ӬNG DӨNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CӪA DÃY SӔ VÀO GIҦI MӜT SӔ BÀI

Trong mөc này chúng tôi ÿѭa ra mӝt sӕ ví dө các bài toán vӅ dãy sӕ và tә hӧp mà quá trình giҧi các bài toán ÿó chúng ta vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ ӣ trên.

Ví dͭ 3.1: Cho dãy sӕ (a_n) :a₀ =0,a₁ =1,a_n₊₁ =2a_n −a_n₋₁+1 ∀ ≥n 1. Chӭng minh rҵng ! = A A_{N N}₊ + là sӕ chính phѭѫng.

Giҧi:

Tӯ công thӭc truy hӗi cӫa dãy ta thay n+1 bӣi n ta ÿѭӧc:

N N N

N N N N

N N N

A A A

A A A A

A ⁺ A ₋ A ⁻₋ ⁺ ⁻ ⁻

= − +

° − + − =

® = − +

°¯ .

Xét phѭѫng trình ÿһc trѭng λ −λ + λ − = ⇔ = λ

AN α βN γN

= + + , do

A = A = A = α = β γ= = .

A N N ! N N N N N N

= + = + + + = + + ÿpcm.

Ví dͭ 3.2: Cho dãy sӕ X_N X = X = X_N₊ = X_N + X_N₋ −ÅÅ∀ ≥N . Chӭng minh rҵng x₁₉₉₆#1997 (HSG Qu͙c Gia – 1997 )

Giҧi:

Vì − = MOD do ÿó ta chӍ cҫn chӭng minh dãy

N N N

X ₊ = X + X ₋ + # .

Ĉһt Y_N₊ =AX_N₊ + =B A X _N +X_N₋ + + =B AX_N + +B AX_N₋ + +B A −B Y_N Y_N₋ A B

= + + − .

Ta chӑn a, b sao cho: A − B = , ta chӑn A = B =.

N N N N N

Y ₊ X ₊ Y Y Y ₊ Y Y ₋

= + = = = +

Tӯ ÿây ta có ÿѭӧc:

N N

YN = − + Y = + .

Vì + ≡ − + = MOD Y ∈]

Theo ÿӏnh lí Fecma ≡MOD Y ≡MOD

X MOD X MOD

+ ≡ ≡ .

Nh̵n xét: Tӯ bài toán trên ta có kӃt quҧ tәng quát hѫn là: X_P₋#P vӟi P là sӕ nguyên tӕ lҿ.

Ví dͭ 3.3: Cho dãy sӕ

^N _N _N _N Å

U U

U U ₊ U U ₋ N

= =

°® = + + ∀ ≥

°¯ .Tìm sӕ nguyên dѭѫng

H bé nhҩt sao cho: U_{N H}₊ −U_N#ÅÅÅ∀ ∈N ` (HSG Qu͙c Gia B̫ng A – 1998 ).

Giҧi:

Ĉһt A_N = U_N +, ta có dãy

^N _N _N _N Å

A A

A A ₊ A A ₋ N

= =

°® = + ∀ ≥

°¯

N N N N

N N

A U

= − + = + − − .

Vì A_{N H}₊ −A_N = U_{N H}₊ −U_N U_{N H}₊ −U_N# ⇔A_{N H}₊ −A_N#=

Mà

N N

H H

N H N

A ₊ −A = − ª¬ − − º¼+ −

•ÅNӃu H chҹn

N H H

N H N

A ₊ A

−

− = − ⇔ °°® −

° −

°¯

# #

(17)

Gӑi K là sӕ nguyên dѭѫng nhӓ nhҩt thӓa mãn ^K − # . Vì − # #K

{

}

K ∈ thӱtrӵc tiӃp ta thҩy chӍ có K = thӓa mãn ^H H ÅÅÅ

− # #

Chӭng minh tѭѫng tӵ, ta cǊng có: ^H − # H#ϕ = ÅÅÅ Tӯ (18) và (19) ta suy ra ⇔ H#ª¬º¼ = H ≥.

•ÅNӃu H lҿ: Vì U_{N H}₊ ≡U_NMOD Å

Nên ta có:

MOD MOD

H H

U U

U ₊ U

≡ ≡

°® ≡ ≡

°¯ U_H₋ ≡U_H₊ −U_H − ≡ MOD

MOD UH₋

Vì H lҿ H − chҹn

= − và

UH₋ = ⁻ − MOD

H H

U U ₋

≡ ≡ mâu thuүn vӟi U_H ≡MOD .

Vӟi H = ta dӉ dàng chӭng minh ÿѭӧc U_{N H}₊ ≡U_NMOD ÅÅ∀ ≥N . Vұy H = là giá trӏ cҫn tìm.

Ví dͭ 3.4: Cho dãy

N N N

X X X X

+ X

= = + + ÅTính X

ÅTìm phҫn nguyên cӫa

I I

! X

¦

(Olympic 30 – 4 – 2000 kh͙i 11 ).

Giҧi: Ta có:

N N

N N N

X X

X X X

+ +

− = − = +

+ − − . Ĉһt

N N

A A

= X =

− và

N N N N N

A ₊ A A ⁺ X

= + = − = +

− . a) Ta có:

X = +

− b) Ta có:

^I ^I

I I

! !

= + =

= + < < + <

¦

−

¦

Vұy ; = ! = .

Ví dͭ 3.5: Cho dãy

COS COS Å

COS COS

N N

X X X X

α α

+ +

= =

− + − .

Ĉһt

ÅÅ

N N

I I

Y N

= X

= ∀ ≥

¦

+ ^{. Tìm}^α ^{ÿӇ dãy sӕ} YN có giӟi hҥn hӳu hҥn và tìm giӟi hҥnÿó. ( HSG Qu͙c Gia B̫ng A – 2004 ).

Giҧi:

Ta có

SIN

SIN X_N X_N X_N ^N ^N

α ₋ α

= + = + −

+ + +

SIN ; =SIN

N N N

N I I N N

I I I I

Y N

X α ₋ α

= = =

= = + − = − + − −

¦

¦ ¦

Vì

LIM

^N = nên dãy Y_N có giӟi hҥn hӳu hҥn ⇔ SINα = ⇔ α = Kπ

Khi ÿó LIMY^N = .

Ví dͭ 3.6: Cho hai dãy

N N X Y X

= −

°® =

°¯ và

N N N N N

X X X Y Y

Y X X Y Y

+ +

= − − +

°®

= + −

°¯ ∀ ≥N .

Tìm tҩt cҧ các sӕ nguyên tӕ P sao cho X_P +Y_P không chia hӃt cho P. (TH&TT – 327 ) Giҧi:

Ta có: X_N +Y_N =X_N₋ +Y_N₋ = = X + Y ^N⁻ = (20) Giҧ sӱ có mӝt sӕ tӵ nhiên K ÿӇ Y_K = X_K Y_K₊ = . Khi ÿó, ta có:

K K

X X

X ⁺₊ ⁺

= −

°®

°¯ = vô lí. Vұy Y_N₊ =X_N −Y_N X_N + Y_N ≠ ÅÅ∀N. Suy ra :

N N N N N N N

X X Y X Y X Y

Y X Y X Y X Y

+ +

− + − +

= − =

− + − .

Ĉһt

N N

X A

A A A

Y A

+ + +

− +

= = − =

−

N N N

N N N N

A A

A A A A

−

+ +

+ + −

+ = = − =

− + + +

N N

A X

−

− −

= =

+ − (21)

Tӯ (20) và (21)

N N N

N N N N

X − − ⁻ Y + − ⁻ X Y − − ⁻

= = + = .

* NӃu P = X +Y = # P = không thӓa yêu cҫu bài toán.

* NӃu P = X +Y = − không chia hӃt cho P = thӓa yêu cҫu bài toán.

* NӃu P = ta thҩy cǊng thӓa yêu cҫu bài toán.

* NӃu P > − ^P⁻ ≡ MOD P X_P +Y_P ≡ MOD P Vұy P = P = là hai giá trӏ cҫn tìm.

Ví dͭ 3.7: Cho dãy

ÅÅ

N N

U U

U N

N U

−

°°®

° = ∀ ≥

− +

°¯

. Tính tәng cӫa sӕ

hҥngÿҫu tiên cӫa dãy U_N (HSG Qu͙c Gia – 2001 ).

Giҧi:

Ta có:

N N

U = U ₋ + N − (22).

Ta phân tích N − = K Nª¬ −N − º¼+L Nª¬ −N − º¼. Cho N = N =, ta có hӋ

K L

− + = −

° ⇔ = =

® + =

°¯ .

Suy ra

N N

U U ₋ U

⇔ − = − − = = − = −

N N

N U

− +

= − =

N N N N

= = −

− + − +

I I I

U I I

= =

§ ·

= ¨ − ¸ = − =

− +

¦ ¦

Ví dͭ 3.8: Cho hai dãy sӕ X_N Y_N xác ÿӏnh :

°®

°¯ = và

N N N

N N

X X X

Y Y

− −

−

= + +

°°®

° =

+ +

°¯

∀ ≥N . Chӭng minh rҵng <X Y_{N N} < ÅÅ∀ ≥N . (Belarus 1999).

Giҧi:

Ta có:

COS

COT COT COT COT

SIN

X X

π π π π π

= = = + + = + =

Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc:

COT

N N

X π

= − .

Theo kӃt quҧ cӫa ví dө 2.8, ta có:

TAN

N N

Y π

= −

Ĉһt _N _N COT _N Å _N TAN _N _N _N TAN COT_N _N

N X Y X Y

α = π = α = α = α α

Ĉһt

TAN TAN COT

N N N

T T

T T T

α α α

= = =

− − .

Vì

TAN

N ≥ < αN < π < <T π = ≤ −T <

ÅÅ

X Y^{N N} N

< T < < ≤ ∀ ≥

− ÿpcm.

Ví dͭ 3.9: Cho dãy sӕ

\ \

N N N

X X X

X ₊ N

°® − + −

° = ∀ ≥

. ÅCҫn có thêm ÿiӅu kiӋn gì ÿӕi vӟi X ÿӇ dãy gӗm toàn sӕ dѭѫng ? ÅDãy sӕ này có tuҫn hoàn không ? Tҥi sao ? (HSG Qu͙c Gia 1990).

Giҧi:

Vì \X \ < nên tӗn tҥi α ∈ −^§¨ π π ^·¸ SINα = X

SIN COS SIN

X = − α + α = π −α

SIN \ COS \

X = − π −α + π −α .

•ÅNӃu SIN

π α π α

− ≤ < =

•ÅNӃu

X SIN

π α π α π

− < < − = − . Bҵng quy nҥp ta chӭng minh ÿѭӧc:

Å I NӃu

π α π

− ≤ < thì:

SIN ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅ SIN ÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅ

N K

X N K

α π α

= +

= °®

− =

°¯

Å II NӃu

π α π

− < < − thì:

SIN ÅÅÅÅKHIÅÅÅ

SIN ÅÅÅÅÅÅKHIÅÅÅÅ

N K

X K

N K

α π π α

− = +

= °°® ∀ ≥

° − =

°¯

ÅDãy gӗm toàn sӕ dѭѫng

SIN

απ α π α α π π α π

> ° < <

° °

⇔ ® § · ⇔ ® ⇔ < <

− >

¨ ¸

° © ¹ °− ≤ <

¯ °¯

Vұy

< X < là ÿiӅu kiӋn cҫn phҧi tìm.

ÅDӵa vào kӃt quҧ trên ta có:

•ÅNӃu

SIN SIN

π π

α = ^§¨ −α^·¸ ⇔ α = ⇔ =

_N _N

X = X = = X = X là dãy tuҫn hoàn.

•ÅNӃu

X X

− ≤ <

°°®

° ≠

°¯

thì dãy sӕ có dҥng X X X X

•ÅNӃu

− < < − thì dãy sӕ có dҥng X X X X X

Ví dͭ 3.10: Tính tәng 3_N = + + + + N −, vӟi N là sӕ tӵ nhiên N ≥ . Giҧi:

Ta có: 3 = và 3_N =3_N₋ +N −.

Mà: N − = N −N − 3_N −N = 3_N₋ −N − = = 3 − = Vұy 3_N = N.

Ví dͭ 3.11: Tính tәng 3_N = + + + + N vӟi N là sӕ tӵ nhiên N ≥. Giҧi: Ta có 3 = và 3_N =3_N₋ +N (23).

Ta phân tích: N = K Nª¬ −N − º¼ +L Nª¬ −N − º¼ +T Nª¬ −N − º¼

Cho N = N = N = , ta có hӋ:

K L T

K L T K L T

K L T

− + =

° + + = ⇔ = = =

®° + + =

N N

3 ª N N Nº 3 ₋ ª N N N º

⇔ − « + + » = − « − + − + − »

¬ ¼ ¬ ¼

N N

N N N

N N N

3 ª N N Nº 3 3 + + + +

− « + + » = − = = =

¬ ¼ .

Ví dͭ 3.12: Tính tәng 3_N = + + +N N + N + ∀ ≥N . Giҧi: Ta có: 3 = và 3_N −3_N₋ = N N + N + ∀ ≥N .

N N + N + = ª¬ N + −N º¼ + ª¬ N + −N º¼ −

ª N N º ªN Nº

− ¬ + − ¼ − ¬ + − ¼.

Ĉһt

F N = N + + N + − N + − N +

N N

3 F N 3 ₋ F N 3 F

− = − − = = − =

N N N N

3 F N + + +

= = .

Ví dͭ 3.13: Trong mp cho N ÿѭӡng thҷng, trong ÿó không có ba ÿѭӡng nào ÿӗng quy và ÿôi mӝt không cҳt nhau. Hӓi N ÿѭӡng thҷng trên chia mһt phҷng thành bao nhiêu miӅn ? Giҧi: Gӑi A_N là sӕ miӅn do Nÿѭӡng thҷng trên tҥo thành. Ta có: A = .

Ta xét ÿѭӡng thҷng thӭ N + (ta gӑi là D), khi ÿó D cҳt N ÿѭӡng thҷng ÿã cho tҥi N ÿiӇm và bӏ N ÿѭӡng thҷng chia thành N +phҫn, ÿӗng thӡi mӛi phҫn thuӝc mӝt miӅn cӫa A_N. Mһt khác vӟi mӛi ÿoҥn nҵm trong miӅn cӫa A_N sӁ chia miӅn ÿó thành 2 miӅn, nên sӕ miӅn có thêm là N +. Do vұy, ta có:A_N₊ =A_N + +N

Tӯ ÿây ta có:

A = + N N + .

Chú ý :

Vӟi giҧ thiӃt ӣ trong ví dө trên nӃu thay yêu cҫu tính sӕ miên bҵng tính sӕ ÿa giác tҥo thành thì ta tìm ÿѭӧc:

N N

A = − − .

Ví dͭ 3.14: Trong không gian cho N mһt phҷng, trong ÿó ba mһt phҷng nào cǊng cҳt nhau và không có bӕn mһt phҷng nào cùng ÿi qua qua mӝt ÿiӇm. Hӓi N mһt phҷng trên chia không gian thành bao nhiêu miӅn ?

Giҧi:

Gӑi B_Nlà sӕ miӅn do N mһt phҷng trên tҥo thành

Xét mһt phҷng thӭ N + (ta gӑi là 0 ). Khi ÿó 0 chia N mһt phҷng ban ÿҫu theo N giao tuyӃn và N giao tuyӃn này sӁ chia 0 thành

N N +

+ miӅn, mӛi miӅn này nҵm trong mӝt miӅn cӫa B_N và chia miӅnÿó làm hai phҫn.Vұy

N N

B ₊ =B + + + . Tӯ ÿó, ta có:

N N N

B = + − + .

Ví dͭ 3.15: Trong mӝt cuӝc thi ÿҩu thӇ thao có M huy chѭѫng, ÿѭӧc phát trong N ngày thi ÿҩu. Ngày thӭ nhҩt, ngѭӡi ta phҩt mӝt huy chѭѫng và

sӕ huy chѭѫng còn lҥi.

Ngày thӭ hai, ngѭӡi ta phát hai huy chѭѫng và

sӕ huy chѭѫng còn lҥi. Nhӳng ngày còn lҥi ÿѭӧc tiӃp tөc và tѭѫng tӵ nhѭ vұy. Ngày sau cùng còn lҥi N huy chѭѫng ÿӇ phát . Hӓi có tҩt cҧ bao nhiêu huy chѭѫng và ÿã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967).

Giҧi: Gӑi A_K là sӕ huy chѭѫng còn lҥi trѭӟc ngày thӭ K A =M, khi ÿó ta có:

K K K

A A K A M K

− +

= − = § ·¨ ¸ − − +

AN N M N

§ · −

= = ¨ ¸ − − +

M N

§ · −

− = − ¨ ¸

( )

⁼ ^và^N⁻ ^{> −}^N nên ta có N − = ⇔ = N M = . Vұy có huy chѭѫng ÿѭӧc phát và phát trong ngày.

Ví dͭ 3.16: Có bao nhiêu xâu nhӏ phân ÿӝ dài N trong ÿó không có hai bit 1 ÿӭng cҥnh nhau?

Giҧi: Gӑi C_N là sӕ xâu nhӏ phân ÿӝ dài n thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ÿҫu bài.

Ta có C = ; C = .

Xét xâu nhӏ phân ÿӝ dài n thӓa mãn ÿiӅu kiӋn ÿҫu bài có dҥng A A_{N N}₋A_N₋A A . Có hai trѭӡng hӧp

•ÅA_N =. Khi ÿó A_N₋ = và A_N₋A A có thӇchӑn là mӝt xâu bҩt kǤ ÿӝ dài N − thӓa ÿiӅu kiӋn. Có C_N₋ xâu nhѭ vұy, suy ra trѭӡng hӧp này có C_N₋ xâu.

•ÅA_N = . Khi ÿó A_N₋A A có thӇchӑn là mӝt xâu bҩt kǤ ÿӝ dài N − thӓa ÿiӅu kiӋn. Có C_N₋xâu nhѭ vұy, suy ra trѭӡng hӧp này có C_N₋ xâu.

Vұy tәng cӝng xây dӵng ÿѭӧc C_N₋ +C_N₋Åxâu, hay C_N =C_N₋ +C_N₋.

N N

− −

§ · § ·

− − − +

= ¨¨© ¸¸¹ + ¨¨© ¸¸¹ .

Ví dͭ 3.17: Cho sӕ nguyên dѭѫng N. Tìm tҩt cҧ các tұp con ! cӫa tұp

{ }

8 = N sao cho không tӗn tҥi hai phҫn tӱ X Y ∈! thӓa mãn: X + =Y N + (Thͭy SͿ 2006).

Giҧi:

ĈӇ giҧi bài toán này ta sӁ ÿi ÿӃm sӕ tұp con ! cӫa 8 thӓa mãn luôn tôn tҥi hai phҫn tӱ

X Y ∈! sao cho X + =Y N + (ta gӑi tұp ! có tính chҩt 4).

Gӑi A_N là sӕ tұp con ! cӫa tұp

{

}

có tính chҩt 4

Khi ÿó các tұp con ^!^⊂

{

^{N N} ⁺^N ⁺

}

xҧy ra hai trѭӡng hӧp.

TH1: Trong tұp ! chӭa hai phҫn tӱ và N +, trong trѭӡng hӧp này sӕ tұp ! có tính chҩt 4 chình bҵng sӕ tұp con cӫa tұp gӗm N phҫn tӱ

{

^{N N} ⁺

}

^{và sӕ tұp}

con cӫa tұp này bҵng ^N.

TH2: Trong tұp ! không chӭa ÿҫy ÿӫ hai phҫn tӱ và N +. Khi ÿó ! phҧi chӭa mӝt tұp ! là tұp con cӫa tұp

{

^{N N} ⁺

}

sao cho có hai phҫn tӱ X Y ∈!

X +Y = N + . Ta thҩy sӕ tұp con ! nhѭ trên chính bҵng sӕ tұp con cӫa tұp

[ ]N có tính chҩt 4 (Vì ta trӯ các phҫn tӱ cӫa

{

^{N N} ⁺

}

^{ÿi mӝt ÿѫn}

vӏ ta ÿѭӧc tұp [ ]N và X Y ∈! X+Y = N +)

Hѫn nӳa vӟi mӛi tұp ! ta có ÿѭӧc ba tұp ! (bҵng cách ta chӑn ! là ! hoһc []∪! hoһc [N +]∪!)

Do vұy: A_N₊ = A_N +^N A_N = ^N −^N

Vұy sӕ tұp con thӓa mãn yêu cҫu bài toán là: ^N −A_N = ^N.

Bài tұp áp dөng Bài 1: Tìm CTTQ cӫa các dãy sӕ sau

1) U = U = U_N₊ −U_N + U_N₋ = +N N ≥ 2) U = U = U_N₊ −U_N +U_N₋ = ^N N ≥ 3) U = U = U_N₊ −U_N −U_N₋ = +N ^N N ≥

4) U = U =U = U_N = U_N₋ −U_N₋ +U_N₋ N ≥

ÅÅ

N N

U U N

−

°°

® + −

° = ∀ ≥

° − −

Bài 2: Cho dãy sӕ

{ }

^B^N xác ÿӏnh bӣi :

( )

N N N

B B B

N . N

B B

− −

= +

° ∈ ≥

® = =

°¯

Chӭng minh rҵng

BN § · N .

≤ ¨ ¸ ∀ ∈

Bài 3: Cho dãy sӕ

{ }

^U^N thoҧ mãn nhѭ sau :

ÅÅ Å

N N N

U : .

U U

U U U N . N

− −

∈ ∀ ∈

° = =

®° = − ∀ ∈ ≥

¯ Chӭng minh : ∀ ∈K . K ≥.

ÅU_K +U_K₋ − U U_K _K₋ = −

ÅU_K −U_K₋# và U_K − #

Bài 4: Cho dãy sӕ X_N xác ÿӏnh nhѭ sau:

ÅÅ

N N N

X X

X X ₋ X ₋ N

= =

°® − + = ∀ ≥

°¯ .

Xác ÿӏnh sӕ tӵ nhiên N sao cho : X_N₊ + X_N = .

Bài 5: Cho dãy X_N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi

ÅÅ

N N N

X X

X ₊ X X ₋ N

= =

°® = − ∀ ≥

°¯ .

Tìm ^LIM^X^N

{ }

^X^N (TH&TT T7/253).

Bài 6: Xét dãy A^N A = và

N N

A ₊ A N

§ ·

¨ − − ¸

= ¨ ¸ ∀ ≥

¨ ¸

. Chӭng minh rҵng: A +A + + A < (TH&TT T10/335).

Bài 7: Cho dãy A_N A = A_N₊ = A_N + A_N −Å∀ ≥N . Hãy xác ÿӏnh CTTQ cӫa A_N và chӭng minh rҵng sӕ

A ^N + có thӇ biӇu diӉn thành tәng bình phѭѫng cӫa ba sӕ nguyên liên tiӃp vӟi ∀ ≥N (TH&TT T6/262).

Bài 8: Cho dãy sӕ

{ }

^{P N} ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: P =

P N = P + P + + N − P N − ∀ ≥N . Xác ÿӏnh P N (TH&TT T7/244).

Bài 9: Xét dãy

ÅÅ

N N

U U

U U ₋ N N N N

°®

= + − + − ∀ ≥

°¯ . Chӭng minh rҵng

vӟi mӛi sӕ nguyên tӕ P thì

P I I

−

¦

= chia hӃt cho P (TH&TT T6/286).

Bài 10: Dãy sӕ thӵc

^N _N _N ÅÅ

X A

X X ₊ X N

°®

= − ∀ ≥

°¯ .

Tìm tҩt cҧ các giá trӏ cӫa A ÿӇ X_N < ÅÅ∀ ≥N (TH&TT T10/313).

Bài 11: Dãy sӕ

X X = X = và

N N

N N N N

X X

X X X X X

+ +

= + +

∀ ≥N . Hãy tìm CTTQ cӫa X_N (TH&TT T8/298).

Bài 12: Cho dãy sӕ A_N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau:

N N

A A

A N

−

°°®

° = ∀ ≥

°¯ +

Tính tәng A +A + + A.

Bài 13: Cho dãy sӕ A_N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi :

Å Å

A = A = A_N = N N + N + . Ĉһt 3_N =A +A + + A_N. Chӭng minh rҵng 3_N + là sӕ chính phѭѫng . (HSG Qu͙c Gia – 1991 B̫ng B )

Bài 14: Cho hai dãy sӕ A_N B_N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: A = B = và

^{N N} Å ÅÅÅ

N N N N

N N

A A B B A B N

A B

+ = + = + ∀ ≥

+ .

Chӭng minh rҵng các dãy A_N và B_N có cùng mӝt giӟi hҥn chung khi N → +∞. Tìm giӟi hҥn chung ÿó. ( HSG Qu͙c Gia – 1993 B̫ng A ngày thͱ 2)

Bai 15: Cho các sӕ nguyên A B . Xét dãy sӕ nguyên A_N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau

Å _N _N _N _NÅ A =A A =B A = B A− + A ₊ = A ₊ − A ₊ +A ∀ ≥N

A ÅTìm CTTQ cӫa dãy A_N . Å

B Tìm các sӕ nguyên A B ÿӇ A_N là sӕ chính phѭѫng vӟi ∀ ≥N . (HSG Qu͙c Gia – 1998 B̫ng B).

Bài 16: Cho dãy sӕ

ÅÅ

N N N

A A

A A ₋ N

°® − + = ∀ ≥

°¯ . Tính

¦

₌ AI

(Trung Qu͙c – 2004 ).

Bài 17: Cho dãy sӕ

ÅÅ

N N N

A A A

A ⁻ ⁻ N

°® + −

° = ∀ ≥

. Chӭng minh ÅA_N là sӕ nguyên dѭѫng vӟi ∀ ≥N .

ÅA_N₊A_N − là sӕ chính phѭѫng ∀ ≥N . ( Trung Qu͙c – 2005).

Bài 18: Cho dãy sӕ

^N _N _N _N Å

U U

U U U ₋ U ₋ N

= =

°® = − ∀ ≥

°¯ . Chӭng minh rҵng

UN − là sӕ chính phѭѫng ( Ch͕n ÿ͡i tuy͋n Ngh͏ an – 2007 ).

Bài 19: Cho dãy sӕ

ÅÅ

N N N

B B

B B ₋ B ₋ N

= =

°®

° + = ∀ ≥

. Tính

I I

¦

= ( Moldova 2007).

Bài 20: Có N tҩm thҿ ÿѭӧc ÿánh sӕ tӯ ÿӃn N. Có bao nhiêu cách chӑn ra mӝt sӕ thҿ (ít nhҩt 1 tҩm) sao cho tҩt cҧ các sӕ viӃt trên các tҩm thҿ này ÿӅu lӟn hѫn hoһc bҵng sӕ tҩm thҿ ÿѭӧc chӑn.

Bài 21: Cho dãy U_N ÿѭӧc xác ÿӏnh bӣi:

Å Å

ÅÅ

N N N

U U N

−

= > ∀ ≥

°° + −

® = ∀ ≥

°°¯

. Chӭng minh

rҵng

U U UN π ª − º

+ + + ≥ + « − »

¬ ¼ (HSG Qu̫ng Bình 2008 – 2009 ).

Bài 22: Cho dãy ÿa thӭc : 0 X = X −X + và 0 X_N = 0 0 0 X N lҫn. Tìm sӕ nghiӋm cҧu 0 X và 0 X_N ? (D͹ tuy͋n Olympic).

Bài 23: Xác ÿӏnh hӋ sӕ X trong khai triӇn chính quy cӫa ÿa thӭc

1 X = X − − − − − (có K dҩu ngoһc).

Bài 24: Cho dãy X_N X =X =X_N₊ = X_N −X_N₋ÅÅ∀ ≥N và dãy sӕ

( )

^Y^N ^Y ⁼^Y ⁼ ^Y^N⁺ ⁼ ^Y^N ⁻^Y^N⁻^ÅÅ^{∀ ≥}^N . Chӭng minh rҵng:

ÅÅ

N N

Y = X + ∀ ≥N (Canada – 1998 ).

Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có ÿӝ dài các cҥnh là các sӕ tӵ nhiên không vѭӧt quá N (Macedonian – 1997 ).

Bài 26: Cho dãy sӕ U_N ÿѭӧc xác ÿӏnh nhѭ sau: U =U = và U_N₊ = U_N −U_N₋ vӟi

∀ ≥N . Chӭng minh rҵng vӟi ∀ ≥N thì A_N − là mӝt sӕ chính phѭѫng (Ch͕n ÿ͡i tuy͋n Romania 2002).

KӂT LUҰN – KIӂN NGHӎ

Trҧi qua thӵc tiӉn giҧng dҥy, nӝi dung liên quan ÿӃn chuyên ÿӅ vӟi sӵ góp ý cӫa ÿӗng nghiӋp vұn dөng chuyên ÿӅ vào giҧng dҥyÿã thu ÿѭӧc mӝt sӕ kӃt quҧ sau

1) Hӑc sinh trung bình trӣ lên có thӇ vұn dөng mӝt sӕ kӃt quҧ cѫ bҧn trong chuyên ÿӅ vào giҧi bài toán xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dҥng dãy sӕ có dҥng truy hӗi ÿһc biӋt.

2) Hӑc sinh giӓi có thӇ vұn dөng các kӃt quҧ trong chuyên ÿӅ ÿӇ tham khҧo phөc vө trong nhӳng kì thi hӑc sinh giӓi cҩp TӍnh và cҩp Quӕc Gia.

3) Tҥoÿѭӧc sӵ hӭng thú cho hӑc sinh khi hӑc vӅ bài toán dãy sӕ.

4) Là tài liӋu tham khҧo cho hӑc sinh và giáo viên.

5) Qua ÿӅ tài giáo viên có thӇ xây dӵng các bài toán vӅ dãy sӕ.

Bên cҥnh nhӳng kӃt quҧ thu ÿѭӧc, chuyên ÿӅ còn mӝt sӕ hҥn chӃ sau:

1) Trong chuyên ÿӅ chѭa xây dӵngÿѭӧc phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa mӝt sӕ dãy sӕ mà các hӋ sӕ trong công thӭc truy hӗi biӃn thiên.

2) Chѭa ÿѭa vào mӝt sӕ phѭѫng pháp xác ÿӏnh CTTQ cӫa dãy sӕ dӵa vào mӝt sӕ kiӃn thӭc liên quan ÿӃn Toán cao cҩp nhѭ phѭѫng pháp hàm sinh...

Hy vӑng các ÿӗng nghiӋp sӁ phát triӇn, mӣ rӝng và khҳc phөc mӝt sӕ hҥn chӃ nói trên.

Trong tài liệu Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu - Công thức nguyên hàm (Trang 30-46)