3.1 Tóm tắt lý thuyết
3.1.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
b2=a·b0.
a) b) c2=a·c0.
a2=b2+c2.
c) d) h2=b0·c0.
a·h=b·c.
e) 1
h2 = 1 b2+ 1
c2. f)
b0 c0 =b2
c2.
g) B
A
C H
c h b
c0 b0
a
3.1.2 Hệ thức lượng trong tam giác thường
a) Định lí côsin
a2=b2+c2−2bccosA b2=a2+c2−2accosB c2=a2+b2−2abcosC
⇒
cosA=. . . . . . cosB=. . . . . . cosC=. . . . . .
b) Định lí sin a
sinA= b
sinB= c
sinC=2R.
c) Trung tuyến
m2a=2(b2+c2)−a2 4 m2b=2 c2+a2
−b2 4 m2c=2 a2+b2
−c2
4 .
d) Công thức tính diện tích tam giác S=1
2aha=1
2bcsinA=abc
4R =pr=p
p(p−a)(p−b)(p−c).
Trong đó p= a+b+c
2 ; R; r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác
ABC.
3.1.3 Bán kính đường tròn nội tiếp (nâng cao) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giácr=(p−a) tanA
2 =(p−b) tanB
2 =(p−c) tanC 2.
3. Hệ thức lượng trong tam giác
Chú ý
Nếu4ABCđều thì
p=3a
2 =3b 2 =3c
2 Ab=Bb=Cb=60◦
nênr=ap 3 2 .
Nếu4ABCvuông thìr=tổng hai cạnh góc vuông−cạnh huyền
2 .
3.1.4 Độ dài đường phân giác (nâng cao)
Độ dài đường phân giác
l2a= 4bc
(b+c)2·p(p−a) l2b= 4ca
(c+a)2·p(p−b) l2c= 4ab
(a+b)2·p(p−c).
3.2 Các dạng toán
$DẠNG 1. Tính các giá trị cơ bản
Phương pháp:Học thuộc các công thức ở trên
µVí dụ 1.
Cho tam giác ABC, hãy tínhha,R,rvà số đo các góc trong các trường hợp sau AB=6,AC=8vàB AC=60◦.
a) b) BC=8, AB=5,ABC=60◦.
AB=20,AC=16,BC=12.
c) d) BC=19,AC=15,AB=6.
BC=12,AC=13,ma=AM=8.
e) B AC=60◦,BC=10,3r=5p
3. f)
3. Hệ thức lượng trong tam giác
bLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uuu BÀI TẬP TỰ LUYỆNuuu
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB=2, AC=2p
3, Ab=30◦. Tính độ dàiBC, bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABCcó AB=3,BC=4vàABC=120◦. 1) Tính tích vô hướng # »
B A·# » BC.
3. Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8vàB AC=60◦.
1) Tìm độ dài cạnhBC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
2) Tính diện tích tam giácABC và bán kính đường tròn nội tiếp tam giácABC.
Bài 4. Cho tam giác ABCcó Ab=120◦,Bb=30◦, diện tích tam giácABC bằng9p
3. Tính các cạnh của
tam giácABC.
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB=3, AC=7và gócBb=60◦. a) Tính cạnhBC, bán kínhR.
b) Trên đoạn AC,BC lấy lần lượt các điểmD,Esao choCD=CE=4. Tính đoạnDE. Bài 6. Cho tam giác ABC có AB=2, AC=2p
7vàBC=4.
a) Tính gócB, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvà diện tích tam giác ABC.
b) Tính độ dài đường phân giác trong của gócBcủa tam giácABC.
Bài 7. Cho tam giác ABCcó AB=2,AC=3vàB AC=120◦. Tính độ dàiBC, diện tích tam giácABC,
bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài đường phân giác trongADcủa tam giácABC.
Bài 8. Cho tam giác ABCcó AB=3, AC=5 vàB AC=60◦. GọiM là trung điểm củaABvàElà trên ACthỏa # »
AC=4# » AE.
a) TínhCMvà bán kính đường tròn nội tiếp4AMC.
b) Tính tích vô hướngBE# »
·# » AC.
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB=10,BC=6và gócBb=120◦.
a) Tính ACvà diện tích tam giác ABC.
b) Tính đường cao AHvà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Tính độ dài đường phân giác trongBD của tam giác ABC.
Bài 10. Cho tam giác ABC có AB=c,BC=a, AC=b. Gọi ha,hb,hc lần lượt là các đường cao tương ứng xuất phát từ các đỉnhA,B,Cvàrlà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh
1 ha+ 1
hb + 1 hc =1
r.
Bài 11. Cho tam giác ABCcóa2+b2=2c2. Chứng minhma+mb+mc= p3
2 (a+b+c). Bài 12. Cho tam giác ABCkhông vuông ởA, chứng minh S=1
4 b2+c2−a2 tanA. Bài 13. Cho tam giác ABCcóBC=a,AC=b,AB=cvà trung tuyến AM=c
2. Chứng minh2b2=a2−c2.
a) b) Chứng minhsin2A=2 sin2B+sin2C.
Bài 14. Cho tam giác ABC.
Chứng minh rằng(p−a)(p−b)(p−c)≤1 8abc.
a) Chứng minh rằng r
R ≤1 2. b)
3. Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 15. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng a ma+ b
mb + c mc ≥2p
3.
Bài 16. Chứng minh rằng nếu5m2a=m2b+m2c thì tam giác ABCvuông tại A. ¤ Bài 17. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giácABCthỏa hệ thứcsinA=2 sinBcosCthì tam giác
ABC cân. ¤
Bài 18. Chứng minh rằng nếua=2bcosCvà b
3+c3−a3
b+c−a =a2 thì tam giác ABCđều. ¤
Bài 19. Tam giác ABCcó đặc điểm gì nếu 1+cosB
sinB = 2a+c
p4a2−c2. ¤∆ABCcân tạiC
Bài 20. Tam giác ABCcó chiều cao ha=p
p(p−a). Chứng minh ABClà tam giác cân. ¤
Bài 21. Chứng minh rằng nếu tam giác ABCcóS=1
6(cha+bhc+ahb)thì nó là tam giác đều. ¤ Bài 22. Chứng minh tam giác ABClà tam giác đều nếu thỏa mãn:
2(a3+b3+c3)=a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).
¤
ccc BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMccc Câu 1. Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM có độ dài bằng
A 1
2
p2b2+2c2−a2. B p3a2−2b2−2c2. C p2b2+2c2−a2. D pb2+c2−a2 . Câu 2. Trong tam giác ABC, mệnh đề nào sau đâyđúng?
A a2=b2+c2+2bccosA. B a2=b2+c2−2bccosA.
C a2=b2+c2+bccosA. D a2=b2+c2−bccosA.
Câu 3. Cho tam giác ABC có AB=c,BC=a,AC=b, plà nửa chu vi và S là diện tích tam giác đã cho. Xét hai mệnh đề sau đây:
(i)S2=p(p−a)(p−b)(p−c).
(ii)16S2=(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c). Trong hai mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
A (i) và (ii). B Không có. C (i). D (ii).
Câu 4. Diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt làp3,p2và1bằng A
p2
2 . B p3. C
p6
2 . D
p3 2 .
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=AC=30cm. Hai đường trung tuyếnBF vàCE
cắt nhau tạiG. Diện tích tam giácGFC bằng
A 50p
2cm2. B 75cm2. C 15p
105cm2. D 50cm2.
Câu 6. Tam giác có ba cạnh lần lượt là5, 12, 13.Độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất bằng
A 12. B 120
30 . C 30
13. D 60
13 . Câu 7. Tam giác có ba cạnh là9, 10, 11.Đường cao lớn nhất của tam giác bằng
A 60
p2
9 . B 3p
2. C p70. D 4p
4. Câu 8. Cho tam giác với ba cạnha=13,b=14,c=15.Đường caohc bằng