(TH): Biết rằng

Trang 47 Phương pháp giải:

- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn vuông góc chung.

- Gọi hai điểm M N, lần lượt thuộc hai đường thẳng, sử dụng MN  ₁,MN  ₂ để tìm tọa độ M N, và kết luận.

Giải chi tiết:

Nhận xét: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn vuông góc chung. Từ đó ta tìm đoạn vuông góc chung và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.

1 có VTCP u1 



1; 1; 2



và ₂ có VTCP u2 



2;1; 1



.

Gọi ^{M t}



^{; 2  t; 4 2 ,t}

 

^{N  8 2 ;6t t;10t}



lần lượt là hai điểm thuộc  ₁, ₂ sao cho MN là đoạn vuông góc chung.



^{8 2 ; 4  ;14  2}



MN    t t  t t  t t

MN là đoạn vuông góc chung ¹

2

. 0 6 16 2

6 26 4

. 0

      

      

MN u t t t

t t t

MN u

.

Suy ra ^M



^{2;0;0 ,}

 

^{N 0;10;6}



^I



^1;5;3



là trung điểm của MN và cũng là tâm mặt cầu cần tìm.

Bán kính mặt cầu ^{RIM }



^{2 1}

 

^{2 0 5}

 

^{2 0 3}



^{2  35.}

Vậy phương trình mặt cầu



^x1

 

^{2 y5}

 

^{2 z 3}



^{2 35.}

Trang 48

   

     

 

1 1 1

1 1 1 1

   

 

   

   

B x Cx B C x B

x x

x x x x x x x x

1 1

1 2

   

 

    

B C B

B C

Khi đó ta có

 

2 2 2

1 1 1

1 1 2

1 1

 

  

 



^x

 

I dx dx dx

x x x x

2 2

1 1

ln 2ln 1

  x  x  ln 2 2ln 3 2ln 2  2ln 3 3ln 2

2 3

2 1

1 1

2 ln 3 3ln 2 2

    



_x^x _x^dx

1 2 2 3

 

 

  

 a b c

Vậy ^{2 3 4 2.1 3.2 4.}

 

^{3 19}

   2   

a b c

Câu 46 (VD): Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Mỗi thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.

A. ⁴⁶³₁₀

4 . B. 436₄

10 . C. ⁴⁶³₄

10 . D. 436₁₀ 4 . Phương pháp giải:

Tính số phần tử của không gian mẫu.

Gọi A là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”, tức là phải trả lời đúng trên 8 câu, tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Tính xác suất của biến cố A.

Bản word từ website Tailieuchuan.vn Giải chi tiết:

Mỗi câu hỏi có 4 câu trả lời nên số phần tử của không gian mẫu là  4¹⁰

Gọi A là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”, tức là phải trả lời đúng trên 8 câu.

TH1: Trả lời đúng 8 câu và sai 2 câu ^C108.

   

^{C11 8. C31 2 405 cách.}

TH2: Trả lời đúng 9 câu và sai 1 câu ^C109.

   

^{C11 9 C13 130 cách.}

TH3: Trả lời đúng cả 10 câu ^C1010.

 

^{C11 101 cách.}

 A 436

Trang 49

Vậy

 

10

436

  4

 P A A

Câu 47 (VD): Xếp ngẫu nhiên 5 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Xác suất của biến cố „hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau‟ là

A. ³

5. B. ²

5. C. ¹

5. D. ⁴

5. Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên lí vách ngăn.

Giải chi tiết:

 

^{  5! 120}

n

Xếp Cường, Dũng, Đông vào 3 ghế bất kì có 3! cách, khi đó tạo ra 4 khoảng trống. Xếp An và Bình vào hai trong 4 khoảng trống đó có 4.3 = 12 cách.

Gọi A là biến cố: “An và Bình không ngồi cạnh nhau ^{n A}

 

^{3!.1272}

Vậy

 

^{72 3}

120 5

  P A

Câu 48 (VD): Cho log 12₇ x; log 24₁₂  y và log 168₅₄ ¹

  axy

bxy cx trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức S  a 2b3c.

A. S 4. B. S 19. C. S 10. D. S 15. Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức ^loga ^.logb ^loga ^{, log}a ^loga ^loga

 

^;loga ^loga ^loga

b c c b c bc b c b

c (giả sử các biểu thức đã cho là có nghĩa).

Giải chi tiết:

7 12 7

log 12.log 24 log 24

 

xy

 

 

^{ }

 

7 7 7 7

54 24 .12

7 7 7 7 7

log 7.24 .log 24 1 log 24 log 7

log 168 log 7.24

.log 24 log 12 log 24 log 12 log 24 .12

 

   

  ^{b c}

a a

a

b c b c

a

b c

3 2 3

 

1 1

7.24 168 1

3 2 1 5

2 .3 .2 .3 2.3 24 .12 54

3 8

 

 

     

          

a

b b c c

b c

a a

a b c b tm

b c c

 

2 3 1 2. 5 3.8 15

  S a b c    

Câu 49 (VD): Cạnh huyền của ABC vuông tại A biết chu vi tam giác là 12m và tổng bình phương của ba cạnh bằng 50m là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Trang 50 Phương pháp giải:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông của ABC là ^{x y m,}

 

^, độ dài cạnh huyền của ABC là

  

^{, 0 ,  12 .}



z m x y z

Khi đó áp dụng công thức tính chu vi, định lý Pitago và các giả thiết đề bài để lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình, đối chiếu với các điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông của ABC là ^{x y m,}

 

^, độ dài cạnh huyền của ABC là

  

^{, 0 ,  12 .}



z m x y z

Chu vi của tam giác là 12m nên ta có phương trình: ^{x  y z 12 1}

 

Tổng bình phương của ba cạnh của tam giác là 50m nên ta có phương trình: ^{x2y2z2 50 2}

 

Áp dụng định lý Pitago ta có phương trình: ^{x2y2 z2}

 

³

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

 

2 2 2 2 2

2 2 2

12

50 2 50 25 5

  

         

  



x y z

x y z z z z tm

x y z

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác đã cho là 5m.

Câu 50 (VD): Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán ¹

2 số cam và ¹

2 quả. Lần thứ hai bán ¹

3 số cam còn lại và ¹

3 quả. Lần thứ ba bán ¹

4 số cam còn lại và ³

4 quả. Cuối cùng còn lại 24 quả cam. Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán là bao nhiêu quả?

A. 107 quả B. 105 quả C. 103 quả D. 101 quả

Phương pháp giải:

Gọi số quả cam bác nông dân mang đi bán là x (quả),



^{x24,x *}



^.

Biểu diễn số quả cam bác nông dân đã bán và còn lại sau mỗi lần bán để tìm số quả cam bác đã mang bán.

Giải chi tiết:

Gọi số quả cam bác nông dân mang đi bán là x quả),



^{x24,x *}



^.

Lần thứ nhất, bác đã bán số quả cam là: ^{1 1}

2x2 (quả).

⇒ Số quả cam còn lại sau lần 1 là: ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

 

   

x x x (quả).

Trang 51 Lần thứ hai, bác đã bán số quả cam là: ^{1 1 1 1 1 1}

3 2 2 3 6 6

    

 

 x  x (quả).

⇒ Số quả cam còn lại sau lần 2 là: ^{1 1 1 1 1 2}

2 2 6 6 3 3

 

    

x x x (quả).

Lần thứ ba, bác đã bán số quả cam là: ^{1 1 2 3 1 7}

4 3 3 4 12 12

    

 

 x  x (quả).

⇒ Số quả cam còn lại sau lần 3 là: ^{1 2 1 7 1 5}

3 3 12 12 4 4

 

    

 

x x x (quả).

Cuối cùng bác nông dân còn lại 24 quả cam nên ta có phương trình:

1 5 1 101

 

24 101 .

4x 4  4x 4  x tm

Vậy bác nông dân đã mang 101 quả cam đi bán.

Câu 51 (VDC): Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên (1) n8 là số chính phương 2) Chữ số tận cùng của n là 4 (3) n1 là số chính phương

Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?

A. mệnh đề 2) và 3) là đúng, còn mệnh đề (1) là sai B. mệnh đề 1) và 2) là đúng, còn mệnh đề (3) là sai C. mệnh đề 1) là đúng, còn mệnh đề (2) và (3) là sai D. mệnh đề 1) và 3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai Phương pháp giải:

Số chính phương có các chữ số tận cùng là 0,1, 4,5, 6,9 . Dùng loại trừ để đưa ra đáp án đúng.

Giải chi tiết:

Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là 0,1, 4,5, 6,9 . Vì vậy

- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì

8

n có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương. Vậy trong hai mệnh đề này phải có một mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai.

- Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề 2) và 3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì n1 có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phương.

Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề 1) và 3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.

Câu 52 (VD): Một gia đình có năm anh em trai là X, Y, P, Q, S. Biết rằng P là em của X và là anh của Y;

Y là anh của Q. Để kết luận rằng S là anh của Y thì ta cần biết thêm thông tin nào sau đây?

A. P là anh của S. B. X là anh của S. C. P là em của S D. S là anh của Q.

Phương pháp giải:

Sắp xếp thứ tự theo yêu cầu bài toán, từ đó nhận xét từng đáp án.

Trang 52 Giải chi tiết:

Ta xắp xếp các bạn P, X, Q, Y theo thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau:

Q < Y < P < X

Đáp án A: P là anh của S chưa kết luận chắc chắn được vì có thể xảy ra trường hợp S < Y < P.

Đáp án B: X là anh của S chưa kết luận chắc chắn được vì có thể xảy ra trường hợp S < Y < X.

Đáp án C: P là em của S suy ra Y < P < S nên S là anh của Y đúng).

Đáp án D: S là anh của Q chưa kết luận chắc chắn được vì có thể xảy ra trường hợp Q < S < Y.

Dựa vào các thông tin được cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 53 đến 56

Xuân, Thu, Nam và Bắc thi tài giành danh hiệu người câu cá giỏi nhất. Vì cầu được nỗi loại cá không dễ như nhau nên họ cho điểm từng loại như sau: bắt được con cá Máng được 5 điểm, con cá Diêu được 4 điểm, con các Vược được 2 điểm, con cá Chích được 1 điểm.

Xuân bắt được con cá Măng duy nhất của cả nhóm, Cả nhóm bắt được 3 con Vược.

Tổng số điểm của cả nhóm là 18.

Thu được ít điểm nhất mặc dù được nhiều cái nhất.

Tổng số điểm của Thu và Bắc bằng số điểm của Xuân và Nam cộng lại.

Điểm của 4 người đều khác lẫn nhau.

Hỏi mỗi người cầu được những con cá gì mà ai giành được danh hiệu người câu cá giỏi nhất đạt điểm cao nhất)?

Trong tài liệu ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2022 - ĐỀ SỐ 10 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia (Trang 47-52)