• Công thức 2.
VABCD.MNPQ VABCD.A0B0C0D0
= 1 2
ÅAM AA0+CP
CC0 ã
= 1 2
ÅBN
BB0+ DQ DD0
ã .
A B
C
D0 C0
A0
D M
Q P B0
N
B – MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
| Dạng 1. Tỉ số thể tích trong khối chóp
c Ví dụ 1. Cho khối chópSABCcó thể tíchV, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng độ dài mỗi cạnh đáy lên3lần thì thể tích khối chóp thu được bằng bao nhiêu?
Đáp số:9V
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 2.
Cho hình chópS.ABC, Glà trọng tâm tam giácABC. A0,B0,C0lần lượt là ảnh củaA,B,Cqua phép vị tự tâmGtỉ sốk=−1
2·. TínhVS.A0B0C0 VS.ABC . Đáp số: 1
. . . 4
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
A B0
C
B
C0 G A0 S
c Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I,J,K,H lần lượt là trung điểm các cạnh SA,SB,SC,SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.IJKHlà1.
Đáp số:8 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
A I J
B C
D K H S
c Ví dụ 4.
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông tâmO. GọiH và Klần lượt là trung điểmSBvàSD. Tính tỉ số thể tíchk= VOAHK
VS.ABCD. Đáp số:k= 1
8. . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
H K
O A
B C
D S
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 5.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
Cho hình chópS.ABC, gọiM,Nlần lượt là trung điểm của cạnhSA,SB. Tính tỉ số VS.ABC
VS.MNC.
Đáp số:4.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
S
B A
M
N C
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 6.
Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành và có thể tích bằng1.
Trên cạnhSC lấy điểmE sao choSE =2EC. Tính thể tíchV của khối tứ diệnSEBD.
Đáp số:V =1 3. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S
A
B
D
C E
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 7.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB= a, SA=2avà SA⊥(ABC). GọiH, K lần lượt là hình chiếu vuông góc củaA lênSB,SC. Tính thể tích hình chópS.AHK.
Đáp số: 8a3 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
H
C S
K
B
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 8.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằnga. Góc giữa cạnh bên với đáy bằng60◦. Gọi Mlà trung điểm củaSC. Mặt phẳng quaAMđồng thời song song với BD, cắt SB, SD lần lượt tại E vàF. Tính thể tích khối chópS.AEMF theoa.
Đáp số: a3√ 6 18 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A B
O S
M
E C
G D
F
| Dạng 2. Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ Nếu khối chóp và khối lăng trụ có cùng mặt đáy và chiều cao thìVchóp= 1
3Vtrụ. c Ví dụ 9.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
Cho hình lăng trụ tam giácABC.A0B0C0 có thể tíchV cạnh bên bằng2a.
GọiM,N,Plần lượt là các điểm trên cạnhAA0,BB0,CC0thỏa mãnMA= 1
2AA0,NB= 1
3BB0,PC = 1
3CC0.V1 là thể tích khối đa diện ABC.MNP.
Tính tỉ sốk=V1 V .
Đáp số:k= 7 18. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . B0
C0 B
C
A0 A
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
c Ví dụ 10.
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có thể tíchV. Gọi M,N,P,Qlần lượt là các điểm trên cạnh AA0,BB0,CC0,DD0 thỏa mãn: M là trung điểm AA0, NB= 1
2NB0, P là trung điểm CC0, QD= 2
3DD0.V1 là thể tích khối đa diệnABCD.MNPQ. Tính tỉ sốk=V1
V . Đáp số:k=1
2. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
A B
C
D0 C0
A0 D
B0
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 11.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có thể tích làV. Tính thể tích khối chópA.BCC0B0theoV.
Đáp số: 2 3V. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . B0
C0 B
C
A0 A
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 12.
Cho khối lăng trụABC.A0B0C0có thể tích làV. GọiMlà điểm tuỳ ý trên cạnhAA0. Tính thể tích của khối đa diệnM.BCC0B0theoV.
Đáp số: 2V 3 . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
C0
C B0
A B A0 M
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 13.
Cho khối lăng trụABC.A0B0C0 có thể tích bằnga3. GọiM, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bênBB0,CC0. Tính thể tíchV của khối chóp A0.B0C0NM.
Đáp số:V = a3 3 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B A
M
C B0
A0 C0
N
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 14.
Cho hình lập phương OBCD.O1B1C1D1 có cạnh bằnga, M là điểm bất kỳ thuộc đoạn OO1. Tính tỉ số thể tích hình chópMBCC1B1 và
hình lăng trụOBCO1B1C1. Đáp số: 2
3. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O1 B1
B
D1
D O
C C1 M
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 15.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=4, BC=6; chiều cao của lăng trụ bằng 10.
GọiK,M,Nlần lượt là trung điểm của các cạnhBB1,A1B1,BC.
Tính thể tích khối tứ diệnC1KMN.
Đáp số:15.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
B
C A1
B1
C1 M
N K
4 3
3 5
5 10
2 6
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
cCâu 1. Cho một khối chóp có thể tích bằngV. Khi giảm diện tích đa giác đáy xuống 3 lần thì thể tích khối chóp lúc đó bằng
A V
9. B V
6. C V
3. D V
27. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
cCâu 2. Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên4lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?
A 64lần. B 16lần. C 192lần. D 4lần.
ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . cCâu 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha, cạnh bênSAvuông góc với đáyABCD, mặt bên(SCD)hợp với đáy một góc60◦,Mlà trung điểmBC. Tính thể tích hình chópS.ABMD.
A V =a3√ 3
4 . B V = a3√ 3
6 . C V =a3√ 3
3 . D V =a3√ 3.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 4. Cho hình chópS.ABC.GọiA0,B0 lần lượt là trung điểm của các cạnhSA,SB. Tính tỉ số thể tích VS.ABC
VS.A0B0C
. A 1
2. B 2. C 1
4. D 4.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 5. Cho hình chópS.ABCcó thể tíchV. ĐiểmMlà trung điểm đoạn thẳngAB,Nnằm giữa đoạn AC sao choAN=2NC. GọiV1là thể tích khối chópS.AMN. Tính tỷ số V1
V .
A V1 V = 1
3. B V1
V = 2
3. C V1
V =1
2. D V1
V = 1 6. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 6. Cho khối chópS.ABC, gọiGlà trọng tâm tam giácABC. Tỉ số thể tíchVS.ABC VS.AGC bằng:
A 3. B 1
3. C 2
3. D 3
2. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cCâu 7. Cho tứ diệnS.ABCcó thể tíchV. Gọi M,N vàPlần lượt là trung điểm củaSA,SB,SC. Thể tích khối tứ diện có đáy là tam giácMNPvà đỉnh là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng(ABC)bằng
A V
2. B V
3. C V
4. D V
8. ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 8. Cho khối chóp tam giácS.ABCcó thể tíchV. GọiI là trung điểm của cạnh đáyBC. Tính thể tích của khối chópS.ABI theoV.
A V. B V
2. C V
3. D V
4. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. GọiM,N,P,Q lần lượt là trung điểm củaSA,SB,SC,SD. Tính tỉ số thể tích của khối chópS.MNPQvà khối chópS.ABCD.
A 1
4. B 1
36. C 1
8. D 1
2. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 10. Cho hình chópS.ABC có đáy là4ABCvuông cân ở B, AC=a√
2, SA⊥(ABC), SA=a.
GọiGlà trọng tâm của4SBC, mặt phẳng(α)đi quaAGvà song song vớiBCchia khối chóp thành hai phần. GọiV là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnhS. TínhV.
A 5a3
54 . B 4a3
9 . C 2a3
9 . D 4a3
27. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cCâu 11. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông cân ởB, AC=a√
2,SA⊥(ABC),SA=a.
GọiGlà trọng tâm tam giácSBC, mặt phẳng(α)đi qua AGvà song song vớiBCcắtSB, SClần lượt tại MvàN. Tính thể tíchV của khối chópS.AMN.
A V = a3
9 . B V = a3
6. C V = 2a3
27 . D V = 2a3 9 . ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 12. GọiV là thể tích của khối hộpABCD.A0B0C0D0vàV0là thể tích của khối đa diệnA0ABC0D0. Tính tỉ số V0
V . A V0
V = 2
5. B V0
V = 2
7. C V0
V = 1
3. D V0
V = 1 4. ÊLời giải.
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 13. Cho hình lăng trụABC.A0B0C0 có thể tích làV. ĐiểmM nằm trên cạnhAA0sao choAM= 2MA0. GọiV0là thể tích của khối chópM.BCC0B0. Tính tỉ số V0
V . A V0
V =1
3. B V0
V = 1
2. C V0
V =3
4. D V0
V = 2 3. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 14. Cho khối lăng trụ đứngABCD.A0B0C0D0có đáyABCDlà hình bình hành và có thể tích bằng 36. Các điểmM, N,Plần lượt thuộc các cạnhAA0,BB0,CC0sao cho AM
AA0 = 1 2, BN
BB0 = 2 3; CP
CC0 = 1 3. Mặt phẳng(MNP)chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện(H1)và (H2)(trong đó(H1)là đa diện có chứa đỉnhA). Tính thể tích của khối đa diện(H1).
A 15. B 18. C 24. D 16.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 15. Cho khối chópS.ABCvới tam giácABCvuông cân tại B,AC=2a,SAvuông góc với mặt phẳng(ABC) và SA=a. Giả sử I là điểm thuộc cạnhSBsao cho SI= 1
3SB. Tính thể tích khối tứ diện SAIC.
A a3
6 . B 2a3
3 . C a3
9 . D a3
3. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhậtABCDvớiBC=2AB,SA⊥(ABCD)vàM là điểm trên cạnhADsao choAM=AB. GọiV1,V2lần lượt là thể tích của hai khối chópS.ABMvàS.ABC thìV1
V2 bằng A 1
8. B 1
2. C 1
4. D 1
6. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
cCâu 17. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành.Mlà trung điểmSBvàGlà trọng tâm của tam giácSBC. GọiV,V0lần lượt là thể tích của các khối chópM.ABCvàG.ABD, tính tỉ số V
V0 A V
V0 =3
2. B V
V0 = 4
3. C V
V0 =5
3. D V
V0 = 2 3. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cCâu 18. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0có thể tích bằngV. GọiM,N,Plần lượt là trung điểm của các cạnhAB,A0C0,BB0. Thể tích của khối tứ diệnCMNPbằng
A 5
24V. B 1
4V. C 7
24V. D 1
3V. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 19. Cho lăng trụABC.A0B0C0có chiều cao bằng8và đáy là tam giác đều cạnh bằng4. GọiM, N và P lần lượt là tâm các mặt bênABB0A0, ACC0A0 và BCC0B0. Thể tíchV của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểmA,B,C,M,N,Pbằng
A V =12√
3. B V =16√
3. C V = 28√
3
3 . D V = 40√
3 3 . ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cCâu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)vàSA=a. ĐiểmMthuộc cạnhSAsao choSM
SA =k,0<k<1. Khi đó giá trị củakđể mặt phẳng (BMC)chia khối chópS.ABCDthành hai phần có thể tích bằng nhau là
p Th.S Nguyễn Hoàng Việt – Ô0905.193.688
A k= −1+√ 5
2 . B k= 1+√ 5
4 . C k= −1+√ 5
4 . D k= −1+√ 2 2 . ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—–HẾT—–
C. C C. A C. A C. D C. A C. A C. D C. B C. C C. A
C. C C. C C. D C. A C. C C. B C. A C. A C. A C. A