz, cho tam giác ABC có A(2; 3;−1),B(3; 2;−1)và C(2; 4; 0). Tính số đo của gócB AC.
A. 60◦. B. 150◦. C. 120◦. D. 30◦. Câu 13. Trong không gianOx yz, cho 3 véc-tơ #»a(1; 0; 0), #»b
(0; 1; 0), #»c(0; 0; 1). véc-tơ nào sau đây khôngvuông góc với véc-tơ #»u =2#»a−#»
b +3#»c? A. #»a−#»
b−#»c. B. 2#»a+#»
b−#»c. C. #»a+2#»
b. D. #»a+3#»
b −#»c. -Lời giải.
Ta có(2#»a−#»b
+3#»c).(#»a+3#»b
−#»c)= −46=0
Chọn đáp án D ä
Câu 14. Trong không gianOx yz, cho hai véc-tơ #»u =(1; 0; 1), #»v =(0; 1;−2). Tính tích vô hướng của #»u và #»v.
A. #»u.#»v =0. B. #»u.#»v =2. C. #»u.#»v = −2. D. #»u.#»v =(0; 0;−2). Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz cho điểm A(1; 0; 2),B(1; 1; 1),C(2; 3; 0). Tính diện tíchS của tam giác ABC.
A. S= p3
2 . B. S=3
2. C. S=1
2. D. S=3.
Câu 16. Cho hình bình hành ABCD với A(2; 4;−4),B(1; 1;−3),C(−2; 0; 5),D(−1; 3; 4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng
A. p245đvdt. B. p615đvdt. C. p618đvdt. D. p345đvdt.
Câu 17. Trong không gianOx yz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0),C(0; 0; 1)và D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?
A. Bốn điểm A,B,C và Dtạo thành một tứ diện.
B. Tam giác ABD là một tam giác đều.
C. AB⊥CD.
D. Tam giácBCD là tam giác vuông.
Câu 18. Trong không gianOx yz, cho hai điểm A(−3; 1;−4), B(1;−1; 2).Tìm phương trình mặt cầu(S)nhận ABlàm đường kính.
A. (S) : (x+1)2+y2+(z+1)2=14. B. (S) : (x−1)2+y2+(z−1)2=14. C. (S) : (x+1)2+y2+(z+1)2=56. D. (S) : (x−4)2+(y+2)2+(z−6)2=14.
Câu 19. Trong khơng gianOx yz, cho hai điểm A(1; 2;−3),B(−5;−2; 7). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?
A. (x−2)2+y2+(z+2)2=38. B. (x+2)2+y2+(z−2)2=p 38. C. (x−2)2+y2+(z+2)2=p
38. D. (x+2)2+y2+(z−2)2=38.
Câu 20. Trong khơng gianOx yz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2−4mx+4y+2z+12m=0là phương trình mặt cầu.
A. m∈ µ1
2;5 2
¶
. B. m∈
µ
−5 2;−1
2
¶ . C. m∈
µ
−∞;−5 2
¶
∪ µ
−1 2;+∞
¶
. D. m∈
µ
−∞;1 2
¶
∪ µ5
2;+∞
¶ .
Câu 21. Trong khơng gian Ox yz, viết phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm I(1; 0;−3) và đi qua điểmM(2; 2;−1).
A. (S) : (x−1)2+y2+(z+3)2=9. B. (S) : (x−1)2+y2+(z+3)2=3. C. (S) : (x+1)2+y2+(z−3)2=9. D. (S) : (x+1)2+y2+(z−3)2=3.
Câu 22. Trong khơng gianOx yz, cho phương trìnhx2+y2+z2−2mx−4y+2z+m2+3m=0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của mđể phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu.
A. ∀m∈R. B. m>5
3. C. m6=5
3. D. m<5
3. -Lời giải.
Điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu: m2+4+1−m2−3m>0
⇐⇒ −3m+5>0⇐⇒m<5 3.
Chọn đáp án D ä
Câu 23. Trong khơng gianOx yz, cho mặt cầu (S) : x2+y2+z2+6x−4y+2z−2=0. Tìm tọa độ tâm I và bán kínhR của(S).
A. I(3;−2; 1) vàR=16. B. I(−3; 2;−1)vàR=16. C. I(−3; 2;−1)và R=4. D. I(3;−2; 1) và R=4.
Câu 24. Trong khơng gianOx yz, nếu(S) : x2+y2+z2−4x+8y−2az+6a=0là phương trình của mặt cầu cĩ đường kính bằng 12 thì giá trị củaalà bao nhiêu?
A. ha=2
a= −4. B. ha= −2
a=4 . C. ha=2
a= −8. D. ha= −2 a=8 .
Câu 25. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho hai điểmB(1; 2;−3),C(7; 4;−2). Nếu điểmE thỏa mãn đẳng thức # »
CE=2EB# »thì tọa độ điểmE là A.
µ 3;8
3;−8 3
¶
. B.
µ8 3; 3;−8
3
¶
. C.
µ
3; 3;−8 3
¶
. D.
µ 1; 2;1
3
¶ . -Lời giải.
Ta cĩCE# »
=2EB# »
⇔
xE−7=2(1−xE) yE−4=2(2−yE) zE+2=2(−3−zE)
⇔
xE=3 yE=8 3 zE= −8
3
. VậyE µ
3;8 3;−8
3
¶ .
Chọn đáp án A ä
Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox yz, cho tam giác ABC với A(1;−3; 3), B(2;−4; 5), C(a;−2;b)nhận điểmG(1;c; 3)làm trọng tâm của nĩ thì giá trị của tổng a+b+c bằng
A. −5. B. 3. C. 2. D. −2.
-Lời giải.
VìG là trọng tâm4ABC nên
1=1+2+a 3 c=−3−4−2
3 3=3+5+b
3
⇔
(a=0 b=1 c= −3.
Vậya+b+c= −2.
Chọn đáp án D ä
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độOx yz cho ba điểm A(2;−1; 5),B(5;−5; 7),M(x;y; 1). Với giá trị nào củax,ythì A,B,Mthẳng hàng?
A. x=4;y=7. B. x= −4;y= −7. C. x=4;y= −7. D. x= −4;y=7. -Lời giải.
Ta có # »AB
=(3;−4; 2), # »AM
=(x−2;y+1;−4).
Ba điểm A,B,M thẳng hàng⇔ ∃k∈R∗:AM# »
=kAB# »
⇔
(x−2=3k y+1= −4k
−4=2k
⇔
(k= −2 x= −4 y=7.
Vậy với x= −4;y=7thì ba điểm A,B,M thẳng hàng.
Chọn đáp án D ä
Câu 28. Trong không gianOx yz, cho hình hộp chữ nhậtABCD.A0B0C0D0cóA(3; 1;−2),C(1; 5; 4). Biết rằng tâm hình chữ nhật A0B0C0D0 thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0.
A.
p91
2 . B. 5
p3
2 . C.
p74
2 . D. 7
p3 2 . -Lời giải.
Gọi O,O0 lần lượt là tâm của các hình chữ nhật ABCD,A0B0C0D0khi đó trung điểmIcủaOO0là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.
Ta cóO là trung điểm AC vàO(2; 3; 1),
# »
AC=(−2; 4; 6),
O0∈Ox,⇒O0(a; 0; 0)⇒# »
OO0=(a−2;−3;−1)
# » OO0·AC# »
=0⇒O0(−7; 0; 0), Suy raI
µ
−5 2;3
2;1 2
¶
⇒I A=7p 3 2 .
A0 B0
O0
C D
O A
D0
I
B C0
Chọn đáp án D ä
Câu 29. Phương trình mặt cầu(S)có tâm I(1;−2; 3)và tiếp xúc với trụcO ylà A. x2+y2+z2−2x+4y−6z+9=0. B. x2+y2+z2+2x−4y+6z+9=0. C. x2+y2+z2−2x+4y−6z+4=0. D. x2+y2+z2+2x−4y+6z+4=0. -Lời giải.
Mặt cầu(S)tiếp xúc với trụcO y nên bán kínhR=d(I,O y). GọiH là hình chiếu vuông góc củaI trênO y suy raH(0;−2; 0). Đo đó bán kínhR=d(I,O y)=I H=p
10. Vậy phương trình mặt cầu(S)là
(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=10 hay
x2+y2+z2−2x+4y−6z+4=0.
Chọn đáp án C ä
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độOx yz, viết phương trình mặt cầu(S)có tâm I(1;−2; 3) và(S)đi qua điểm A(3; 0; 2).
A. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=3. B. (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=9. C. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9. D. (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=3. -Lời giải.
Ta cóI A=p
(3−1)2+(0+2)2+(2−3)2=3. Do A∈(S)và I là tâm nênR=I A=3. Mặt cầu(S)cóntâm I(1;−2; 3)
bán kính R=3 suy ra(S) : (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9.
Chọn đáp án C ä
Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(−1; 4; 1). Phương trình mặt cầu đường kính ABlà
A. x2+(y−3)2+(z−2)2=3. B. (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=12. C. (x+1)2+(y−4)2+(z−1)2=12. D. x2+(y−3)2+(z−2)2=12. -Lời giải.
Trung điểm của ABlàI(0; 3; 2), mặt khác R2=I A2=1+1+1=3. Phương trình mặt cầu cần tìm là x2+(y−3)2+(z−2)2=3.
Chọn đáp án A ä
Câu 32. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Ox yz cho hai điểm A(1;−1; 2) và B(3; 1; 4). Viết phương trình mặt cầu(S)cĩ đường kính AB.
A. (x−2)2+y2+(z−3)2=3. B. (x−2)2+y2+(z−3)2=p 3. C. (x+2)2+y2+(z+3)2=3. D. (x+2)2+y2+(z−3)2=p
3. -Lời giải.
GọiI là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I(2; 0; 3)và AB# »
=(2; 2; 2)nên AB=2p 3. Phương trình mặt cầu(S), tâm I và bán kínhR= AB
2 là(x−2)2+y2+(z−3)2=3.
Chọn đáp án A ä
Câu 33. Trong khơng gian với hệ trục tọa độOx yz, mặt cầu(S) : x2+y2+z2−4x+2y−6z+4=0 cĩ bán kính bằng
A. p53. B. 4p
2. C. p10. D. 3p
7. -Lời giải.
(S) : (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=10. Vậy bán kính mặt cầu làR=p 10.
Chọn đáp án C ä
Câu 34. Trong khơng gian với hệ trục tọa độOx yz, cho hai điểm I(1; 0;−1)và A(2; 2;−3). Mặt cầu tâmI, đi qua điểm A cĩ phương trình là
A. (x+1)2+y2+(z−1)2=3. B. (x−1)2+y2+(z+1)2=3. C. (x+1)2+y2+(z−1)2=9. D. (x−1)2+y2+(z+1)2=9. -Lời giải.
Ta cĩI A=p
(2−1)2+22+(−3+1)2=9. Vậy(S) : (x−1)2+y2+(z+1)2=9.
Chọn đáp án D ä
Câu 35. Trong khơng gianOx y, cho A(1;−1; 2) vàB(−1; 0; 1). Tọa độ véc-tơ # »AB là A. (2;−1; 1). B. (−2;−1;−1). C. (−2; 1;−1). D. (0;−1; 3). -Lời giải.
Ta cĩ # »AB
=(−1−1; 0−(−1); 1−2)=(−2; 1;−1).
Chọn đáp án C ä
Câu 36. Trong khơng gian Ox yz, mặt cầu (S) : x2+y2+z2−4x+2y−2z−3=0 cĩ tâm và bán kính là
A. I(−2; 1;−1), R=9. B. I(2;−1; 1), R=3. C. I(−2; 1;−1), R=3. D. I(2;−1; 1), R=9. -Lời giải.
Mặt cầu(S) : x2+y2+z2−4x+2y−2z−3=0cĩ tâmI(2;−1; 1)và bán kínhR=p
22+(−1)2+12+3= 3.
Chọn đáp án B ä
Câu 37. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho hai điểm A(2; 2;−1), B(−4; 2;−9). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
A. (x+3)2+y2+(z+4)2=5. B. (x+1)2+(y−2)2+(z+5)2=25. C. (x+6)2+y2+(z+8)2=25. D. (x+1)2+(y−2)2+(z+5)2=5. -Lời giải.
Mặt cầu đường kính AB cĩ tâm I(−1; 2;−5) là trung điểm của AB và bán kính R = I A = p9+0+16=5. Vậy phương trình mặt cầu đường kính ABlà
(x+1)2+(y−2)2+(z+5)2=25.
Chọn đáp án B ä
Câu 38. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho các điểmA(−3; 4; 2),B(−5; 6; 2)vàC(−10; 17;−7). Viết phương trình mặt cầu tâmC bán kính AB.
A. (x+10)2+(y−17)2+(z−7)2=8. B. (x+10)2+(y−17)2+(z+7)2=8. C. (x−10)2+(y−17)2+(z+7)2=8. D. (x+10)2+(y+17)2+(z+7)2=8. -Lời giải.
Ta cĩ AB=p
4+4+0=2p
2. Phương trình mặt cầu tâmC, bán kính ABlà (x+10)2+(y−17)2+(z+7)2=8.
Chọn đáp án B ä
Câu 39. Phương trình nào sau đâykhơng phải là phương trình mặt cầu?
A. (x−1)2+(2y−1)2+(z−1)2=6. B. (x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=6. C. (2x−1)2+(2y−1)2+(2z+1)2=6. D. (x+y)2=2x y−z2+3−6x. -Lời giải.
Phương trình mặt cầu(S)cĩ hai dạng là
(1) (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2;
(2) x2+y2+z2−2ax−2b y−2cz+d=0,vớia2+b2+c2−d>0.
Từ đây, ta cĩ dấu hiệu nhận biết nhanh chĩng hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.
Chọn đáp án A ä
Câu 40. Trong khơng gian Ox yz, cho điểm A(1; 2; 3). Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A lên mặt phẳng(Ox y)là điểm
A. N(1; 2; 0). B. M(0; 0; 3). C. P(1; 0; 0). D. Q(0; 2; 0). -Lời giải.
Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A lên mặt phẳng(Ox y)là điểm N(1; 2; 0).
Chọn đáp án A ä
Câu 41. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho hai điểm I(1; 0;−1) và A(2; 2;−3). Mặt cầu (S)tâm I và đi qua điểm Acĩ phương trình là
A. (x+1)2+y2+(z−1)2=3. B. (x+1)2+y2+(z+1)2=3. C. (x+1)2+y2+(z−1)2=9. D. (x+1)2+y2+(z+1)2=9. -Lời giải.
Mặt cầu(S)tâm I cĩ dạng(x−1)2+y2+(z+1)2=R2.
Vì mặ cầu(S)đi qua A nênR2=(2−1)2+22+(−3+1)2=9⇒R=3. Vậy phương trình cần tìm là(x−1)2+y2+(z+1)2=9.
Chọn đáp án C ä
Câu 42. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho mặt cầu cĩ phương trình x2+y2+z2−2x+ 4y−6z+9=0. Tọa độ tâm I và bán kínhR của mặt cầu là
A. I(1;−2; 3) vàR=5. B. I(−1; 2;−3)vàR=5. C. I(1;−2; 3) vàR=p
5. D. I(−1; 2;−3)vàR=p
5. -Lời giải.
Phương trình mặt cầu tương đương với
x2+y2+z2−2·1·x−2·(−2)·y−2·3·z+9=0.
Từ đĩ, suy ra tọa độ tâm I(1;−2; 3) và bán kínhR=p
12+(−2)2+32−9=p 5.
Chọn đáp án C ä
Câu 43. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, cho các véc-tơ #»a =(2;m−1; 3), #»
b =(1; 3;−2n). Tìmm; n để các véc-tơ #»a, #»b
cùng hướng.
A. m=7;n= −3
4. B. m=1;n=0. C. m=7;n= −4
3. D. m=4;n= −3. -Lời giải.
Để #»a, #»b
cùng hướng khi và chỉ khi 2
1 =m−1
3 = 3
−2n⇔
nm−1=6
−4n=3 ⇔
(m=7 n= −3
4.
Chọn đáp án A ä
Câu 44. Trong khơng gianOx yz, cho 3điểm A(−1; 1; 2) , B(0; 1;−1), C(x+2;y;−2) thẳng hàng.
Tổng x+ybằng A. 7
3. B. −8
3. C. −2
3. D. −1
3. -Lời giải.
Ta cĩ # »AB
=(1; 0−3), # »AC
=(x+3;y−1;−4).
Các điểm A, B, Cthẳng hàng⇔ cĩ số thực tthỏa mãn # »
AC=t# »
AB. (1)
Ta cĩ(1)⇔
(x+3=t y−1=0
−4= −3t
⇔
x= −5
3 y=1 t=4 3
⇒x+y= −2 3. Vậy tổngx+y= −2
3.
Chọn đáp án C ä
Câu 45. Trong khơng gian tọa độ Ox yz, cho hai điểm M(2; 0; 4) và N(0; 2; 3). Mặt cầu tâm A(2;−2; 1), bán kính M N cĩ phương trình là
A. (x−2)2+(y+2)2+(z−1)2=3. B. (x−2)2+(y+2)2+(z−1)2=9. C. (x+2)2+(y−2)2+(z+1)2=9. D. (x+2)2+(y−2)2+(z+1)2=3. -Lời giải.
Ta cĩM N=p
22+22+(−1)2=3.
Mặt cầu tâm A(2;−2; 1), bán kínhR=3 cĩ phương trình là (x−2)2+(y+2)2+(z−1)2=9.
Chọn đáp án B ä
Câu 46. Trong khơng gian Ox yz, cho hai điểm B(0; 3; 1), C(−3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên đoạnBCsao cho MC=2MB. Tìm tọa độ điểmM.
A. M(−1; 4;−2). B. M(−1; 4; 2). C. M(1;−4;−2). D. M(−1;−4; 2). -Lời giải.
VìM nằm trên đoạnBCvà MC=2MBnênMC# »
= −2MB# » . GọiM(a;b;c), khi đĩ MC# »
= −2MB# »
⇔
(−3−a= −2(−a) 6−b= −2(3−b) 4−c= −2(1−c)
⇔
(a= −1 b=4 c=2.
Vậy M(−1; 4; 2).
Chọn đáp án B ä
Câu 47. Trong khơng gian Ox yz, cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(3; 2; 1). Phương trình mặt cầu đường kính ABlà
A. (x−2)2+(y−2)2+(z−2)2=2. B. (x−2)2+(y−2)2+(z−2)2=4. C. x2+y2+z2=2. D. (x−1)2+y2+(z−1)2=4. -Lời giải.
Ta cĩ # »AB
=(2; 0;−2)⇒AB=2p 2.
Mặt cầu đường kính ABcĩ tâmI(2; 2; 2)và bán kính R= AB 2 =p
2. Phương trình mặt cầu đường kính ABlà(x−2)2+(y−2)2+(z−2)2=2.
Chọn đáp án A ä
Câu 48. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hai điểm A(−1; 1; 2), B(1; 3; 4). Mặt cầu đường kính ABcĩ phương trình là
A. x2+(y+2)2+(z+3)2=3. B. x2+(y−2)2+(z−3)2=p 3. C. x2+(y+2)2+(z+3)2=p
3. D. x2+(y−2)2+(z−3)2=3. -Lời giải.
Tọa độ trung điểm I của ABlà I(0; 2; 3)và I A=p
12+12+12=p 3. Phương trình mặt cầu đường kính ABlàx2+(y−2)2+(z−3)2=3.
Chọn đáp án D ä
Câu 49. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho tam giác ABC trọng tâmG. Biết A(0; 2; 1), B(1;−1; 2),G(1; 1; 1). Khi đĩ điểmC cĩ tọa độ là
A. (2; 2; 4). B. (−2; 0; 2). C. (−2;−3;−2). D. (2; 2; 0). -Lời giải.
Giả sử tọa độC làC(a;b;c)khi đĩ
0+1+a
3 =1
2−1+b
3 =1
1+2+c
3 =1
⇔
(a=2 b=2 c=0.
Vậy điểmC cĩ tọa độ là(2; 2; 0).
Chọn đáp án D ä
Câu 50. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, cho tam giác ABC với A(1; 1; 2), B(−3; 0; 1), C(8; 2;−6). Tìm tọa độ trọng tâmG của tam giác ABC.
A. G(2;−1; 1). B. G(2; 1; 1). C. G(2; 1;−1). D. G(6; 3;−3). -Lời giải.
Ta cĩ
xG=xA+xB+xC
3 =2
yG= yA+yB+yC
3 =1
zG= zA+zB+zC
3 = −1
⇒G(2; 1;−1).
Chọn đáp án C ä
Câu 51. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho mặt cầu(S) :x2+y2+z2−2x+4y−4z−25=0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu(S).
A. I(1;−2; 2),R=p
34. B. I(1; 2;−2),R=5. C. I(−2; 4;−4), R=p
29. D. I(1;−2; 2),R=6. -Lời giải.
Ta cĩ x2+y2+z2−2x+4y−4z−25=0⇔(x−1)2+(y+2)2+(z−2)2=34. Vậy mặt cầu (S) cĩ tâm I(1;−2; 2)và bán kính R=p
34.
Chọn đáp án A ä
Câu 52. Trong khơng gianOx yz, cho hai véc-tơ #»a =(−2;−3; 1), #»
b =(1; 0; 1). Tínhcos(#»a,#»
b). A. − 1
2p
7. B. 1
2p
7. C. − 3
2p
7. D. 3
2p 7. -Lời giải.
Ta cĩ
cos(#»a,#»b )=
#»a·#»b
|#»a| · |#»b
|= −2+1 p14·p
2= − 1 2p
7.
Chọn đáp án A ä
Câu 53. Trong khơng gianOx yz, cho tam giácABCvớiA(1; 2; 1),B(−3; 0; 3),C(2; 4;−1). Tìm tọa độ điểmD sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. D(6;−6; 3). B. D(6; 6; 3). C. D(6;−6;−3). D. D(6; 6;−3). -Lời giải.
GọiD(x;y;z), ta cĩ # »AB
=(−4;−2; 2), DC# »
=(2−x; 4−y;−1−z). Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra
# » AB=# »
DC⇔
(2−x= −4 4−y= −2
−1−z=2
⇔
(x=6 y=6 z= −3
⇒D(6; 6;−3).
Chọn đáp án D ä
Câu 54. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, gĩc giữa hai véc-tơ #»i
và #»u=¡−p3; 0; 1¢là A. 120◦. B. 30◦. C. 60◦. D. 150◦.
-Lời giải.
cos
³#»
i,#»u´= #»i
·#»u
¯
¯
¯
#»i¯¯
¯·¯
¯#»u¯¯=
−p p 3
3+1= − p3
2 ⇒
³#»
i,#»u´=150◦.
Chọn đáp án D ä
Câu 55. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 cĩ A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),D(0; 2a; 0), A0(0; 0; 2a),a6=0. Tính độ dài đoạn thẳng AC0.
A. |a|. B. 2|a|. C. 3|a|. D. 3|a| 2 . -Lời giải.
Ta cĩ: # »
AB=(a; 0; 0);# »
AD=(0; 2a; 0);# »
A A0=(0; 0; 2a).
# » AC0=AB# »
+# »AD +# »
A A0⇒# »
AC0=(a; 2a; 2a).
Suy ra AC0=p
a2+4a2+4a2=3|a|.
A B
D0 C0
D
B0
A0 C
Chọn đáp án C ä
Câu 56. Trong khơng gian Ox yz, cho hai điểm A(3; 1;−2), B(2;−3; 5). Điểm M thuộc đoạn AB sao choM A=2MB, tọa độ điểm Mlà
A. M µ7
3;−5 3;8
3
¶
. B. M(4; 5;−9). C. M(
µ3
2;−5;17 2
¶
. D. M(1;−7; 12). -Lời giải.
VìM thuộc đoạn ABsao cho M A=2MBnên ta cĩ # »
M A= −2MB# ». Do đĩ, ta cĩ
xM=xA+2xB
3 =7
3 yM= yA+2yB
3 = −5
3 zM=zA+2zB
3 =8
3.
Chọn đáp án A ä
Câu 57. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho mặt cầu(S)cĩ tâm I(−1; 4; 2) và bán kính R=9. Phương trình của mặt cầu(S)là
A. (x+1)2+(y−4)2+(z−2)2=81. B. (x+1)2+(y−4)2+(z−2)2=9. C. (x−1)2+(y+4)2+(z−2)2=9. D. (x−1)2+(y+4)2+(z+2)2=81. -Lời giải.
Mặt cầu(S)cĩ tâmI(−1; 4; 2)và bán kính R=9nên(S)cĩ phương trình (x+1)2+(y−4)2+(z−2)2=81.
Chọn đáp án A ä
Câu 58. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, để hai véc-tơ #»a =(m; 2; 3) và #»b
=(1;n; 2) cùng phương thì m+n bằng
A. 11
6 . B. 13
6 . C. 17
6 . D. 2.
-Lời giải.
Nhận thấy #»b
6=#»0. Để #»a và #»b
cùng phương với nhau thì tồn tại một số thực k sao cho #»a=k#»b .
Điều này tương đương với:
(m=1·k 2=n·k 3=2·k
⇔
k=3
2 m=3
2 n=4
3.
Suy ram+n=3 2+4
3=17 6 .
Chọn đáp án C ä
Câu 59. Trong khơng gian hệ tọa độOx yz, cho sáu điểm A(1; 2; 3),B(2;−1; 1),C(3; 3;−3), A0,B0, C0thỏa mãn # »
A0A+# » B0B+# »
C0C=#»
0. GọiG0(a;b;c)là trọng tâm tam giác A0B0C0. Giá trị3(a+b+c) bằng
A. 6. B. 1. C. 11. D. −3.
-Lời giải.
GọiG là trọng tâm tam giác ABC⇒G µ
2;4 3;1
3
¶ .
Ta cĩG và G0lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A0B0C0 nên # » G A+# »
GB+# » GC=#»
0,
# »
A0G0+# »
B0G0+# » C0G0=#»
0. Ta cĩ
# » A0A+# »
B0B+# » C0C=#»
0 ⇔ # »
A0G0+# »
B0G0+# »
C0G0+3# » G0G+G A# »
+GB# » +GC# »
=#»
0
⇔ # » G0G=#»
0 ⇔G≡G0. VậyG0
µ 2;4
3;1 3
¶
⇒a=2,b=4 3,c=1
3⇒3(a+b+c)=11.
Chọn đáp án C ä
Câu 60. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho điểm A(1; 2;−3). GọiMlà hình chiếu vuơng gĩc của điểm A trên trục hồnh. Tìm tọa độ điểmM .
A. M(0; 2;−3). B. M(0; 2; 0). C. M(0; 0;−3). D. M(1; 0; 0). -Lời giải.
DoM là hình chiếu vuơng gĩc của điểm Atrên trục hồnh nên M(1; 0; 0).
Chọn đáp án D ä
Câu 61. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz, cho hình bình hànhABCEvớiA(3; 1; 2),B(1; 0; 1), C(2; 3; 0). Tọa độ đỉnhE là
A. E(4; 4; 1). B. E(0; 2;−1). C. E(1; 1; 2). D. E(1; 3;−1). -Lời giải.
Gọi tọa độ điểmElàE(x;y;z). ABCE là hình bình hành, ta cĩ
# » B A=CE# »
⇔
(2=x−2 1=y−3 1=z
⇔
(x=4 y=4 z=1.
Chọn đáp án A ä
Câu 62. Trong khơng gian với hệ tọa độ Ox yz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0;−3; 0). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnO ABClà
A.
p14
4 . B. p14. C.
p14
3 . D.
p14 2 . -Lời giải.
Phương trình mặt cầu đi qua gốcOcĩ dạng x2+y2+z2+2ax+2b y+2cz=0. (∗)
Do mặt cầu đi qua các điểm A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0;−3; 0) nên thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình(∗)ta cĩ hệ
(1−2a=0 4+4c=0 9−6b=0
⇔
a=1
2 c= −1 b=3
2
.Suy ra bán kính mặt cầu là R=p
a2+b2+c2= p14
2 .
Chọn đáp án D ä
Câu 63. Trong khơng gianOx yz, lấy điểm C trên tiaOz sao cho OC=1. Trên hai tiaOx, O y lần lượt lấy hai điểm A,B thay đổi sao choO A+OB=OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnO.ABC?
A.
p6
4 . B. p6. C.
p6
3 . D.
p6 2 .
-Lời giải.
ĐặtO A=a;OB=bvớia,b>0.
Từ giả thiết ta cĩ a+b=1.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnO ABC (O A, OB, OC đơi một vuơng gĩc) là R =
pO A2+OB2+OC2
2 =
pa2+b2+1 2
= 1 2
pa2+(1−a)2+1=1 2
p2a2−2a+2.
Lại cĩ
a2−a+1= µ
a−1 2
¶2
+3 4≥3
4
⇒ p
a2−a+1≥ p3
2 ⇒R≥ p2
2 · p3
2 = p6
4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khia=b=1
2. Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
p6 4 .
Chọn đáp án A ä
Câu 64. Trong khơng gianOx yz, choO A# »
=#»i +#»j
−3#»k
,B(2; 2; 1). Tìm tọa độ điểmMthuộc trục tung sao cho M A2+MB2 nhỏ nhất.
A. M(0;−3; 0). B. M(0;−2; 0). C. M
µ 0;3
2; 0
¶
. D. M(0;−4; 0). -Lời giải.
DoO A# »
=#»i +#»j
−3#»k
⇒A(1; 1;−3)và Mthuộc trục tung ⇒M(0;m; 0). Ta cĩ: M A2+MB2=1+(m−1)2+9+4+(2−m)2+1=2m2−6m+20=2
µ m−3
2
¶2
+31 2 ≥31
2 . Dấu “= ” xảy ra tạim=3
2. Vậy M
µ 0;3
2; 0
¶ .
Chọn đáp án C ä
Câu 65. Trong khơng gianOx yz, cho tam giác ABC cĩ A(1; 3; 5), B(2; 0; 1)và G(1; 4; 2)là trọng tâm. Tìm tọa độ điểmC.
A. C(0; 0; 9). B. C µ4
3;7 3;8
3
¶
. C. C(0;−9; 0). D. C(0; 9; 0). -Lời giải.
DoG(1; 4; 2)là tọa độ trọng tâm tam giác ABC, ta cĩ
xC=3xG−(xA+xB)=0 yC=3yG−(yA+yB)=9 zC=3zG−(zA+zB)=0.
VậyC(0; 9; 0).
Chọn đáp án D ä
Câu 66. Trong khơng gian Ox yz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;−4)và diện tích của mặt cầu đĩ bằng36π.
A. (x+1)2+(y+2)2+(z−4)2=9. B. (x−1)2+(y−2)2+(z−4)2=9. C. (x−1)2+(y−2)2+(z+4)2=3. D. (x−1)2+(y−2)2+(z+4)2=9. -Lời giải.
Ta cĩ diện tích của mặt cầu làS=36π⇔4πR2=36π⇔R=3. Vậy phương trình mặt cầu tâmI(1; 2;−4)bán kínhR=3 là
(S) : (x−1)2+(y−2)2+(z+4)2=9.
Chọn đáp án D ä
Câu 67. Trong khơng gian với hệ trục tọa độOx yz, cho ba điểmA(1; 2;−1),B(2;−1; 3),C(−3; 5; 1). Tìm tọa độ điểmD sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. D(−4; 8;−5). B. D(−4; 8;−3). C. D(−2; 8;−3). D. D(−2; 2; 5). -Lời giải.
GọiD(xD;yD;zD).
Ta cĩAB# » ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
=DC# » (1), trong đĩ # »AB
=(1;−3; 4),
# »
DC=(−3−xD; 5−yD; 1−zD). Do đĩ từ(1)cĩ
(−3−xD=1 5−yD= −3 1−zD=4
⇔
(xD= −4 yD=8 zD= −3.
VậyD(−4; 8;−3).
C D
A B
Chọn đáp án B ä
Câu 68. Trong khơng gian Ox yz, cho điểm I(1;−2; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trụcOxtại hai điểm Avà Bsao cho AB=2p
3.
A. (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=16. B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=20. C. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=25. D. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9. -Lời giải.
Do A,B∈Oxnên A(a, 0, 0)và B(b, 0, 0),a<b. Theo giả thiết ta cĩ hệ phương trình
½AB=2p 3 I A=IB ⇔
½(b−a)2=12
(a−1)2=(b−1)2 ⇔
(b−a)2=12 ha=b (loại)
a=2−b
⇔
½a=2−b (1−b)2=3⇔
½a=1−p 3 b=1+p
3
½a=1+p 3 b=1−p
3. Suy ra A¡
1−p 3; 0; 0¢
vàB¡ 1+p
3; 0; 0¢ . Bán kính mặt cầuI A=
»
¡−p 3¢2
+(−2)2+32=4.
Vậy phương trình mặt cầu là(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=16.
Chọn đáp án A ä
Câu 69. Trong khơng gianOx yz cho hai điểm A(−1; 2; 0) và B(1;−2; 2). Phương trình mặt cầu đường kính ABlà
A. x2+y2+(z−1)2=6. B. x2+y2+(z−2)2=9.
C. x2+y2+(z+1)2=6. D. (x−2)2+(y+4)2+(z−2)2=24. -Lời giải.
I(0; 0; 1)là trung điểm ABcũng là tâm của mặt cầu.
AB=p
22+(−4)2+22=p
24⇒R= p24
2 .
Vậy phương trình mặt cầu là x2+y2+(z−1)2=6.
Chọn đáp án A ä
Câu 70. Cho #»u =(−1; 1; 0), #»v=(0;−1; 0), gĩc giữa hai vectơ #»u và #»v là
A. 120◦. B. 45◦. C. 135◦. D. 60◦. -Lời giải.
Ta cĩcos(#»u,#»v)= #»u·#»v
|#»u| · |#»v|=p−12. Suy ra(#»u,#»v)=135◦.
Chọn đáp án C ä
Câu 71. Trong khơng gian Ox yz cho ba điểm A(−1; 0; 2), B(2; 1;−3) và C(1;−1; 0). Tìm tọa độ điểmD sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D(0; 2;−1). B. D(−2;−2; 5). C. D(−2; 2; 6). D. D(2; 2;−5). -Lời giải.
GọiD(x;y;z). Ta cĩ AB# »
=(3; 1;−5)và DC# »
=(1−x;−1−y;−z). Để ABCD là hình bình hành thì # »
AB=# » DC⇔
(x= −2 y= −2 z=5.
Chọn đáp án B ä Câu 72. Trong khơng gian Ox yz, cho hai điểm A(1; 2;−3) và B(1; 2; 5). Phương trình của mặt cầu đường kính ABlà
A. (x+1)2+(y+2)2+(z+1)2=16. B. (x−1)2+(y−2)2+(z−1)2=16. C. (x−1)2+(y−2)2+(z−1)2=4. D. (x+1)2+(y+2)2+(z+1)2=4. -Lời giải.
Mặt cầu cĩ tâmI(1; 2; 1)là trung điểm ABvà bán kính R= AB
2 =4, nên cĩ phương trình là (x−1)2+(y−2)2+(z−1)2=16.
Chọn đáp án B ä
Câu 73. Trong khơng gianOx yz, cho hình bình hànhABCD. BiếtA(1; 0; 1),B(2; 1; 2)vàD(1;−1; 1), tọa độ điểmC là
A. (2; 0; 2). B. (2; 2; 2). C. (2;−2; 2). D. (0;−2; 0).
-Lời giải.
GọiC(x;y;z), ta cĩ # »
BC=(x−2;y−1;z−2)và # »
AD=(0;−1; 0). Vì ABCD là hình bình hành nên
# » BC=AD# »
⇔
(x−2=0 y−1= −1 z−2=0
⇔
(x=2 y=0
z=2. A B
C D
VậyC(2; 0; 2).
Chọn đáp án A ä
Câu 74. Trong khơng gian với hệ trục tọa độOx yz, phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu?
A. x2+y2+z2−2x+4z−1=0. B. x2+z2+3x−2y+4z−1=0. C. x2+y2+z2+2x y−4y+4z−1=0. D. x2+y2+z2−2x+2y−4z+8=0. -Lời giải.
Một mặt cầu luơn cĩ phương trình đưa được về dạng x2+y2+z2+2ax+2b y+2cz+d=0. Ngược lại, phương trình cĩ dạng x2+y2+z2+2ax+2b y+2cz+d=0là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khia2+b2+c2−d>0.
Phương trìnhx2+z2+3x−2y+4z−1=0và x2+y2+z2+2x y−4y+4z−1=0khơng thể là phương trình của một mặt cầu vì nĩ khơng đưa được về dạng như trên.
Phương trìnhx2+y2+z2−2x+2y−4z+8=0cĩ dạng như trên nhưng lại cĩa2+b2+c2−d= −3<0 nên cũng khơng thể là phương trình của một mặt cầu.
Phương trìnhx2+y2+z2−2x+4z−1=0cĩa2+b2+c2−d=6>0nên nĩ là phương trình của một mặt cầu.
Chọn đáp án A ä
Câu 75. Trong khơng gianOx yz cho điểm A(4;−2; 1) và véc-tơ #»v =(1; 1;−2). Tìm tọa độ điểm A0 là ảnh của A qua phép dời hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Oxvà phép tịnh tiến theo #»v.
A. A0(5; 1; 1). B. A0(5; 3;−1). C. A0(5;−1;−3). D. A0(5; 3;−3). -Lời giải.
Gọi A0(a;b;c)là điểm cần tìm,P là điểm đối xứng với A qua trụcOx. Khi đĩ P(4; 2;−1)và
# »
P A0=#»v ⇔(ab−−42==11 c+1= −2
⇔
(a=5 b=3 c= −3.
Vậy A’(5;3;-3) là điểm cần tìm.
Chọn đáp án D ä
Câu 76. Điều kiện cần và đủ để phương trìnhx2+y2+z2+2x+4y−6z+m2−9m+4=0là phương trình mặt cầu là
A. −1≤m≤10. B. m< −1hoặc m>10. C. m>0. D. −1<m<10.
-Lời giải.
Ta cóx2+y2+z2+2x+4y−6z+m2−9m+4=0là phương trình mặt cầu
⇔(−1)2+(−2)2+32−¡
m2−9m+4¢
>0
⇔ −m2+9m+10>0
⇔ −1<m<10.
Chọn đáp án D ä
Câu 77. Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâmI(1; 2;−4)và thể tích của khối cầu tương ứng bằng36π.
A. (x−1)2+(y−2)2+(z+4)2=3. B. (x−1)2+(y−2)2+(z−4)2=9. C. (x+1)2+(y+2)2+(z−4)2=9. D. (x−1)2+(y−2)2+(z+4)2=9. -Lời giải.
Ta cóV=4
3πR3⇒36π=4
3πR3⇒R=3.
Do đó phương trình mặt cầu là(x−1)2+(y−2)2+(z+4)2=9.
Chọn đáp án D ä
Câu 78. Trong không gianOx yz, cho mặt cầu(S) : x2+y2+z2−2x−4y−6z+5=0. Thể tích của (S)bằng
A. 12π. B. 9π. C. 36π. D. 36. -Lời giải.
Mặt cầu(S)có bán kính bằngR=p
12+22+32−5=3nên có thể tích bằng V=4
3πR3=36π.
Chọn đáp án C ä
Câu 79. Trong không gianOx yz, cho điểmI(1;−2; 3). Phương trình mặt cầu tâmI và tiếp xúc với trụcO ylà
A. (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=p
10. B. (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=10. C. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=p
10. D. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=10. -Lời giải.
O yquaO(0; 0; 0)có vector chỉ phương #»j
=(0; 1; 0). Khi đó ta có d(I,O y)=
¯
¯
¯
#»j
∧IO# »¯¯
¯
¯
¯
¯
#»j¯¯
¯
=
¯
¯
¯
#»k¯¯
¯ 1 =p
10.
Với #»
k =(−3; 0; 1).
Vậy phương trình mặt cầu tâmI tiếp xúc với trục O ylà (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=10.
Chọn đáp án D ä
Câu 80. Trong không gianOx yz, cho bốn điểm A(2;−3; 7), B(0; 4; 1), C(3; 0; 5), D(3; 3; 3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (O yz)sao cho biểu thức ¯¯¯# »
M A+MB# » +# »
MC+MD# »¯¯
¯ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độM là
A. (0; 1;−4). B. (0; 1; 4). C. (0;−1; 4). D. (0;−1;−4).
-Lời giải.
Ta cóM∈(O yz)⇒M(0;a;b). Khi đó ta có
# »
M A=(2;−3−a; 7−b)
# »
MB=(0; 4−a; 1−b)
# »
MC=(3;−a; 5−b)
# »
MD=(3; 3−a; 3−b)
⇒M A# » +MB# »
+MC# » +MD# »
=(8; 4−4a; 16−4b).
Do đĩ
¯
¯
¯
# » M A+MB# »
+MC# »
+MD# »¯¯
¯=p
64+(4−4a)2+(16−4b)2≥8. Dấu “=” xảy ra ⇔na=1
b=4.
Vậy M(0; 1; 4).
Chọn đáp án B ä
Câu 81. Trong khơng gian với hệ trục Ox yz, cho điểm A(1; 1; 2) và B(3; 2;−3). Mặt cầu (S)cĩ tâm I thuộc trụcOxvà đi qua hai điểm A,B cĩ phương trình là
A. x2+y2+z2−8x+2=0. B. x2+y2+z2+8x+2=0. C. x2+y2+z2−4x+2=0. D. x2+y2+z2−8x−2=0. -Lời giải.
TâmI∈Oxnên I(x; 0; 0). Vì mặt cầu (S)đi qua A,B nênI A=IB (vì cùng bằng bán kính).
Suy raI A2=IB2⇔(x−1)2+1+4=(x−3)2+4+9⇔4x=16⇔x=4⇒I(4; 0; 0). Khi đĩ mặt cầu(S)cĩ bán kính làR=I A=p
9+1+4=p 14.
Do đĩ phương trình mặt cầu(S)là(x−4)2+y2+z2=14⇔x2+y2+z2−8x+2=0.
Chọn đáp án A ä
Câu 82. Trong khơng gianOx yz, cho hai vectơ #»u =(1; 1;−2) và #»v =(1; 0;m). Gọi S là tập hợp các giá trịmđể hai vectơ #»u và #»v tạo với nhau một gĩc45◦. Số phần tử củaS là
A. 4. B. 2. C. 1. D. Vơ số.
-Lời giải.
Ta cĩcos 45◦=
#»u·#»v
|#»u| · |#»v|⇔1−2m=p3+3m2⇔
m≤1
2
m2−4m−2=0
⇔m=2−p 6. VậyS={2−p
6}.
Chọn đáp án C ä
Câu 83. Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu cĩ phương trìnhx2+y2+z2−2x+2y+6z−7= 0.
A. I(1;−1;−3), R=3p
2. B. I(1;−1; 3),R=3p
2. C. I(1;−1;−3), R=18. D. I(−1; 1;−3),R=3. -Lời giải.
Ta cĩ x2+y2+z2−2x+2y+6z−7=0⇔(x−1)2+(y+1)2+(z+3)2=18. Vậy mặt cầu cĩ tâmI(1;−1;−3)và bán kính R=3p
2.
Chọn đáp án A ä
Câu 84. Trong khơng gian với hệ tọa độOx yz cho A(x;y;−3); B(6;−2; 4);C(−3; 7;−5). Giá trị x; y để A,B,C thẳng hàng là
A. x=1;y= −5. B. x= −1;y= −5. C. x= −1;y=5. D. x=1;y=5. -Lời giải.
Ta cĩ # »AB
=(6−x;−2−y; 7)vàBC# »
=(−9; 9;−9). Để A, B,C thẳng hàng thì # »AB
cùng phươngBC# »
⇔ 6−x
−9 =−2−y
9 = 7
−9⇔
nx= −1 y=5.
Chọn đáp án C ä
Câu 85. Trong khơng gian Ox yz, cho hai điểm A(7;−2; 2) và B(1; 2; 4). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?
A. (x−4)2+y2+(z−3)2=14. B. (x−4)2+y2+(z−3)2=2p 14. C. (x−7)2+(y+2)2+(z−2)2=14. D. (x−4)2+y2+(z−3)2=56. -Lời giải.
+ Mặt cầu đường kính ABcĩ tâmI là trung điểm ABsuy raI(4; 0; 3). + Bán kínhR=I A=p
(xA−xI)2+(yA−yI)2+(xA−zI)2=p 14. + Vậy(S) : (x−4)2+y2+(z−3)2=14.
Chọn đáp án A ä
Câu 86. Trong khơng gianOx yz, cho A(3; 0; 0), B(0; 0; 4). Chu vi tam giác O ABbằng
A. 14. B. 7. C. 6. D. 12.
-Lời giải.
Ta cĩO A=p
32=3,OB=p
42=4 và AB=p
(0−3)2+(0−0)2+(4−0)2=p
25=5. Vậy chu vi tam giácO AB bằngO A+OB+AB=3+4+5=12.
Chọn đáp án D ä Câu 87. Trong khơng gianOx yz, cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốmđể phương trìnhx2+y2+z2+4mx+2m y−2mz+9m2−28=0 là phương trình của mặt cầu?
A. 7. B. 8. C. 9. D. 6.
-Lời giải.
Phương trìnhx2+y2+z2+4mx+2m y−2mz+9m2−28=0là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi
(−2m)2+(−m)2+m2−(9m2−28)>0⇔m2<28 3 ⇔ −
…28 3 <m<
…28 3 . Vìm∈Znên m∈{−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3}.
Chọn đáp án A ä
Câu 88. Trong khơng gianOx yz, lập phương trình mặt cầu tâm I(1;−2; 3)và tiếp xúc với trục O y.
A. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=p
10. B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=10. C. (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=10. D. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9. -Lời giải.
GọiM là hình chiếu của I(1;−2; 3)lênO y, ta cĩ: M(0;−2; 0).
# »
I M=(−1; 0;−3)⇒R=d (I,O y)=I M=p
10là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là:(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=10.
Chọn đáp án B ä
Câu 89. Trong khơng gian với hệ toạ độOx yz, cho ba điểmM(1; 2019;−1),N(2; 1; 1)vàP(0; 1; 2). GọiH là trực tâm tam giácM N P. Giá trị x+y+zlà
A. 4. B. 2019. C. 2020. D. 3.
-Lời giải.
Ta cĩ
½N M# »
=(−1; 2018;−2)
# »
N P=(−2; 0; 1).
Ta thấy N M# »
·N P# »
=0⇒N M⊥N P⇒H≡N⇒x+y+z=4.
Chọn đáp án A ä
Câu 90. Phương trình mặt cầu đường kính ABvới A(−1; 2; 5),B(3;−2; 1)là A. (x+1)2+y2+(z+3)2=12. B. (x+1)2+y2+(z+3)2=3. C. (x−1)2+y2+(z−3)2=12. D. (x−1)2+y2+(z−3)2=48. -Lời giải.
Ta cĩ, mặt cầu tâm I(1; 0; 3), bán kính R=
…1
4AB2=2p 3.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là(x−1)2+(y−0)2+(z−3)2=12⇔(x−1)2+y2+(z−3)2=12.
Chọn đáp án C ä
Câu 91. Trong khơng gian Ox yz, cho hai điểm M(1;−2; 2) và N(1; 0; 4). Điểm nào sau đây là trung điểm của đoạn thẳng M N?
A. I(1;−1; 3). B. J(0; 2; 2). C. G(2;−2; 6). D. H(1; 0; 3). -Lời giải.
Ta cĩ xM+xN
2 =1, yM+yN
2 = −1, zM+zN
2 =3 nên điểmI(1;−1; 3)là trung điểm của đoạn thẳng M N.
Chọn đáp án A ä
Câu 92. Trong khơng gianOx yz, cho hai điểm A(1; 1; 1), B(1;−1; 3). Phương trình mặt cầu cĩ đường kính ABlà
A. (x−1)2+y2+(z−2)2=8. B. (x−1)2+y2+(z−2)2=2. C. (x+1)2+y2+(z+2)2=2. D. (x+1)2+y2+(z+2)2=8. -Lời giải.
Mặt cầu cĩ đường kính ABthì cĩ tâm là trung điểmI(1; 0; 2)của đoạn thẳng ABvà bán kính R= AB
2 =
p(0−0)2+(−1−1)2+(3−1)2
2 =p
2.
Phương trình mặt cầu đường kính ABlà(x−1)2+y2+(z−2)2=2.