Cắt hình trụ có chiều cao bằng 4 bởi mặt phẳng song song với trục và và cách trục một khoảng bằng 3, thiết diện thu được có diện tích bằng 32 . Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

Lời giải Chọn A

Xét tam giác ABC vuông tại ^A, ta có:

0 0

sin 30 ; cos 30 3

ACBC a AB BC a . Diện tích toàn phần hình nón là:

2 2 2

1 _{xq day} .2 3

S S S RlR a aa  a . Diện tích mặt cầu đường kính ^AB là:

 

²

2 2

2 3 3

S AB  a  a . Từ đó suy ra, tỉ số

1 2

S 1 S 

Câu 72. Cắt hình trụ có chiều cao bằng 4 bởi mặt phẳng song song với trục và và cách trục một khoảng

+Gọi mặt phẳng qua đỉnh là SAB. +Khoảng cách từ Ođến mặt



^SAB



_:

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của O lên AB_,

khi đó:



^SOH

 

^{ SAB}



_{, gọi}

_K

là hình chiếu vuông góc của O lên SH .

 

OK SAB

  ^d



^{;( )}



³

5 O SAB OK a

  

.

+ ^{2 2 2}

1 1 1

:

SOH OK OS OH

  

2 2 2

2

3 .

. 5 3

3 4 5 a a OK OS

OH a

OS OK a a

   

     .

2

2 2 2 3 5

4 4

SH  SO OH  a  a  a_.

+

2 2

2 2 5 3

: 2

4 4

a a

OAH AH OA OH     a AB a

            _.

Vậy,

1 . 1 5. .2 5 2

2 2 4 4

SSAB  SH AB a a a .

Câu 74. Tính thể tích của hình nón có góc ở đỉnh bằng ^60o và diện tích xung quanh bằng ^6a2. A.

3 3 2 4 V  a

B. ^{V 3a3} C.

3 3 2 4 V  a

D. ^{V a3} Lời giải

Chọn B

Khối nón có góc ở đỉnh bằng ^60o nên góc tạo bởi đường sinh và đáy bằng ^{60 .o} Vậy ²

R l

; lại có

.2 6 2

Sxq RlR R a _nên

R a  3

_{; vậy} h l²R² R 3 3 a Vậy

2 3

1 3 .

V 3R h a

Câu 75. Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay

 

^H , một mặt phẳng chứa trục của

 

^H _cắt

 

^H

theo một thiết diện như trong hình vẽ bên dưới. Tính thể tích V _của

 

^H _.

A. V 23(cm³)_.B. V 13(cm³)_.C. V 17(cm³)_.D. ^{V 41}₃^(cm3)

 .

Lời giải :

Gọi V¹ là thể tích hình nón cụt có chiều cao 2cm, đáy lớn có bán kính R¹ 2cm, đáy nhỏ có bán kính

1 1

r  cm. Khi đó:



^{2 2}

 

^{2 2}

  

³

1 1 1 1 1

2 14

2 1 2.1

3 3 3

V h R r R r   cm

      

.

Gọi V² là thể tích hình trụ có chiều cao 4cm, đáy có bán kính ² 3 R  2cm

. Khi đó:

 

2 3

2 2 9

V R h  cm .

Ta thấy, ^{V V V 1 2 14}₃^{ 9 41}₃^

 

^cm3

. Chọn D

Câu 76. Cho hình trụ có chiều cao bằng 12a. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 4a, ta được thiết diện có chu vi bằng 36a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A. ⁶²⁴^a3. B. ¹²⁴⁸^a3. C. ³⁰⁰^a3. D. ¹²⁰⁰^a3. Lời giải

Chọn C.

O

A

B

C

D

O' H

Gọi O và 'O là tâm hai đáy của hình trụ, có OO' 12 a, thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi ^H là trung điểm cạnh ^AB ta có 'O H AB và 'O H 4a.

Chu vi hình chữ nhật ABCD là ²



^{AB BC}



^{36aAB6a}_.

Trong tam giác vuông 'O BH có ^{O B'  HB2O H' 2  9a216a2 5a}. Vậy hình trụ có bán kính

' 5

r O B  a. Thể tích khối trụ là ^{V r h2 . 5}

 

^{a 2.12a300a3}_.

Câu 77. Cho hình nón bán kính ^r12 nội tiếp trong hình cầu có bán kính R13 như hình vẽ:

H A

S

O

B

Tính diện tích xung quanh S^xq

của hình nón.

A. ^Sxq ^{72 5}

. B. ^Sxq ^{36 5}

. C. ^Sxq ^{72 13}

. D. S_xq 36 13 . Lời giải

Chọn C

H A

S

O

B

Ta có: OH  OA²AH² 5 Suy ra SH SO OH 12 5 18 

Ta có đường sinh của hình nón l SA  SH²AH² 6 13

Vậy diện tích xung quanh hình nón S_xq .R l. .12.6 13 7 1 2 3.

Câu 78. Cho hình nón đỉnh^S, đáy là đường tròn



^O;5



.Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm ^A và ^B sao cho ^{SA AB8}. Tính khoảng cách từ ^O đến



^SAB



_.

A. ^{2 2}. B.

3 3

4 . C.

3 2

7 . D.

13 2 . Lời giải

Chọn B

Gọi ^I là trung điểm ^AB.

Ta có ^{AB SO AB}



^SOI

 

^SAB

 

^SOI



AB OI

 

   

 

 .

Trong



^SOI



_{, kẻ OH SI thì} ^{OH }



^SAB



_.

 



^;



d O SAB OH

 

.

Ta có:

2

2 2 8.5 2

5 39

SO SA OA   5   

  .

Ta có:

2

2 2 2 4.5

5 3

OI OA AI   5   .

Tam giác vuông ^SOI có: ^{2 2 2}

1 1 1 3 13

OH 4 OH OI SO  

. Vậy ^{d O SAB}



^;

  

^{OH 3 13}₄

.

Câu 79. Cho một khối cầu

 

^S có bán kính là ^R. Một khối trụ nội tiếp khối cầu

 

^S có chiều cao bằng bán kính của khối cầu

 

^S và bán kính đường tròn đáy của khối trụ bằng một nửa bán kính của khối cầu

 

^S _{. Gọi} V V1, 2 lần lượt là thể tích của khối cầu và khối trụ đã cho. Tỉ số

1 2

V V là

A. 4. B.

16

3 . C. 3. D.

3 16. Lời giải

Chọn B

Thể tích của khối cầu

 

^S _: ^{V1 4}₃^R3

Thể tích của khối trụ:

2 3

2

2 2 4

R R

V r h     R .

3 1

3 2

4 3 16

3 4

V R

R V





 

 

 

  

.

Câu 80. Cho khối trụ

 

^T có đường cao ^h, bán kính đáy ^R và ^h2R. Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng ^16a2. Thể tích khối trụ đã cho bằng

A. ^V ²⁷^a3 B. ^V ¹⁶^a3 C. ^V ⁴^a3 D.

16 3

V  3 a Lời giải

Chọn B

Vì thiết diện là hình chữ nhật đi qua trục và có diện tích bằng ^16a2 nên ^{2 .R h16a2}

 

^{2R 2 16a2 R 2a}

   

Thể tích khối trụ là: ^{V . 2}

 

^{a 2.4a16a3}

Câu 81. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCDcó cạnh đáy bằng#a. Tam giác SAB có diện tích bằng ^2a2. Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD bằng:

A.

3 7

8

a

. B.

3 7

7

a

. C.

3 7

4

a

. D.

3 15 24

a

. Lời giải

Chọn#A.

H O

B C

A D

S

Gọi O AC BD và ^H là trung điểm ^AB.

Khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD có bán kính đáy là: ² R OH a

và có chiều cao h SO .

Ta có:

2 1 2

2 . 2 4

SAB 2

S_  a  SH AB a SH  a

SOM vuông tại O:

2 2 2 2 3 7

16 4 2

a a

SO SH OH  a  

hay

3 7

2 h a

Ta có diện tích đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD:

2 2

4 BR a

Vậy thể tích khối nón:

3

8 1

3 . 7 V  B ha

.

Câu 82. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCDcó cạnh đáy bằng#a. Tam giác SAB có diện tích bằng ^2a2. Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD bằng:

A.

3 7

8

a

. B.

3 7

7

a

. C.

3 7

4

a

. D.

3 15 24

a

. Lời giải

Chọn#A.

H O

B C

A D

S

Gọi O AC BD và ^H là trung điểm ^AB.

Khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD có bán kính đáy là: ² R OH a

và có chiều cao h SO .

Ta có:

2 1 2

2 . 2 4

SAB 2

S_  a  SH AB a SH  a

SOM vuông tại O:

2

2 2 2 3 7

16 4 2

a a

SO SH OH  a  

hay

3 7

2 h a

Ta có diện tích đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD:

2 2

4 BR a

Vậy thể tích khối nón:

3

8 1

3 . 7 V  B ha

.

Câu 83. Cho hình nón có chiều cao bằng 6 . Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng ^{10 2}. Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A.

32 5 3



. B. 32_{. C.}

32 3 

_{. D. 128 .}

Lời giải Chọn D

O B S

A M

Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân SAB có cạnh bằng l như hình vẽ ^{l 2 10 2  l 10}. Ta có: r OB  SB²SO²  l²h² 8_.



Thể tích khối nón:

2 2

1 1

.8 .6 128

3 3

V  r h    

Chọn D.

Câu 84. Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, ^A và ^B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến



^SAB



_bằng ^a₃³ _và SAO^ 30 ,^{0 }SAB60⁰. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

A. a 2 B. ^{a 3} C. ^{2a 3} D. ^{a 5}

Lời giải Chọn A

K H B

A O

S

Gọi ^K là trung điểm của ^AB ta có OK AB vì tam giác OAB cân tại O

Mà SO AB nên ^AB



^SOK



^



^SOK

 

^{ SAB}



_mà ^



^SOK

 

^{ SAB}



^SK _{nên từ O dựng}

OH SK thì ^{OH }



^SAB



^{OH d O SAB}



^,

  

Xét tam giác SAO ta có:

sin

2

SO SA

SAO SO

 SA  

Xét tam giác SAB ta có:  3

sin 2

SK SA

SAB SK

 SA  

Xét tam giác SOK ta có: ^{2 2 2 2 2 2}

1 1 1 1 1

OH OK OS  SK SO SO



2 2 2

2 2 2

1 1 1 4 2

3

4 4 4

SA SA SA

OH SA SA

    

 ⁶₂ ³₂ SA 2a² SA a 2

SA a

     

Câu 85. Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm I của đáy và đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?

A. ² h

. B. ³

h

. C.

2 3

h

. D.

3 3 h

. Lời giải

Chọn B

Gọi x là chiều cao cần tìm. ^{R r,} lần lượt là chiều cao của khối nón lớn và bé. Khi đó

 

R h x r h x

R h r h

 

  

. Thể tích khối nón đỉnh I là

 

^{2 2}

 

2 ²

 

^{3 2}

2 2

1 2

2 6 7

4

3 6 2 81

Cauchy

R h x h x h x x h

V x h x x

h h h

R R R

  

       

     

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi ^{2 3}

h x  x x h .

Câu 86. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCDcó cạnh đáy bằng#a. Tam giác SAB có diện tích bằng ^2a2. Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD bằng:

A.

3 7

8

a

. B.

3 7

7

a

. C.

3 7

4

a

. D.

3 15 24

a

. Lời giải

Chọn A

H O

B C

A D

S

Gọi O AC BD và ^H là trung điểm ^AB.

Khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD có bán kính đáy là:

2 R OH a

và có chiều cao h SO . Ta có:

2 1 2

2 . 2 4

SAB 2

S_  a  SH AB a SH  a

SOM vuông tại O:

2

2 2 2 3 7

16 4 2

a a

SO SH OH  a  

hay

3 7

2 h a

Ta có diện tích đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD:

2 2

4 BR a

Vậy thể tích khối nón:

3

8 1

3 . 7 V  B ha

.

Câu 87. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi ^V1, ^V2 lần lượt là thể tích của khối cầu

nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính

1 2

V V .

A. 4. B. 2. C. ⁸. D. ¹⁶.

Lời giải Chọn C

M I

O B

A

S

Giả sử cạnh của tam giác đều ^SAB bằng 1.

Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều ^SAB.

Gọi I là trọng tâm tam giác đều ^SAB, khi đó I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là

2 2 3 3

3 3 2. 3

R SI  SO  . Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là

1 1 3 3

3 3 2. 6

r IO  SO  .

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là

1 4 3 4 3

3 27

V  R   .

Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là

2 4 3 3

3 54

V  r   .

Vậy

1 2

V 8 V 

.

Câu 88. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh

Trong tài liệu Dạng toán hình tròn xoay VDC - file word (Trang 41-50)