Giải tự luận

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của ^A



^{2; 4;3}



trên mặt phẳng 2x3y6z190có tọa độ là:

A.



^{1; 1; 2 .}



^{B. 20 37 3; ; .}

7 7 7

 

 

  C. ^{2 37 31}; ; .

5 5 5

 

 

  D.



^{2; 3;1 .}



Hướng dẫn giải Chọn B.

Mặt phẳng (ABC)qua ^A



^1;1;1



và nhận ^_^{AB AC,  }_



^{5; 7;8}



làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: ⁵



^{x 1}

 

^{7 y 2}

 

^{8 z  1}



^{0 5x7y8z 11 0}

Gọi M là giao điểm của



^ABC



^{với trục Ox.M x}



^;0;0



^Ox



^{; 0; 0}

  

^{: 5 7 8 11 0 11}

M x  ABC x y z   x 5

Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^P đi qua hai điểm^E



^{4; 1;1 ,}



^F



^{3;1; 1}



và chứa trục Ox. Phương trình nào là phương trình tổng quát của

 

^{P :}

A.

 

^{P :x y 0. B.}

 

^{P :x  y z 0. C.}

 

^{P :y z 0. D.}

 

^{P :x} ^{z 0.}

Hướng dẫn giải : Chọn C.

Ta có: ^{EF  }



^{1; 2; 2}



Trục Oxcó véc tơ chỉ phương là: ^i



^{1; 0; 0}



 

, 0; 2; 2

EF i

   

Mặt phẳng

 

^{P đi qua A}



^1;1;1



^{và nhận }_^{EF i, }_^



^{0; 2; 2 }



làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

 

^{P là:y z 0}

Câu 42. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

^P là mặt phẳng đi qua ^A



^{1; 2;3}



và song song với mặt phẳng

 

^{Q :x4y z 120}. Phương trình của mặt phẳng

 

^{P là:}

A. x4y  z 4 0. B. x4y z 120. C. x4y  z 4 0. D. x4y  z 3 0.

Hướng dẫn giải : Chọn A.

Mặt phẳng

 

^Q có một vectơ pháp tuyến n_{ }Q 



^{1; 4;1}



Vì mặt phẳng

 

^P song song mặt phẳng

 

^Q nên mặt phẳng

 

^{P nhận} n Q 



^{1; 4;1}



làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng

 

^{P đi qua A}



^{1; 2;3}



có phương trình là:

     

1 x 1 4 y 2 1 z   3 0 x 4y  z 4 0

Câu 43. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ^I



^{2; 6; 3}



và các mặt phẳng

 

^{ :x 2 0,}

 

^{ :y 6 0,}

 

^{ :z 3 0}. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A.

 

^ đi qua điểm I. B.

 

^{ / /Oz.}

C.

  

^{ / / xOz}



^{. D.}

   

^{   .}

Hướng dẫn giải : Chọn B.

Mặt phẳng ( ) : z 3 0 cắt trục Oz tại điểm ^M



^{0;0; 3}



Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và điểm



^{1; 4; 3}



M  là:

A. 3x z 0. B. 3x y 0. C. x3z0. D. 3x z 0. Hướng dẫn giải :

Chọn D.

Ta có: ^{OM }



^{1; 4; 3}



Trục Oycó véc tơ chỉ phương là: ^j



^{0;1; 0}



 

, 3; 0;1

OM j

 

Mặt phẳng

 

^{Q đi qua O}



^0;0;0



^{và nhận }_^{OM j,  }_



^{3; 0;1}



làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

 

^{Q là: 3x z 0}

Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{ : 2y z 0}. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.

 

^{ / /Ox. B.}

  

^{ / / yOz}



^{. C.}

 

^{ / /Oy. D.}

 

^{ Ox.}

Hướng dẫn giải : Chọn D.

Ta thấy ^O



^0;0;0



thuộc mặt phẳng

 

^{ : 2y z 0} nên loại các câu A; B và C.

Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, khoảng cách từ điểm ^M



^{ 2; 4;3}



đến mặt phẳng

 

^{P : 2x y 2z 3 0 là :}

A.3. B.2. C.1. D.11.

Hướng dẫn giải : Chọn C.

Ta có

2 2 2

2.( 2) 4 2.3 3

( , ( )) 1

2 1 2

d M P    

 

  .

Câu 47. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi H là hình chiếu vuông góc của ^A



^{2; 1; 1 }



^trên

mặt phẳng

 

^{P :16x12y15z 4 0}. Độ dài đoạn AH là:

A.55. B. 11

5 . C. 1

25. D. 22

5 . Hướng dẫn giải :

Chọn B.

Vì H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ( P) nên Ta có

2 2 2

16.2 12 15 4 11 ( , ( ))

16 12 15 5

AH d A P   

  

  .

Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{ :x   y z 5 0 và}

 

^{ : 2x2y2z 3 0}. Khoảng cách giữa

 

^{ và}

 

^{ là:}

A. 2

3. B.2. C. 7

2 . D. 7

2 3 . Hướng dẫn giải :

Chọn D.

Ta có

 

 

: 5 0

: 2 2 2 3 0 3 0

2 x y z

x y z x y z





   

        

Vì

   

^{ // } nên ta có

 

_{2 2 2}

5 3 2 7 ( , ( ))

1 1 1 2 3 d  



 

  .

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{ : 3x2y  z 5 0} và đường thẳng

1 7 3

: 2 1 4

x y z

   . Gọi

 

^ là mặt phẳng chứa  và song song với

 

^ . Khoảng cách giữa

 

^{ và}

 

^{ là:}

A. 9

14. B. 9

14. C. 3

14. D. 3

14. Hướng dẫn giải :

Chọn B.

 

^{ : 3x2y  z 5 0} có véctơ pháp tuyến n  (3; 2; 1) 

1 7 3

: 2 1 4

x y z

   đi qua M(1; 7;3) có véctơ chỉ phương u  (2;1; 4) Vì

 

   

Δ //



 

 

 nên

 

^ đi qua điểm M(1; 7;3) có véctơ pháp tuyến n  (3; 2; 1)  Do đó ^mp

 

^{ là 3x2y z 140}

Vì

   

^{ // } nên ta có ⁽

 

^{, ( ))} ₂^{14 5}_{2 2} ⁹

3 2 1 14

d    ^ 

  .

Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ^A



^{1;1;3 ,}

 

^{B 1;3; 2 ,}

 

^{C 1; 2;3}



. Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mp



^ABC



^bằng:

A. 3 . B.3. C. ³

2 . D. 3

2 . Hướng dẫn giải :

Chọn B.

Ta có

( 2; 2; 1) ( 2;1;0) AB

AC

  

 

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A có véctơ pháp tuyến nAB AC, (1; 2; 2)là

1 2( 1) 2( 3) 0 2 2 9 0

x  y  z   x y z  . Do đó

2 2 2

( , ( )) 9 3

1 2 2

d O ABC  

  .

DẠNG TỰ LUẬN Bài 1. Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm ^M



^{1; 2; 4}



^{và nhận n}



^2;3;5



làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm ^A



^{0; 1; 2}



và song song với giá của mỗi vectơ ^u



^{3; 2;1}



^{và v }



^{3; 0;1 .}



c) Đi qua ba điểm ^A



^{3; 0; 0}



^{, B}



^{0; 2; 0}



^{và C}



^{0;0; 1 .}



d) Đi qua điểm ^M



^{2; 1; 2}



và song song với mặt phẳng

 

^{ : 2x y 3z 4 0.}

e) Đi qua hai điểm ^A



^1;0;1



^{, B}



^{5; 2;3}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{ : 2x   y z 7 0.}

f) Đi qua ba điểm ^M



^{2;0; 1}



^{, N}



^{1; 2;3}



^{, P}



^{0;1; 2 .}



g) Đi qua hai ^A



^{1;1; 1}



^{, B}



^{5; 2;1}



và song song với trục Oz.

h) Đi qua điểm ^M



^{3; 2; 1}



và song song với mặt phẳng có phương trình x5y z 0.

i) Đi qua hai điểm ^A



^0;1;1



^{, B}



^{1; 0; 2}



và vuông góc với mặt phẳng x   y z 1 0.

j) Đi qua điểm ^G



^{1; 2;3}



và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho G là trọng tâm tam giác ABC.

k) Đi qua điểm ^H



^2;1;1



và cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{1; 2; 4}



và nhận ^n



^2;3;5



làm vectơ pháp tuyến là: ²



^{x 1}

 

^{3 y 2}

 

^{5 z4}



^{ 0 2x3y5z160.}

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm ^A



^{0; 1; 2}



^{và nhận n}_^{u v, }_^



^{2; 6; 6}



làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

     

2 x 0 6 y 1 6 z2   0 x 3y3z 9 0 c) Ta có: ^AB



^{3; 2; 0 ,}



^AC



^{3; 0; 1}



^{ n }_^{AB AC, }_^



^{2;3; 6}



Phương trình mặt phẳng



^ABC



^{đi qua A}



^{3; 0; 0}



^{và nhận  n}



^{2;3; 6}



làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ²



^{x 3}

 

^{3 y 0}

 

^{6 z0}



^{ 0 2x3y6z 6 0}

d) Đi qua điểm ^M



^{2; 1; 2}



và song song với mặt phẳng

 

^{ : 2x y 3z 4 0.}

Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: 2x y 3z 4 0 nên phương trình có dạng: 2x y 3z D 0

Vì ^M



^{2; 1; 2}

  

^{  2.2 1.}

 

^{ 1 2.3    D 0 D 11}

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x y 3z 11 0.

e) Gọi

 

^ là mặt phẳng cần tìm.

Ta có: ^AB



^{4; 2; 2}



^và

 

^ có VTPT là: ⁿ_{ } ^



^{2; 1;1}



Vì

 

^ đi qua hai điểm ^A



^1;0;1



^{, B}



^{5; 2;3}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{ : 2x   y z 7 0}  ⁿ ^{AB n,} _{ } 



^{4; 0; 8}



Vậy phương trình mặt phẳng

 

^{ đi qua A}



^1;0;1



^{và nhận n}



^{4; 0; 8}



làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ⁴



^{x 1}

 

^{8 z   1}



^{0 x 2z 1 0.}

f) Ta có: ^{MN   }



^{1; 2; 4 ,}



^{MP }



^2;1;3



^{ n }_^{MN MP, }_^{ }



^{10; 5; 5 }



Phương trình mặt phẳng



^MNP



^{đi qua M}



^{2;0; 1}



^{và nhận n }



^{10; 5; 5 }



^{làm vectơ}

pháp tuyến nên có phương trình: ^10



^{x 2}

 

^{5 y 0}

 

^{5 z  1}



^{0 2x   y z 3 0}

g) Ta có: ^AB



^{4;1; 2}



^{và Oz} có vectơ đơn vị là ^k



^{0; 0;1}



 

, 1; 4; 0 n AB k

   

Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua ^A



^{1;1; 1}



và nhận ^n



^{1; 4; 0}



làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ¹



^{x 1}

 

^{4 y 1}

 

^{0 z   1}



^{0 x 4y 3 0}

h) Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng: x5y z 0 nên phương trình có dạng:

 

5 0

x y  z D 

Vì ^M



^{3; 2; 1 }

  

^{  3 5.2}     

 

^{1 D 0 D 8}

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x5y  z 8 0

i) Ta có: ^{AB  }



^{1; 1;1}



^{và n}



^{1; 1;1}



là VTPT của mặt phẳng x   y z 1 0.

 

, 0; 2; 2 m AB n

  

Phương trình mặt phẳng cần tìm đi qua ^A



^0;1;1



và nhận vectơ ^m



^{0; 2; 2}



làm VTPT nên có phương trình là: ⁰



^{x 0}

 

^{2 y 1}

 

^{2 z}     ¹



^{0 y z 2 0}.

j) Gọi

 

^ là mặt phẳng cần tìm.

Vì

 

^ cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , ^{A a}



^{;0;0 ,}

 

^{B 0; ;0 ,b}

 

^{C 0;0;c}



Mặt khác: ^G



^{1; 2;3}



là trọng tâm tam giác ABC 1, 2, 3 3, 6, 9

3 3 3

a b c

a b c

       



^{3;0;0 ,}

 

^{0;6;0 ,}

 

^0;0;9



A B C



Vậy phương trình mặt phẳng

 

^ theo đoạn chắn là: 1

3 6 9

x  y z . k) Gọi

 

^ là mặt phẳng cần tìm.

Vì

 

^ cắt các trục tọa độ tại các điểm A B C, , ^{A a}



^{;0;0 ,}

 

^{B 0; ;0 ,b}

 

^{C 0;0;c}



H là trực tâm của ABC . 0 2 0

2 0

. 0 0

AB CH a b

b c a

BC AH b c

    

         .

 phương trình mặt phẳng

 

^ theo đoạn chắn là: 1 2 2

2 2

x y z

x y z a a a a      Mặt khác, ta có: ^H



^2;1;1

  

^{  2.2 1 1  2a a 3}

Vậy phương trình mặt phẳng

 

^{ là: 2x   y z 6 0.}

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với ^A



^{2;3; 7}



^{, B}



^4;1;3



^.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng trung trực

 

^P của đoạn thẳng AB chính là đoạn thẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với vectơ AB .

Ta có ^AB



^{2 ; 2; 4 }



^{và I}



^{3; 2;5}



nên phương trình mặt phẳng

 

^{P là:}

     

2 x 3 2 y 2 4 z   5 0 x 2y2z 9 0.

Bài 3.

a) Lập phương trình của các mặt phẳng



^Oxy



^,



^Oyz



^,



^Oxz



^.

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{2;6; 3}



và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng



^Oxy



^{qua điểm O}



^0;0;0



và có vectơ pháp tuyến ^{k }



^{0; 0;1}



và là vectơ chỉ phương của trụcOz. Phương trình mặt phẳng



^Oxy



^{có dạng:}

     

0. x 0 0. y 0 1. z0   0 z 0.

Tương tự ta có, phương trình mặt phẳng



^Oyz



^{là: x0} và phương trình mặt phẳng



^Oxz



^là:y0.

b) Mặt phẳng

 

^P qua điểm ^M



^{2;6; 3}



song song với mặt phẳng



^Oxy



^nhận



^{0; 0;1}



k  làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng

 

^{P có dạng:z 3 0.}

Tương tự mặt phẳng

 

^{Q qua M}



^{2;6; 3}



và song song với mặt phẳng



^Oyz



^{có phương}

trình là: x 2 0.

Mặt phẳng qua ^M



^{2;6; 3}



song song với mặt phẳng



^Oxz



có phương trìnhy 6 0.

Bài 4. Lập phương trình của mặt phẳng:

a) Chứa trục Ox và điểm ^P



^{4; 1; 2 .}



b) Chứa trục Oy và điểm ^Q



^{1; 4; 3 .}



c) Chứa trục Oz và điểm ^R



^{3; 4; 7 .}



Hướng dẫn giải

a) Gọi

 

^ là mặt phẳng qua P và chứa trục Ox thì

 

^{ qua điểm O}



^0;0;0



và chứa giá của các vectơ ^OP



^{4 ; 1; 2}



^{và i}



^{1; 0; 0}



^{. Khi đó n}_^{OP i, }_^



^{0 2;1;}



là vectơ pháp tuyến của

 

^{ .}

Phương trình mặt phẳng

 

^{ có dạng: 2y z 0.}

b) Tương tự phần a) mặt phẳng

 

^{ qua điểm Q}



^{1; 4; 3}



và chứa trục Oy thì

 

^{ qua điểm}



^0;0;0



O có ^OQ



^{1; 4; 3}



^{và j}



^{0;1; 0}



. Khi đó ^n_^{OQ i, }_^



^{3 0;1;}



là vectơ pháp tuyến của

 

^{ .}

Phương trình mặt phẳng (β) có dạng: 3x z 0.

c) Mặt phẳng

 

^ qua điểm ^R



^{3; 4; 7}



và chứa trục Oz chứa giá của các vectơ



^{3; 4; 7}



OR  và ^{k }



^{0; 0;1}



^{. Khi đó n}_^{OR i, }_^



^{4 3; 0;}



là vectơ pháp tuyến của

 

^{ .}

Phương trình mặt phẳng

 

^{ có dạng: 4x3y0.}

Bài 5. Cho tứ diện có các đỉnh là ^A



^5;1;3



^{, B}



^{1; 6; 2}



^{, C}



^{5;0; 4}



^{, D}



^{4; 0; 6}



^.

a) Viết phương trình của các mặt phẳng



^ACD



^và



^BCD



^.

b) Viết phương trình mp

 

^ đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. Hướng dẫn giải

a) ● Mặt phẳng



^ACD



^{đi qua A}



^5;1;3



và chứa giá của các vectơ ^AC



^{0; 1;1}



^và



^{1; 1;3 .}



AD  

Vectơ ^n_^{AC AD, }_^



^{  2; 1; 1}



vuông góc với mặt phẳng



^ACD



^.

Phương trình



^ACD



^{có dạng:2}



^{x 5}

 

^{y    1}

 

^{z 3}



^{0 2x  y z 140.}

● Tương tự: Mặt phẳng



^BCD



qua điểm ^B



^{1; 6; 2}



và nhận vectơ m BC BD,  làm vectơ pháp tuyến.

Ta có ^BC



^{4; 6; 2 , }



^BD



^{3; 6; 4}



^{và m }



^{12; 10; 6 }



Phương trình mặt phẳng



^BCD



^{có dạng:}

     

12 x 1 10 y 6 6 z 2 0 6x 5y 3z 42 0

           

b) Ta có: ^{AB }



^4;5;1



^{, CD }



^{1; 0; 2}



Mặt phẳng

 

^ qua cạnh AB và song song với CD thì

 

^{ qua A và nhận}

 

, 10;9;5

n AB CD  làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

 

^{ có dạng: 10x9y5z740.}

Bài 6. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau:

a) x2y  z 5 0 và 2x3y7z 4 0 ; b) x2y  z 3 0 và 2x y 4z 2 0 ; c) x   y z 1 0 và 2x2y2z 3 0 ; d) 3x2y3z 5 0 và 9x6y9z 5 0 ; e) x y 2z 4 0 và 10x10y20z400.

Hướng dẫn giải a) Ta có: ^{1 2 1}

2 3 7

  

  hai mặt phẳng cắt nhau.

b) Ta có: ^{1 2 1}

2 1 4

  

  hai mặt phẳng cắt nhau.

c) Ta có: ^{1 1 1 1}

2 2 2 3

     hai mặt phẳng song song nhau.

d) Ta có: ^{3 2 3}

9 6 9

  

   hai mặt phẳng cắt nhau.

e) Ta có: ^{1 1 2 4}

10 10 20 40

 

  

   hai mặt phẳng trùng nhau.

Bài 7. Xác định m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau song song:

a) 2xmy3z 5 0 và nx8y6z 2 0. b) 3x5ymz 3 0 và 2xny3z 1 0. c) 2xny2z 3 0 và mx2y4z 7 0. d) 2x y mz 2 0 và xny2z 8 0.

Hướng dẫn giải

a) Hai mặt phẳng 2xmy3z 5 0 và nx8y6z 2 0 song song với nhau khi và chỉ

khi: ^{2 3 5 4}

8 6 2 4 m n

n m

  

        .

b) Hai mặt phẳng 3x5ymz 3 0 và 2xny3z 1 0 song song với nhau khi và chỉ

khi:

10

3 5 3 3

2 3 1 9

2 m n

n m

  

  

      



.

c) Hai mặt phẳng 2xny2z 3 0 và mx2y4z 7 0 song song với nhau khi và chỉ

khi: ^{2 2 3 1}

2 4 7 4 n n

m m

  

       .

d) Hai mặt phẳng 2x y mz 2 0 và xny2z 8 0 song song với nhau khi và chỉ khi:

2 1 2 1

1 2 8 2

4 m n

n m

  

    

  .

Bài 8. Cho hai mặt phẳng 2xmy3z  6 m 0 và



^m3



^x2y



^5m1



^z100.

a) Tìm m để hai mặt phẳng đó song song.

b) Tìm m để hai mặt phẳng đó trùng nhau.

c) Tìm m để hai mặt phẳng đó cắt nhau.

d) Tìm m để hai mặt phẳng đó vuông góc.

Hướng dẫn giải a) Để hai mặt phẳng song song thì

2 2 2

2

3 2 3 4 0

2 3 6 3

5 6 0

3 2 5 1 10 2 5 1

5 29 24 0

3 6

5 1 10

m

m m m

m m m

m m

m m m

m m

m m

 

     

 

  

        

          

Hệ này vô nghiệm nên không có m thỏa mãn đề bài.

b) Để hai mặt phẳng trùng nhau thì

2 2 2

2

3 2 3 4 0

2 3 6 3

5 6 0 1.

3 2 5 1 10 2 5 1

5 29 24 0

3 6

5 1 10

m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m

m m

 

     

 

  

          

          

c) Để hai mặt phẳng cắt nhau thì

2 2 2

2

3 2 3 4 0

2 3 6 3

5 6 0 1.

3 2 5 1 10 2 5 1

5 29 24 0

3 6

5 1 10

m

m m m

m m m

m m m

m m m

m m

m m

 

     

 

  

          

          

d) VTPT của hai mặt phẳng là: n1



2;m;3 ,



m



m 3; 2;5m1



Để hai mặt phẳng vuông góc thì 1 2

   

. 0 2 3 2 3 5 1 0 9.

n n   m  m m   m 19 Bài 9. Tính khoảng cách từ điểm ^A



^{2; 4; 3}



lần lượt đến các mặt phẳng

 

^{P sau:}

a) 2x y 2z 9 0 ; b) 12x  5z 5 0 ; c) x0.

Hướng dẫn giải

a)

    ^{ }

 

²

2 2

2.2 1.4 2. 3 9

, 5.

2 1 2

d A P    

 

  

b)

    ^{ }

 

²

2

12.2 5. 3 5 44

, .

12 5 13

d A P   

 

  c) ^{d A P}



^,

  

^2.

Bài 10. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng



^{AB D }



^và



^{BC D}



song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Hướng dẫn giải

x

y z

D'

C' A'

D

B

C A

B'

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có: ^A



^{0;0;0 ,}

 

^{B 1;0;0 ,}

 

^{D 0;1;0 ,}

 

^{A 0;0;1}



^{. Khi đó B}



^{1;0;1 ,}

 

^{D 0;1;1 ,}

 

^{C 1;1;1 .}



a) Mặt phẳng



^{AB D }



^{qua điểm A} và nhận vevtơ n AB AD,  làm vectơ pháp tuyến. Ta có ^{AB }



^{1; 0;1}



^{, AD }



^0;1;1



^{và n  }



^{1; 1;1 .}



Phương trình mặt phẳng



^{AB D }



^{có dạng:}

 

x   y z 0. 1

Tương tự, mặt phẳng



^{BC D}



qua điểm B nhận vectơ n BD BC,  làm vectơ pháp tuyến.

Ta có ^{BD }



^{1;1; 0 ,}



^BC



^0;1;1



^vàm



^{1;1; 1 .}



Phương trình mặt phẳng



^{BC D}



^{có dạng:}

 

1 0. 2 x   y z

So sánh hai phương trình

 

^{1 và}

 

2 , ta thấy hai mặt phẳng



^{AB D }



^và



^{BC D}



^song

song với nhau.

b) Vì



^{AB D }

 

^{// BC D}



nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng



^{BC D}



chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:



^,

  

^{1 3.}

3 3 d A BC D    Bài 11. Tìm tập hợp các điểm các đều hai mặt phẳng sau:

a)

 

^{ : 2x y 4z 5 0 và}

 

^{' : 3x5y  z 1 0 ;}

b)

 

^{ : 2x y 2z 1 0 và}

 

^{' : 6x3y2z 2 0 ;}

c)

 

^{ :x2y  z 1 0 và}

 

^{' :x2y  z 5 0.}

Hướng dẫn giải a) Gọi ^{M x y z}



^{; ;}



là điểm cách đều

   

^{ ,  . Ta có:}



^,

   

^,

^{ } 

^{2 4 5 3 5 1}

4 1 16 9 25 1

x y z x y z

d M  d M   ^{  }  ^{  }

   

   

     

     

5 2 4 5 3 3 5 1

2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0

2 5 3 3 5 5 3 4 5 3 5 5 3 0

x y z x y z

x y z

x y z

        

        

        

Vậy tập hợp điểm là hai mặt phẳng:



^{2 53 3}

 

^{x 55 3}

 

^{y 4 5 3}



^{z5 5 30 và}



^{2 53 3}

 

^{x 55 3}

 

^{y 4 5 3}



^{z5 5 30.}

b) Gọi ^{M x y z}



^{; ;}



là điểm cách đều

   

^{ ,  . Ta có:}



^,

   

^,

  

^{2 2 1 6 3 2 2}

4 1 4 36 9 4

x y z x y z

d M  d M   ^{  }  ^{  }

   

   

7 2 2 1 3 6 3 2 2

4 16 20 1 0

32 2 8 13 0

x y z x y z

x y z

x y z

        

    

     

Vậy tập hợp điểm là hai mặt phẳng:  4x 16y20z 1 0 và 32x2y8z130. c) Gọi ^{M x y z}



^{; ;}



là điểm cách đều

   

^{ ,  . Ta có:}



^,

   

^,

  

^{2 1 2 5}

1 4 1 1 4 1

x y z x y z

d M  d M   ^{  }  ^{  }

   

 

^{2 1 2 5}

2 1 2 5

2 1 2 5

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

      

                  

  1 5 (vô lý) hoặc x2y  z 2 0

Vậy tập hợp điểm là mặt phẳng: x2y  z 2 0. Bài 12. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm ^A



^{2;3; 4}



^{và mp}

 

^{ :2x3y z 170.}

b) M cách đều 2 mp x   y z 1 0 và x   y z 5 0. Hướng dẫn giải

Vì ^MOzM



^0;0;c



^.

a) Ta có: ^{MA 4 9 }



^4c



^{2  18}



^4c



²

Vì M cách đều điểm ^A



^{2;3; 4}



^{và mp}

 

^{ : 2x3y z 170} nên ta có:



^,

  

²



^,

^{ } 

²

MAd M  MA  d M  

  

^{2 17}



²

13 4 3

14

c c c

     



^{0;0;3 .}



M

b) Vì M cách đều 2 mp x   y z 1 0 và x   y z 5 0 nên ta có:

 

1 5

1 5 2.

3 3

c c

c c c

 

        



^{0;0; 2 .}



M

Bài 13. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x3y12z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình x²y²z²2x4y6z 2 0.

Hướng dẫn giải

Mặt cầu: x²y²z²2x4y6z 2 0 có tâm ^I



^{1; 2;3}



và bán kính R4. Gọi

 

^ là mặt phẳng cần tìm.

Vì mặt phẳng

 

^ song song với mặt phẳng 4x3y12z 1 0 nên có dạng 4x3y12z D 0.

Mặt khác:

 

^ tiếp xúc với mặt cầu ^{d I}



^,

 

^



^R

78 4 6 36

4 26 52

16 9 144 26

D

D D

D



   

           

Vậy mặt phẳng

 

^ có phương trình là: 4x3y12z780 hoặc 4x3y12z260. D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{0; 2; 0}



và song song với mặt phẳng ( ) : 2Q x3y4z 5 0. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x3y4z 6 0. B. 2x3y4z 6 0.

C. 2x3y4z 6 0. D. 2x3y4z 6 0.

Câu 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{3; 2; 1}



và song song với mặt phẳng

 

^{Q :x5y  z 5 0}. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x5y  z 8 0. B. x5y  z 8 0. C. x5y z 180. D. x5y  z 8 0.

Câu 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^{M a b c}



^{; ;}



và song song với mặt phẳng



^Oyz



^{. Phương}

trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. y b 0. B. z c 0. C. x a 0. D. y   z b c 0.

Câu 4. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^{M a b c}



^{; ;}



và song song với mặt phẳng (Ox )y . Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x   y b a 0. B. x a 0. C. y b 0. D. z c 0.

Câu 5. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^{M a b c}



^{; ;}



và song song với mặt phẳng



^Oxz



^{. Phương}

trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. y b 0. B. z c 0. C. x a 0. D. x z a c   0.

Câu 6. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^4;0;1



và vuông góc với 2 mặt phẳng

 

^{P và ( )Q có}

phương trình lần lượt là 2x y 2z 3 0; 12x6y 7 0.Phương trình mặt phẳng

 

^

là:

A. x2y2z 6 0. B. x2y2z 4 0. C. x2y2z 6 0. D. x2y2z 6 0.

Câu 7. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{2;5; 7}



và vuông góc với 2 mặt phẳng

 

^{P và}

 

^{Q có}

phương trình lần lượt là x2y3z 6 0; 3x  5z 9 0.Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 5x2y3z210. B. 5x2y3z210.

C. 5x2y3z210. D. 5x2y3z410.

Câu 8. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{1; 4; 3}



và song song hoặc chứa giá của hai véc tơ



^{0;1; 0 ;}

 

^{1; 4; 3}



u v  .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 3x z  6 0. B. 3x z 0. C.    3x z 6 0. D. 3x z 0.

Câu 9. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{3; 4;7}



và song song hoặc chứa giá của hai véc tơ



^{0; 0;1 ;}

 

^{3; 4; 7}



u v  .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 4x3y0. B. 4x3y240. C.  4x 3y240. D. 4x3y0.

Câu 10. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 3 điểm ^A



^{1;6; 2 ;}

 

^{B 5;0; 4 ;}

 

^{C 4;0;6}



. Phương trình của mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 10x9y5z740. B.10x9y5z740.

C. 10x9y5z740. D. 10x9y5z340.

Câu 11. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 3 điểm ^A



^{0;1;1 ;}

 

^{B 1; 2;0 ;}

 

^{C 1;0; 2}



. Phương trình của mặt phẳng

 

^{ là:}

A.    2x y z 0. B. 2x  y z 0. C. 2x   y z 2 0. D.     2x y z 2 0.

Câu 12. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{3;1; 1 ;}

 

^{B 2; 1; 4}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :2x y 3z 4 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x13y5z 5 0. B. 2x   y z 2 0.

C. x13y5z 5 0. D. 2x  y z 0.

Câu 13. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(2;3; 4) ; (2; 4; 4)B và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :2x y 3z 4 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 3x2z 14 0. B. 3x2z 2 0. C. 3x2z 2 0. D.  3x 2z 2 0.

Câu 14. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{0;6;0 ;}

 

^{B 3;0;0}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :5x3y3z 7 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 6x3y13z180. B. 6x3y13z180.

C. 6x3y13z180. D.  6x 3y13z180.

Câu 15. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{2;0;0 ;}

 

^{B 0;3;0}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :x   y z 1 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 3x2y5z 6 0. B. 3x2y5z 6 0.

C. 3x2y5z 6 0. D. 3x2y5z 6 0.

Câu 16. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{1; 2;3 ;}

 

^{B 3;3;5}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :3x2y  z 7 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A.  3x 4y  z 8 0. B. 3x4y  z 8 0.

C. 3x   4 z 8 0. D. 3x4y  z 8 0.

Câu 17. Gọi

 

^ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với^A



^{2;0;1 ,}

 

^{B 4; 2;5}



. PT mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB là:

A. 3x y 2z100. B.3x y 2z100.

C. 3x y 2z100. D. 3x y 2z100.

Câu 18. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{0;1;1 ;}

 

^{B 1;0; 2}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :x   y z 1 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. y  z 2 0. B. y  z 2 0. C.   y z 0. D. x   y z 2 0.

Câu 19. Gọi

 

^ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với ^A



^{1;3;1 ;}

 

^{B 3; 3;3}



. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x3y  z 4 0. B. x3y  z 4 0. C. x3y  z 4 0. D. x3y  z 4 0.

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm ^M



^1;1;1



^{và nhận a}



^{1; 1; 2}



^và



^{2;3; 4}



b làm cặp vectơ chỉ phương, có phương trình là:

A. 2x  z 1 0. B. 2x   y z 1 0. C. 2x  z 1 0. D. 2x   y z 1 0.

Câu 21. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{1;1; 1 ;}

 

^{B 5; 2;1}



và vuông góc với mặt phẳng



^Oxy



.Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x   y z 2 0. B. x4z 3 0. C. 2x   y z 2 0. D. x4z 3 0.

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng nào có phương trình sau đây là mặt phẳng đi qua 3 điểm ^A



^{0; 1; 2 ,}

 

^{B 1; 2; 3 ,}

 

^{C 0;0; 2}



^?

A. 7x4y  z 2 0. B. 3x4y  z 2 0.

C. 5x4y  z 2 0. D. 7x4y  z 2 0.

Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^ đi qua hai điểm



^{5; 2;0 ,}

 

^{3; 4;1}



A  B  và có một vectơ chỉ phương là ^a



^1;1;1



. Phương trình của mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 5x9y4z 7 0. B. 5x9y14z 7 0.

C. 5x9y4z 7 0. D. 5x9y4z 7 0.

Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

^ là mặt phẳng qua các hình chiếu của



^{5; 4;3}



A lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng

 

^ là: (dùng pt đoạn chắn)

A. 60 0.

5 4 3

x  y z  B. 12x15y20z600.

C. 0.

5 4 3

x y z

   D.12x15y20z600.

Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm



^{3;1; 1 ,}

 

^{2; 1; 4}



A  B  và vuông góc với mặt phẳng 2x y 3z 4 0 là:

A.13x y 5z 5 0. B. 2x y 5z 3 0.

C. x13y5z 5 0. D. x2y5z 3 0.

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{1;3; 2}



^{và song}

song với mặt phẳng 2x y 3z 4 0. Phương trình của mặt phẳng là:

A. 4x2y3z 5 0. B. 2x y 3z0.

C. 2x y 3z 7 0. D. 2x y 3z 7 0.

Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm



^{2; 1;1 ,}



A  ^B



^{2;1; 1}



và vuông góc với mặt phẳng 3x2y  z 5 0 là:

A. x5y7z0. B. x5y7z 4 0. C. x5y7z0. D. x5y7z0.

Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng

 

^{ :x y 2z 1 0,}

 

^{ :x   y z 2 0,}

 

^{ :x  y 5 0}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

   

^{ / /  . B.}

   

^{   . C.}

   

^{   . D.}

   

^{   .}

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm



^{5;1;3 ,}

 

^{1;6; 2 ,}

 

^{5;0; 4 ,}

 

^4;0;6



A B C D . Mặt phẳng

 

^ đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

A.10x9y5z0. B.10x9y5z740. C.10x9y5z740. D. 9x10y5z740.

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng

 

^ đi qua điểm ^M



^{5; 4;3}



và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm , ,A B C sao cho OA OB OC có phương trình là:

A. x  y z 120. B. x  y z 0. C. x   y z 3 0. D. x  y z 0.

Câu 31. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, điểm M trên trục Oy cách đều hai mặt phẳng

 

^{ :x   y z 1 0,}

 

^{ :x   y z 5 0} có tọa độ là:

A. ^M



^{0; 2;0}



^{. B. M}



^{0; 3;0}



^{. C. M}



^0;1;0



^{. D. M}



^{0; 1;0}



^.

Câu 32. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^H



^2;1;1



^{và cắt các}

trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là?}

A. 2x   y z 6 0. B. 2x   y z 2 0. C. x   y z 4 0. D. 2x   y z 4 0.

Câu 33. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^G



^{1; 2;3}



^{và cắt các}

trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là?}

A. 2x3y6z180. B. 6x3y2z180. C. 3x6y2z180. D. 6x2y3z180.

Câu 34. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng

 

^P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

 

1 :y2z 4 0,

 

2 :x y 5z 5 0và vuông góc với mặt phẳng

 

3 :x   y z 2 0. Phương trình của mặt phẳng

 

^{P là?}

A. x2y3z 9 0. B. 3x2y5z 5 0. C. 3x2y5z 4 0. D. 3x2y5z 5 0.

Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

 

1 : 3x   y z 2 0,

 

2 :x4y 5 0đồng thời song song với mặt phẳng

 

3 : 2x21y  z 7 0. Phương trình của mặt phẳng

 

^{P là?}

A. 2x21y z 230 B. 2x21y z 230. C. 2x21y z 230. D. 2x21y z 230

Câu 36. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{ : 2x y 0}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.

 

^{ Oz. B.}

 

^{ / /Oy. C.}

  

^{ / / yOz}



^{. D.}

 

^{ / /Ox.}

Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm ^M



^{1; 2;3}



^và

chứa trục Oy là:

A. x3z0. B. 3x z 0. C. 3x y 0. D. 3x z 0.

Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm ^M



^{1; 6; 3}



và mặt phẳng

 

^{ :x 1 0,}

 

^{ :y 3 0,}

 

^{ :z 3 0}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

 

^{ / /Oz. B.}

 

^{ qua M. C.}

  

^{ / / xOz}



^{. D.}

   

^{   .}

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng đi qua ba điểm



^{1; 0; 0 ,}

 

^{0; 2; 0 ,}



A B  ^C



^{0; 0; 3}



có phương trình:

A. x2y3z0. B. 6x3y2z 6 0.

C. 3x2y5z 1 0. D. x2y3z0.

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,khoảng cách giữa 2 mặt phẳng

 

^{P :x2y2z 11 0 và}

 

^{Q :x2y2z 2 0 là:}

A.7. B.5. C.3. D. 9.

---Hết--- ĐÁP ÁN PHẦN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C A A B C C C D D C

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A A C D A C A B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

B A A C D A A C A C

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A D B A D A C A B A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C A B D D C B D B B

ĐÁP ÁN PHẦN TỰ LUYỆN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B A C D A A C D A A

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B A C A A D A B A A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

D A B A C D A A B A

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A B A C A B A B C

Trong tài liệu Trắc nghiệm và tự luận phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Quốc Thịnh - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 65-84)