Tương tự như đối với hàm số thông thường, ta có thể coi dãy số {xn} như một hàm f(n) = xn xác định trên tập N và nhận giá trị trong R. Ta chỉ quan tâm đến hai loại dãy tuần hoàn cơ bản là tuần hoàn cộng tính và tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 6.4. Dãy số {un} được gọi là một dãy tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
un+l=un, ∀n∈N. (1)
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy{un} thoả mãn(1) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Trong thực hành, để chứng minh một dãy đã cho là tuần hoàn, không nhất thiết phải xác định chu kỳ cơ sở của nó.
Nhận xét 6.1. Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đó là một dãy hằng.
Tương tự, ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 6.5. Dãy số{un} được gọi là mộtdãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s >1) sao cho
usn =un, ∀n∈N. (2)
Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy {un} thoả mãn (2) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Bài toán 6.2. Chứng minh rằng dãy {un} tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
un= 1
2[α+β+ (α−β)(−1)n+1], α, β∈R. (3) Giải Giả sử u0 =α, u1 = β và un+2 =un, ∀n∈N. Khi đó ta thấy ngay (bằng quy nạp toán học) dãy{un} có dạng (3). Ngược lại, mọi dãy xác định theo (3) là
một dãy tuần hoàn chu kỳ 2.
Bài toán 6.3. Chứng minh rằng dãy {un} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
un=
(tuỳ ý vớinlẻ,
u2k+1 vớin= 2m(2k+ 1), m∈N∗, k∈N.
GiảiChứng minh được suy trực tiếp từ hệ thức truy hồi.
Bài toán 6.4. Chứng minh rằng dãy{un} tuần hoàn chu kỳ 3 khi và chỉ khi dãy có dạng
un= 1
3[α+β+γ+ (−α−β+ 2γ)] cos2nπ 3 +
√ 3
2 (α−β) sin2nπ
3 , α, β, γ∈R. (4)
Giải. Giả sử u0 = α, u1 =β, u2 = γ và un+3 =un, ∀n ∈ N. Khi đó, ta thấy ngay (bằng quy nạp toán học) dãy {un} có dạng (4).
Ngược lại, mọi dãy xác định theo (4) là một dãy tuần hoàn chu kỳ 3 : α, β, γ, α, β, γ, . . . .
Bài toán 6.5. Cho k∈Q\Z. Chứng minh rằng dãy số {un} xác định theo công thức
u0 = 1, u1=ư1, un+1 =kunưunư1, n∈N∗ không là một dãy tuần hoàn.
Giải. Khi|k|>2 thì
|un+1|>|k||un| ư |unư1|>2|un| ư |unư1|.
Nếu luôn luôn xảy ra|un|<|unư1|với mọin∈N∗ thì ta có ngay điều phải chứng minh. Nếu xảy ra |um|>|umư1|>0 thì suy ra
|um|<|um+1|<· · · và do đó dãy {un} không là một dãy số tuần hoàn.
Xét |k|62 với k= p
q, (p, q) = 1, 26q∈Z∗, p∈Z. Bằng quy nạp theo n ta thu được
uj = pj
qjư1, pj ∈Z, (pj, q) = 1, ∀j∈ {1, . . . , n}.
Từ đó suy ra
un+1 = p
qunưunư1 = pn+1 qn , trong đó
pn+1=ppnưq2pnư1 ∈Z
và (pn+1, q) = 1. Do q >2 nên un6=um khi n6=m và dãy {un} không là dãy số
tuần hoàn.
Bài toán 6.6. Xác định các giá trị của k∈Qđể dãy số{un} xác định theo công thức
u0 = 1, u1=ư1, un+1 =kunưunư1, n∈N∗ là một dãy số tuần hoàn.
Giải.
Theo kết quả của Bài toán 4, khi |k| > 2 và |k| 6 2, k = p
q với (p, q) = 1, 26q ∈Z∗ thì dãy {un} không là dãy số tuần hoàn.
Xét |k|62 vàk∈Z.
Với k = 2 thì {un} là một cấp số cộng với công sai bằngư2 nên hiển nhiên dãy {un} không là dãy tuần hoàn.
Với k= 1thì {un} là dãy tuần hoàn chu kỳ 6 :
u2 =ư2, u3=ư1, u4= 1, u5 = 2, u6= 1, u7=ư1, . . . . Với k= 0thì {un} là dãy tuần hoàn chu kỳ 4 :
u0 = 1, u1 =ư1, u2 =ư1, u3 = 1, u4= 1, u5=ư1, . . . . Với k=ư1 thì {un} là dãy tuần hoàn chu kỳ 3 :
u0= 1, u1 =ư1, u2 = 0, u3= 1, u4 =ư1, . . . . Với k=ư2 thì {un} là dãy tuần hoàn chu kỳ 2 :
u0= 1, u1 =ư1, u2 = 1, u3=ư1, u4 = 1, . . . .
Định nghĩa 6.6. a) Dãy số {un} được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính)nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
un+l =ưun, ∀n∈N. (5)
Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy{un} thoả mãn(5) được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
b) Dãy số{vn} được gọi là mộtdãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s >1) sao cho
vsn =ưvn, ∀n∈N. (6)
Số nguyên dương s (s >1) nhỏ nhất để dãy {vn} thoả mãn (6) được gọi là chu kỳ cơ sởcủa dãy.
Nhận xét 6.2. a) Dãy phản tuần hoàn với chu kỳ l là một dãy tuần hoàn chu kỳ 2l.
b) Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳslà một dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2s.
Bài toán 6.7. Chứng minh rằng mọi dãy {un} phản tuần hoàn chu kỳ r đều có dạng
un= 1
2(vnưvn+r) với vn+2r =vn. (7) Giải. Giả sử un+r = ưun, ∀n ∈ N. Khi đó, ta thấy ngay rằng dãy {un} tuần hoàn chu kỳ 2rvà
un= 1
2(unưun+r), tức là có dạng (7).
Ngược lại, kiểm tra trực tiếp, ta thấy mọi dãy xác định theo (7) đều là dãy
phản tuần hoàn chu kỳ r.
Bài toán 6.8. Cho f(x) là một đa thức với degf = k≥ 1, f(x) ∈ Z ứng với mọi x ∈ Z. Ký hiệu r(k) = min{2s|s∈ N∗, 2s > k}. Chứng minh rằng dãy số {(ư1)f(k)} (k= 1,2, . . .) là dãy tuần hoàn với chu kỳ r(k).
Giải. Ta cók!f(x)∈Z[x]. Biểu diễnf(x) dưới dạng f(x) =a0+a1
x 1
+· · ·+ak x
k
,
trong đó
x k
= x(xư1)· · ·(xưk+ 1)
k! .
Ta cần chứng minh f(x+r(k))ưf(x) chia hết cho 2 với mọi x∈Z.
Nhận xét rằng
Mi=
x+ 2s i
ư
x i
chia hết cho 2 với mọi i∈N∗, 2s ≥i, x∈Z. Thật vậy, ta có Mi = 1
i!
(2s+x)(2s+xư1). . .(2s+xưi+ 1)ưx(xư1). . .(xưi+ 1) . Tử số hiển nhiên chia hết cho2s. Mặt khác, số mũ của 2 trong khai triển của i!
là X∞
j=1
i 2j
<
X∞ j=1
i
2j =i≤2s,
nên Mi chia hết cho 2 với mọi i∈N∗, i≤2s, x∈Z. Từ đó suy ra Ti =
x+r(k) i
ư
x i
chia hết cho 2 với mọi i∈Z, i≤k, ∀x∈Z. Do aj ∈Z nên f(x+r(k))ưf(x) =
Xk j=0
ajTj
chia hết cho 2, điều phải chứng minh.
Bài toán 6.9. Xác định dãy số {un} thoả mãn điều kiện
u2n+1= 3un, ∀n∈N. (8)
Giải. Đặt n+ 1 =m, m= 1,2, . . .. Khi đó có thể viết (8) dưới dạng u2mư1 = 3umư1, ∀m∈N∗
hay
v2m = 3vm, ∀m∈N∗ (9)
với
vm =umư1,∀m ∈N∗. (10)
Từ (9) ta có v0= 0. Đặt vm =mlog23ym, m∈N∗. Khi đó (9) có dạng y2m=ym, m∈N∗.
Vậy {ym}là một dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Khi đó theo Bài toán 2 ta có yn=
(tuỳ ý với nlẻ,
y2k+1 với ncó dạng 2m(2k+ 1), m∈N∗, k∈N.
Từ đó suy ra
um =vm+1 =mlog23ym+1, với
yn=
(tuỳ ý với nlẻ,
y2k+1 với ncó dạng 2m(2k+ 1), m∈N∗, k∈N.
Bài toán 6.10. Xác định dãy {un} thoả mãn điều kiện
u2n+1=ư3un+ 4, ∀n∈N. (11)
Giải. Đặt n+ 1 =m, m= 1,2, . . .. Khi đó có thể viết (11) dưới dạng u2m−1=−3um−1+ 4, ∀m∈N∗
hay
v2m=−3vm+ 4, ∀m∈N∗ (12)
với vm =um−1.
Đặt vm= 1 +xm. Khi đó (12) có dạng
x2m=−3xm, ∀m ∈N∗. (13)
Đặt xm =mlog23ym, m∈N∗. Khi đó (13) có dạng y2m =−ym, m∈N∗.
Vậy {ym} là một dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
Khi đó, theo Bài toán 2, ta có
yn=
tuỳ ý với nlẻ,
−y2k+1 với ncó dạng 22m+1(2k+ 1), m, k∈N, y2k+1 với ncó dạng 22m(2k+ 1), m∈N∗, k∈N.
Từ đó suy ra
um=vm+1= 1 + (m+ 1)log23ym+1, với
yn=
tuỳ ý với nlẻ,
−y2k+1 với ncó dạng 22m+1(2k+ 1), m, k∈N, y2k+1 với ncó dạng 22m(2k+ 1), m∈N∗, k∈N.