2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
2.4.2 Cách giải
+) Giải phương trình thuần nhất tương ứng. +) Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. +) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) dưới dạng:
un= ˆun+u∗n. A- Giải phương trình thuần nhất tương ứng
aun+2+bun+1+cun= 0 (2) 1+)Giải phương trình đặc trưng:
a.λ2+b.λ+c= 0. (3) để tìm λ.
2+)Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.
Trường hợp 1:Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt:λ=λ1 ; λ=λ2 thì:
ˆ
un=A.λn1 +B.λn2, trong đó Avà B được xác định khi biếtu1 vàu2.
Trường hợp 2:Nếu (3) có nghiệm kép:λ1=λ2 =λthì:
ˆ
un= (A+Bn).λn, trong đó Avà B được xác định khi biếtu1 vàu2.
Trường hợp 3:Nếu λlà nghiệm phức, λ=x+i.y thì ta đặt r=|λ|=p
x2+y2, tanθ= y x, θ∈
−π 2;π
2
. lúc đóλ=r(cosθ+i.sinθ) và
ˆ
un=rn(A.cosnθ+B.sinnθ), trong đó Avà B được xác định khi biếtu1 vàu2.Ví dụ Ví dụ 2.8. Giải phương trình sai phân:
(x0 = 2 ; x1 =−8
xn+2 =−8xn+1+ 9xn .
Giải. Phương trình đặc trưng:
λ2+ 8λ−9 = 0⇔λ= 1 hoặc λ=−9. (Hai nghiệm phân biệt.) Vậy:xˆn=xn=A.1n+B.(−9)n=A+B.(−9)n.
Giải điều kiện biên:
(x0 = 2
x1 =−8 ⇔
(A+B = 2
A−9B =−8 ⇔
(A= 1 B = 1 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm:xn= 1 + (−9)n.
Ví dụ 2.9. Giải phương trình sai phân:
(x0 = 1 ; x1 = 16 xn+2 = 8xn+1−16xn
. Giải. Phương trình đặc trưng:
λ2−8λ+ 16 = 0 ⇔λ1=λ2 = 4(có nghiệm kép).
Vậy:xˆn=xn= (A+Bn).4n. Giải điều kiện biên:
(x0 = 1 x1 = 16 ⇔
(A= 1
(A+B).4 = 16 ⇔
(A= 1 B = 3 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm:xn= (1 + 3n).4n.
Ví dụ 2.10. Giải phương trình sai phân:
x0 = 1 ; x1 = 1 2 xn+2=xn+1−x−n
.
Giải. Phương trình đặc trưng:
λ2−λ+ 1 = 0⇔λ= 1 +i√ 3
2 hoặc λ= 1−i√ 3
2 . (Hai nghiệm phức.) Có:
λ= 1 +i
√ 3
2 = cosπ
3 +i.sinπ
3 ⇒r= 1 ; θ= π 3. Nghiệm tổng quát:xˆn=xn=A.cosnπ
3 +B.sinnπ 3 . Giải điều kiện biên:
x0 = 1 x1 = 1 2
⇔
A= 1 A.cosπ
3 +B.sinπ 3 = 1
2
⇔
(A= 1 B= 0 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:xn= cosnπ
3 .Bài tậpGiải các phương trình sai phân sau:
1. yn+2= 4yn+1−3yn với y0 = 1 ; y1 = 1.
2. yn+2= 8yn+1−16yn với y0 = 1 ; y1= 1.
3. yn+2= 2yn+1−2yn với y0 = 1
2 ; y1 = 2.
B- Các phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
aun+2+bun+1+cun=f(n) với vế phải có dạng đặc biệt Trường hợp 1.
f(n) =Pk(n) là đa thức bậckđối vớin.
Khi đó: +) Nếu phương trình đặc trưng (3) không có nghiệm λ= 1thì ta chọn x∗n=Qk(n)
trong đóQk(n)là đa thức bậcknào đó đối vớin. +) Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm đơnλ= 1thì ta chọn
x∗n=nQk(n)
trong đóQk(n)là đa thức bậcknào đó đối vớin. +) Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm kép λ= 1thì ta chọn
x∗n=n2Qk(n) trong đó Qk(n) là đa thức bậck nào đó đối vớin.
Ví dụ 2.11. Tìm một nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân:
xn+2 =−4xn+1+ 5xn+ 12n+ 8.
Giải. Phương trình đặc trưng:
λ2+ 4λ−5 = 0⇔λ= 1 hoặc λ=−5 ; f(n) = 12n+ 8.
Chọnx∗n=n(an+b). Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được a= 1 ; b= 0.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng làx∗n =n2.
Ví dụ 2.12. Giải phương trình sai phân:
2xn+2−5xn+1+ 2xn=n2−2n+ 3 với x0= 1 ; x1 = 3.
Giải. Phương trình đặc trưng:
2λ2−5λ+ 2 = 0⇔λ= 2 hoặc λ= 1
2 ; f(n) =n2−2n+ 3.
Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quátxˆn=A.2n+B.(1 2)n.
Chọn x∗n =an2+bn+c. Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được a=−1 ; b= 4 ; c=−10.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng làx∗n =−n2+ 4n−10.
Do đó phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:
xn=A.2n+B.(1
2)n−n2+ 4n−10.
Thay vào các điều kiện biên ta tìm được A= 3 ; B = 8. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
xn= 3.2n+ 8.(1
2)n−n2+ 4n−10.
Trường hợp 2.
f(n) =Pk(n).βn trong đóPk(n)là một đa thức bậc k đối vớin.
Khi đó: +) Nếu β không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) thì ta chọn:
x∗n=Qk(n)
trong đó Qk(n) là một đa thức bậc k nào đó đối với n với hệ số cần được xác định. +) Nếuβ là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (3) thì ta chọn:
x∗n=n.Qk(n)
trong đóQk(n) là một đa thức bậck nào đó đối vớin. +) Nếu β là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (3) thì ta chọn:
x∗n=n2.Qk(n),
trong đó Qk(n) là một đa thức bậc knào đó đối với n.
Ví dụ 2.13. Tìm một nghiệm riêng của phương trình sai phân sau:
2xn+2+ 5xn+1+ 2xn= (35n+ 51).3n.
Giải. Ta cóβ= 3 ; Pk(n) = 35n+ 51 là đa thức bậc nhất.
Phương trình đặc trưng:
2λ2+ 5λ+ 2 = 0⇔λ=−2 :=λ1 hoặc λ=−1
2 :=λ2 (λ1;λ26=β).
Chọn x∗n = (an+b).3n. Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được:a= 1 ; b= 0.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là:x∗n=n.3n.
Ví dụ 2.14. Tìm một nghiệm riêng của phương trình sai phân sau:
xn+2−5xn+1+ 6xn= (8n+ 11).2n. Giải. Ta cóβ= 2 ; Pk(n) = 8n+ 11là đa thức bậc nhất.
Phương trình đặc trưng:
λ2−5λ+ 6 = 0⇔λ= 2 :=λ1 hoặc λ= 3 :=λ2 (λ1=β ; λ26=β).
Chọn x∗n =n(an+b).2n. Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được:a=−4 ; b=−23.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là:x∗n=−(4n2+ 23n).2n. Ví dụ 2.15. Tìm một nghiệm riêng của phương trình sai phân sau:
xn+2−10xn+1+ 25xn= (n+ 2).5n+1 Giải. Ta cóβ= 5 ; Pk(n) = 5n+ 10là đa thức bậc nhất.
Phương trình đặc trưng:
λ2−10λ+ 25 = 0⇔λ= 5 :=λ0 (nghiệm kép) (λ1=λ2=β)
Chọn x∗n=n2(an+b).5n. Thay vào phương trình đã cho và so sánh các hệ số ta được:a= 4
50 ; b= 7 50.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là:x∗n= n2
50(4n+ 7).5n. Trường hợp 3.
f(n) =Pm(n).cosnβ+Pl(n).sinnβ
trong đó Pm(n) ; Pl(n)lần lượt là các đa thức bậcm; l đối vớin.
Ký hiệuk=M ax{m;l}và gọiρ= cosβ+isinβ (i2 =−1). Khi đó:
+) Nếu ρkhông là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) thì ta chọn:
x∗n=Tk(n).cosnβ+Rk(n).sinnβ
trong đó,Tk(n) ; Rk(n) là các đa thức bậc kđối vớinnào đó.
+) Nếu ρlà nghiệm của phương trình đặc trưng (3) thì ta chọn:
x∗n=nTk(n).cosnβ+Rk(n).sinnβ trong đó,Tk(n) ; Rk(n) là các đa thức bậc kđối vớinnào đó.
Ví dụ 2.16. Giải phương trình sai phân:
(x0 = 1 ; x1= 0
xn+2 = 2xn+1−xn+ sinnπ 2 Giải. Ta cóPm(n)≡0 ; Pl(n)≡1 ; β = π
2 ⇒ρ=i.
Phương trình đặc trưng:λ2−2λ+ 1 = 0có nghiệm képλ= 1 (6=i=ρ).
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : xˆn=an+b.
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng: x∗n=c.cosnπ
2 +d.sinnπ 2 . Thay x∗n vào phương trình đã cho, rút gọn và so sánh các hệ số ta được:
c= 1
2 ; d= 0⇒x∗n= 1 2cosnπ
2 Phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là:
xn=an+b+1
2cosnπ 2 Giải các điều kiện biên:
x0=b+1 2 = 1 x1=a+b= 0
⇔
a=−1 2 b= 1
2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
xn= 1
2(1−n+ cosnπ 2 )
Ví dụ 2.17. Tìm một nghiệm riêng của phương trình sai phân sau:
xn+2−3xn+1+ 2xn= (n−2).cosnπ
2 + (3n+ 1).sinnπ 2 . Giải. Ta cóPm(n) =n−2 ; Pl(n) = 3n+ 1 ; β = π
2 ⇒ρ=i.
Phương trình đặc trưng:
λ2−3λ+ 2 = 0⇔λ= 1 :=λ1; λ= 2 :=λ2 (λ1;λ2 6=ρ).
Nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng:
x∗n= (an+b).cosnπ
2 + (cn+d).sinnπ 2 .
Thay x∗n vào phương trình đã cho, rút gọn và so sánh các hệ số ta được:
a= 1 ; b=c=d= 0⇒x∗n=n.cosnπ 2 . Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là:x∗n=n.cosnπ
2 . Trường hợp 4:
f(n) = Xm k=1
fk(n).
Khi đó ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:
x∗n= Xm k=1
x∗nk
trong đóx∗nk là nghiệm riêng của phương trình: (1) vớiV P =fk(n) và được tìm theo một trong các trường hợp trên.
Ví dụ 2.18. Tìm một nghiệm riêng của phương trình sai phân sau:
xn+2= 5xn+1−6xn+ 2n+n−1.
Giải. Phương trình đặc trưng:
λ2−5λ+ 6 = 0⇔λ= 2 :=λ1 hoặc λ= 3 :=λ−2.
f(n) = 2n+n−1 :=f1(n) +f2(n) với f1(n) = 2n; f2(n) =n−1.
Đối với phương trình:xn+2= 5xn+1−6xn+ 2n (1.8)doλ1 = 2 =β nên ta chọn nghiệm riêng:x∗n1 =an.2n. Thay vào (1.8) rồi chia cả hai vế cho2nta được:
−2a= 1⇔a=−1
2 ⇒x∗n1=−1
2.n.2n=−n.2n−1.
Đối với phương trình:xn+2= 5xn+1−6xn+n−1 (1.9)ta chọn nghiệm riêng:
x∗n1 =cn+d. Thay vào (1.9) rồi so sánh các hệ số ở hai vế ta được:
c= 1
2 ; d= 1
4 ⇒x∗n2 = 1 2.n+1
4. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm riêng là:
x∗n=x∗n1+x∗n2 =−1
2.n.2n+1 2.n+1
4 = 1
4(1 + 2n−n.2n+1).
Bài tậpTìm các nghiệm riêng của các phương trình sai phân sau:
1. yn+2−5yn+1+ 6yn= 0 2. 8yn+2−6yn+1+yn= 2n
3. yn+2−3yn+1+ 2yn= 5n+ 2n3+ 3n+ 1 4. yn+2−yn+1+ 2yn=n2
5. yn+2+yn= sinnπ 2 6. 4yn+2+ 4yn+1+yn= 2 7. yn+2−2yn+1+yn= 5 + 3n 8. yn+2−2yn+1+yn= 2n(n−1) 9. yn+2−3yn+1+ 2yn= 3n 10. 8yn+2−6yn+1+yn= 5 sinnπ
2