Định nghĩa 1. Cho trước một tập hợp có n phần tử. Khi sắp xếp các phần tử của chúng cạnh nhau ta có được một dãynphần tử của tập hợp đã cho và gọi nó là một hoán vị của nphần tử đã cho.
Khi đó: Số các hoán vị khác nhau của một tập hợpnphần tử làPn=n!.
A. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số 1,2,3,4,5. ĐS:120
Lời giải.
Số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số1,2,3,4,5 chính là số hoán vị khác nhau của5phần
tử và bằngP5 = 5! = 120.
Bài 2. Cho tập hợp A={2,4,6}. Số các điểm trong không gian(Oxyz) có tọa độ khác nhau thuộc tập
Alà bao nhiêu? ĐS:6
Lời giải.
Số các điểm trong không gian (Oxyz) có tọa độ khác nhau là số hoán vị của 3 phần tử trong tập A và bằng
P3 = 3! = 6.
Bài 3. Tính số các số có năm chữ số được viết bởi đúng năm chữ số1,2,3,4,5trong đó ba chữ số đầu
là ba chữ số lẻ và hai chữ số cuối là hai chữ số chẵn. ĐS: 12
Lời giải.
Số cách sắp xếp ba chữ số lẻ1,3,5là 3! = 6.
Số các số chẵn được viết bởi đúng hai chữ số chẵn2,4 là2! = 2.
Do đó số các số cần tìm thỏa mãn đề bài là3!·2! = 12.
Bài 4. Cho các số 0,1,2,3,4,5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số5 lặp
lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS:5880
Lời giải.
Gọin=a1a2a3a4a5a6a7a8.
Trong nchữ số5 có mặt ba lần nên ta ghi thêm:0,1,2,3,4,5,5,5.
Cách 1. a1 có 7 cách chọn (vìa1 6= 0) a2 có 7 cách chọn.
a3 có 6 cách chọn.
a4 có 5 cách chọn.
a5 có 4 cách chọn.
a6 có 3 cách chọn.
a7 có 2 cách chọn.
a8 có 1 cách chọn.
⇒ có 1·2·3·4·5·6·7·7 = 5880số.
Để ý rằng trong n số5 có mặt đúng ba lần nên mỗi khi ta hoán vị 3 chữ số này thì số nvẫn không đổi.
Vậy số các số cần tìm là 35820
3! = 5880 sốn.
Cách 2. Chọn tám số vào tám vị trí là một hoán vị của8 phần tử có 8!.
Có7! số các số bắt đầu bằng chữ số0.
Có3! lần hoán vị 3chữ số 5mà nvẫn không đổi.
Vậy số các số cần tìm là 8!−7!
3! = 5880số.
Bài 5. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau. Hỏi trong tất cả các chữ số đã thiết lặp được có bao nhiêu chữ số mà hai chữ số1 và6 không đứng cạnh nhau? ĐS:480
Lời giải.
Có6! = 720 số có sáu chữ số khác nhau.
Bây giờ ta tìm số các số có hai chữ số 1và 6đứng cạnh nhau.
Hai số1 và6 đứng cạnh nhau ta xem như một khối thống nhất.
Khối thống nhất này cùng với bốn chữ số còn lại ta có5! = 120số.
Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số1 và6 ta sẽ có2!số mới.
Nên ta có5!·2! = 240 số có6chữ số khác nhau có hai chữ số 1 và6 đứng cạnh nhau.
Vậy có720−240 = 480số cần tìm.
Bài 6. Người ta viết các số có6chữ số bằng các số1,2,3,4,5như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số khác xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy? ĐS:1800
Lời giải.
Vì có một chữ số xuất hiện hai lần nên số các số được lập là một hoán vị có lặp lại của6 phần tử nên bằng 6!
2! = 360 số.
Vì có năm chữ số nên có tất cả là360·5 = 1800số.
Bài 7. Người ta xếp ngẫu nhiên 5lá phiếu thứ tự từ 1 đến5 cạnh nhau.
1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau? ĐS: 48 2 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt? ĐS: 24
Lời giải.
1 Trong 5 phiếu thứ tự từ1 đến 5có hai phiếu mang số chẵn và ba phiếu mang số lẻ.
Hai phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ta xem như một khối thống nhất.
Khối thống nhất này cùng với ba phiếu lẻ còn lại ta sẽ có 4!cách sắp xếp.
Mỗi lần ta hoán vị2 phiếu số chẵn ta sẽ có2! cách sắp xếp mới.
Vậy có 4!·2! = 48cách sắp xếp.
2 Có 2!cách sắp xếp các phiếu số chẵn.
Có 3!cách sắp xếp các phiếu số lẻ.
Có 2!cách sắp xếp mỗi khi ta hoán vị 2nhóm chẵn, lẻ.
Vậy có 2!·3!·2! = 24 cách sắp xếp.
Bài 8. Trong một phòng học có hai bàn dài, mỗi bàn có5ghế. Người ta muốn sắp xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi nếu:
1 Các học sinh ngồi tùy ý. ĐS:3628800
2 Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. ĐS: 28800
Lời giải.
1 Có 10 học sinh xếp tùy ý vào10 ghế ta có 10! = 3628800 cách xếp.
2 Các học sinh nam ngồi riêng một bàn ta có5!cách xếp. Các học sinh nữ ngồi riêng một bàn ta có5!cách xếp.
Mỗi lần ta đổi chỗ 2nhóm học sinh nam, nữ ta có 2!cách xếp mới.
Vậy có tất cả 5!·5!·2! = 28800 cách xếp.
Bài 9. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có6 ghế. Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:
1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau? ĐS:1036800 2 Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện với nhau thì khác trường nhau? ĐS: 33177600
Lời giải.
1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi canh nhau hoặc đối diện với nhau thì khác trường với nhau. Điều này chứng tỏ6 học sinh trường A được chia ra mỗi dãy ghế có3 bạn và6học sinh trường B cũng được chia ra mồi dãy ghế có3 bạn.
Giả thiết trên cũng cho ta biết rằng nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường A thì cạnh A là học sinh trường B và đối diện A là học sinh trường B.
Ngược lại nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường B thì cạnh B là học sinh trường A và đối diện với B là học sinh trưòng A.
Ta có6!cách xếp6 học sinh trường A vào6 chổ ngồi, có6!cách xếp6 học sinh trường B vào 6chỗ ngồi và có2!cách xếp2 nhóm học sinh trường A và trường B.
Vậy có6!·6!·2! = 1036800 cách xếp.
2 Giả sử học sinh thứ nhất của trường A ngồi trước, có12 cách chọn chổ ngồi. Sau đó, chọn1học sinh của trường B ngồi đối diện với học sinh trường A đã ngồi ta có 6cách chọn 1học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10chỗ để chọn nên có 10 cách chọn cho học sinh thứ hai của trường A. Có5 cách chọn cho học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh của trường A.
Tiếp tục lý luận như trên đến học sinh cuối cùng.
Như vậy ta có12·6·10·5·8·4·6·3·4·2·2·1 = 33177600 cách xếp.
Bài 10. Từ năm chữ số1,2,3,4,5lập được bao nhiêu số thỏa mãn:
1 Có năm chữ số đôi một khác nhau. ĐS: 120
2 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số3. ĐS:24
3 Có năm chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng chữ số1. ĐS:96
4 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng21. ĐS:6
Lời giải.
1 Mỗi số cần lập ứng với một hoán vị của 5phần tử 1,2,3,4,5. Nên số các số cần lập là 5! = 120số.
2 Gọi số cần lập là:x=abcde. Vìa= 3 nênacó1cách chọn. Ứng vớia= 3, mỗi cách chọnb, c, d, elà một hoán vị của4 chữ số còn lại nên có4!cách chọn b, c, d, e. Vậy có thể lập được1·4! = 24 số thỏa mãn.
3 Gọi số cần lập là:x =abcde. Vì a6= 1 nên acó 4 cách chọn. Ứng với mỗi giá trị củaa, mỗi cách chọn b, c, d, elà một hoán vị của4 chữ số còn lại nên có 4! cách chọnb, c, d, e. Vậy có thể lập được 4·4! = 96 số thỏa mãn.
4 Gọi số cần lập là:x=abcde. Vìab= 21nênab có1 cách chọn. Ứng vớiab= 21, mỗi cách chọnc, d, elà một hoán vị của3 chữ số còn lại nên có3!cách chọnc, d, e. Vậy có thể lập được 1·3! = 6số thỏa mãn.
Bài 11. Từ các chữ số của tập hợp A={1,2,3,4,6}, có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn:
1 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số lẻ. ĐS:48
2 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng chữ số6. ĐS:24
3 Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng346. ĐS:2
4 Có năm chữ số đôi một khác nhau và tính tổng các số đó. ĐS:Có120số và tổng là4266624
Lời giải.
1 Gọi số cần lập là: x = abcde. Vì a lẻ nên a có 2 cách chọn. Ứng với mỗi giá trị của a, mỗi cách chọn b, c, d, elà một hoán vị của4 chữ số còn lại nên có 4! cách chọnb, c, d, e. Vậy có thể lập được 2·4! = 48 số thỏa mãn.
2 Gọi số cần lập là: x=abcde. Vìa= 6nên acó 1cách chọn. Ứng vớia= 6, mỗi cách chọnb, c, d, elà một hoán vị của 4 chữ số còn lại nên có4!cách chọnb, c, d, e. Vậy có thể lập được 1·4! = 24số thỏa mãn.
3 Gọi số cần lập là: x=abcde. Vìabc= 346nênabccó 1cách chọn. Ứng vớiabc= 346, mỗi cách chọnd, e là một hoán vị của 2chữ số còn lại nên có 2!cách chọnd, e. Vậy có thể lập được1·2! = 2số thỏa mãn.
4 Mỗi số cần lập ứng với một hoán vị của 5 phần tử 1,2,3,4,6. Nên số các số cần lập là 5! = 120số.
Mỗi chữ số sẽ xuất hiện ở mỗi hàng đúng 4! lần nên tổng các số có năm chữ số đôi một khác nhau là (1 + 2 + 3 + 4 + 6)·4!·11111 = 4266624.
Bài 12. Có bao nhiêu cách xếp5bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:
1 BạnC ngồi chính giữa. ĐS: 24
2 Hai bạnAvàEngồi ở hai đầu ghế. ĐS: 12
Lời giải.
1 Có1 cách chọn vị trí cho bạnC. Mỗi cách xếp4 bạn còn lại là một hoán vị của4bạnA, B, D, E, nên có 1·4! = 24 cách xếp thỏa mãn.
2 Mỗi cách xếp 2 bạn A, E là một hoán vị của 2 bạn A, E. Mỗi cách xếp 3 bạn B, C, D vào ba chỗ ở giữa là một hoán vị của 3bạn B, C, D, nên có 2!·3! = 12 cách xếp thỏa mãn.
Bài 13. Một học sinh có12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có hai cuốn sách môn Toán,4 cuốn sách môn Văn, 6 cuốn sách môn Anh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các cuốn sách trên lên một
kệ dài nếu mọi cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau? ĐS:207360
Lời giải.
Có3!cách xếp cho ba nhóm các cuốn sách.
Có2!cách xếp các cuốn sách Toán.
Có4!cách xếp các cuốn sách Văn.
Có6!cách xếp các cuốn sách Anh.
Vậy có tất cả3!·2!·4!·6! = 207360cách xếp thỏa mãn.
Bài 14. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm4 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh trườngAvà 4 học sinh trườngB vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:
1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác trường với nhau. ĐS:1152 2 Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện với nhau thì khác trường với nhau. ĐS:9216
Lời giải.
1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện với nhau thì khác trường với nhau. Điều này chứng tỏ4 học sinh trườngAđược chia ra mỗi dãy ghế có2 bạn và4 học sinh trườngB cũng được chia ra mỗi dãy ghế có 2 bạn.
Giả thiết trên cũng cho ta biết rằng nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trường Athì cạnh học sinh này là học sinh trường B và đối diện là học sinh trườngB.
Ngược lại nếu đầu ghế thứ nhất là học sinh trườngB thì cạnh học sinh này là học sinh trườngA và đối diện là học sinh trưòng A.
Ta có 4!cách xếp4học sinh trườngA vào4chỗ ngồi,4!cách xếp4học sinh trường B vào4 chỗ ngồi và có 2! cách xếp2nhóm học sinh trường Avà trường B.
Vậy có tất cả 4!·4!·2! = 1152 cách xếp.
2 Giả sử học sinh thứ nhất của trườngA ngồi trước, có 8cách chọn chỗ ngồi. Sau đó, chọn 1học sinh của trườngB ngồi đối diện với học sinh trườngA đã ngồi ta có4 cách chọn1 học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trườngAcòn6chỗ để chọn nên có6cách chọn chỗ cho học sinh thứ hai của trường A. Có3 cách chọn cho học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh của trườngA vừa ngồi.
Tiếp tục lý luận như trên đến học sinh cuối cùng.
Vậy ta có8·4·6·3·4·2·2·1 = 9216cách xếp.
Bài 15. Xét những số gồm9chữ số, trong đó có5chữ số1và bốn chữ số còn lại là2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
1 Năm chữ số 1được xếp kề nhau. ĐS: 120
2 Các chữ số được xếp tùy ý. ĐS:3024
Lời giải.
1 Vì5 chữ số1 được xếp kề nhau nên ta coi 5 chữ số 1 là một chữ số đặc biệt. Có5! cách sắp xếp vị trí cho bốn chữ số2,3,4,5 và chữ số đặc biệt gồm5 chữ số1. Vậy có 5! = 120 số thỏa mãn.
2 Mỗi số được lập là một hoán vị lặp của 9 phần tử (mỗi hoán vị lặp 5! lần) nên số các số thỏa mãn là 9!
5! = 3024số.
Bài 16. Một tổ học sinh có5bạn nam và 5 bạn nữ xếp thành một hàng dọc.
1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau? ĐS:3628800
2 Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh nào cùng giới tính đứng gần nhau? ĐS:28800
Lời giải.
1 Mỗi cách xếp hàng là một hoán vị của10 bạn học sinh nên số cách xếp thỏa mãn là10! = 3628800cách.
2 Vì không có hai học sinh nào cùng giới tính đứng gần nhau nên các học sinh sẽ đứng nam nữ xen kẽ (các bạn nam đứng ở vị trí chẵn, các bạn nữ đứng ở vị trí lẻ và ngược lại).
Có 5!cách xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí, có 5!cách xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí và có 2 cách chọn giới tính cho bạn đứng đầu hàng. Vậy có5!·5!·2 = 28800cách xếp thỏa mãn.
Bài 17. Có thể lập được bao nhiêu số gồm8 chữ số từ các chữ số 1,2,3,4,5,6, trong đó các chữ số 1 và6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt một lần? ĐS: 10080
Lời giải.
Mỗi số được lập là một hoán vị lặp của 8phần tử (mỗi hoán vị lặp 2!·2!lần, do có 2chữ số 1 và2 chữ số 6) nên số các số thỏa mãn là 8!
2!·2! = 10080 số.