CẤP SỐ NHÂN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Cấp số nhân). Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một sốqkhông đổi, nghĩa là

(un) là cấp số nhân ⇔n≥2, un =un−1·q.

Sốqđược gọi là công bội của cấp số nhân vàq = ^un+1

un , n≥1.

!

Khiq = 1thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Khiq =0thì cấp số nhân có dạngu1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .

Khiu₁ =₀thì với mọiq, cấp số nhân có dạng0, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .

Định lí 1 (Số hạng tổng quát của cấp số nhân). Nếu cấp số nhân(un) có số hạng đầuu1và công bộiqthì số hạng tổng quátun được xác định bởi công thức:un =u₁·q^nư1, n ≥_2.

!

Nếu(un)là cấp số nhân với các số hạng khác0thì

um =u_k·q^mưk, k <m, q^mưk = ^um uk

, k <m

Định lí 2 (Tính chất các số hạng của cấp số nhân). Trong cấp số nhân (un), bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u²_k = u_kư1·u_k+1,k ≥2.

!

^Nếua,b,clà ba số khác 0thì “a,b,ctheo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khib²= ac”.

!

^Nếu(un)là cấp số nhân thìu²_m =u_mưk·u_m+k,k <m.

Định lí 3 (Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân). Cho cấp số nhân(un)với công bộiq.

ĐặtSn =u1+u2+· · ·+un. Nếuq =_1thìSn =nu₁. Nếuq 6=1thìSn =u₁· ¹ưqⁿ

1ưq = ^u1ưun+1

1ưq .

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

1 Dãy số(un)vớiun = (ư3)²ⁿ⁺¹. ĐS:Là cấp số nhân cóu1 =ư27,q =9 2 Dãy số(un)vớiun =n·5^2nư1. ĐS:Không là cấp số nhân L Lời giải

1 Ta cóun 6=0và u_n+1

un

= (ư3)^2(n+1)+1

(ư3)²ⁿ⁺¹ =9,∀n∈ _N^∗.

Do đó(un)là cấp số nhân với số hạng đầuu1 =ư27, công bộiq=9.

2 Dãy số(un)cóu₁=5,u₂ =250,u₃ =9375vàu²₂ 6=u₁·u₃nên(un)không là cấp số nhân.

VÍ DỤ 2. Tìm các số dươngavàbsao choa,a+2b, 2a+btheo thứ tự lập thành cấp số cộng và(b+1)²,ab+5,(a+1)²theo thứ tự lập thành cấp số nhân. ĐS:a=3,b=1 L Lời giải

Ta cóa,a+2b, 2a+b theo thứ tự lập thành cấp số cộng⇔ a+2b = ^a+2a+b

2 ⇔ a = 3b (1).

Ta có(b+1)²,ab+5,(a+1)²theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇔ (ab+5)² = (b+1)²·

(a+1)² (2).

Từ(₁)_,(₂)suy ra

(3b²+₅)² = [(b+₁)(3b+₁)]² ⇔

"

3b²+₅=_3b²+_4b+₁

3b²+5=ư(3b²+4b+1) ⇔

"

b=1

6b²+4b+6=0.(Vô nghiệm) Vậyb =1,a =3thỏa mãn.

VÍ DỤ 3. Một cấp số nhân có tám số hạng, số hạng đầu là 4374, số hạng cuối là2. Tìm cấp

số nhân đó. ĐS:4374; 1458; 486; 162; 54; 18; 6; 2

L Lời giải

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầuu1, công bộiq. Ta có

®u₁ =4374 u₈ =₂ ⇔

®u1=4374 u1·q⁷ =2 ⇔







u1 =4374 q⁷ = ¹

2187

⇔







u1 =4374 q = ¹

3.

Cấp số nhân cần tìm là4374; 1458; 486; 162; 54; 18; 6; 2.

VÍ DỤ 4. Tìm số hạng đầuu₁và công bộiqcủa cấp số nhân(un)biết 1

®u₄ưu₂ =72

u₅ưu₃ =_144. ^ĐS:u1 =12,q =2

2

®u₁+u₂+u₃ =13

u₄+u₅+u₆ =351. ĐS:u₁ =_1,q =₃

L Lời giải

1 Ta có

®u4ư_u2 =₇₂ u5ưu3 =144 ⇔

®u4ư_u2 =₇₂

u4·qưu2·q=144 ⇔

®q=2

u₁·q³ưu₁·q =72

⇔





 q =2 u1 = ⁷²

q³ưq = ⁷²

6 =12 ⇔

®u1 =12 q =2.

2 Ta có

®u₁+u₂+u₃=13 u₄+u₅+u₆=₃₅₁ ⇔

®u1+u2+u3 =13

u1·q³+u2·q³+u3·q³ =351

⇔

®u₁+u2+u3=13

q³ =27 ⇔

®u1+_u2+_u3 =₁₃

q=3 ⇔







u₁ = ¹³

1+q+q² = ¹³ 13 =1 q =3.

VÍ DỤ 5. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng18, số hạng thứ hai bằng54và số hạng cuối bằng39366. ĐS:S =59040 L Lời giải

Giả sử cấp số nhân cónsố hạng, số hạng đầuu1, công bộiq.

Ta cóq = ^u2 u1

= ⁵⁴ 18 =3.

Ta cóun =39366⇔u₁·q^nư1 =39366 ⇔3^nư1 =2187=3⁷⇔n =8.

Tổng các số hạng làS8 =u1· ¹ư_q⁸

1ưq =18· ¹ư₃⁸

1ư3 =59040.

Chú ý: Có thể dùng công thức tính tổngS = ^uđưuc

1ưq +uc = ¹⁸ư39366

1ư3 +₃₉₃₆₆=59040.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tìm số hạng đầuu₁và công bộiqcủa cấp số nhân trong các trường hợp sau 1

®u₁+u₅=₅₁

u2+u6=102. ĐS:u1=3,q=2

2

®u1+u6=165

u3+u4=60. ĐS:q =2,u₁ =5hoặcq = ¹

2,u₁ =160

3

®u₁+u2+u3 =135

u₄+u₅+u₆ =40. ĐS:u₁= ¹²¹⁵

19 ,q = ² 3

4

®u₁+u₂+u₃ =₁₄

u1·u2·u3=64. ĐS:q =2,u1 =2hoặcq = ¹

2,u1=8

5

®u₁+u₃=3

u²₁+u²₃=5. ĐS:u1 =1,

"

q =√ 2 q =ư√

2 hoặcu1 =2,









q = √¹ 2 q =ư√¹

2 6

®u1+u2+u3 =7

u²₁+u²₂+u²₃ =21. ĐS:q =2,u₁ =1hoặcq = ¹

2,u₁=4 Lời giải.

1 Ta có

®u₁+u5 =51 u₂+u₆ =102 ⇔

®u₁+u5 =51

u₁·q+u₅·q=102 ⇔

®q=₂

u1+u1·q⁴ =51

⇔





 q =₂ u1 = ⁵¹

q⁴+1 = ⁵¹

17 =₃ ⇔

®u₁=₃ q =2.

2 Ta có

®u1+u6=165 u3+u₄=60 ⇔

®u₁+u₁·q⁵ =165 u₁·q²(1+q) =60

⇔









 u₁

1+q⁵

=165 q⁴ưq³+q²ưq+1

q² = ¹¹

4

⇔





 u₁

1+q⁵

=₁₆₅

4q⁴ư4q³ư7q²ư4q+4=0.

Xét phương trình4q⁴ư4q³ư7q²ư4q+4=0⇔4

q²+ ¹ q²

ư4

q+¹

q

ư7=0.

Đặtq+¹

q =t, với |t| ≥2, ta có4t²ư4tư15=0 ⇔





 t = ⁵

2 t =ư³

2.(loại) Ta cót = ⁵

2 ⇔q+¹ q = ⁵

2 ⇔2q²ư5q+2=0 ⇔



 q = ¹

2 q =2.

Vớiq =2thìu₁= ¹⁶⁵ q⁵+1 =5.

Vớiq = ¹

2 thìu₁ = ¹⁶⁵

q⁵+1 =160.

3 Ta có

®u1+u2+u3 =135 u₄+u5+u6 =40 ⇔

®u₁+u₂+u₃ =₁₃₅

u₁·q³+u₂·q³+u₃·q³=₄₀ ⇔







u1+u2+u3 =135 q³= ⁸

27

⇔







u1+_u2+_u3=₁₃₅ q= ²

3

⇔











u1 = ¹³⁵

1+q+q² = ¹²¹⁵ 19 q = ²

3. 4 Ta có

®u1+u2+u3 =14 u₁·u2·u3=64 ⇔

®u1+u2+u3 =14 u2·(u₁·u3) =64 ⇔

®u₁+u₂+u₃ =₁₄ u³₂ =64

⇔





 u2

q +u2+u2·q=14 u₂ =4

⇒ ¹

q +1+q = ⁷

2 ⇔_2q²ư_5q+2=0⇔



 q=2 q= ¹ 2. Vớiq =₂thìu₁=2.

Vớiq = ¹

2 thìu₁ =8.

5 Ta có

®u₁+u3 =3 u²₁+u²₃ =5 ⇔

®u3=3ưu₁

u²₁+ (3ưu₁)² =5 ⇔

®u3 =3ưu₁

2u²₁ư6u₁+4=0 ⇒

"

u₁=₁ u1=2.

Vớiu1=1thìq²+1=3, do đó

"

q =√ 2 q =ư√

2.

Vớiu₁=₂thìq²+₁= ³

2, do đó









q = √¹ 2 q =ư√¹

2. 6

®u₁+u2+u3 =7 u²₁+u²₂+u²₃ =21 ⇔

®u₁+u3 =7ưu2

(u₁+u3)²ư2u₁u3 =21ưu²₂. Suy ra(7ưu2)²ư2u²₂=21ưu²₂ ⇔u2 =2.

Khi đó

u1+u2+u3 =7⇔ ^u2

q +u2+u2·q=7⇔ ¹

q +1+q = ⁷

2 ⇔2q²ư5q+2=0⇔



 q =2 q = ¹ 2. Vớiq =2thìu₁=1.

Vớiq = ¹

2 thìu₁ =4.

BÀI 2. Tìma, bbiết rằng1, a, blà ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng và1, a², b²là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. ĐS: (1; 1);(ư1+√

2;ư3+2√

2);(ư1ư√

2;ư3ư2√ 2) Lời giải.

Do1,a,blà ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có phương trình 1+b =2a. (₁)

Do1,a²,b²là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân nên ta có phương trình b² =a⁴. (2)

Từ(1)⇒b =2aư1 (3). Thay vào(2), ta được a⁴ = (2aư1)²⇔

"

a²ư2a+1=0 a²+2aư1=0 ⇔

"

a=1

a=ư1±√ 2.

Thayavào(₃), ta có Vớia=1⇒b =1.

Vớia=ư1+√

2⇒b =ư3+2√ 2.

Vớia=ư₁ư√

2⇒b =ư₃ư₂√ 2.

Vậy các cặp số(a;b)thỏa mãn là(1; 1);(ư1+√

2;ư3+2√

2); (ư1ư√

2;ư3ư2√

2).

BÀI 3. Giữa các số160và5hãy chèn4số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm4số đó. ĐS:

(80; 40; 20; 10) Lời giải.

Theo bài ra, ta có cấp số nhân cóu1 = 160, u6 = 5. Do u6 = u1·q⁵ ⇒ q⁵ = ^u6 u₁ = ⁵

160 = ¹ 32 = 1

2 5

⇒q = ¹ 2.

Vậy4số cần tìm làu2 =u₁·q =80,u3 =u2·q =40,u₄ =u3·q =20,u5 =u₄·q =10.

BÀI 4. Cho 3 số dương có tổng là 65lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và19đơn vị ở số hạng thứ ba ta được1cấp số cộng. Tìm3số đó. ĐS:(_{5; 15; 45}) Lời giải.

Gọi ba số cần tìm là0<x <y<z. Theo bài ra ta có hệ phương trình







x+y+z =65 xz=y²

(xư1) + (zư19) = 2y

⇔







x+y+z =65 (1) xz=y² (2) x+zư20=2y. (3) Từ(1) ⇒x+z=65ưy, thay vào(3)được

65ưyư20=2y ⇔3y=45⇔y =15.

Từ(2)và(3)suy ra

®x+z =50

xz=225 ⇒x,zlà nghiệm của phương trìnht²ư50t+225 =0⇒ t =5, t=45.

Suy rax =5,z=45. Vậy3số cần tìm là(5; 15; 45).

BÀI 5. Tính tổng:

1 Sn =2+2²+2³+· · ·+2ⁿ. ĐS:Sn =2ⁿ⁺¹ư2 2 Sn =

2+¹

2 2

+

4+¹ 4

2

+· · ·+

2ⁿ+ ¹ 2ⁿ

2

. ĐS:Sn =2n+⁴

3(4ⁿư1) +⁴

nư1 3·4ⁿ Lời giải.

1 Tổng Sn = ₂+₂²+₂³+· · ·+₂ⁿ gồm n số hạng lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u₁ =2, công bộiq=2.

Do đóSn =u1· ¹ưqⁿ

1ưq =2·¹ư2ⁿ

1ư2 =2ⁿ⁺¹ư2.

2 Ta có

Sn =

2+¹ 2

2

+

4+¹ 4

2

+· · ·+

2ⁿ+ ¹ 2ⁿ

2

=

4+2+¹ 4

+

4²+2+ ¹ 4²

+· · ·+

4ⁿ+2+ ¹ 4ⁿ

= 2n+ (4+4²+· · ·+4ⁿ) + 1

4+ ¹

4² +· · ·+ ¹ 4ⁿ

= 2n+4· ¹ư₄ⁿ 1ư4 + ¹

4·

1ư ¹ 4ⁿ 1ư¹

4

= 2n+⁴

3(4ⁿư1) +⁴

n ư1 3·4ⁿ .

BÀI 6. Tìmmđể phương trìnhx³+ (₅ưm)x²+ (₆ư5m)xư6m=₀có ba nghiệm phân biệt lập

thành cấp số nhân. ĐS:m =±√

6,m=ư⁴

3, m=ư⁹ Lời giải. 2

Ta có

x³+ (5ưm)x²+ (6ư5m)xư6m=0⇔(xưm)(x²+5x+6) = 0⇔





 x=m x=ư2 x=ư3.

Để3nghiệm của phương trình lập thành cấp số nhân⇔







(ư2)·(ư3) =m² ư3m= (ư2)² ư2m= (ư3)²

⇔













m =±√ 6 m =ư⁴

3 m =ư⁹ 2.

BÀI 7. Đầu mùa thu hoạch xoài, một bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số xoài thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số còn lại và nửa quả,· Đến người thứ bảy bác cũng bán nửa số xoài còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Hỏi bác nông dân đã thu hoạch được bao nhiêu xoài ở đầu mùa? ĐS:

127quả Lời giải.

Gọixlà số xoài bác nông dân đã thu hoạch được, (điều kiện0<x ∈_Z).

Số xoài bán cho người thứ nhất là x 2 +¹

2 = ^x+1

2 ⇒số xoài còn lại làxư ^x+1

2 = ^xư1

2 =

xư(2¹ư1)

2 .

Số xoài bán cho người thứ hai là xư1 4 + ¹

2 = ^x+1

4 ⇒số xoài còn lại là xư1

2 ư^x+1

4 =

xư3

4 = ^xư(2²ư1) 2² .

Số xoài bán cho người thứ ba là xư₃ 8 +¹

2 = ^x+₁

8 ⇒số xoài còn lại là xư₃

4 ư ^x+₁

8 =

xư7

8 = ^xư(2³ư1) 2³ .

Số xoài bán cho người thứ tư là xư7 16 +¹

2 = ^x+1

16 ⇒ số xoài còn lại là xư7

8 ư ^x+1 16 = xư₁₅

16 = ^xư(₂⁴ư₁) 2⁴ .

Lập luận tương tự. Số xoài bán cho người thứ7là x+1

2⁷ . Số xoài còn lại là xư(2⁷ư1)

2⁷ =

xư127 2⁷ .

Sau khi bán cho người thứ7, bác nông dân không còn quả xoài nào nữa nên ta có x = 127 (quả).

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 8. Tìm số hạng đầuu1và công bộiqcủa cấp số nhân trong các trường hợp sau 1

®u3+u5=90

u₂ưu₆=240. ĐS:q = ¹

3,u₁=729hoặcq =ư3,u₁=1

2

®u₁ưu₃+u₅ =65

u₁+u₇=_325. ^ĐS:q =2,u1=5hoặcq =ư_2,u1=5 3

®u₂+u₄+u₆ =ư₄₂

u3+u5=20. ĐS:q =ư2,u1 =1hoặcq =ư¹

2,u1=64

4

®u₁+u₂+u₃+u₄ =15

u²₁+u²₂+u²₃+u²₄ =85. ĐS:q =2,u₁ =1hoặcq = ¹

2,u₁=8 Lời giải.

1 Ta có

®u3+u5 =90 u2ưu6 =240 ⇔

®u2·q+u2·q³ =90 u₂ưu₂·q⁴=240 ⇔







u2·q

1+q²

=90 u2·1ưq⁴

=240

⇔











u2 = ²⁴⁰ 1ưq⁴ 1ưq²

q = ²⁴⁰ 90 = ⁸

3

⇔







u₁ = ²⁴⁰ q(1ưq⁴) 3q²+8qư3=0

⇔



 q= ¹

3,u₁=729 q=ư3,u1 =1.

2 Ta có

®u1ưu3+u5 =65 u₁+u7=325 ⇔

®u₁ưu₁·q²+u₁·q⁴=65 u₁+u₁·q⁶ =325 ⇔





 u1

1ưq²+q⁴

=65 u₁

1+q⁶

=325

⇔







q²+₁=₅ u₁ = ³²⁵ 1+q⁶

⇔

®q² =4 u₁ =5 ⇔











®q =2 u₁=₅

®q =ư2 u1=5.

3 Ta có

®u₂+u₄+u₆ =ư42 u₃+u₅ =20 ⇔

®u2+u2·_q²+u2·_q⁴ =ư₄₂ u2·q+u2·q³=20 ⇔





 u₂

1+q²+q⁴

=ư42 u2

q+q³

=20.

Suy ra 1+q²+q⁴

q+q³ =ư²¹

10 ⇔_10q⁴+21q³+10q²+21q+10=0⇔₁₀

q²+ ¹ q²

+21

q+¹

q

+10=0.

Đặtq+¹

q =t, với |t| ≥2, ta có10t²+21tư10 =0 ⇔







t=ư⁵ 2 t= ²

5.(loại) Ta cót =ư⁵

2 ⇔q+¹

q =ư⁵

2 ⇔2q²+5q+2=0 ⇔





q =ư¹ 2 q =ư2.

Vớiq =ư2thìu2=ư2, do đóu1 =1.

Vớiq =ư¹

2 thìu2 =ư32, do đóu1=64.

4 Ta có

®u₁+u2+u3+u₄ =15 u²₁+u²₂+u²₃+u²₄ =85 ⇔

®u1+u1·q+u1·q²+u1·q³ =15 u²₁+u²₁·q²+u²₁·q⁴+u²₁·q⁶ =85

⇔





 u₁

1+q+q²+q³

=15 u²₁

1+q²+q⁴+q⁶

=85

⇔







u₁(1+q)1+q²

=15 u²₁

1+q² 1+q⁴

=85

⇒







u²₁(1+q)²1+q²2

=225 u²₁

1+q² 1+q⁴

=85

⇔











u²₁(₁+q)²₁+q²2

=₂₂₅ 1+q⁴

(₁+_q)²(1+_q²) = ⁸⁵

225 = ¹⁷ 45. Ta có

1+q⁴

(1+q)²(1+q²) = ¹⁷

45 ⇔ ₄₅+45q⁴=17+17q² 1+2q+q²

⇔ 45+45q⁴=17+34q+17q²+17q²+34q³+17q⁴

⇔ 28q⁴−34q³−34q²−34q+₂₈=₀

⇔ 28

q²+ ¹ q²

−34

q+¹ q

−34=0.

Đặtq+¹

q =t, với |t| ≥2, ta có28t²−34t−90 =0 ⇔





 t= ⁵

2 t=−⁹

7.(loại) Ta cót = ⁵

2 ⇔q+¹ q = ⁵

2 ⇒



 q = ¹

2 q =2.

Vớiq =₂thìu1= ¹⁵

(1+q) (1+q²) =1.

Vớiq = ¹

2 thìu₁ = ¹⁵

(1+q) (1+q²) =8.

BÀI 9. Cho ba số tạo thành một cấp số cộng có tổng21. Nếu thêm2,3,9lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm3số đó. ĐS: (3; 7; 11)và(18; 7;−4) Lời giải.

Gọi3số cần tìm là x,y, z. Theo bài ra ta có hệ phương trình







x+y+z=21 x+z =2y

(x+2)(z+9) = (y+3)²

⇔





 y =7

x+_z =₁₄ (₁) (x+2)(z+9) =100. (2) Từ(1) ⇒z=14−x (3). Thay vào(2)ta được phương trình

(x+2)(23−x) = 100⇔x²−21x+54=0⇔

"

x =₃ x =18.

Vớix =3⇒ z=11.

Vớix =18⇒ z=−4.

Trong tài liệu Các dạng toán và bài tập Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân (Trang 56-66)