+ Vị trí của vật lúc này là: x = 2t2 + 10t + 100 = 2.52 + 10.5 + 100 = 200m d) Quãng đường đi được của vật: s v t0 1at2 10.5 4.5 100m2
2 2
= + = + =
Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình: x 10 20t 2t= + − 2(với x đo bằng m, t đo bằng s). Hãy xác định :
a) Gia tốc, toạ độ x0 và vận tốc ban đầu v0. b) Vận tốc ở thời điểm t = 3s.
c) Vận tốc lúc vật có toạ độ x = 60 m.
d) Toạ độ lúc vận tốc là v = 4 (m/s).
e) Quãng đường đi từ t1 = 2s đến t2 = 5s.
f) Quãng đường đi được khi vận tốc thay đổi từ v1 = 8 (m/s) đến v2 = 4 (m/s).
Hướng dẫn
a) So sánh phương trình x 10 20t 2t= + − 2 với phương trình tổng quát
0 0 1 2
x x v t at
= + +2 ta có: x0 10m; v0 20m / s2 1a 2 a 4m / s 2
= =
= − ⇒ = −
b) Phương trình vận tốc của chất điểm: v = v0 + at = 20 – 4t + Vận tốc ở thời điểm t = 3s là: v(t = 3) = 20 – 4.3 = 8 m/s c) Khi x = 60 ⇒ 60 10 20t 2t= + − 2⇒ =t 5 s
( )
+ Thay t = 5s vào phương trình vận tốc ta có: v = 20 – 4.5 = 0 d) Khi v = 4 m/s ⇒ 4 = 20 – 4t ⇒ t = 4s
+ Thay t = 4s vào phương trình chuyển động ta có:
( )
2 2
x 10 20t 2t= + − =10 20.4 2.4+ − =58 m
e) Phương trình quãng đường của chất điểm: s v t0 1at2 20t 2t2
= +2 = − + Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t1 = 2s là:
( )
2 2
s 20t 2t1= − =20.2 2.2− =32 m
+ Quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t2 = 5s là:
( )
2 2
s2 =20t 2t− =20.5 2.5− =50 m
+ Vậy quãng đường chất điểm đi được trong thời gian t1 đến t2 là:
2 1
( )
s s s 50 32 18 m
∆ = − = − = f) Ta có: v2−v20=2as
+ Quãng đường chất điểm đi được từ v0 = 10 m/s đến v1 = 8m/s là:
( ) ( )
2 2
2 2
1 0 1 1 8 10
v v 2as s 4,5 m
2. 4
− = ⇒ = − =
−
+ Quãng đường chất điểm đi được từ v0 = 10 m/s đến v2 = 4m/s là:
( ) ( )
2 2
2 2
2 0 2 2 4 10
v v 2as s 10,5 m
2. 4
− = ⇒ = − =
−
+ Vậy quãng đường chất điểm đi được từ v1 = 8 m/s đến v2 = 4m/s là:
2 1
( )
s s s 10,5 4,5 6 m
∆ = − = − =
Ví dụ 3: Một vật chuyển động biến đổi đều có phương trình vận tốc theo thời gian t là: v = 20 + 8t (trong đó x đo bằng cm, t đo bằng s).
a) Xác định vận tốc đầu và gia tốc của vật. Từ đó cho biết tính chất của chuyển động (chuyện động nhanh dần đều hay chậm dần đều).
b) Xác định vận tốc và vị trí của vật tại thời điểm t = 2 s. Biết tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí x0 = 0.
c) Xác định quãng đường đi được trong khoảng thời gian t = 5 s kể từ khi bắt đầu chuyển động.
d) Tính quãng đường vật đi được từ t1 = 2s đến t2 = 5s. Tính vtb trong khoảng thời gian này.
Hướng dẫn
a) So sánh với phương trình vận tốc tổng quát v = v0 + at ⇒
( )
( )
0
2
v 20 cm / s a 8 cm / s
=
=
+ Vì vận tốc v0 và gia tốc a cùng dấu nên chuyển động của vật thuộc loại chuyển động nhanh dần đều.
b) Thay t = 2 s vào phương trình vận tốc ta có: v = 20 + 8.2 = 36 cm/s + Phương trình tọa độ (phương trình chuyển động) của chất điểm là:
2 2
0 0 1
x x v t at 20t 4t
= + +2 = + (x đo bằng cm, t đo bằng s)
+ Thay t = 2s vào phương trình tọa độ ta có: x = 20.2 + 4.22 = 56 cm c) Vận tốc của vật khi t = 5s là: v = 20 + 8.5 = 60 cm/s
+ Quãng đường đi được của vật khi t = 5s: s v2 v20 602 202 200 cm
( )
2a 2.8
− −
= = =
d) Vận tốc của vật khi t1 = 2s: v1 = 20 + 8.2 = 36 cm/s + Quãng đường vật đi được trong thời gian t1 = 2s:
2 2 2 2
( )
1 0
1 v v 36 20
s 56 cm
2a 2.8
− −
= = =
+ Vận tốc của vật khi t2 = 5s: v2 = 20 + 8.5 = 60 cm/s
+ Quãng đường vật đi được trong thời gian t2 = 5s:
2 2 2 2
( )
2 0
2 v v 60 20
s 200 cm
2a 2.8
− −
= = =
+ Vậy quãng đường chất điểm đi được trong thời gian từ t1 = 2s đến t2 = 5s
2 1
( )
s s s 200 56 144 cm
∆ = − = − =
+ Vận tốc trung bình trong thời gian này là: vtb v v1 2 36 60 48 cm / s
( )
2 2
+ +
= = =
Vấn đề 2. Cho các mối liên hệ về vận tốc, thời gian, quãng đường, vị trí + Vị trí ở thời điểm t: x x0 v t0 1at2
= + +2
+ Quãng đường đi được sau thời gian t: s v t0 1at2
= +2 + Vận tốc vào thời điểm t: v v= 0+at
+ Mối liên hệ v0, v, a và s: v2−v02=2as (s là quãng đường đi từ v0→v) Chú ý:
Khi chọn chiều dương là chiều chuyển động thì v2−v20=2as, khi chọn chiều dương ngược chiều chuyển động thì v20−v2 =2a.s (*)
Trong chuyển động thẳng biến đổi đều, vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 được tính bằng công thức: vtb v v1 2
2
= + (**)
(Với v1 là vận tốc lúc t1 và v2 là vận tốc lúc v2)
Chứng minh biểu thức (*):
+ Khi chọn chiều dương ngược chiều chuyển động thì:
0 0 2
s x x v t 1at
2
= − = − + + Lại có:
2
0 0 0
0 0
v v v v 1 v v
v v at t s v a
a a 2 a
− − −
= + ⇒ = ⇒ = − +
2 2
2 2
0 0
v v
s v v 2a.s
2a
−
⇒ = − ⇒ − =
+ Chú ý v, v0 và a có giá trị đại số, còn s luôn dương
Chứng minh biểu thức (**):
+ Ta có: 2 1
(
0 2 22) (
0 1 12)
tb
v t 0,5at v t 0,5at
x x
v t t t t
+ − +
= − =
− −
( ) (
2 2)
0 2 1 2 1
tb
2 1
v t t 0,5a t t
v t t
− + −
⇔ =
−
( )
0 1 0 2 1 2tb 0 1 2 1 v at v at v v
v v a t t
2 2 2 2
+ + +
⇒ = + + = + =
Ví dụ 4: Tính gia tốc của chuyển động trong các trường hợp sau:
a) Xe rời bến, chuyển động thẳng nhanh dần đều. Sau 1 phút vận tốc đạt 54km/h.
b) Xe đang chạy với vận tốc 36 km/h thì hãm phanh và dừng lại sau 10 s.
c) Xe chuyển động thẳng nhanh dần đều. Sau 1 phút, vận tốc tăng từ 18km/h lên 72 km/h.
Hướng dẫn a) Vận tốc vào thời điểm t: v v= 0+at
Sau thời gian t = 1 min = 60 s thì vận tốc v = 54km/h = 15m/s, và lúc đầu xe bắt đầu dời bến nên v0 = 0. Do đó: 15 0 60a= + ⇒ =a 0,25m / s2
b) Ta có: v0 = 36km/h = 10 m/s, t = 10s, v = 0 nên: 0 10 10a= + ⇒ = −a 1m / s2 c) Ta có: v0 = 18km/h = 5m/s, v = 72 km/h = 20m/s, t = 1 min = 60 s
Do đó: 20 5 60a= + ⇒ =a 0,25m / s2
Ví dụ 5: Vận tốc của một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox cho bởi hệ thức: v 10 2t= − (m/s).
a) Tính vận tốc tại thời điểm ban đầu t = 0 và gia tốc của chuyển động.
b) Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t1 = 2s đến t2 = 4s là bao nhiêu.
Hướng dẫn
a) Từ phương trình v 10 2t= − (m/s) ta có: v 10m / s; a0= = −2m / s2 b) Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t1 đến t2:
+ Ta có: 2 1
(
0 2 22) (
0 1 12)
tb
2 1 2 1
v t 0,5at v t 0,5at
x x
v t t t t
+ − +
= − =
− −
( ) (
2 2)
0 2 1 2 1
tb 2 1
v t t 0,5a t t
v t t
− + −
⇔ =
−
( )
0 1 0 2 1 2tb 0 2 1
v at v at v v
v v 1a t t
2 2 2 2
+ + +
⇒ = + + = + =
+ Mà: v 10 2t 10 2.2 6m / s1 1 v 10 2t 10 2.4 2m / s
= − = − =
= − = − =
⇒vtb =4m / s
+ Vì v1 và v2 cùng dấu nên trong khoảng thời gian này vật chưa đổi chiều chuyển động nên vận tốc trung bình và tốc độ trung bình bằng nhau nên v v= tb =4m / s Ví dụ 6: Một ôtô đang chuyển động thẳng đều với vận tốc 72 km/h thì giảm đều tốc độ, khi đi được quãng đường 50m thì vận tốc chỉ còn lại một nửa ban đầu.
a) Tính gia tốc của ôtô.
b) Tính quãng đường đi được cho đến khi dừng hẳn Hướng dẫn
a) Ta có:
( )
2 2
2 2
0 0 2
0 0
v vv 2as a v 2sv 3 m / s
v ; s 50m; v 20m / s 2
− =
⇒ = − = −
= = =
b) Ta có: v2 v20 2as s v2 v20 02 202m 200 66,67m
2a 2.( 3) 3
− −
− = ⇒ = = = ≈
−
Ví dụ 7: Một vật chuyển động trên 3 đoạn đường liên tiếp bằng nhau trước khi dừng lại. Biết rằng thời gian chuyển động trên đoạn đường thứ 2 vật đi trong 1giây.
Tính thời gian vật đi 3 đoạn đường này.
Hướng dẫn
Chọn mốc t = 0 là lúc xe dừng hẳn. Chiều dương ngược chiều chuyển động của xe.
Gốc tọa độ tại chỗ dừng. Bài toán tương đương như vật chuyển động nhanh dần từ vị trí dừng đến vị trí xuất phát (đi lùi).
+ Gọi t3 là thời gian đi trên đoạn 3 ta có: s 1at23
= 2 (1) + Quãng đường đi được trên đoạn 3 và 2: 2s 1a t 1
(
3)
2=2 + (2)
+ Lấy (2) chia (1) ta có:
(
3)
2 2 2 23 3 3 3 3
23
3 2
2 t 1 2t t 2t 1 t 2t 1 0
t
t 1 2 t 2 2
+
= ⇒ = + + ⇒ − − =
⇒ = + ⇒ = +
+ Khi đi trên cả 3 đoạn : 3s 1at2
=2 (3)
+ Lấy (3) chia (1) ta có: 22 2 23 3
( )
3
3 t t 3t t t 3 1 2 3 3 6
= t ⇒ = ⇒ = = + = +
+ Vậy tổng thời gian là t= 3+ 6
Vấn đề 3. Quãng đường đi được từ t1 đến t2
Loại 1. Quãng đường đi được trong giây thứ n (trong giây cuối của n giây đầu