PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M x y z



0; 0; 0



và có véctơ pháp tuyến



^{; ;}



n A B C Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua M0



x y z0; 0; 0



và có một véctơ pháp tuyến ^n



^{A B C; ;}



^là:



0

 

0

 

0



0

A xx B yy C zz 

VD 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{1; 2; 4}



^{và nhận n}



^2;3;5



làm véctơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x3y5z160. B. 2x3y5z160.

C. 2x3y5z280. D. 2x3y5z280.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Phương trình mặt phẳng

 

^{ là : 2}



^{x 1}

 

^{3 y 2}

 

^{5 z4}



^{ 0 2x3y5z160}

VD 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{1; 2;3}



^{và nhận n}



^{4;5; 6}



làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 4x5y6z320. B. 4x5y6z320.

C. x2y3z320. D. x2y3z320.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Phương trình mặt phẳng ( ) là : ⁴



^{x 1}

 

^{5 y 2}

 

^{6 z  3}



^{0 4x5y6z320}

VD 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^2;0;1



^{và nhận n}



^1;1;1



làm véc tơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x0y  z 3 0. B. x   y z 3 0.

C. 2x0y  z 3 0. D. x   y z 3 0.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Phương trình mặt phẳng

 

^{ là : 1}



^{x 2}

 

^{1 y 0}

 

^{1 z}      ¹



^{0 x y z 3 0}

Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với một mặt phẳng Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng

 

^ đi qua điểm M x y z



0; 0; 0



và song song với mặt phẳng

 

^{ :AxBy Cz  D 0} nên phương trình có dạng:

  

 :A xx0



B y



y0



C z



z0



0

VD 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{2; 1; 2}



và song song với mặt phẳng ( ) : 2Q x y 3z 4 0. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x y 2z 11 0. B. 2x y 3z110.

C. 2x y 3z 11 0. D. 2x y 3z 4 0.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Phương trình mặt phẳng

 

^{Q : 2x y 3z 4 0} có véc tơ pháp tuyến là ⁿ



^{2; 1;3}



^{do đó}



^{2; 1;3}



n  làm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^ nên có phương trình 2x y 3z 11 0.

VD 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{1; 2;3}



và song song với mặt phẳng

 

^{Q : 2x3y  z 5 0}. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x3y  z 11 0. B. 2x3y z 110.

C. x2y3z 11 0. D. 2x3y  z 5 0.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Mặt phẳng

 

^Q có véc tơ pháp tuyến là ⁿ



^{2; 3;1}



^{do đó n}



^{2; 3;1}



làm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^ nên có phương trình2x3y  z 11 0.

VD 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{2;6; 3}



và song song với mặt phẳng



^Oxy



^{. Phương}

trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. z 3 0. B. x  y 8 0.

C. 2x6y3z0. D. z 3 0.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Phương trình mặt phẳng



^Oxy



có véc tơ pháp tuyến là ^k



^{0; 0;1}



do đó chọn ^k



^{0; 0;1}



^làm

véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^ nên có phương trình z 3 0.

Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng cho trước.

(Hoặc viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song hoặc chứa giá của hai véctơ cho trước.)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm M x y z



0; 0; 0



và vuông góc với hai với mặt phẳng

 

P :A x0 B y0 C z0 D0 0 ;

 

Q :A x1 B y1 C z1 D1 0nên có một véc tơ pháp tuyến :  n n_Q,n_P( ; ; )A B C

  

 :A xx0



B y



y0



C z



z0



0

VD 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm M( 2;3;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng

 

^{P và}

 

^{Q có}

phương trình lần lượt là 2x y 2z 5 0;3x2y  z 3 0. Phương trình mặt phẳng

 

^

là:

A.  3x 4y z 190 B. 3x4y z 190 C.  3x 4y z 190 D. 3x4y z 190

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^  n n nQ^, P 



^{3; 4;1}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^M



^2;3;1



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình : 3x 4y z 19 0

    

VD 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{3; 1; 5 }



và vuông góc với 2 mặt phẳng

 

^{P và}

 

^{Q có}

phương trình lần lượt là 3x2y2z 7 0; 5x4y3z 1 0. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x y 2z150. B. 2x y 2z150.

C. 2x y 2z150. D. 2x y 2z150.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^  n n nQ^, P



^{2;1; 2}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^M



^{3; 1; 5 }



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

2x y 2z150

VD 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua điểm ^M



^{0; 2; 0}



và vuông góc với 2 mặt phẳng

 

^{P và}

 

^{Q có}

phương trình lần lượt là z 3 0; 3x4y7z 1 0.Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 4x3y 6 0 B. 4x3y 6 0 C. 4x3y 6 0 D. 4x3y 6 0

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^  n n nQ^, P



^{4;3; 0}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^M



^{0; 2; 0}



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

4x3y 6 0

Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng

 

^ đi qua ba điểm M N P; , nên có một véc tơ pháp tuyến :

, ( ; ; )

n MN MP A B C

  

  

 ^:A xxM



B y



yM



C z



zM



⁰

VD 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 3 điểm ^A



^{2; 1;3 ;}

 

^{B 4;0;1 ;}

 

^{C 10;5;3}



. Phương trình của mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x2y2z 6 0. B. x2y2z 6 0.

C. x2y2z 6 0. D. x2y2z 2 0.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{  n }_^{AB AC, }_^



^{1; 2; 2}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^A



^{2; 1;3}



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

2 2 6 0

x y z 

VD 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 3 điểm ^A



^{1;0;0 ;}

 

^{B 0; 2;0 ;}

 

^{C 0;0; 3}



. Phương trình của mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 6x3y2z 6 0. B. 6x3y2z 6 0.

C. 6x3y2z 6 0. D. 6x3y2z 6 0.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{  n }_^{AB AC, }_^



^{6; 3; 2 }



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^A



^1;0;0



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

6x3y2z 6 0

VD 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 3 điểm ^A



^{1;1;1 ;}

 

^{B 4;3; 2 ;}

 

^{C 5; 2;1}



. Phương trình của mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x4y5z 2 0. B. x4y5z 2 0.

C. x4y5z100. D. x4y5z 8 0.

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{  n }_^{AB AC, }_^



^{1; 4;5}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^A



^1;1;1



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

4 5 2 0

x y z 

Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng Phương pháp giải:

Mặt phẳng

 

^ đi qua ba điểm M N; và vuông góc với mặt phẳng

 

^P nên có một véc tơ pháp tuyến :  n MN n, _P( ; ; )A B C

  

 ^:A xxM



B y



yM



C z



zM



⁰

VD 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{0; 2;0 ;}

 

^{B 0;0;0}



và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2Q x3y4z 2 0 .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 2x   y z 2 0. B. 2x z 0.

C. 2x z 0. D. 2x  y z 0.

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^  n AB n^, Q



^{2; 0;1}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^A



^{0; 2;0}



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

2x z 0

VD 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{0;1;0 ;}

 

^{B 2;3;1}



và vuông góc với mặt phẳng ( ) :Q x2y z 0 .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 4x3y2z 3 0. B. 4x3y2z 3 0.

C. 4x3y2z 3 0. D. 4x3y2z 3 0.

Hướng dẫn giải.

Chọn A.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^  n AB n^, Q



^{4; 3; 2} 



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^A



^0;1;0



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

4x3y2z 3 0

VD 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng đi qua 2 điểm ^A



^{1;0;1 ;}

 

^{B 5; 2;3}



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{Q :2x   y z 7 0} .Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x2z 1 0. B. x2z 1 0.

C. x2z 3 0. D.  x 2z 3 0.

Hướng dẫn giải.

Chọn B.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^  n AB n^, Q



^{1; 0; 2}



Mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^A



^1;0;1



và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình:

2 1 0

x z 

Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN. Phương pháp giải:

Mặt phẳng

 

^ đi qua trung điểm I của hai điểm M N; và vuông góc với MN nên có một véc tơ pháp tuyến :  n MN ( ; ; )A B C

  

 ^:A xxI



B y



yI



C z



zI



⁰

VD 1. Gọi

 

^ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với ^A



^{2;3;7 ;}

 

^{B 4;1;3}



. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x y 2z 9 0. B. x y 2z 9 0.

C. x y 2z 9 0. D. x y 2z 9 0.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{  n AB}



^{2; 2; 4 }



Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm trung điểm ^I



^{3; 2;5}



^{của AB} và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình :x y 2z 9 0

VD 2. Gọi

 

^ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với ^A



^{1; 2; 4 ;}

 

^{B 3;6; 2}



. Phương trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. x4y  z 7 0. B. x4y  z 7 0.

C. x4y  z 7 0. D. x4y  z 7 0.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{  n AB}



^{2;8; 2}



Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm trung điểm ^I



^{2; 2;3}



^{của AB} và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: x4y  z 7 0

VD 3. Gọi

 

^ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với ^A



^{2;3; 7 ;}

 

^{B 4; 1;3}



^{. Phương}

trình mặt phẳng

 

^{ là:}

A. 3x2y5z 11 0. B. 3x2y5z110.

C. 3x2y5z 11 0. D. 3x2y5z 11 0.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^{  n AB}



^{6; 4;10}



Mặt phẳng

 

^ đi qua điểm trung điểm ^I



^{1;1; 2}



^{của AB} và có một véctơ pháp tuyến n nên có phương trình: 3x2y5z 9 0

Dạng 7. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng

   

^{ , } có phương trình:

 

^{ :} A x1 B y C z1  1 D1 0

 

^{ :} A x2 B y C z2  2 D2 0



   

^{ ,  cắt nhau}  A B C1: 1: 1 A2:B2:C2



   

^{1 1 1 1}

2 2 2 2

// A B C D

A B C D

     



   

^{1 1 1 1}

2 2 2 2

A B C D

A B C D

      



   

    A A1 2B B1 2C C1 2 0

VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{ : 2x3y2z 5 0 và}

 

^{ : 3x4y8z 5 0}. Khi đó vị trí tương đối của

 

^{ và}

 

^{ là:}

A.

 

^{ cắt}

 

^{ . B.}

   

^{ //  .}

C.

   

^{   . D.}

   

^{   .}

Hướng dẫn giải Chọn A.

Vì ^{2 3 2}

3 4 8

  

 ^

 

^{ cắt}

 

^{ .}

VD 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{ : 5x5y5z 1 0 và}

 

^{ : 3x3y3z 7 0}. Khi đó vị trí tương đối của

 

^{ và}

 

^{ là:}

A.

 

^{ cắt}

 

^{ . B.}

   

^{ //  .}

C.

   

^{   . D.}

   

^{   .}

Hướng dẫn giải Chọn B.

VD 3. Vì ^{5 5 5 1}

3 3 3 7

 

  

 ^

   

^{ //  .} Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{ :x2y4z 6 0 và}

 

^{ : 2x3y  z 5 0}. Khi đó vị trí tương đối của

 

^{ và}

 

^{ là:}

A.

 

^{ cắt}

 

^{ . B.}

   

^{ //  .}

C.

   

^{   . D.}

   

^{   .}

Hướng dẫn giải Chọn D.

Vì ^{1.2 }

 

^{2 .3 }

   

^{4 .  1 0 }

   

^{   .}

VD 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

^{ : 2x2y4z 5 0 và}

 

^{: 5 5 10 25 0}

x y z 2

     . Khi đó vị trí tương đối của

 

^{ và}

 

^{ là:}

A.

 

^{ cắt}

 

^{ . B.}

   

^{ //  .}

C.

   

^{   . D.}

   

^{   .}

Hướng dẫn giải Chọn C.

Vì ^{2 2 4 5}

5 5 10 25 2

 

  

  ^

   

^{   .}

Dạng 8. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng. Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Giả sử mặt phẳng

 

^{ :AxBy Cz  D 0} có VTPT là ^n



^{A B C; ;}



^.

 ^{H x y z}



^{; ;}



^{là hình} chiếu của M x



M^;yM^;zM



lên mặt phẳng

 

^

 

.

0

M M M

x At x y Bt y MH t n

z Ct z H

Ax By Cz D



 



   

 

    

    



Giải hệ phương trình trên ta có t rồi suy ra x y z, , .

 ^M



^{x y z  ; ;}



là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng

 

^

H là trung điểm của MM

2 2 2

H M

H M

H M

x x x

y y y

z z z

   

 

  

   



Từ đó xác định được tọa độ của điểm M.

VD 1. Tọa độ hình chiếu H của điểm ^M



^{1; 1; 2}



lên mặt phẳng

 

^{ :x3y  z 2 0 là:}

A. ¹³; ^{5 20}; . 11 11 11

H   B. ^{13 5 20}; ; .

11 11 11 H 

C. ^{13 5}; ; ²⁰ . 11 11 11

H   D. ¹³; ^{5 20}; .

11 11 11 H   Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

 

^ có VTPT là ^n



^{1;3; 1}



^.

Gọi ^{H x y z}



^{; ;}



là hình chiếu của ^M



^{1; 1; 2}



lên mặt phẳng

 

^

 

2 13

1 11 11

3 1

. 5 13 5 20

1 ; ; .

2 11 11 11 11

3 1

3 2 0 20

2 11

x t t x

y t MH t n

x t y H

z t

H y t

x y z z t z



  

  

  

     

       

               

      

      

VD 2. Tọa độ M là điểm đối xứng của điểm ^M



^{1; 2;3}



qua mặt phẳng

 

^{ :x   y z 5 0 là:}

A. ^M



^{0; 2; 1 .}



^{B. M}



^{4; 2; 3 .}



^{C. M}



^{2; 1;5 .}



^{D. M}



^{0;1;3 .}



Hướng dẫn giải Chọn D.

 

^ có VTPT là ^n



^{1;1; 1}



^.

Gọi ^{H x y z}



^{; ;}



là hình chiếu của ^M



^{1; 2;3}



lên mặt phẳng

 

^

 

5 2

1 3

2 3

. 1 2 1 14

1 ; ; .

3 3 3 3 3

2 14

5 0

3 3

x t t x

y t MH t n

x t y H

z t

H y t

x y z z t z



   

   

  

     

       

             

      

      



^{; ;}



M   x y z là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng

 

^

H là trung điểm của MM

 

2 0

2 1 0;1;3 .

2 3

H M

H M

H M

x x x

y y y M

z z z

    

  

    

    



VD 3. Tọa độ H là hình chiếu của điểm ^M



^{2; 3;1}



qua mặt phẳng

 

^{ : x 2y  z 1 0 là:}

A. ²; ^{1 14}; .

3 3 3

H   B. ^{2 1 14}; ; . 3 3 3

H  C. ^{2 1}; ; ¹⁴ .

3 3 3

H   D. ²; ^{1 14}; .

3 3 3

H   Hướng dẫn giải

Chọn B.

 

^ có VTPT là ^{n }



^{1; 2;1}



^.

Gọi ^{H x y z}



^{; ;}



là hình chiếu của ^M



^{2; 3;1}



lên mặt phẳng

 

^

   

2 1

2 3 2 1

. 1 1; 1; 2 .

1 2 3

2 1 0 1 2

x t t

y t x t x

MH t n

y H

z t y t

H z

x y z z t



   

   

 

      

   

                

Dạng 9. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm M0



x y z0; 0; 0



đến mặt phẳng

 

^{ : AxBy Cz  D 0}



0, ( )



Ax⁰ 2By⁰ 2Cz⁰2 D d M

A B C

  ^{  }

 

Chú ý: ● Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

● Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 3;5) và mặt phẳng

 

^{ có phương}

trình: 2x y 2z 6 0. Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng

 

^{ là:}

A. ^{5 7}.

7 B. ¹¹.

3 C. ¹⁷.

3 D. ⁵.

3 Hướng dẫn giải

Chọn B.

Áp dụng công thức

    ^{ }

 

²

2 2

2.2 1. 3 2.5 6 11

, .

2 1 2 3

d M   ^{   } 

  

VD 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1; 1) và mặt phẳng

 

^P có phương trình: x   y z 4 0. Khoảng cách từ điểm A mặt phẳng

 

^{P là:}

A. ⁵ .

2 B. ⁴ .

2 C. ⁴ .

3 D. ⁵ .

3 Hướng dẫn giải

Chọn C.

Áp dụng công thức

    ^{ }

 

²

2 2

1.2 1.1 1. 1 4 4

, .

1 1 1 3

d A P    

 

  

VD 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng:

 

 

: 2 3 2 0

: 2 3 16 0

x y z x y z





   

   

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

 

^{ và}

 

^{ là:}

A. 14. B. 0. C. 15. D. 23.

Hướng dẫn giải Chọn A.

Vì ^{2 3 1 2}

2 3 1 1 16

   

 

   

^{ // }

Chọn ^M



^{0;0; 2}

  

^{ } thì khoảng cách giữa

 

^{ và}

 

^{ là:}

   

     

 

²

2 2

2.0 3.0 2 16

, , 14.

2 3 1

d   d M   ^{  } 

   Dạng 10. Tìm góc giữa hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng

   

^{ , } có phương trình

 

 :A x1 B y C z1  1 D1 0

 

 :A x2 B y C z2  2 D2 0

Vì góc giữa

   

^{ , } bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n n₁, ₂nên

   

 

^{1 2} ₂ ¹₂² ₂^{1 2} ₂ ^{1 2}_{2 2}

1 2 1 1 1 2 2 2

cos , .

. .

n n A A B B C C

n n A B C A B C

    ^{ }

   

Chú ý:  ^{00 }



^{( ), ( ) }



^{900. } ( ) ( )  A A1 2B B1 2C C1 2 0 VD 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình:

 

^{ :x   y z 1 0 và}

 

^{ :x   y z 5 0.}

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng

 

^{ và}

 

^{ , cos} là số nào?

A. ¹.

2 B. ¹.

3 C. ¹.

4 D. ⁴.

5

Hướng dẫn giải Chọn B.

 

^ có VTPT là n1



1;1; 1



 

^ có VTPT là n2 



1; 1;1



   

  ^{   }

   

1 2

2 2

2 2 2 2

1 2

1.1 2. 1 1 .1

. 1

cos ,

. 1 1 1 . 1 1 1 3

n n n n

    ^{   } 

     

VD 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình:

 

^{ : 2 –x y2z 4 0 và}

 

^{ :x2y2z 4 0.}

Góc giữa hai mặt phẳng

   

^{ ,  bằng:}

A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 .

Hướng dẫn giải Chọn A.

 

^ có VTPT là n1



2; 1; 2



 

^ có VTPT là n2 



1; 2; 2 



   

 

^{1 2}

^{     }

1 2

2.1 1 . 2 2. 2

cos , . 0

. 4 1 4. 1 4 4

n n n n

    ^{    } 

   

   



^{ , }



⁹⁰

  .

VD 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình:

 

^{ : – 2x y3z 6 0 và}

 

^{ :x3z 1 0.}

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng

 

^{ và}

 

^{ , cos} là số nào?

A. ⁷.

2 B. ³.

2 C. ⁷.

7 D. ¹ .

3 Hướng dẫn giải

Chọn C.

 

^ có VTPT là n1



1; 2;3



 

^ có VTPT là n2 



1; 0; 1



   

 

^{1 2}

^{   }

1 2

1.1 2 .0 3. 1

. 7

cos , .

. 1 4 9. 1 1 7

n n n n

    ^{   } 

  

   



^{ , }



⁹⁰

  .

Trong tài liệu Trắc nghiệm và tự luận phương pháp tọa độ trong không gian – Nguyễn Quốc Thịnh - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 41-54)