76
Loại 3. Định luật bảo toàn cơ năng cho các trường hợp tổng quát
77
Vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi nên cơ năng được bảo toàn. Chọn mốc thế năng tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên.
Cơ năng vật tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên: W1 = 0 Tại vị trí cân bằng, lò xo giãn một đoạn là ∆l, ta có:
đh đh
P F 0 P F mg 0,05.10
= 0,025 m
k 20
+ = → =
↔ ∆ = =
l
Cơ năng vật tại vị trí cân bằng:
W2 = 1kx22 1mv22 mgh2 1k 2 1mv22 mg 2 +2 + =2 ∆ +l 2 − ∆l Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
2 2
1 2 2
2 2 2
2
2
1 1
W W 0 k mv mg
2 2
1 1
0 k mv k
2 2
k 20
. 0,025. 0,5m / s
m 0,05
= ⇔ = ∆ + − ∆
⇔ = ∆ + − ∆
⇒ = ∆ = =
l l
l l
v l
Ví dụ 3. Vật khối lượng m = 100g được ném thẳng đứng từ dưới lên với v0 = 20 m/s. Sử dụng các phương trình chuyển động của vật ném đứng, tính thế năng, động năng và cơ năng toàn phần của vật:
a) Lúc bắt đầu ném. b) Khi vật lên cao nhất.
c) 3s sau khi ném. d) Khi vật vừa chạm đất.
So sánh các kết quả và kết luận. Cho g = 10 m/s2. Hướng dẫn
Chọn gốc thế năng trọng lực tại mặt đất, chiều dương thẳng đứng hướng lên (hình vẽ).
a) Lúc bắt đầu ném: Ta có: h = 0; v = v0. + Thế năng: Wt = mgh = 0.
+ Động năng: Wđ = 1 mv20
2 = 1 .0,1.202
2 = 20J.
+ Cơ năng toàn phần: W = Wt + Wđ = 0 + 20 = 20J.
b) Khi vật lên cao nhất: Ta có: h = hmax = H; v = 0.
với: hmax = H = v20 2g= 202
2.10= 20m
+ Thế năng: Wt = mgH = 0,1.10.20 = 20J.
v0
m
+
g v0
m
+
g
∆l
O
Mốc thế năng
l
0 Fdh
P
78
+ Động năng: Wđ = 1 mv2
2 = 0
+ Cơ năng toàn phần: W = Wt + Wđ = 20 + 0 = 20J.
c) 3 giây sau khi ném:
Ta có: h = v0t 1 gt2
−2 = 20.3 1 .10.32
−2 = 15m; v = v0 – gt = 20–10.3 = –10m/s.
+ Thế năng: Wt = mgh = 0,1.10.15 = 15J.
+ Động năng: Wđ = 1 mv2
2 = 1 .0,1.( 10)2
2 − = 5J.
+ Cơ năng toàn phần: W = Wt + Wđ = 15 + 5 = 20J.
* Lưu ý: Có thể tính vận tốc v như sau:
+ Thời gian (t1) vật lên đến độ cao cực đại:
v = v0 – gt1 = 0 ⇒ t1 =v0 g = 20
10 = 2s.
+ Vận tốc: v2−v20 = −2gh ⇒ v = ± v20−2gh= ± 202−2.10.15= ±10 m/s.
Vì t = 3 s > t1 nên lúc này vật đang đi xuống, suy ra: v = –10 m/s.
d) Khi vật vừa chạm đất:
Ta có: h = 0; v = v0 – gt2 ; với t2 = 2t1 = 4s ⇒ v = 20–10.4 = –20m/s.
+ Thế năng: Wt = mgh = 0.
+ Động năng: Wđ = 1 mv2
2 = 1 .0,1.( 20)2
2 − = 20J.
+ Cơ năng toàn phần: W = Wt + Wđ = 0 + 20 = 20J.
* Kết luận: Tại những vị trí khác nhau thì thế năng và động năng của vật (hệ vật + Trái Đất) có giá trị khác nhau nhưng tổng của chúng, tức là cơ năng toàn phần luôn không đổi.
Ví dụ 4. Một vật được ném xiên góc α với phương ngang. Tìm liên hệ giữa thế năng và động năng của vật ở điểm cao nhất. Khi nào thì chúng bằng nhau?
Hướng dẫn
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. Xét tại điểm cao nhất I mà vật đạt được.
+ Vận tốc: v = v0cosα. + Độ cao cực đại: H = v sin20 2
2g α.
+ Thế năng: Wt = mgH = mv sin20 2 2
α.
+ Động năng: Wđ = mv2
2 = mv cos20 2 2
α. α v0
v0x
v
y
O x
H I
79
+ Tỉ số giữa thế năng và động năng: t
d
W
W = sin22 cos
α
α = tan2α Thế năng và động năng của vật bằng nhau khi: t
d
W W = 1.
⇒ tan2α = 1 ⇒ α = 450 (loại nghiệm α= –450).
Vậy: Hệ thức giữa thế năng và động năng của vật ở điểm cao nhất là
t d
W
W = tan2α, thế năng và động năng bằng nhau khi α = 450. Ví dụ 5. Một quả cầu nhỏ lăn trên mặt
phẳng nghiêng, α = 300, vA = 0, AB = 1,6m, g = 10 m/s2. Bỏ qua ảnh hưởng do ma sát (hình vẽ).
a) Tính vận tốc quả cầu ở B.
b) Tới B, quả cầu rơi trong không khí.
Tính vận tốc quả cầu khi sắp chạm đất, biết B ở cách mặt đất h = 0,45m.
Hướng dẫn a) Vận tốc của quả cầu ở B
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 điểm A và B (hình vẽ).
WA = WB⇔ mgh0 =1 mv2B 2
⇒ vB = 2gh0 = 2g sin α = 2.10.1,6.0,5 = 4 m/s.
Vậy: Vận tốc của quả cầu ở B là vB = 4m/s.
b) Vận tốc của quả cầu khi sắp chạm đất
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 điểm B và C (hình vẽ).
WB = WC⇔ mgh + 1 mv2B
2 =1 mv2C 2
⇒ vC = v2B+2gh = 42+2.10.0,45 = 5 m/s.
Vậy: Vận tốc của quả cầu ở C là vC = 5m/s.
* Lưu ý: Có thể tính vC bằng cách áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cả quá trình chuyển động AC, ta có:
WA = WC⇔ mg(h0 + h) = 1 mv2C 2
⇒ vC = 2g(h0+h) = 2g( sin α+h) = 2.10(1,6.sin300+0,45) = 5 m/s.
α
A
B
C
h0
α
A
B
C
h
80
Ví dụ 6. Hai vật có khối lượng tổng cộng m1 + m2 = 3kg được nối bằng dây qua một ròng rọc nhẹ (hình vẽ).
Buông cho các vật chuyển động, sau khi đi được quãng đường s = 1,2m mỗi vật có vận tốc v = 2 m/s. Bỏ qua ma sát. Dùng định luật bảo toàn cơ năng, tính m1 và m2. Cho g = 10 m/s2.
Hướng dẫn
Giả sử m1 > m2, suy ra P1 > P2. Sau khi buông nhẹ, vật m1 đi xuống và m2 đi lên cùng quãng đường s.
Chọn gốc thế năng riêng cho mỗi vật tại vị trí ban đầu (khi buông tay). Chọn chiều dương là chiều chuyển động của các vật. Khi đó: v1 = v2 = v > 0.
– Các lực tác dụng vào hệ 2 vật là trọng lực P1 và P2
có phương, chiều như hình vẽ.
– Cơ năng ban đầu của hệ: W = W1 + W2 = 0 (1) – Cơ năng sau của hệ:
W′ = W′1 + W′2 = – m1gs + 1 m v1 2
2 + m2gs + 1 m v2 2 2
⇒ W′ = –gs(m1 – m2) + 1 (m m )v1 2 2
2 + (2)
– Vì hệ hai vật chuyển động chỉ dưới tác dụng của trọng lực (lực thế) nên cơ năng của hệ hai vật được bảo toàn:
W = W/ (3)
– Thay (1) và (2) vào (3), ta được: m1 – m2 = (m1 m )v2 2 2gs +
⇒ m1 – m2 = 3.22
2.10.1,2= 0,5kg (4) – Mặt khác: m1 + m2 = 3kg (5)
⇒ m1 = 1,75kg; m2 = 1,25kg.
Vậy: Khối lượng của hai vật là m1 = 1,75kg và m2 = 1,25kg.
m2
m1
P1
m1
P2
m2
+
+
81
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Một vật được ném thẳng đứng lên cao với vận tốc 7m/s. Bỏ qua sức cản của không khí. Cho g = 9,8 m/s2.
a) Tính độ cao cực đại mà vật lên tới.
b) Ở độ cao nào thì thế năng bằng động năng? Thế năng gấp 4 lần động năng.
Bài 2. Dây đồng chất chiều dài = 1,6m có trọng lượng, vắt qua một ròng rọc nhỏ không ma sát và nằm yên (hình vẽ). Sau đó dây bắt đầu trượt khỏi ròng rọc với vận tốc đầu v0 = 1 m/s.
Tính vận tốc dây khi dây vừa rời khỏi ròng rọc.
Bài 3. Vật nhỏ bắt đầu trượt từ A có độ cao