Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Tính thể tích khối chóp OAHK.
Câu V (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
3 3 3
4a 4b 4c
(1 b)(1 c)(1 c)(1 a)(1 a)(1 b) 3
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm I(2; 4); B(1; 1); C(5; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.
2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình: x 4 x 2 2 3x 4 x 2
B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mp Oxy, cho hình thang ABCD có AB//CD và A(10; 5), B(15; –5), D (–20; 0). Tìm tọa độ C.
2. Trong không gian Oxyz cho đường thảng (d):
x t y 1 2t z 2 t
và mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I trên (d), khoảng cách từ I đến mp (P) là 2 và (S) cắt mp (P) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r = 3
Câu VIIb (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 3
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Cho điểm Mo(xo; yo) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại Mo cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 2. Giải phương trình: x2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1 Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
2
1
I
(x2) ln xdxCâu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho CK = 2a/3. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a 9
2abc c ab a bc b ac 2
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 4 2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn.
2. Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3).
a) Viết phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phương trình (P) chứa OA, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).
Câu VIIa. (1 điểm)
Giải phương trình: 2(log2x + 1)log4x – log24 = 0 B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – 4 = 0. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
2. Trong không gian Oxyz, cho (P): x + y + 2z – 5 = 0 và mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 25 a) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với (P)
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai A(1; –4; 4) điểm B(3; –5; –1) và hợp với (P) một góc 60o Câu VIIb. (1 điểm)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: Cho hàm số y x
x 1
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu II:
1. Giải phương trình: cos3x cos2x cosx 1
2
2. Giải bất phương trình: x 4 x 4 x x2 16 3 2
Câu III: Tính tích phân:
e
1
I x 2 ln xdx x
.Câu IV: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.
Câu V: Cho x, y là các số thực thõa mãn điều kiện x2xyy2 3. Chứng minh rằng:
2 2
(4 3 3) x xy 3y 4 3 3.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa:
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC với B(2; –7), phương trình đường cao AA’: 3x + y + 11 = 0; phương trình trung tuyến CM: x + 2y + 7 = 0. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB và AC.
2. Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Tìm tọa độ giao điểm E của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
b) Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).
Câu VIIa: (1 điểm): Giải bất phương trình: x x
x x
3log 3 2 log 2 log 3 log 2 3
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb:
1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 4) và cắt hai tia Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho độ dài OA + OB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Trong không gian Oxyz, cho A(–1; 0; 2); B(3; 1; 0); C(0; 1; 1) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x – z + 5 = 0; (Q): 4x + y – 2z + 1 = 0
a) Viết phương trình tham số của (d) và phương trình mặt phẳng (P) qua A; B; C.
b) Tìm giao điểm H của (d) và (P). Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm): Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = –x3 + (2m + 1)x2 – (m + 1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx – (m + 1) Câu II (2 điểm)
1. Tìm nghiệm trên (0, π/2) của phương trình:
(1 cos x) (sin x 1)(1 cos x) (1 cos x) (sin x 1)(1 cos x) sin x2 2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
x 2 x y 3 y 5
x 2 x y 3 y 2
.
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
4
2 4
0
sin 4x
I dx
cos x tan x 1
Câu IV (1 điểm): Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’
cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.
Câu V (1 điểm) Cho 4 số thực x, y, z, t ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 4 4
1 1 1 1
P (xyzt 1)
x 1 y 1 z 1 t 1
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có cạnh AC đi qua điểm M(0; –1). Biết AB = 2AM, pt đường phân giác trong (AD): x – y = 0, đường cao (CH): 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ΔABC.
2. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3; 0; 0), B(0; 1; 4), C(1; 2; 2), D(–1; –3; 1). Chứng tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC.
Câu VIIa (1 điểm)
Cho tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Từ các chữ số của tập X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2.
B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vib (2 điểm)
1. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1; 2) và tạo với đường thẳng (D): x 3 y 5
1 2
một góc 450. 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d là giao tuyến của 2 mp (P): x – my + z – m = 0 và (Q): mx + y – mz –1 = 0, m là tham số.
a) Lập phương trình hình chiếu Δ của (d) lên mặt phẳng Oxy.
b) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng Δ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng Oxy.
Câu VIIb (1 điểm)
Giải phương trình sau trên tập C: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = 0
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
(x y)(x y ) 13 (x y)(x y ) 25
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
e
1
3 2 ln x
I dx
x 1 2 ln x
Câu IV (1 điểm)Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là h.chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp (ABC) và (A’BC). Tính tanα và thể tích của khối chóp A’.BB’C’C
Câu V (1 điểm)
Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 3
2
3x 4 2 y
4x y
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu Via. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x – 3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình là x + y + 1 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1; 1; 1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với đường thẳng OG.
b) (P) cắt Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Chứng minh tam giác ABC đều và G là trực tâm tam giác ABC.
Câu VIIa. (1 điểm)
Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.
B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho (E): 9x2 + 16y2 = 144 Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M(2; 1) và cắt elip (E) tại A và B sao cho M là trung điểm của AB
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 5 = 0 và các điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = (1/3)x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 có đồ thị (Cm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) khi m = 2.
2. Tìm m, để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2.
Câu II (2 điểm)
1. Giải bất phương trình: 15.2x 1 1 2x 1 2x 1
2. Tìm m để phương trình: 4(log2 x )2log0,5x m 0 có nghiệm thuộc (0, 1).
Câu III (2 điểm): Tính tích phân: I =
3
6 2
1
dx x 1 x
.Câu IV (1 điểm): Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2 cos x
sin x(2 cos x sin x) với 0 < x ≤ π/3.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm)
1. Viết phương trình chính tắc của (E) có hai tiêu điểm F1, F2 biết (E) qua M 3 ; 4 5 5
và ΔMF1F2 vuông tại M.
2. Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng (d1):
x t y 4 t z 6 2t
và (d2):
x t ' y 3t ' 6 z t ' 1
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1).
Câu VIIa (1 điểm): Giải phương trình:
2
4 3 z
z z z 1 0
2 trên tập số phức.
B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vib (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0; (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D1: x 2 y 1 z
1 1 2
, D2: x 2x 2 0 y 3
a) Chứng minh rằng D1 chéo D2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D1 và D2
b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của D1 và D2 Câu VIIb (1 điểm) Tính tổng SC020122C120123C22012 ... 2013C20122012
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x2 2x 2) m
x 1
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: cos(11 5x) sin(7 x) 2 sin(3x 2013 )
4 2 4 2 2 2
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
30x 9x y 25y 0 30y 9y z 25z 0 30x 9z x 25x 0
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
3
1
(x 4)dx 3 x 1 x 3
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a 3
3 , mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn: 2–x + 2–y +2–z = 1. Chứng minh rằng:
x y z x y z
x y z y x z z x y
4 4 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x 2 2t y 3 t
và điểm A(0; 1). Tìm điểm M thuộc d sao cho AM ngắn nhất.
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1: x 2 y z 1
4 6 8
; d2: x 7 y 2 z
6 9 12
a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và d2.
b) Cho điểm A(1; –1; 2), B(3; –4; –2). Tìm điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: log (x 1)9 2log 32log 3 4 x log (x27 4)3
B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Với giá trị nào của m thì phương trình x2 + y2 – 2(m + 2)x + 4my + 19m – 6 = 0 là phương trình đường tròn
Môn thi: TOÁN I. PHẦN BẮT BUỘC DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. Cho hàm số y = (x – m)3 – 3x (1)
1. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
Câu II (2 điểm)
1. Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [2; 40] của phương trình sinx – cos2x = 0.
2. Giải hệ phương trình: x y x y 8
y x y 2
Câu III. Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
3
2 3
2 2
x 1 3x k 0
1 1
log x log x 1 1
2 3
Câu IV.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60o, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
Câu V. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
ab
bc
ca
a b cc c a a a b b b c c a a bb c
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu Via.
1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC biết A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5)
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1
x 1 t ( ) : y 1 t
z 2
,
2x 3 y 1 z
: 1 2 1
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa Δ1 và song song với Δ2.
b) Xác định điểm A trên Δ1 và điểm B trên Δ2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu VIIa. Tìm số phức z thõa mãn điều kiện z 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vib.
1. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường thẳng (D) qua A(–2; 0) và tạo với đường thẳng (d): x + 3y – 3 = 0 một góc 45o
2. Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 25 a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến b) Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P).
Câu VIIb. Tính tổng S 1.2.C 2252.3.C325 ... 24.25.C2525.
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 (1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình:
2 3
2
2
cos x cos x 1 cos 2x tan x
cos x
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
x y xy 1 4y y(x y) 2x 7y 2
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
e 3
2 2 1
log x
I dx
x 1 3ln x
.Câu IV. (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = a 3
2 và góc BAD
= 60o. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Câu V. (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
ab bc ca 2abc 7
27.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2. Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3).
Câu VIIa. (1 điểm)
Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 – 4z + 11 = 0. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
2
1 2
z z
(z z )
. B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng (d): x + 3y + 8 = 0, (d’) : 3x – 4y + 10 = 0 và điểm A(–2; 1).
Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (d), đi qua A và tiếp xúc với (d’).
2. Trong không gian Oxyz, Cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Câu VIIb. (1 điểm) Giải hệ phương trình:
2
1 x 2 y
2 log ( xy 2x y 2) log (x 2x 1) 6
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + mx – 2 (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Câu II. (2 điểm) 1. Giải phương trình:
2 2
tan x tan x 2 sin x
tan x 1 2 4
2. Giải hệ phương trình:
1 2
2
(1 4 ).5 1 3
3 1 1 2
x y x y x y
x y y y
x
Câu III. (1 điểm) Tính tích phân:
4
0
sin x dx 4
sin 2x 2(sin x cos x) 2
.Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK.
Câu V. (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực
4 2
x 2x 4 x 1 m II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm)
1. Cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y +1)² = 4 và điểm M(1; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C), biết (d) đi qua M.
2. Trong không gian Oxyz, cho M(1; 2; 3). Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình: 32x 1 22x 1 5.6x 0. B.Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1. Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của (P): y2 = 4x kẻ từ các điểm A(0; 1); B(2; –3) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :1 x 4 y 1 z 5
3 1 2
và 2
x 2 t d : y 3 3t
z t
a. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau, tính khoảng cách giữa d1 và d2.
b. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2. Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: log x7 log (23 x )
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x4 – (2m + 1)x2 + 2m.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2 cos x 1cos2
x 3
8 sin 2(x ) 3cos(x 21 ) 1sin x23 3 2 3
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
x xy y 3(x y) x xy y 7(x y)
Câu III (1 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = 0, x = 1,
x 2
y xe
x 1
. Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, góc BAD = 90o, cạnh SA = a 2 và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB, tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Câu V (1 điểm) Với mọi số thực x, y, z > 1 và thỏa điều kiện 1 1 1 2
x y z . Tìm GTLN của biểu thức A = (x – 1)(y – 1)(z – 1)
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC với A(–1; 1); B(–2; 0); C(2; 2). Viết phương trình đường thẳng cách đều các đỉnh của ΔABC.
2. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A(4; 0; 0), B(0; 0; 4) và mp (P): 2x – y + 2z – 4 = 0
a. Chứng minh rằng đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
b. Tìm điểm C trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.
Câu VIIa (1 điểm): Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n, trong đó n là số tự nhiên và thỏa mãn
4 5
log n 3 log n6 4. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho (H):
2 2
x y
4 5 1 và đường thẳng (d): x – y + m = 0. CMR (d) luôn cắt (H) tại hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (H).
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(–1; 3; 5), B(–4; 3; 2), C(0; 2; 1). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y 2x 1
x 1
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
2y x 1
2x y 2y x
.
2.Giải phương trình sau: 8 sin x
6 cos x6
3 3 sin 4x3 3 cos 2x 9sin 2x 11 . Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =2 1
x x 1
2
(x 1 1)e dx x
.Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC2 = AD2 = 2a2, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến (ACD) là a 3
3 . Biết thể của tứ diện ABCD bằng a3 15
27 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Câu V (1,0 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2 x
2y2
xy 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức4 4
x y P 2xy 1
.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm). Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B.
A.Theo chương trình Chuẩn Câu Via (2,0 điểm)
1. Trong mp Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 6y –15 = 0. Viết phương trình đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng (d): 4x – 3y + 2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6.
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1: x 2 y z 1
4 6 8
và d2:x 7 y 2 z
6 9 12
. Xét vị trí
tương đối của d1 và d2. Cho hai điểm A(1; –1; 2) và B(3; –4; –2), Tìm tọa độ điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VIIa (1,0 điểm) Giải phương trình trên tập hợp C: (z2 + i)(z2 – z ) = 0 B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vib (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):
2 2
x y
4 3 1 và đường thẳng Δ: 3x + 4y =12. Từ điểm M bất kì trên Δ kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
2. Trong không gian Oxyz, cho (d): x 3 y 2 z 1
2 1 1
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng (D) nằm trong (P), vuông góc (d) và khoảng cách từ giao điểm của (d) và (P) đến đường thẳng (D) là 42.
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x log y2 y log 3 log x2 2 x log 72 log x 2y log y
Môn thi: TOÁN (ĐỀ 113) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (1) m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2.
2. Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α sao cho cos 1
26 . Câu II.
1. Giải bất phương trình: log22 2x 4 5 4 x
.
2. Giải phương trình: 3 sin 2x 2cos x 1
2 cos 3x cos 2x 3cos x Câu III. Tính tích phân:
4
2 0
I x 1 dx
1 1 2x
.Câu IV. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn IA 2IH, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 60o. Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Câu V. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn x2 + y2 + z2 ≤ xyz. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 2x 2 y 2 z
x yz y zx z xy
.
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu Via.
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3; 0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x + y + 1 = 0, trung tuyến từ đỉnh C có phương trình 2x – y – 2 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(–1; 1; 0), B(0; 0; –2) và C(1; 1; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A và B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng 3.
Câu VIIa. Cho khai triển (1 2x) (x 10 2 x 1)2 a0a x a x1 2 2 ... a x14 14. Hãy tìm giá trị của a6. B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vib.
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; –1), B(2; 1), diện tích bằng 5,5 và trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0, đường thẳng d: x 2 y 1 z 1
1 1 3
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng d’ nằm trong (P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2.
3
Môn thi: TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x +1 có đồ thị (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2cos3x(2cos2x + 1) = 1
2. Giải phương trình: (3x 1) 2x2 1 5x2 3x 3
2
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3ln 2
3 x 2
0
I dx
( e 2)
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’
lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là a 3
4 .
Câu V (1 điểm) Cho x, y thoả mãn x2 – xy + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
4 4
2 2
x y 1
P x y 1
II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2 điểm)
1. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1; 0), B(0; 2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C.
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0); B(0; 2; 0); C(0; 0; –2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC).
Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình trên tập số phức: (z2z)(z 3)(z 2) 10 B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mp Oxy, cho điểm A(–1; 0), B(1; 2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d :1 x 4 y 1 z 5
3 1 2
và d :2 x 2 y 3 z
1 3 1
. Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2
Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: x(3log x2 2)9 log x2 2