Hình chóp cụt - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

HAI MẶT PHẲNG SONG SONGBài 4

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

4. Hình chóp cụt

L Định nghĩa:

Cho hình chópS.A₁A₂. . .A_n. Một mặt phẳng(P)song song với mặt đáy của hình chóp và không đi qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA₁, SA₂, . . . ,SA_n tại A⁰₁,A⁰₂, . . . ,A⁰_n. Hình tạo thành bởi hai đa giác A⁰₁A⁰₂. . .A⁰_n,A₁A₂. . .A_nvà các tứ giácA₁A₂A⁰₂A⁰₁,A₂A₃A⁰₃A⁰₂,. . . ,A_nA₁A⁰₁A⁰_ngọi làhình chóp cụt.

• ĐáyA₁A₂. . .A_ncủa hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.

• Thiết diệnA⁰₁A⁰₂. . .A⁰_ncủa hình chóp và(P)gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

• Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác,. . . ).

A⁰₁

A⁰₂ A⁰₃ A⁰₄ A⁰₅

A₁

A₂ A3

A₄ A₅

L Tính chất:

• Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp cạnh tương tứng bằng nhau.

• Các mặt bên là hình thang.

• Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại1điểm.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

45

4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

B. PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

p Dạng 4.11. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:

• Phương pháp 1.

Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng còn lại.











a⊂(α),b⊂(α) a∩b=M

a∥(β),b∥(β)

⇒(α)∥(β).

a b

• Phương pháp 2.

Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ 3.







(α)6= (β)

(α)∥(γ),(β)∥(γ)

⇒(α)∥(β).

Ví dụ 1

d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung điểm củaSA,SD. Chứng minh(OMN)∥(SBC).

Ví dụ 2

d Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình bình hành. GọiA⁰,B⁰,C⁰,D⁰lần lượt là trung điểm của các cạnhSA,SB,SC,SD.Chứng minh rằng(A⁰C⁰D⁰)∥(ABCD).

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Ví dụ 3

d Cho hình chóp S.ABCD với đáyABCD là hình thang màAD∥BC và AD=2BC. GọiM, N lần lượt là trung điểm củaSAvàAD. Chứng minh:(BMN)∥(SCD).

Ví dụ 4

d Cho hai hình bình hànhABCDvàABEF có chung cạnhABvà không đồng phẳng. GọiI,J,K lần lượt là trung điểmAB,CD,EF. Chứng minh

(ADF)∥(BCE).

a) b) (DIK)∥(JBE).

Ví dụ 5

d Cho hình lăng trụ ABC.A⁰B⁰C⁰. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACC⁰, A⁰B⁰C⁰. Chứng minh rằng(IJK)∥(BCC⁰B⁰)và(A⁰JK)∥(AIB⁰).

Ví dụ 6

d Cho hai hình vuông ABCD vàABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo ACvàBF lần lượt lấy các điểmM,N sao choAM=BN. Các đường thẳng song song vớiABvẽ từ M,Nlần lượt cắtADvàAF tạiM⁰vàN⁰.

a) Chứng minh rằng(ADF)∥(BCE).

b) Chứng minh rằng(CDF)∥(MM⁰N⁰N).

p Dạng 4.12. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chưng minhasong song(P), ta thường sử dụng một trong hai cách sau L Cách 1. (Đã xét ở bài học trước) Ta cần chứng tỏ các ý sau:

• akhông nằm trên(P);

• asong song với một đường thẳngbnằm trong(P). Suy raa∥(P).

hay











a6⊂(P) a∥b b⊂(P)

⇒a∥(P)

L Cách 2. Ta chứng minh đường thẳnganằm trong mặt phẳng(Q)và(Q)∥(P)thìa∥(P).

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

47

4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Ví dụ 1

d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, ABC, SBD. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng G₂G₃. Chứng minh G₁M∥(SBC).

Ví dụ 2

d Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm của SAvàCD.

a) Chứng minh hai mặt phẳng(OMN)và(SBC)song song với nhau.

b) GọiI là trung điểm củaSD, Jlà một điểm trên (ABCD)và cách đềuAB,CD. Chứng minh IJsong song với(SAB).

c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác trong của tam giácACDvàSAB. Chứng minhEF song song với(SAD).

p Dạng 4.13. Giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ). Thiết diện.

Sử dụng tính chất











(α)∥(β) (γ)∩(α) =a (γ)∩(β) =b

⇒a∥b

Ví dụ 1

d Cho hình chópS.ABCDđáyABCDlà hình bình hành tâmH. Mặt phẳng(P)đi quaH và song song với(SAB). Tìm giao tuyến của

a) Mặt phẳng(P)và mặt phẳng(ABCD).

b) Mặt phẳng(P)và mặt phẳng(SBC).

Ví dụ 2

d Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình bình hành. GọiM là điểm bất kỳ trênAB. Gọi (α)là măt phẳng quaM và song song với(SBC). Tìm giao tuyến của (α)với các mặt của hình

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

chóp.

Ví dụ 3

d Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. GọiM,N,Plần lượt là trung điểm các cạnhAB,AD, A⁰D⁰. Xác định giao tuyến của(MNP)và các mặt(A⁰B⁰C⁰D⁰),(AA⁰B⁰B).

Ví dụ 4

d Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm OcóAC =a, BD=b. Tam giácSBD là tam giác đều. Một mặt phẳng(α)di động song song với mặt phẳng (SBD)và đi qua điểmI trên đoạnAC.

a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(α).

b) Tính diện tích thiết diện theoa,bvàx=AI.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO. GọiM,Nlần lượt là trung điểm củaSAvàCD.

Chứng minh hai mặt phẳng(MNO)và(SBC)song song.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểmSA,SB,SDvàK,Ilà trung điểm củaBC,OM.

a) Chứng minh(OMN)∥(SCD).

b) Chứng minh(PMN)∥(ABCD).

c) Chứng minhKI∥(SCD).

Bài 3. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành tâmO. GọiM,N lần lượt là trung điểm SA,SD

a) Chứng minh(OMN)∥(SBC).

b) GọiP, Q,Rlần lượt là trung điểm củaAB, ON,SB. Chứng minhPQ∥(SBC)và(ROM)∥

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

49

4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

(SCD).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hànhABCD. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnhAB,AD,SC. Trên đoạnAMlấy điểmK. Mặt phẳng quaKsong song vớiMNE cắtSB,ADlần lượt tạiP,Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng(KPQ)và mặt phẳng(SAD).

Bài 5. Cho hình chóp SABC cóGlà trọng tâm tam giácABC. Trên đoạnSA lấy hai điểmM, N sao choSM=MN=NA.

a) Chứng minh rằngGM∥(SBC).

b) GọiDlà điểm đối xứng vớiAquaG. Chứng minh rằng(MCD)∥(NBG).

c) GọiH=DM∩(SBC). Chứng minh rằngH là trọng tâm tam giácSBC.

Bài 6. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. GọiMlà trung điểm của cạnh AB. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng(P)song song với(AB⁰D⁰)và đi quaMvà cắt hình hộp.

Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh(G₁G₂G₃)∥(BCD).

b) Tìm thiết diện của tứ diệnABCDvới mặt phẳngG₁G₂G₃. Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giácBCDlàS.

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

B Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C Nếu mặt phẳng(P)chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng(Q)thì(P)và(Q)song song với nhau.

D Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.

Câu 2. Xét các mệnh đề sau:

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

a) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng(Q) thì (P) song song với mọi đường thẳng trong (Q).

b) Nếu mặt phẳng(P)và mặt phẳng(R)cùng song song với mặt phẳng(Q)thì mặt phẳng(P)và mặt phẳng(R)song song với nhau.

c) Nếu mặt phẳng(P)song song với mặt phẳng(Q)thì mọi đường thẳng trong(P)đều song song với mọi đường thẳng trong(Q).

d) Nếu mặt phẳng(P)song song với mặt phẳng(Q)và đường thẳngasong song với mặt phẳng(Q) thì đường thẳngasong song với mặt phẳng(P).

Số mệnh đề đúng là

A 2. B 1. C 3. D 4.

Câu 3. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Mệnh đề nào sau đây làsai?

A (ABCD)∥(A⁰B⁰C⁰D⁰). B (AA⁰D⁰D)∥(BCC⁰B⁰).

C (BDD⁰B⁰)∥(ACC⁰A⁰). D (ABB⁰A⁰)∥(CDD⁰C⁰).

Câu 4. Cho điểmOnằm ngoài mặt phẳng(P). GọiMlà một điểm thay đổi nằm trên(P). Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳngOMlà

A Một đoạn thẳng . B Một mặt phẳng. C Một đường thẳng. D Một tam giác.

Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nàosai?

A Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

B Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.

C Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.

D Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.

Câu 6. Giả thiết nào dưới đây kết luận đường thẳngasong song với mặt phẳng(α)?

A a∥bvàb∥(α). B a∥(β)và(β)∥(α).

C a∩(α) =∅. D a∥bvàb⊂(α).

Câu 7. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đềsailà

A Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.

B Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

51

4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

D Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau.

Câu 8. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng đó.

B Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

C Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng quy.

D Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Câu 9. Cho đường thẳngathuộc mặt phẳng(P)và đường thẳngbthuộc mặt phẳng(Q). Mệnh đề nào sau đâyđúng?

A a∥b⇒(P)∥(Q). B (P)∥(Q)⇒a∥b.

C (P)∥(Q)⇒a∥(Q)vàb∥(P). D avàbchéo nhau.

Câu 10. Cho mặt phẳng(R)cắt hai mặt phẳng song song(P)và(Q)theo hai giao tuyếnavàb. Mệnh đề nào sau đâyđúng?

A avàbvuông góc nhau. B avàbsong song.

C avàbcắt nhau. D avàbchéo nhau.

Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰, AC∩BD=O,A⁰C⁰∩B⁰D⁰ =O⁰. M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CC⁰. Khi đó thiết diện do mặt phẳng(MNP) cắt hình lập phương là hình

A Tam giác. B Từ giác. C Ngũ giác. D Lục giác.

Câu 12. Cho tứ diện đềuSABC. GọiIlà trung điểm của đoạnAB,Mlà điểm di động trên đoạnAI. Qua Mvẽ mặt phẳng(α)song song với(SIC). Thiết diện tạo bởi(α)với tứ diệnSABClà

A hình thoi. B tam giác cân tạiM. C tam giác đều. D hình bình hành.

Câu 13. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Mặt phẳng(AB⁰D⁰)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A (BA⁰C⁰). B (C⁰BD). C (BDA⁰). D (ACD⁰).

Câu 14. Cho hình chópS.ABCD, có đáyABCD là hình bình hành tâm O. GọiM,N lần lượt là trung điểmSA,SD. Mặt phẳng(OMN)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A (SBC). B (SCD). C (ABCD). D (SAB).

Câu 15. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Mặt phẳng(AB⁰D⁰)song song với mặt phẳng nào sau đây?

A (BDA⁰). B (A⁰C⁰C). C (BDC⁰). D (BCA⁰).

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Câu 16. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình bình hành. GọiA⁰,B⁰,C⁰,D⁰lần lượt là trung điểm của các cạnhSA,SB,SC,SD.Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A A⁰B⁰∥(SBD). B A⁰B⁰∥(SAD). C (A⁰C⁰D⁰)∥(ABC). D A⁰C⁰∥BD.

Câu 17. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đềsai?

A (BA⁰C⁰)∥(ACD⁰). B (ADD⁰A⁰)∥(BCC⁰B⁰).

C (BA⁰D)∥(CB⁰D⁰). D (ABA⁰)∥(CB⁰D⁰).

Câu 18. Cho hình hộpABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰và điểmMnằm giữa hai điểmAvàB. Gọi(P)là mặt phẳng đi quaMvà song song với mặt phẳng(AB⁰D⁰). Mặt phẳng(P)cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

A Hình ngũ giác. B Hình lục giác. C Hình tam giác. D Hình tứ giác.

Câu 19. Cho tứ diệnABCDcóAB=6,CD=8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song vớiAB,CD để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng

A 31

7 . B 18

7 . C 24

7 . D 15

7 .

Câu 20. Cho hình lập phươngABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰ cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuôngAA⁰D⁰D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phươngABCD.A⁰B⁰C⁰D⁰tạo bởi mặt phẳng(CMN).

A a²√ 14

4 . B 3a²√

2 . C 3a²

4 . D a²√

14 2 .

Câu 21. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình bình hànhABCDtâmO.AB=8,SA=SB=6.(P)là mặt phẳng quaOvà song song với(SAB). Thiết diện của hình chóp với(P)có diện tích bằng

A 6√

5. B 5√

5. C 12. D 13.

Câu 22. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thangABCD,AB//CD,AB=2CD. M là điểm thuộc cạnhAD,(α)là mặt phẳng quaMvà song song với mặt phẳng(SAB). Biết diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(α)bằng 2

3 diện tích tam giácSAB. Tính tỉ sốx= MA MD. A x= 1

2. B x=1. C x=3

2. D x= 2

Câu 23. Cho tứ diệnABCDcó tất cả các cạnh đều bằnga, điểmGlà trọng tâm của tam giácBCD. Gọi (P)là mặt phẳng đi quaGvà song song với mặt phẳng(ABC). Tính diện tíchScủa thiết diện tạo bởi mặt phẳng(P)và tứ diệnABCD.

A S= a²√ 3

12 . B S= a²√ 3

4 . C S=a²√ 3

9 . D S= a²√ 3 6 .

—HẾT—

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Trang

53

5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG

ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI

Trong tài liệu Chuyên đề đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song - Phạm Hùng Hải - TOANMATH.com (Trang 47-56)