PHÉP QUAY 1. Định nghĩa
Cách 2. Dùng hình vẽ
Tính được OM 2 và OM Oy, 45 .0 Suy ra '
' 0; 2 .
' 2
M Oy OM M
Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x y 5 0 và x 2y 3 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay 0 1800 là:
A. 45 .0 B. 60 .0 C. 90 .0 D. 120 .0
Lời giải. Ta thấy hai đường thẳng a và b có phương trình 2x y 5 0 và
2 3 0
x y là vuông góc với nhau. Suy ra 90 .0 Chọn C.
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x 3y 5 0 và x 7y 4 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay 0 1800 là:
A. 45 .0 B. 60 .0 C. 90 .0 D. 120 .0 Lời giải. Đường thẳng a: 4x 3y 5 0 có vectơ pháp tuyến na 4;3 . Đường thẳng b x: 7y 4 0 có vectơ pháp tuyến nb 1;7 .
Góc là góc tạo bởi a và b ta có
0
2 2 2 2
4.1 3.7 2
cos cos , 45 .
4 3 1 7 2
a b
n n
Vậy 45 .0 Chọn A.
1 1
M' y
x O
M
Bài 06
PHÉP DỜI HÌNH 1. Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nhận xét
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.
Phép biến hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.
2. Tính chất
Phép dời hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nĩ;
Biến tam giác thành tam giác bằng nĩ, biến gĩc thành gĩc bằng nĩ;
Biến đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính.
3. Khái niệm hai hình bằng nhau
Định nghĩa
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu cĩ một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d cĩ phương trình 3x y 3 0. Hỏi phép dời hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm I 1;2 và phép tịnh tiến theo vectơ v 2;1 biến đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?
A. 3x y 1 0. B. 3x y 8 0. C. 3x y 3 0. D. 3x y 8 0.
Lời giải. Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm ĐI, suy ra d' song song hoặc trùng với d nên d' : 3x y c 0.
Chọn A 1;0 d. Ta cĩ ' ; '
' '
I
IA IA Đ A A x y
A d .
Từ IA' IA A' 1;4 thay vào d' ta được 3.1 4 c 0 c 1 d' : 3x y 1 0.
--- Gọi d là ảnh của d' qua phép tịnh tiến ,
Tv suy ra d song song hoặc trùng với d' nên d : 3x y m 0.
Chọn A' 1; 4 d'. Ta cĩ v A A v. T A A
A d
Từ A A v A 1;5 thay vào d ta được 3. 1 5 m 0 m 8. Vậy d : 3x y 8 0. Chọn D.
Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x 12 y 22 4. Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v 2;3 biến C thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?
A. x2 y2 4. B. x 2 2 y 62 4.
C. x 2 2 y 32 4. D. x 12 y 12 4.
Lời giải. Đường tròn C có tâm I 1; 2 và bán kính R 2.
Phép dời hình biến C thành C C có tâm K và bán kính R' R 2.
;
1; 2 Oy H 1 2 .
I Đ
1; 2 v T2;3v 1;1 .
H K
Vậy C : x 12 y 12 4. Chọn D.
Câu 3 Hợp thành của hai phép tịnh tiến là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.
C. Phép tịnh tiến. D. Phép quay.
Lời giải. Hợp thành hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến có vectơ tịnh tiến bằng tổng hai vectơ tịnh tiến của hai phép đã cho. Chọn C.
Câu 4 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm I là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.
C. Phép đồng nhất. D. Phép tịnh tiến.
Lời giải. Chọn B. Tâm đối xứng là J thỏa mãn 1 2 . IJ v
Câu 5 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.
C. Phép tịnh tiến . D. Phép quay, góc quay khác . Lời giải. Chọn C. Vectơ tịnh tiến là 2HK
với H K, lần lượt nằm trên trục của phép thứ nhất và phép thứ hai sao cho HK vuông góc với các trục đó.
v
J
I A''
A' A
H K d d'
A' A'' A
Câu 6 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng vuông góc với nhau là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm
C. Phép tịnh tiến C. Phép quay, góc quay khác . Lời giải. Chọn B. Tâm đối xứng là giao điểm của hai trục đối xứng.
Câu 7 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau (không vuông góc) là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm
C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác . Lời giải. Chọn D. Tâm quay là giao điểm
của hai trục đối xứng. Góc quay bằng hai lần góc tạo bởi hai trục đối xứng.
Câu 8 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?
A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.
C. Phép tịnh tiến . C. Phép quay.
Lời giải. Chọn C. Tịnh tiến theo vectơ
2 '
v OO với O là tâm của phép đối xứng thứ nhất, O' là tâm của phép đối xứng thứ hai.
Câu 9 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O với M N, lần lượt là trung điểm AB và .
CD Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ AB và phép đối xứng trục BC là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm M. B. Phép đối xứng tâm N. C. Phép đối xứng tâm O. D. Phép đối xứng trục MN. Lời giải. Ta có
BC
TAB Ñ B
A B
B E A
C F D
D C C
Dựa vào sơ đồ ta thấy A B, hoán đổi vị trí; CD hoán đổi vị trí. Chọn D.
Câu 10. Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi Q là phép quay tâm A biến B thành ,
D Ñ là phép đối xứng trục AD. Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép quay Q và phéo đối xứng trục AD là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm D. B. Phép đối xứng trục AC. C. Phép đối xứng tâm O. D. Phép đối xứng trục AB.
N M
F E
D C
A B
O
A''
A' A
d'
d
O' O
A''
A' A
Lời giải. Phép quay tâm A biến B thành D, suy ra góc quay 90 .0 Ta có
Q ÑAD A
A A
B D D
C E C
D F B
Từ hình vuông ABCD biến thành hình vuông ADCB. Nhận thấy có hai điểm không đổi vị trí là A và C nên suy ra đây là phép đối xứng trục AC. Chọn B.
F
E D C
A B
Bài 07
PHÉP VỊ TỰ 1. Định nghĩa
Cho điểm O và số k 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM' kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là VO k, .
Nhận xét
Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nĩ.
Khi k 1, phép vị tự là đồng nhất.
Khi k 1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.
, 1
,
' O k ' .
Ok
M V M M V M
2. Tính chất
Tính chất 1
Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M N, tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì ' '
M N k MN và M N' ' k MN. . Tính chất 2
Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm ấy;
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nĩ, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nĩ, biến gĩc thành gĩc bằng nĩ;
Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính k R. . P'
N' M' P
N M
O
O O'
R' A' R A I
A B
C A'
B'
C' C' B' A'
C B
A
I I
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thằng d'?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Chọn A. Vì qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số 20
k biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Lấy hai điểm A và A' tùy ý trên d và d'. Chọn điểm O thỏa mãn ' 20
OA OA. Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k 20 sẽ biến d thành đường thẳng d'. Do A và A' tùy ý trên d và d' nên suy ra có vô số phép vị tự. Chọn D.
Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d' và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng d'?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Kẻ đường thẳng qua O, cắt d tại A và cắt d' tại A'. Gọi k là số thỏa mãn OA' kOA.
Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số k sẽ biến d thành đường thẳng d'.
Do k xác định duy nhất (không phụ thuộc vào ) nên có duy nhất một phép vị tự.
Chọn B.
Câu 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó.
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Chọn D. Tâm vị tự là giao điểm của d và d'. Tỉ số vị tự là số k khác 0.
(hoặc tâm vị tự tùy ý, tỉ số k 1 - đây là phép đồng nhất)
Câu 5. Cho hai đường tròn bằng nhau O R; và O R'; ' với tâm O và O' phân biệt.
Có bao nhiêu phép vị tự biến O R; thành O R'; ' ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Chọn B. Phép vị tự có tâm là trung điểm OO', tỉ số vị tự bằng 1.
Câu 6. Cho đường tròn O R; . Có bao nhiêu phép vị tự với tâm O biến O R; thành chính nó?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Chọn C. Tỉ số vị tự k 1.
Câu 7. Cho đường tròn O R; . Có bao nhiêu phép vị tự biến O R; thành chính nó?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Chọn D. Phép vị tự có tâm tùy ý, tỉ số vị tự k 1.
Câu 8. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn O R; thành đường tròn O R; ' với '
R R ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải. Chọn C. Phép vị tự có tâm là O, tỉ số vị tự ' R .
k R
Câu 9. Phép vị tự tâm O tỉ số k 1 là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm. B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác k . D. Phép đồng nhất.
Lời giải. Chọn D.
Câu 10. Phép vị tự tâm O tỉ số k 1 là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đối xứng tâm. B. Phép đối xứng trục.
C. Phép quay một góc khác k . D. Phép đồng nhất.
Lời giải. Chọn A.
Câu 11. Phép vị tự không thể là phép nào trong các phép sau đây?
A. Phép đồng nhất. B. Phép quay.
C. Phép đối xứng tâm. D. Phép đối xứng trục.
Lời giải. Chọn D.
Câu 12. Phép vị tự tâm O tỉ số k k 0 biến mỗi điểm M thành điểm M . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1
.
OM OM
k B. OM kOM . C. OM kOM . D. OM OM .
Lời giải. Ta có , 1
O k 0 .
V M M OM kOM OM OM k
k Chọn A.
Câu 13. Phép vị tự tâm O tỉ số 3 lần lượt biến hai điểm A B, thành hai điểm ,
C D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AC 3BD. B. 3AB DC. C. AB 3CD. D. 1 3 . AB CD Lời giải. Ta có VO, 3 A C OC 3OA và VO, 3 B D OD 3OB. Khi đó OC OD 3OA OB DC 3BA DC 3AB. Chọn B.
Câu 14. Cho phép vị tự tỉ số k 2 biến điểm A thành điểm B, biến điểm C thành điểm D. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB 2CD. B. 2AB CD. C. 2AC BD. D. AC 2BD. Lời giải. Theo tính chất 1, ta có BD 2AC. Chọn C.
Câu 15. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, D là trung điểm BC. Gọi V là phép vị tự tâm G tỉ số k biến điểm A thành điểm D. Tìm k.
A. 3
k 2 B. 3
k 2 C. 1
k 2 D. 1
k 2
Lời giải. Do D là trung điểm BC nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Suy ra 1
, 2
1
2 G
GD GA V A D. Vậy 1
k 2. Chọn D.
Câu 16. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi A',B C', ' lần lượt là trụng điểm của các cạnh BC AC AB, , của tam giác ABC. Khi đó, phép vị tự nào biến tam giác
' ' '
A B C thành tam giác ABC?
A. Phép vị tự tâm G, tỉ số k 2. B. Phép vị tự tâm G, tỉ số k 2.
C. Phép vị tự tâm G, tỉ số k 3. D. Phép vị tự tâm G, tỉ số k 3.
Lời giải. Theo giả thiết, ta có
, 2
, 2
, 2
2 ' '
2 ' '
2 ' '
G
G G
V A A
GA GA
GB GB V B B
GC GC V C C
Vậy VG, 2 biến tam giác A B C' ' ' thành tam giác ABC. Chọn B.
Câu 17. Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và CD thỏa mãn AB 3CD. Phép vị tự biến điểm A thành điểm C và biến điểm B thành điểm D có tỉ số k là:
A. k 3. B. 1 3.
k C. 1
3.
k D. k 3.
Lời giải. Do ABCD là hình thang có AB CD và AB 3CD suy ra AB 3DC. Giả sử có phép vị tự tâm O, tỉ số k thỏa mãn bài toán.
Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm A C suy ra OC k OA 1 .
Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm B D suy ra OD k OB 2 .
Từ 1 và 2 , suy ra 1
. OC OD k OA OB DC k BA AB DC
k
Mà AB 3DC suy ra 1 1
3 k 3
k . Chọn B.
Nhận xét. Tâm vị tự là giao điểm của hai đường chéo trong hình thang. Bạn đọc cũng có thể chứng minh bằng hai tam giác đồng dạng.
Câu 18. Cho hình thang ABCD, với 1
CD 2AB. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xét phép vị tự tâm I tỉ số k biến AB thành CD. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 1
2.
k B. 1
2.
k C. k 2. D. k 2.
Lời giải. Từ giả thiết, suy ra ,
, I k I k
V A C IC k IA V B D ID k IB
.
Suy ra ID IC k IB IA CD k AB. Kết hợp giả thiết suy ra 1 2.
k Chọn A.
Câu 19. Xét phép vị tự VI,3 biến tam giác ABC thành tam giác A B C' ' '. Hỏi chu vi tam giác A B C' ' ' gấp mấy lần chu vi tam giác ABC.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 6.
Lời giải. Qua phép vị tự VI,3 thì A B' ' 3AB B C, ' ' 3BC C A, ' ' 3CA. Vậy chu vi tam giác A B C' ' ' gấp 3 lần chu vi tam giác ABC. Chọn C.
Câu 20. Một hình vuông có diện tích bằng 4. Qua phép vị tự VI, 2 thì ảnh của hình vuông trên có diện tích tăng gấp mấy lần diện tích ban đầu.
A. 1
2. B. 2. C. 4. D. 8.
Lời giải. Từ giả thiết suy ra hình vuông ban đầu có độ dài cạnh bằng 2.
A'
C' B'
G
B C A
Qua phép vị tự VI, 2 thì độ dài cạnh của hình vuông tạo thành bằng 4, suy ra diện tích bằng 16. Vậy diện tích tăng gấp 4 lần. Chọn C.
Câu 21. Cho đường tròn O;3 và điểm I nằm ngoài O sao cho OI 9. Gọi O R'; ' là ảnh của O;3 qua phép vị tự VI,5 . Tính R'.
A. R' 9. B. 5
' .
R 3 C. R' 27. D. R' 15.
Lời giải. Ta có R' k R. 5.R 5.3 15. Chọn D.
Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự tâm I 2;3 tỉ số k 2 biến điểm M 7;2 thành điểm M' có tọa độ là:
A. 10;2 B. 20;5 C. 18;2 D. 10;5
Lời giải. Gọi M' x y; . Suy ra IM 9; 1 ,IM' x 2;y 3 .
Ta có , 2 2 2. 9 20
' ' 2 ' 20;5 .
3 2. 1 5
I
x x
V M M IM IM M
y y
Chọn B.
Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự V tỉ số k 2 biến điểm 1; 2
A thành điểm A' 5;1 . Hỏi phép vị tự V biến điểm B 0;1 thành điểm có tọa độ nào sau đây?
A. 0; 2 . B. 12; 5 . C. 7;7 . D. 11;6 .
Lời giải. Gọi B x y' ; là ảnh của B qua phép vị tự V. Suy ra A B' ' x 5;y 1 và AB 1;3 .
Theo giả thiết, ta có 5 2. 1 7
' ' 2
1 2.3 7
x x
A B AB
y y . Chọn C.
Câu 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;2 , B 3; 4 và I 1;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số 1
k 3 biến điểm A thành A', biến điểm B thành B'. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. A B' ' AB. B. 4 2
' ' ; .
3 3
A B D. A B' ' 4;2 . C. A B' ' 2 5.
Lời giải. Ta có AB 4;2 .
Từ giả thiết, ta có 1 4 2
' ' ; .
3 3 3
A B AB Chọn B.
Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M 4;6 và M' 3;5 . Phép vị tự tâm I, tỉ số 1
k 2 biến điểm M thành M'. Tìm tọa độ tâm vị tự I.
A. I 4;10 . B. I 11;1 . C. I 1;11 . D. I 10; 4 . Lời giải. Gọi I x y; . Suy ra IM 4 x;6 y ,IM' 3 x;5 y .
Ta có
,1 2
3 1 4
1 2 10
' ' 10;4 .
1 4
2 5 6
2
I
x x
V M M IM IM x I
y y y
Chọn D.
Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm I 2; 1 , M 1;5 và M ' 1;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M'. Tìm k.
A. 1 3.
k B. 1
4.
k C. k 3. D. k 4.
Lời giải. Ta có IM' 1;2 ,IM 3;6 .
Theo giả thiết: , 1 .3 1
' ' .
2 .6 3
I k
V M M IM k IA k k
k Chọn A.
Câu 27. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x y 3 0. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?
A. 2x y 3 0. B. 2x y 6 0. C. 4x 2y 3 0. D. 4x 2y 5 0.
Lời giải. Ta có VO,2 :d d d d nên d' : 2x y c 0 c 3 do k 1 .
Chọn A 0;3 d. Ta có ,2 2
O .
OA OA
V A A
A d
Từ OA 2OA A 0;6 . Thay vào d' ta được d' : 2x y 6 0. Chọn B.
Cách 2. Giả sử phép vị tự VO,2 biến điểm M x y; thành điểm M' x y'; ' .
Ta có
'
' 2 2
' 2
' 2 '
2 x x
x x
OM OM
y y y
y .
Thay vào d ta được ' '
2. 3 0 2 ' ' 6 0.
2 2
x y
x y
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng :x 2y 1 0 và điểm 1;0
I . Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng thành ' có phương trình là:
A. x 2y 3 0. B. x 2y 1 0. C. 2x y 1 0. D. x 2y 3 0.
Lời giải. Nhận xét. Mới đọc bài toán nghĩ rằng đề cho thiếu dữ kiện, cụ thể không cho k bằng bao nhiêu thì sao tìm được '.
Để ý thấy I do đó phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng thành ' trùng với , với mọi k 0. Chọn B.
Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 1, 2 lần lượt có phương trình x 2y 1 0, x 2y 4 0 và điểm I 2;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng 1 thành 2. Tìm k.
A. k 1. B. k 2. C. k 3. D. k 4.
Lời giải. Chọn A 1;1 1. Ta có ,
2
; .
I k
IB k IA V A B x y
B
Từ IB kIA B 2 k;1 .
Do B 2 nên 2 k 2.1 4 0 k 4. Chọn D.
Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x 12 y 52 4 và điểm I 2; 3 . Gọi C' là ảnh của C qua phép vị tự tâm I tỉ số k 2. Khi đó
'
C có phương trình là:
A. x 4 2 y 192 16. B. x 6 2 y 92 16.
C. x 4 2 y 192 16. D. x 62 y 92 16.
Lời giải. Đường tròn C có tâm K 1;5 và bán kính R 2.
Gọi , 2 2 2 1 2 4
' ; ' 2 ' 4; 19
3 2 5 3 19
I
x x
K x y V K IK IK K
y y là
tâm của đường tròn C' .
Bán kính R' của C' là R' k R. 2.2 4.
Vậy C' : x 4 2 y 192 16. Chọn A.
Bài 08
PHÉP ĐỒNG DẠNG 1. Định nghĩa
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k k 0 nếu với hai điểm ,
M N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của chúng ta luơn cĩ M N' ' kMN.
Nhận xét
Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm ấy;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nĩ, biến gĩc thành gĩc bằng nĩ;
Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR.
3. Hình đồng dạng
Định nghĩa
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu cĩ một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép dời hình là phép đồng dạng. B. Phép vị tự là phép đồng dạng.
C. Phép đồng dạng là phép dời hình. D. Phép vị tự khơng phải là phép dời hình.
Lời giải. Khi k 1thì phép đồng dạng khơng là phép dời hình. Chọn C.
Câu 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hai đường thẳng bất kì luơn đồng dạng.
B. Hai đường trịn bất kì luơn đồng dạng.
C. Hai hình vuơng bất kì luơn đồng dạng.
D. Hai hình chữ nhật bất kì luơn đồng dạng.
Lời giải. Chọn D. Ví dụ hình chữ nhật ABCD cĩ AB 2, AD 4 và hình chữ nhật MNPQ cĩ MN 3, MQ 5. Khi đĩ khơng tồn tại số thực k để thỏa MN kAB.
MQ kAD N'
M' N
M B
A' C'
C B
A
Câu 3. Cho tam giác ABC và A B C' ' ' đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. k là tỉ số hai trung tuyến tương ứng B. k là tỉ số hai đường cao tương ứng C. k là tỉ số hai góc tương ứng
D. klà tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng
Lời giải. Chọn C. Vì hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng luôn bằng nhau.
Câu 4. Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số k bằng:
A. k 1. B. k 1. C. k 0. D. k 2.
Lời giải. Tính chất: Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k 1. Chọn A.
Câu 5. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k 1.
B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k . D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc.
Lời giải. Chọn B. Vì có thể hai đường thẳng đó cắt nhau nữa.
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 2; 4 . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 1
k 2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào trong các điểm sau:
A. 1;2 B. 2; 4 C. 1;2 D. 1; 2
Lời giải. Gọi 1
;2
1 1
' '; ' ' ' 1;2
2 2
O
M x y V M OM OM x M
y '' 1;2 .
Oy M
Đ Chọn C.
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2 0.
x y Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I 1; 1 tỉ số 1
k 2 và phép quay tâm O góc 45 .0
A. y 0. B. x 0. C. y x. D. y x.
Lời giải. Gọi d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I 1; 1 tỉ số 1 2. k
Vì d1 song song hoặc trùng với d nên phương trình của nó có dạng x y c 0.
Lấy M 1;1 thuộc d.
Gọi 1
;2
1 1 1 1
1 2
' '; ' ' ' 0;0
1
2 1 1 1
2
I
x
M x y V M IM IM M
y
thuộc d1.
Vậy phương trình của d1 là x y 0.