BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Khối 12 của một trường phổ thông trung học có 8 lớp thi đấu bóng đá giao hữu. Hỏi có bao nhiêu trận thi đấu diễn ra nếu mỗi đội đều thi đấu với các đội còn lại? ĐS:28

Lời giải.

Mỗi trận đấu là một tập con gồm2 phần tử của tập hợp gồm 8 phần tử. Do đó, số trận đấu diễn ra là số tổ

hợp chập2 của8phần tử, tức là C²₈= 28.

Bài 2. Lớp 12Acó 40học sinh trong đó có18nam và22nữ. Chọn ra một đội gồm7người tình nguyện tham dự mùa hè xanh trong đó phải có4 nam và 3nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS:

C⁴₁₈·C³₂₂= 4712400

Lời giải.

+ Chọn4 nam trong18 nam là số tổ hợp chập4của18 phần tử : C⁴₁₈. + Chọn3 nữ trong22 nữ là số tổ hợp chập3 của22 phần tử : C³₂₂.

Số cách chọn thỏa mãn đề bài làC⁴₁₈·C³₂₂= 4712400.

Bài 3. Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 người để làm ban đại diện sao cho

1 Không phân biệt nam nữ? ĐS: 56

2 Có đúng ba nam? ĐS: 30

Lời giải.

1 Vì 5 người được chọn không phân biệt nam nữ nên số cách chọn chính là tổ hợp chập 5 của8 phần tử, tức là C⁵₈= 56cách.

2 + Chọn 3 nam trong5 nam là số tổ hợp chập3của5 phần tử : C³₅. + Chọn 2 nữ trong3 nữ là số tổ hợp chập2 của3phần tử : C²₃. Số cách chọn thỏa mãn đề bài làC³₅·C²₃ = 30.

Bài 4. Có 10người gồm6 nam và 4nữ.

1 Có bao nhiêu cách chọn một tổ hợp gồm có5 người. ĐS:252

2 Trong đó có nhiều nhất ba người là nữ. ĐS:246

Lời giải.

1 Vì 5người được chọn không phân biệt nam nữ nên số cách chọn chính là tổ hợp chập 5 của10 phần tử, tức là C⁵₁₀= 252cách.

2 Cách 1:

Nam Nữ Số cách

2 3 C²₆·C³₄ = 60 3 2 C³₆·C²₄ = 120 4 1 C⁴₆·C¹₄ = 60 5 0 C⁵₆·C⁰₄= 6 Tổng số cách:60 + 120 + 60 + 6 = 246 cách.

Cách 2:

CóC⁵₁₀ cách chọn5 người trong10 người. Trong đó cóC⁴₄·C¹₆ cách chọn5 người có4 nữ và1nam.

Vậy cóC⁵₁₀−C⁴₄·C¹₆ = 246cách.

Bài 5. Từ 12học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một đoàn đại biểu gồm 5 người (gồm trưởng đoàn, thư kí và 3 thành viên) đi dự trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

đoàn đại biểu nói trên? ĐS: 15840

Lời giải.

CóC¹₁₂ cách chọn1 trưởng đoàn.

CóC¹₁₁ cách chọn1 thư kí.

CóC³₁₀ cách chọn3 thành viên.

CóC¹₁₂·C¹₁₁·C³₁₀= 15840 cách chọn đoàn đại biểu.

Bài 6. Một hộp đựng 12bóng đèn trong đó có 4bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3bóng đèn (không kể thứ tự) ra khỏi hộp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà lấy phải một bóng bị hỏng? ĐS:112

Lời giải.

CóC¹₄ cách lấy một bóng đèn bị hỏng.

CóC²₈ cách lấy một bóng đèn không bị hỏng.

Vậy cóC¹₄·C²₈ = 112cách lấy3 bóng đèn mà có một bóng bị hỏng.

Bài 7. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra bốn viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu? ĐS:645

Lời giải.

Ta đếm số cách chọn4viên bi có đủ cả ba màu.

Đỏ Trắng Vàng Số cách 1 1 2 C¹₄·C¹₅·C²₆ = 300 1 2 1 C¹₄·C¹₅·C¹₆ = 240 2 1 1 C²₄·C¹₅·C¹₆ = 180

Số cách chọn để trong4 viên bi lấy ra không có đủ cả ba màu là C⁴₁₅−(300 + 240 + 180) = 645.

Bài 8. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó3 tem thư và dán 3 tem thư đó vào 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán đúng một con tem thư. Hỏi có bao nhiêu

cách làm như vậy? ĐS:1200

Lời giải.

CóC³₅ cách chọn3 tem thư.

CóC³₆ cách chọn3 bì thư.

Có3!cách chọn dán 3tem thư vào 3bì thư.

Vậy cóC³₅·C³₆·3! = 1200 cách.

Bài 9. Một người muốn chọn6bông hoa từ3bó hoa để cắm vào một bình hoa. Bó thứ nhất có10bông hồng, bó thứ hai có 6 bông thược dược và bó thứ ba có4bông cúc.

1 Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn. ĐS: 38760

2 Nếu người đó muốn chọn đúng2bông hồng,2bông thược dược và2bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn? ĐS:4050

Lời giải.

1 Chọn 6 bông bất kì trong 20bông là tổ hợp chập6 của20 phần tử, tức là cóC⁶₂₀= 38760 cách chọn.

2 Muốn chọn đúng 2bông hồng,2bông thược dược và2bông cúc thì người đó cóC²₁₀·C²₆·C²₄ = 4050cách.

Bài 10. Một lớp có20 học ainh trong đó có2cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử hai người đi dự đại hội sinh viên của trường sao cho trong3 người có ít nhất một cán bộ lớp? ĐS:324

Lời giải.

Cách 1:

CóC¹₂·C²₁₈cách cử ba người có 1 cán bộ lớp.

CóC²₂·C¹₁₈cách cử ba người có 2 cán bộ lớp.

Vậy cóC¹₂·C²₁₈+ C²₂·C²₁₈= 324cách.

Cách 2:

CóC³₂₀ cách cử ba người bất kì.

CóC³₁₈ cách cử ba người mà không có cán bộ lớp.

Vậy cóC³₂₀−C³₁₈= 324cách cử ba người mà có ít nhất một cán bộ lớp.

Bài 11. Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất là 2 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu

1 Mọi người đều vui vẻ tham gia.

2 Cậu Thành và cô Nguyệt từ chối tham gia.

ĐS:1650và648

Lời giải.

1 • Cách 1:

Có C²₁₀·C³₅ cách chọn có 2nam và 3 nữ.

Có C³₁₀·C²₅ cách chọn có 3nam và 2 nữ.

Vậy có C²₁₀·C³₅+ C³₁₀·C²₅ = 1650cách chọn5 người trong đó có ít nhất2 nam và 2nữ.

• Cách 2:

Có C⁵₁₅ cách chọn5 người trong số15 người, trong đó:

- Có C¹₁₀·C⁴₅ cách chọn 5người có 1nam và 4 nữ.

- Có C⁴₁₀·C¹₅ cách chọn 5người có 4nam và 1 nữ.

- Có C⁵₁₀ cách chọn chỉ có5nam.

- Có C⁵₅ cách chọn chỉ có5 nữ.

Vậy có C⁵₁₅− C¹₁₀·C⁴₅+ C⁴₁₀·C¹₅+ C⁵₁₀+ C⁵₅

= 1650cách chọn 5người trong đó có ít nhất 2nam và 2nữ.

2 • Cách 1:

Có C²₉·C³₄ cách chọn có2 nam và 3nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia.

Có C³₉·C²₄ cách chọn có3 nam và 2nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia.

Vậy có C²₉·C³₄+ C³₉·C²₄ = 648 cách chọn 5 người trong đó có ít nhất 2 nam và2 nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia.

• Cách 2:

CóC⁵₁₃ cách chọn5người trong số13người (vì cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia), trong đó:

- CóC¹₉·C⁴₄ cách chọn 5người có 1nam và 4 nữ.

- CóC⁴₉·C¹₄ cách chọn 5người có 4nam và 1 nữ.

- CóC⁵₉ cách chọn chỉ có 5nam.

Vậy cóC⁵₁₃− C¹₉·C⁴₄+ C⁴₉·C¹₄+ C⁵₉

= 648 cách chọn 5 người có ít nhất 2 nam và2 nữ trong đó cậu Thành và cô Nguyệt không tham gia.

Bài 12. Một lớp có30học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có6học sinh được chọn ra để lập một tốp ca.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau 1 Nếu phải có ít nhất là2 nữ.

2 Nếu chọn tuỳ ý.

ĐS: 5413695và8145060

Lời giải.

1 • Cách 1:

CóC²₁₅·C⁴₃₀ cách chọn tốp ca có2 nữ và4 nam.

CóC³₁₅·C³₃₀ cách chọn tốp ca có3 nữ và3 nam.

CóC⁴₁₅·C²₃₀ cách chọn tốp ca có4 nữ và2 nam.

CóC⁵₁₅·C¹₃₀ cách chọn tốp ca có5 nữ và1 nam.

CóC⁶₁₅·C⁰₃₀ cách chọn tốp ca có6 nữ và0 nam.

Vậy cóC²₁₅·C⁴₃₀+ C³₁₅·C³₃₀+ C⁴₁₅·C²₃₀+ C⁵₁₅·C¹₃₀+ C⁶₁₅·C⁰₃₀= 5413695cách chọn.

• Cách 2:

CóC⁶₄₅ cách chọn1 tốp ca tuỳ ý.

CóC¹₁₅·C⁵₃₀ cách chọn1 tốp ca có 1 nữ và5nam.

CóC⁰₁₅·C⁶₃₀ cách chọn1 tốp ca có 0 nữ và6nam.

Vậy cóC⁶₄₅− C¹₁₅·C⁵₃₀+ C⁰₁₅·C⁶₃₀

= 5413695cách chọn.

2 Nếu chọn tuỳ ý, ta cóC⁶₄₅= 8145060cách chọn.

Bài 13. Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi 2 ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với2vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham gia

giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi? ĐS:13và156

Lời giải.

Gọinlà số vận động viên nam tham gia giải(n∈Z, n≥2).

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là2·C²_n.

Số ván các vận động viên nam chơi với2 vận động viên nữ là4n.

Theo giả thiết

2·C²_n−4n= 66

⇔ 2· n!

2!·(n−1)!−4n= 66

⇔ (n−1)n−4n= 66

⇔ n²−5n−66 = 0

⇔

"

n= 11 (nhận) n=−69 (loại)

⇔ n= 11.

Số vận động viên tham gia giải là11 + 2 = 13vận động viên.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là2·C²₁₁= 110ván.

Số ván các vận động viên nam chơi với2 vận động viên nữ là4·11 = 44ván.

Số ván hai vận động viên nữ chơi với nhau là2ván.

Vậy có tất cả110 + 44 + 2 = 156 ván.

Bài 14. ChoA là một tập hợp có20 phần tử.

1 Có bao nhiêu tập hợp con của A.

2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là chẵn.

ĐS: 2²⁰và524287

Lời giải.

1 Số tập con của A có 0phần tử (tập rỗng) là C⁰₂₀. Số tập con của A có 1phần tử làC¹₂₀.

Số tập con của A có 2phần tử làC²₂₀. ...

Số tập con của A có 20 phần tử làC²⁰₂₀.

Vậy tổng số tập hợp con củaA làC⁰₂₀+ C¹₂₀+ C²₂₀+· · ·+ C²⁰₂₀= (1 + 1)²⁰ tập con.

2 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn làT = C²₂₀+ C⁴₂₀+ C⁶₂₀+· · ·+ C²⁰₂₀. Ta có

(C⁰₂₀+ C¹₂₀+ C²₂₀+· · ·+ C²⁰₂₀= (1 + 1)²⁰ (1) C⁰₂₀−C¹₂₀+ C²₂₀−C³₂₀+· · ·+ C²⁰₂₀= (1−1)²⁰. (2) Lấy(1) cộng với(2) vế theo vế ta được

2·C²₂₀+ 2·C²₂₀+ 2·C⁴₂₀+ 2·C⁶₂₀+· · ·+ 2·C²⁰₂₀= 2²⁰

⇒ T = 2¹⁹−1

⇔ T = 524287.

Bài 15. Cho đa giác đềuA₁A₂. . . A_2n(n≥2, n nguyên)nội tiếp đường tròn(O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2nđiểmA₁, A₂, . . . , A_2n nhiều gấp hai mươi lần số hình chữ nhật có các đỉnh là

4 trong 2nđiểmA1, A2, . . . , A2n. Tìm n. ĐS:8

Lời giải.

CóC³_2n tam giác có các đỉnh là 3trong 2n điểm.

Đa giác đềuA1, A2, . . . , A2n nội tiếp đường tròn tâm(O) cónđường chéo qua tâm. Cứ hai đường chéo bất kỳ qua tâm sẽ tạo thành một hình chữ nhật, số hình chữ nhật làC²_n.

Từ giả thiết ta có

C³_2n= 20·C²_n

⇔ 2n(2n−1)(2n−2)

6 = 20·n(n−1) 2

⇔ n²−9n+ 8 = 0

⇔

"

n= 1 (loại) n= 8 (nhận)

⇔ n= 8.

Trong tài liệu Chuyên đề tổ hợp và xác suất - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 36-40)