(2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

b) Tính độ dài đường chéo AC^ của hình chộp chữ nhật (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Câu 4. (3,5 điểm) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH:

a) Chứng minh ABH đồng dạng với CBA.

b) Cho BH4cm,BC 13cm. Tính độ dài đoạn AB.

c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh AE.CH = AH.FC.

d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5. (0,5 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương và a  b c 1 thì:

2 2 2

1 1 1

a b c 33

a b c

         

     

      .

---HẾT---

Câu Đáp án và hướng dẫn chấm Biểu điểm

Câu 1 a) 3x 11 x  7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

…

TRƯỜNG THCS … ---

Đề: 13

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN: TOÁN 8

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ---

(2,5 điểm)

3x x 7 11

    2x 18

  x 18: 2

  x 9

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S {9} .

0,25 điểm

0,25 điểm b) 2x(x 3)  x 3

2x(x 3) (x 3) 0

     (x 3)(2x 1) 0

   

x 3 0

2x 1 0

  

   

x 3 2x 1

 

  

x 3 x 1

2

 

 

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 S 3;

2

 

  

 .

0,25 điểm

0,25 điểm c) ^{x 2 5} ₂ ⁸ (*)

x 2 x x 2x

  

 

Điều kiện xác định:

0,25 điểm

x 0 x 0

x 2 0 x 2

   

    



Mẫu thức chung: x² 2xx(x2) x(x 2) 5(x 2) 8 (*) x(x 2) x(x 2) x(x 2)

 

  

  

x(x 2) 5(x 2) 8

     x2 2x 5x 10 8

     x2 3x 2 0

    x2 x 2x 2 0

    



^{x2 x}



^{(2x 2) 0}

    

x(x 1) 2(x 1) 0

     (x 1)(x 2) 0

    x 1 0

x 2 0

  

   

x 1(TMDK) x 2( loai )

 

  

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S {1} .

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm d) 2x 1 x 5 4x 1

4 3 12 2

     

3 (2x 1) 4(x 5) 4x 1 24

12 12 12 12

   

   

3 (2x 1) 4(x 5) 4x 1 24

       

6x 3 4x 20 4x 1 24

      

6x 4x 4x 1 24 3 20

        2x 0

   x 0

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S {x x ∣ 0}.

0,5 điểm 0,25 điểm Câu 2

(1,5 điểm)

Gọi thời gian kể từ lúc ô tô khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau là x(

giờ), điều kiện: x0.

Thời gian ô tô đi từ B đến chỗ gặp nhau là: x (giờ) Thời gian xe máy đi từ A đến chỗ gặp nhau là: 1

x 3

  

 

  (giờ) Quãng đường ô tô đi được là: 45.x( km)

Quãng đường xe máy đi được là: 1

20 x (km)

3

 

  

 

Vì quãng đường AB dài 90 km nên ta có phương trình:

45x 30 x 1 90

3

 

   

  45x 30x 10 90

   

0,25 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm)

75x 90 10

  

75x 80

 

80 16 1

x 1

75 15 15

    (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian kề từ lúc ô tô khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau là 1 giờ 4 phút.

0,25 điểm

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

Chu vi đáy của hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D^{   } là:

P(AB BC) 2 (10 20) 2 60( cm)     

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D^{   } là:

 

²

Sxq P.AA^ 60.15900 cm

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D^{   } là:

 

²

Sd AB BC 10.20  200 cm

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D^{   } là:

 

²

tp xq d

S S 2S 9002.200 1300 cm .

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

b) Tính độ dài đường chéo AC^ của hình chộp chữ nhật (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xét A C D^{  } vuông tại D ,^ theo định lí Py – ta – go, ta có:

2 2 2

2 2 2

2

A C A D D C A C 20 10

A C 400 100 500

     

 

 

 

 

  

Xét AA C^{ } vuông tại A ,^ theo định lí Py – ta – go, ta có:

2 2 2

2 2

2

AC AA A C

AC 15 500

AC 225 500 725

AC 725 26,9(cm)

   







 

 

  

  

Vậy độ dài đường chéo AC là 26,9 (cm).

0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm Câu 4

(3,5 điểm)

- Vẽ hình đúng

a) Chứng minh ABHco CBA . Xét ABH và CBA có:

AHBBAC90^

ˆB là góc chung

0,5 điểm

0,5 điểm

Do đó: ABHco CBA(g.g) 0,25 điểm

b) Tính độ dài đoạn AB.

Vì ABHco CBA(g g)  nên ta có: AB BH BC  AB

2 2

AB BC BH

AB 13.4 52

AB 52(cm)

  

  

 

Vậy ^{AB 52 cm}

 

0,25 điểm

0,5 điểm

0,25 điểm c) Ta có: EHAAHFEHF90^

Và CHFAHFAHC90^ EHA CHF

 

Vì ABHco CBA(g g) 

EAH FCH

 

Xét EHA và FHC có:

EHACHF(cmt)

EAHFCH(cmt)

Do đó: EHAco FHC(g g) 

AE AH

CF CH

 

0,25 điểm

0,25 điểm

AE CH AH FC

   

0,25 điểm d) Xét ACH và BCA có:

AHCBAC900

ˆC là góc chung

Do đó: ACHco BCA(g.g)

AH AB

CH AC(1)

 

Vì EHAco FHC(g.g) nên EH AH HF  CH Từ (1) và (2) suy ra: EH AB

HF  AC Xét EHF và BAC có:

EHF BAC 90 EH AB

(cmt) HF AC

  



Do đó: EHFco BAC( c.g.c)

2 EHF

ABC

S EH

S AB

 

   

2

EHF ABC

S S EH

AB

 

   

Mà S_ABC và AB không đổi nên S_EHF nhỏ nhất khi HE nhỏ nhất.

0,25 điểm

0,25 điểm

Khi đó: HEAB.

Câu 5 (0,5 điểm)

Với ba số A0;B0;C0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

 

2 2

2 2 2 2 2

2 2

A B 2AB

B C 2BC 2 A B C 2(AB BC AC)

A C 2AC

  

       

  

Cộng từng vế của bất đẳng thức trên với A² B² C ,² ta được:

 

 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

3 A B C 2(AB BC AC) A B C

3 A B C (A B C)

(A B C)

A B C

3

       

     

     

Đặt 1 1 1

A a ;B b ;C c

a b c

      và vế trái là P, ta được:

2

2

1 1 1 1

P a b c

3 a b c

1 a b c a b c a b c

a b c

3 a b c

 

       

     

 

       

 

1 b c a c a b 2

P 1 1 1 1

3 a a b b c c

 

            

1 b a c a c b 2

P 1 1 1 1

3 a b a c b c

 

            

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a

b và b a, ta

0,25 điểm

0,25 điểm

được:

a b a b

2 2

b  a b a 

Tương tự: ^{a c} 2 ^{a c} 2;^{b c} 2 ^{b c} 2 c  a c a  c  b c b 

Khi đó, 1 ² 1 ² 100

P (1 1 1 1 6) 10 33

3 3 3

        

Vậy

2 2 2

1 1 1

a b c 33

a b c

         

     

      .

---

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình sau:

a) ^{2 3x 1}



^{  }



^{x 2} b) ^{4 x 5}



^{ }



^{x2 5x0}

c) x 3 48 ₂ x 3

x 3 9 x x 3

   

   d) 6 2x 1 3 Câu 2. (1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một công nhân được giao làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định.

Người đó dự định làm mỗi ngày 48 sản phẩm. Sau khi làm được một ngày, người đó nghỉ 1 ngày, nên để hoàn thành đúng kế hoạch, mỗi ngày người đó phải làm thêm 6 sản phẩm. Tính số sản phẩm người đó được giao.

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

x 1 x 2 x 3

2 3 x 4

     

b) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   đáy là tam giác vuông cân tại A. Biết hình trụ này có chiều cao là 4m và thể tích là 18m³. Tính diện tích toàn phần của nó.

Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, vẽ các đường cao BD, CE.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

…

TRƯỜNG THCS …

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề kiểm tra này gồm: 01 trang)

--- ĐỀ SỐ 14

a) Chứng minh rằng: ADB∽ AEC và AE.ABAD.AC b) Chứng minh rằng: ADE∽ ABC và ADEABC

c) Vẽ EF vuông góc với AC tại F. Chứng minh rằng: AE.DFAF.BE

d) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BD, CE. Chứng minh rằng hai góc BAC và MAN có chung tia phân giác.

Câu 5. (0,5 điểm) Cho các số nguyên a, b, c, d khác 0, thỏa mãn abcd Chứng minh rằng: a²⁰¹⁴ b²⁰¹⁴ c²⁰¹⁴d²⁰¹⁴ là hợp số.

---HẾT---

Câu Đáp án và hướng dẫn chấm Biểu điểm

Câu 1 (2,0 điểm)

a) ^{2 3x 1}



^{  }



^{x 2}

6x 2 x 2 5x 0

x 0

   

 

 

Vậy phương trình có nghiệm x0.

0,25 điểm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

…

TRƯỜNG THCS … ---

Đề: 14

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN: TOÁN 8

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ---

0,25 điểm b) ^{4 x 5}



^{ }



^{x2 5x0}

   

4 x 5 x x 5 0

    



^{x 5 4}



^x



⁰

    x 5

  hay x 4

Vậy phương trình có nghiệm x5;x  4.

0,25 điểm

0,25 điểm

c) x 3 48 ₂ x 3

x 3 9 x x 3

 

 

  

   

  

2 2

x 3 48 x 3

x 3 x 3 0

   

 

 

(1). (ĐKXĐ: x 3)

Phương trình (1) trở thành:



^{x3 48}



^{2 }



^x3



^{2 0}

12x 48 0

  

x 4

  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm x4.

0,25 điểm

0,25 điểm d) 6 2x 1 3

0,25 điểm

2x 1 3 2x 1 3 2x 1 3 x 2

(TMDK) x 1

  

  

    

 

   

Vậy phương trình có nghiệm x2;x 1.

0,25 điểm

Câu 2 (1,5 điểm)

Gọi x là số sản phẩm người đó được giao



^x0



Thời gian dự định người làm xong số sản phẩm được giao với năng suất 48 sản phẩm là: x

48 (ngày)

Sau khi làm được một ngày, người đó nghỉ 1 ngày, sau đó người này phải làm thêm 6 sản phẩm. Vì vậy thời gian người này làm xong sản phẩm sau khi nghỉ 1 ngày là: x 48 x 48

48 6 54

  

 (ngày)

Vậy ta có:

x x 48 x 2.54 x 48

48 1 1 54 48 54

  

    

 

x 60 x

9x 8 60 x x 480

48 54

        (TMDK)

Vậy số sản phẩm được giao làm là 480 sản phẩm.

0,25 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm)

0,25 điểm Câu 3

(1,5 điểm)

a) x 1 x 2 x 3

2 3 x 4

     

0,25 điểm

6x 6 4x 8 12x 3x 9

12 12 12 12

  

   

7x 7 x 1

     

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S



^{x / x 1}



^.

Biểu diễn trên trục số

0,25 điểm

0,25 điểm

Ta có: V S.h S ^V.

   h

Vậy diện tích đáy của hình lăng trụ này là:

 

²

S 18 4.5 m

 4  .

Vì ABC vuông cân tại A nên S ¹AB²

 2

Do đó ^{1AB2 4.5 AB2 9 AB 3 m .}

 

2     

0,25 điểm

Suy ra ^{BC3 2 m .}

 

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

  ^{ }

²

Sxq 2ph  3 3 3 2 .424 12 2 m

Diện tích toàn phần là: Stp 24 12 2  9 33 12 2 50 m

 

² .

0,25 điểm

0,25 điểm Câu 4

(3,5 điểm)

- Vẽ hình đúng

a) Xét ADB và AEC , ta có:

 

ADBAEC  90 BAC : chung

ADB AEC

  ∽  (g.g)

AD AB

AE AC

 

AB.AE AD.AC

 

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm b) Xét ADE và ABC, có:

BAC: Chung

AD AB

AE  AC (cmt)

ADE ABC

  ∽  (c.g.c) ADE ABC

 

0,5 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm c) Ta có: EFAC,BDACEF BD

Xét ABD có EF BD : AE AF

BE DF

  (định lý Ta – let) AE.DF AF.BE

 

0,25 điểm

0,25 điểm d) Ta có: AB BD 2BM BM

AC  CE  2CN  CN

Suy ra: ABM∽ ACN (c.g.c) BAMCAN Gọi Ax là tia phân giác của MANxAMxAN

Nên: xAMBAMxANCANxABxAC Ax là tia phần giác của BAC.

0,25 điểm

0,25 điểm

Câu 5 (0,5 điểm)

Gọi ƯCLN

 

¹

1

a ma

a,c m

c mc

 

   



a ,c1 1



và



a ,c1 1



1 Vì a, b, c là các số nguyên thỏa mãn abcd

1 1 1 1

ma b mc d a b c d

    nên a b c _{1 1}

Mà ƯCLN



a ,c1 1



1 nên b c₁ b nc₁ d na₁. Do đó:

2014 2014 2014 2014

a b c d



ma1



²⁰¹⁴

 

nc1 ²⁰¹⁴



mc1



²⁰¹⁴

 

na1 ²⁰¹⁴

   

   

2014 2014 2014 2014 2014 2014

1 1

a m n c m n

   



^{m2014 n2014}



^{a12014 c12014}



   là hợp số.

0,25 điểm

0,25 điểm ---

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

…

TRƯỜNG THCS …

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II NĂM HỌC 2020 - 2021

MÔN: TOÁN 8

Câu 1. (2 điểm) Giải các phương trình sau:

a)



^x6



^{2 9 x}



^{ 6}



⁰ b) 9 5x x 5 3x

18 9 6

   

c) ^{xx5x38 }



^{x5 x5x 1}



^8



Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

b) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFHK có AB 15cm,AD 20cm và AE 12cm . Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.EFHK.

Câu 3. (1,0 điểm) Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục

Trong tài liệu [Năm 2022] Đề thi Học kì 2 Toán lớp 8 Tự luận (15 đề) (Trang 95-114)