Kĩ thuật sử dụng hàm số

Ta thấy từ giả thiết và kể cả biểu thức P đều đẳng cấp, nên hướng giải quyết bài toán tốt nhất là thực hiện phép chia cho luỹ thừa của a, b hay c cùng bậc.

Theo giả thiết:2a≤c nên a c ≤1

2 ;ab+bc=2c² ⇐⇒ a c.b

c +b

c =2 ⇐⇒ a c =2c

b −1 Vì ^a

c ≤1

2 nên ^b c ≥4

3. Đặtt=c

bthì0<t≤3 4. P=

a c a c −^b_c +

b c b

c −1+ 1

1−^a_c = 2t²−t

2t²−t−1+ 1

1−t+ 1

2(1−t)=1− 2

2t+1+ 7 6(1−t). Xét hàm số^f(t)=1− 2

2t+1+ 7

6(1−t),t∈ µ

0;3 4

¸

. Như vậymaxP=27 5 .

Cho các số thựca,b,c thoảa²+ab+b²=3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=a²−ab−3b². Ví dụ 93

Hướng dẫn Nếub=0thìP=3. Xét trường hợpb6=0.

Q=P

3 =a²−ab−3b²

a²+ab+b² =t²−t−3 t²+t+1,

µ t=a

b

¶ .

Khảo sát^{f (t)}=t²−t−3

t²+t+1cho ta kết quảminP= −3−4p

3,^maxP= −3+4p 3.

Ta có^¡ab+bc+c a¢2

≥3abc¡

a+b+c¢

=9abc>0 =⇒ ab+bc+c a≥3p abc. Chứng minh được

(1+a)¡ 1+b¢

(1+c)≥

³ 1+p³

abc

´3

,∀a,b,c>0.

Khi đó

P≤ 2

3³ 1+p

abc´+ p3

abc 1+p³

abc =Q (1) .

Đặt^p6abc=t. Vìa,b,c>0nên0<abc≤

Ãa+b+c 3

!₃

=1. Xét hàm số

Q= 2 3¡

1+t³¢+ t²

1+t², t∈¡ 0; 1¤

=⇒ Q⁰(t)=

2t(t−1)

³ t⁵−1

´

¡1+t³¢2¡

1+t²¢2≥0, ∀t∈¡ 0; 1¤

Do hàm số đồng biến trên^¡0; 1¤

nênQ=Q(t)≤Q(1)=5 6 (2). Từ (1) và (2) suy raP≤5

6.

Cho 3 số thực^x,y,zkhác 0 thỏa mãn:^x+y+z=5và^x.y.z=1.Tìm GTLN của biểu thức:

P=1 x+1

y +1 z. Ví dụ 95

Hướng dẫn Ta có

P= 1 x+1

y+1 z =1

x+y+z y z = 1

x+x(5−x) . Mặt khác:^¡y+z¢2

≥4y z ⇐⇒ (5−x)²≥4

x ⇐⇒ x∈(−∞; 0)∪[3−2p

2; 4]∪[3+2p

2;+∞). Xét hàm số:

f (x)= 1

x+x(5−x) =⇒ f⁰(x)= − 1

x²+5−2x vớix∈(−∞; 0)∪[3−2p

2; 4]∪[3+2p

2;+∞).

Lập bảng biến thiên và kết luận giá trị lớn nhất của P bằng1+4p

2đạt tại:x=y=1+p

2,z=3−2p 2 hayx=z=1+p

2,y=3−2p

2hoặcx=y=3−2p

2,z=1+p

2hayx=z=3−2p

2, y=1+p 2.

Cho^{x, ,y,z}là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức

P= 2

x+p

x y+p³

x y z− 3 px+y+z Ví dụ 96

Hướng dẫn

Ta có

x+p

x y+p³

x y z=x+1 4

p2x.8y+1 8

p3

2x.8y.32z

≤x+2x+8y

8 +2x+8y+32z

24 =32

24

¡x+y+z¢

=4 3

¡x+y+z¢ . Đặtt=p

x+y+z;t≥0 =⇒ P≥f (t)= 3 2t²− 2

3t. Khảo sát hàm số và ta tìm đượcminP= −3

2.

Chox>0,y>0thỏa mãnx²y+x y²=x+y+3x y. Tìm GTNN của biểu thức P=x²+y²+(1+2x y)²−3

2x y Ví dụ 97

Hướng dẫn Ta có

x²y+x y²=x+y+3x y ⇐⇒ x y(x+y)=x+y+3x y (1)

=⇒ x+y=1 x+1

y+3≥ 4

x+y+3 =⇒ (x+y)²−3(x+y)−4≥0 =⇒ x+y≥4.

(1) ⇐⇒ 1= 1 x y + 3

x+y ⇐⇒ 1− 3 x+y = 1

x y. NênP=(x+y)²+2− 1

x y =(x+y)²+1+ 3 x+y. Đặtx+y=t(t≥4)=⇒ P=t²+3

t +1=f(t) =⇒ P=f(t)≥f(4)=71 4 .

IV. BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015

1 Đề minh hoạ THPT 2015

Bài 1. Giải bất phương trình^px²+x+p

x−2≥p

3(x²−2x−2).

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, cho tam giácO AB có các đỉnh A,B thuộc đường thẳng∆: 4x+3y−12=0vàK(6; 6)là tâm đường tròn bàng tiếp gócO. GọiC là điểm nằm trên∆ sao choAC=AOvà các điểmC,B nằm khác phía nhau so vớiA. BiếtCcó hoành độ bằng²⁴

5 , tìm tọa độA,B.

Bài 3. Chox∈R. Tìm GTNN của:

P=

p3(2x²+2x+1)

3 + 1

q

2x²+(3−p 3)x+3

+ 1

q

2x²+(3+p 3)x+3

.

2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuông ABC D có M,N lần lượt là trung điểm củaBC,C D. Tìm tọa độB,M biếtN(0;−2), đường thẳngAM có phương trìnhx+2y−2=0 và cạnh hình vuông bằng4.

Bài 2. Giải hệ phương trình







27x³+3x+(9y−7)p

6−9y=0 1

3x²+y²+p

2−3x−109

81 =0 .

Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của biểu thứcP=5^2x+5^y, biếtx≥0,y≥0,x+y=1.

3 THTT số 453 tháng 04 năm 2015

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, hãy tính diện tích tam giác ABC biết H(5; 5),I(5; 4) lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và cạnhBC nằm trên đường thẳng^x+y−8=0.

Bài 2. Giải phương trình(x−lnx)p

2x²+2=x+1. Bài 3. Cho0<x<y<z. Tìm GTNN của

P= x³z

y²(xz+y²)+ y⁴

z²(xz+y²)+z³+15x³ x²z .

4 THPT Số 3 Bảo Thắng (Lào Cai)

Bài 1. Giải hệ phương trình ( p

2x−y−1+p

3y+1=p x+p

x+2y x³−3x+2=2y³−y² . Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuôngABC Dcó tâmI

µ7 2;3

2

¶

. ĐiểmM(6; 6)∈ AB vàN(8;−2)∈BC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.

Bài 3. Chox,y,z∈(0; 1)thỏa mãn(x³+y³)(x+y)=x y(1−x)(1−y). Tìm GTLN của:

P= 1

p1+x²+ 1

p1+y²+3x y−(x²+y²).

5 THPT Bố Hạ (Bắc Giang)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ^{Ox y}, cho tam giác ^ABC có trực tâmH(−1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp^I(−3; 3), chân đường cao kẻ từ đỉnh^Alà điểm^K(−1; 1). Tìm tọa độ ^ABC.

Bài 2. Giải hệ phương trình

( x²(x−3)−yp

y+3= −2 3p

x−2=p

y(y+8) .

Bài 3. Chox,y,z∈Rthỏa mãnx²+y²+z²=9,x y z≤0. CMR2(x+y+z)−x y z≤10.

6 THPT Chu Văn An (Hà Nội)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp làI(−2; 1)và thỏa mãn điều kiện^AI B=90^o, chân đường cao kẻ từ AđếnBC làD(−1;−1), đường thẳngAC đi quaM(−1; 4). Tìm tọa độA,B biếtAcó hoành độ dương.

Bài 2. Giải bất phương trình:3(x²−2)+ 4p p 2

x²−x+1>p x(p

x−1+3p

x²−1).

Bài 3. Xét các số thực dương ^x,y,z thỏa mãn điều kiện ^2(x+y)+7z = x y z. Tim GTNN của S=2x+y+2z.

7 THPT chuyên Hà Tĩnh

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình bình hành ABC D cóN là trung điểmC D vàB N có phương trình13x−10y+13=0; điểmM(−1; 2)thuộc đoạn thẳngAC sao choAC=4AM. GọiH là điểm đối xứng củaNquaC. Tìm tọa độ A,B,C,Dbiết3AC=2AB vàH∈∆: 2x−3y=0. Bài 2. Giải hệ phương trình







x²+(y²−y−1)p

x²+2−y³+y+2=0 q3

y²−3− q

x y²−2x−2+x=0 . Bài 3. Choa∈[1; 2]. CMR:

(2^a+3^a+4^a)(6^a+8^a+12^a)<24^a+1.

8 THPT Đặng Thúc Hứa (Nghệ An)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình bình hành ABC Dcó ABC^ nhọn,A(−2;−1). GọiH,K,Elần lượt là hình chiếu vuông góc củaAtrên các đường thẳngBC,B D,C D. Đường tròn (C) :x²+y²+x+4y+3=0ngoại tiếp tam giácH K E. Tìm tọa độB,C,DbiếtH có hoành độ âm,C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳngx−y−3=0.

Bài 2. Giải hệ phương trình





 3

q

y³(2x−y)+ q

x²(5y²−4x²)=4y² p2−x+p

y+1+2=x+y² .

Bài 3. Choa,b,c>0thỏa mãn4(a³+b³)+c³=2(a+b+c)(ac+bc−2). Tìm GTLN:

P= 2a²

3a²+b²+2a(c+2)+ b+c

a+b+c+2−(a+b)²+c²

16 .

9 THPT Đông Đậu (Vĩnh Phúc)

Bài 1. Giải hệ phương trình ( p

x+2y+1−2x=4(y−1) x²+4y²+2x y=7 .

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giácABC có phương trình đường thẳngAB: 2x+y−1=0, phương trìnhAC:,3x+4y+6=0và điểmM(1;−3)nằm trênBC thỏa mãn3M B=2MC. Tìm tọa độ trọng tâmGcủa tam giácABC.

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của^mđể bất phương trình sau có nghiệm trên[0; 2]: p(m+2)x+m≥ |x−1|.

10 THPT chuyên Hưng Yên

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuôngABC Dcó A(−1; 2). GọiM,Nlần lượt là trung điểm của AD vàDC;K =B N∩C M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác B M K, biết^{B N} có phương trình^2x+y−8=0và điểm^B có hoành độ lớn hơn2.

Bài 2. Giải hệ phương trình







(1−y) q

x²+2y²=x+2y+3x y py+1+

q

x²+2y²=2y−x .

Bài 3. Chox,y,z>0thỏa mãn5(x²+y²+z²)=9(x y+2y z+zx). Tìm GTLN của:

P= x

y²+z²− 1 (x+y+z)³.

11 THPT chuyên Lê Hồng Phong (Hồ Chí Minh)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình thang ABC D có đáy lớnC D=2AB, điểm C(−1;−1), trung điểm củaADlàM(1;−2). Tìm tọa độB, biết diện tích tam giácBC Dbằng8,AB=4 vàDcó hoành độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình (

2+9.3^x2−2y=(2+9^x2−2y).5^2y−x2+2 4^x+4=4x+4p

2y−2x+4 . Bài 3. Chox,y,z>0thỏa mãnx+y+1=z. Tìm GTNN của:

P= x

x+y z+ y

y+zx+ z²+2 z+x y.

12 THPT Lê Xoay (Vĩnh Phúc)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giácABC. Đường phân giác trong góc Acó phương tìnhd:x−y+2=0, đường cao hạ từB có phương trìnhd⁰:4x+3y−1=0. Biết hình chiếu củaC lên AB là điểmH(−1;−1). Tìm tọa độB,C.

Bài 2. Giải hệ phương trình

( x y(x+1)=x³+y²+x−y 3y(2+p

9x²+3)+(4y+2)(p

1+x+x²+1)=0 . Bài 3. Choa,b,c>0thỏa mãna+b+c=2. Tìm GTLN của:

S= s

ab ab+2c +

s bc bc+2a +

r c a c a+2b.

13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang)

Bài 1. Giải hệ phương trình











y²−x s

y²+2

x =2x−2 q

y²+1+p³

2x−1=1 .

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, choA(2; 1),B(−1;−3)và hai đường thẳngd₁:x+y+3= 0,d₂:x−5y−16=0. Tìm tọa độC∈d₁vàD∈d₂sao choABC Dlà hình bình hành.

Bài 3. Cho^x,y∈Rthỏa mãn^x2+y²+x y=3. Tìm GTLN và GTNN của^P=x³+y³−3x−3y.

14 THPT Lương Ngọc Quyến (Thái Nguyên)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuôngABC D.F µ11

2 ; 3

¶

là trung điểmAD. E K:19x−8y−18=0vớiE là trung điểm AB,K thuộc cạnhC D sap choK D=3K C. Tìm tọa độC biết^xE<3.

Bài 2. Giải hệ phương trình (

|x−2y| +1=p x−3y

x(x−4y+1)+y(4y−3)=5 . Bài 3. Choa,b,c>0. CMR:

a²+1

4b² +b²+1

4c² +c²+1 4a² ≥ 1

a+b+ 1

b+c+ 1 c+a.

15 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 2

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình thang ABC Dvuông tạiA,D; diện tích hình thang bằng6;C D =2AB,B(0; 4). Biết I(3;−1),K(2; 2)lần lượt nằm trên đường thẳng AD và DC. Viết phương trình đường thẳngADbiết ADkhông song song với trục tọa độ.

Bài 2. Giải hệ phương trình





 x+p

x(x²−3x+3)=p³

y+2+p

y+3+1 3p

x−1−p

x²−6x+6=p³

y+2+1 . Bài 3. Chox,y>0thỏa mãnx−y+1≤0. Tìm GTLN của:

T = x+3y²

px²+y⁴− 2x+y² 5x+5y².

16 THPT Lương Văn Chánh (Phú Yên)

Bài 1. Trong mặt phẳng hệ tọa độOx y, cho đường thẳng d:x−y+1−p

2=0và điểm A(−1; 1). Viết phương trình đường tròn(C)quaA, gốc tọa độOvà tiếp xúc đường thẳngd.

Bài 2. Giải hệ phương trình







x³+y³+3(y−1)(x−y)=2 px+1+p

y+1=(x−y)² 8 Bài 3. Giả sửxvày không đồng thời bằng 0. Chứng minh

−2p

2−2≤x²−(x−4y)² x²+4y² ≤2p

2−2

17 THPT Minh Châu (Hưng Yên)

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho tam giácABC nhọn có đỉnhA(−1; 4), trực tâmH. Đường thẳngAH cắt cạnhBC tạiM, đường thẳngC H cắt AB tạiN. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác H M N làI(2; 0), đường thẳngBC đi qua điểmP(1;−2). Tìm tọa độ các đỉnhB,C của tam giác biết đỉnhB thuộc đường thẳngx+2y−2=0.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







2 (p

x+p

y)²+ 1 x+p

y(2x−y)= 2 y+p

x(2x−y) 2(y−4)p

2x−y+3−(x−6)p

x+y+1=3(y−2)

Bài 3. Cho ba số thựca,b,cthỏa mãna≥2,b≥0,c≥0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= 1

2p

a²+b²+c²−4a+5− 1

(a−1)(b+1)(c+1)

18 THPT Nguyễn Trung Thiên (Hà Tĩnh) lần 2

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx y. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABC D, biết rằng các đường thẳngAB,C D,BC,ADlần lượt đi qua các điểmM(2; 4),N(2;−4),P(2; 2), Q(3;−7).

Bài 2. Giải hệ phương trình:

( 2x²−y²−7x+2y+6=0

−7x³+12x²y−6x y²+y³−2x+2y=0 (x,y∈R)

Bài 3. Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãna²+b²+c²−3b≥0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P= 1

(a+1)²+ 4

(b+2)²+ 8 (c+3)²

19 THPT Phủ Cừ (Hưng Yên)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx y, cho hình vuông ABC D. Điểm N(1;−2)thỏa mãn2# »

N B+# » NC=#»

0 và điểmM(3; 6)thuộc đường thẳng chứa cạnhAD. GọiHlà chân hình chiếu vuông góc của ^Axuông đường thẳng^{D N}. Xác định tọa độ của các đỉnh của hình vuông ^{ABC D} biết khoảng cách từ điểmH đến cạnhC D bằng ¹²

p2

13 và đỉnh Acó hoành độ là một số nguyên lớn hơn -2 .

Bài 2. Giải hệ phương trình:





 q

x²−x−y−1.p³

x−y−1=y+1 x+y+1+p

2x+y= q

5x²+3y²+3x+7y

(x,y∈R)

Bài 3. Cho ba số thực không âmx,y,z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P= 4

px²+y²+z²+4− 4 (x+y)p

(x+2z)(y+2z)− 5 (y+z)p

(y+2x)(z+2x)

20 THPT Quỳnh Lưu 3 (Nghệ An)

Bài 1. Trong mặt phẳngOx y, cho hình chữ nhật ABC D có AB =2BC. Gọi H là hình chiếu của Alên đường thẳngB D;E,F lần lượt là trung điểm đoạnC D,B H. BiếtA(1; 1), phương trình đường thẳng^{B H} là^3x−y−10=0và điểm^E có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh^B,C,D.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







p2(x+y+6)=1−y 9p

1+x+x y q

9+y²=0

Bài 3. Cho các số thực dươnga,b,cthỏa mãnab≥1;c(a+b+c)≥3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=b+2c

1+a +a+2c

1+b +6 ln(a+b+2c)

21 THPT Thanh Chương III (Nghệ An)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx ycho tam giácABCcóA(1; 4), tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn ngoại tiếp của tam giácABC cắtBC tạiD, đường phân giác trong củaADB^ có phương trình x−y+2=0, điểmM(−4; 1)thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường thẳng AB.

Bài 2. Giải hệ phương trình:





 x+

q

x y+x−y²−y=5y+4 q

4y²−x−2+p

y−1=x−1

Bài 3. Choa,b,clà các số dương thỏa mãna+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P= ab

pab+3c + bc

pbc+3a+ c a pc a+3b

22 THPT Thiệu Hóa (Thanh Hóa)

Bài 1.

1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho đường tròn(C) :x²+y²−4x+6y+4=0. Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông^{M N PQ} nội tiếp đường tròn^(C)biết điểm M(2; 0).

2. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho elip(E) : x² 16+y²

9 =1.Tìm tọa độ các điểmM trên(E)sao choM F₁=2M F₂( vớiF₁,F₂lần lượt là các tiêu điểm bên trái, bên phải của(E)).

Bài 2. Giải hệ phương trình:







2.4^y+1=2¹⁺

p2x

+2 log₂ px

y x³+x=(y+1)(x y+1)+x²

(x,y∈R).

Bài 3. Choa,b,clà ba số thực dương. Chứng minh rằng:

a²+1

4b² +b²+1

4c² +c²+1 4a² ≥ 1

a+b+ 1

b+c+ 1 c+a.

23 THPT Thuận Châu (Sơn La)

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho điểmM(0; 2)và hai đường thẳngd:x+2y=0,∆: 4x+3y= 0. Viết phương trình của đường tròn đi qua điểmM, có tâm thuộc đường thẳngd và cắt đường thẳng∆tại hai điểm phân biệt A,B sao cho độ dài đoạn AB bằng4p

3. Biết tâm đường tròn có tung độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







x³+12y²+x+2=8y³+8y q

x²+8y³=5x−2y (x,y∈R).

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S= 3

−a+b+c + 4

a−b+c+ 5 a+b−c Trong đóa,b,clà độ dài của một tam giác thỏa mãn2c+b=abc.

24 THPT Tĩnh Gia I (Thanh Hóa)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx y, cho tam giác ABC có trực tâmH(3; 0)và trung điểm củaBC làI(6; 1). Đường thẳng AH có phương trình x+2y−3=0. GọiD,E lần lượt là chân đường cao kẻ từ^Bvà^Ccủa tam giác^ABC. Xác định tọa độ của cá đỉnh tam giác^ABC, biết phương trình đường thẳngDE làx=2và điểmDcó tung độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình:

( 2y²−3y+1+p

y−1=x²+p x+x y p2x+y−p

−3x+2y+4+3x²−14x−8=0

Bài 3. Cho ba số thực không âma,b,cthỏa mãnab+bc+c a=1. Chứng minh rằng:

2a

a²+1+ 2b

b²+1+c²−1 c²+1É3

2.

25 THPT Thanh Chương I (Nghệ An)

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hình thangABC Dcó đường caoAD. BiếtBC=2AB,M(0; 4) là trung điểm củaBC và phương trình đường thẳng AD:x−2y−1=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết diện tích hình thang là ⁵⁴

5 và A,B có tọa độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình:











p3y+1+p

5x+4=3x y−y+3 q

2(x²+y²)+ s

4(x²+x y+y²)

3 =2(x+y) (x,y∈R).

Bài 3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:ab+bc+c a =3abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A= 1

pa²+2b²+ 1

pb²+2c²+ 1 pc²+2a².

26 THPT Cẩm Bình (Hà Tĩnh)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giácABCcó trực tâmH(3; 0). BiếtM(1; 1),N(4; 4) lần lượt là trung điểm của hai cạnhAB,AC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC.

Bài 2. Giải hệ phương trình:

( x³−y³+3y²+32x=9x²+8y+36 4p

x+2+p

16−3y=x²+8 (x,y∈R) Bài 3. Choa,b,clà ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= a²

c(c²+a²)+ c²

b(b²+c²)+ b² a(a²+b²).

27 THPT Lý Thái Tổ (Bắc Ninh)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ^{Ox y}, cho hình chữ nhật ^{ABC D}có đường phân giác trong của góc ^ABC đi qua trung điểm^M của cạnh^AD, đường thẳng^{B M} có phương trình^x−y+2=0, điểmDnằm trên đường thẳng∆:x+y−9=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABC Dbiết đỉnhB có hoành độ âm và đường thẳngAB đi quaE(−1; 2).

Bài 2. Giải hệ phương trình:







x²−2x−2(x²−x)p

3−2y=(2y−3)x²−1 q

2−p

3−2y= p3

2x²+x³+x+2 2x+1

Bài 3. Chox,y là hai số thỏa mãn: x,y ≥1và 3(x+y)=4x y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=x³+y³−3(1 x²+ 1

y²).

28 THPT Nghèn (Hà Tĩnh)

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Ox y,cho hình vuông ABC D có M,N lần lượt là trung điểm AB,BC, biếtC M cắtD N tại điểm

µ22 5 ;11

5

¶

. GọiHlà trung điểmD I, biết đường thẳng AH cắtC D tạiP

µ7 2; 1

¶

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABC Dbiết hoành độ điểmAnhỏ hơn 4.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







(x²+5y²)²=2p

x y(6−x²−5y²)+36 q

5y⁴−x⁴=6x²+2x y−6y²

Bài 3. Choa,b,clà các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:2(a²+b²+c²)=(a+b+c)². Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= a³+b³+c³

(a+b+c)(ab+bc+c a).

29 THPT chuyên Trần Quang Diệu (Đồng Tháp)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho đường tròn(C) : (x−2)²+(y−2)²=5và đường thẳng∆:x+y+1=0. Từ điểm A thuộc đường thẳng∆, kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (C)tạiB vàC. Tìm tọa độ điểmA biết diện tích tam giácABC bằng 8.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







x²y(2+2 q

4y²+1)=x+p x²+1 x²(4y²+1)+2(x²+1)p

x=6

Bài 3. Cho các số thực không âma,b,c thỏa mãnc=min(a,b,c). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= 1

a²+c²+ 1

b²+c²+p

a+b+c.

30 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP. HCM)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y cho tam giác ABC cân tại B, nội tiếp đường tròn (C) :x²+y²−10y−25=0.I là tâm đường tròn(C). Đường thẳngB I cắt đường tròn(C)tạiM(5; 0). Đường cao kẻ từC cắt đường tròn(C)tạiN

µ−17 5 ;−6

5

¶

. Tìm tạo độ các điểmA,B,C biết điểmAcó hoành độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình:

( x³+3x²+6x+4=y³+3y x³(3y−7)=1−p

(1+x²)³ (x,y∈R) Bài 3. Cho các số dươnga,b,cthỏa mãn:a(a−1)+b(b−1)+c(c−1)≤4

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= 1

a+1+ 1

b+1+ 1 c+1

31 THPT Như Thanh (Thanh Hóa)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y cho đường tròn(C) :x²+y²−2x+4y−20=0và đường thẳngd: 3x+4y−20=0. Chứng minh rằngd tiếp xúc với(C). Tam giác ABC có đỉnhA∈(C), hai đỉnhB,C ∈d, trung điểm cạnh AB ∈(C). Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết trực tâm tam giác^ABC trùng với tâm đường tròn^(C)và^B có hoành độ dương.

Bài 2. Giải phương trình:4p

5x³−6x²+2+4p

−10x³+8x²+7x−1+x−13=0. Bài 3. Cho các số^a,b,c∈R,a²+b²+c²6=0và^2(4a2+4b²+c²)=(2a+2b+c)². Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A= 8a³+8b³+c³

(2a+2b+2c)(4ab+2bc+2c a).

32 THPT Chuyên Hạ Long (Quảng Ninh)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ^{Ox y}, cho tam giác^ABC có^{A(2; 6),B(1; 1),C}(6; 3). 1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.

2. Tìm trên các cạnhAB,BC,C Acác điểmK,H,I sao cho chu vi tam giácK H I nhỏ nhất.

Bài 2. Giải hệ phương trình





 3yp

2+x+8p

2+x=10y−3x y+12 5y³p

2−x−8=6y²+x y³p

2−x .

Bài 3. Chứng minh rằng: Với mọi∆ABC ta đều có µ

sinA

2 +sinB

2 +sinC 2

¶ µ cotA

2+cotB

2+cotC 2

¶

≥9p 3 2 .

¸

33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx y, cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳngd: 2x−5y+1=0, cạnhAB nằm trên đường thẳngd⁰: 12x−y−23=0. Viết phương trình đường thẳngAC biết nó đi qua điểmM(3; 1).

Bài 2. Giải hệ phương trình





 q

5x²+2x y+2y²+ q

2x²+2x y+5y²=3(x+y) px+2y+1+2p³

12x+7y+8=2x y+x+5 . Bài 3. Cho ba số thực dươnga,b,c thỏa mãna²+b²+c²=3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcS=8(a+b+c)+5 µ1

a+1 b+1

c

¶ .

34 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối D

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx y, cho đường tròn(T) :x²+y²−x−9y+18=0và hai điểm A(4; 1),B(3;−1). GọiC,Dlà hai điểm thuộc(T)sao cho ABC D là một hình bình hành. Viết phương trình đường thẳngC D.

Bài 2. Giải hệ phương trình







x³−y³+6x−3y=3x²+4 x²+6y+19=2p

3x+4+3p

5y+14 .

Bài 3. Choa,b,clà các số thực dương thỏa mãna²+b²+c²=1. Chứng minh bất đẳng thức:

µ1 a +1

b+1 c

¶

−(a+b+c)≥2p 3.

35 THPT Hồng Quang (Hải Dương)

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho tam giác ABC có đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là x−3y=0và x+5y =0. ĐỉnhC nằm trên đường thawgnr

∆:x+y−2=0và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từC đi qua điểmE(−2, 6).

Bài 2. Giải hệ phương trình







x− 1

(x+1)²= y

x+1−1+y y p8y+9=(x+1)p

y+2 .

Bài 3. Cho các số dươngx,y,zthỏa mãnx>yvà(x+z)(y+z)=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP= 1

(x−y)²+ 4

(x+z)²+ 4 (y+z)².

36 THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) lần 1

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho hình chữ nhật ABC D có diện tích bằng15. Đường thẳngAB có phương trìnhx−2y=0. Trọng tâm của tam giácBC Dlà điểmG

µ16 3 ;13

3

¶

. Tìm tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật biết điểmB có tung độ lớn hơn3.

Bài 2. Giải hệ phương trình







2x³−3+2 q

y²+3y=2xp y+y x²−p

y+3+p

y=0 .

Bài 3. Cho các số thựca,bkhông âm và thỏa mãn:3(a+b)+2(ab+1)≥5(a²+b²). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcT=3p

a+b−3(a²+b²)+2(a+b)−ab.

37 THPT Thường Xuân 3 (Thanh Hóa)

Bài 1.

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;−4). Phương trình đường trung trực cạnhBC, đường trung tuyến xuất phát từClần lượt làx+y−1=0và3x−y−9=0. Tìm tọa độ các đỉnhB,C của tam giác ABC.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho đường tròn(C)có phương trìnhx²+y²+2x−4y−8=0 và đường thẳng(∆)có phương trình:2x−3y−1=0. Chứng minh rằng(∆)luôn cắt(C)tại hai điểm phân biệtA,B. Tìm tọa độ điểmMtrên đường tròn(C)sao cho diện tích tam giácAB Mlớn nhất.

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốmđể hệ sau có nghiệm thực:







x²+ 4x² (x+2)²≥5

x⁴+8x²+16mx+16m²+32m+16=0 . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

p5−4x−p 1+a p5−4a+2p

1+a+6 trong đóalà tham số thực và−1≤a≤5

4.

38 THPT Tĩnh Gia II (Thanh Hóa)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho đường tròn(C) :x²+y²=5tâmO, đường thẳng (d) : 3x−y−2=0. Tìm tọa độ các điểm A,B trên(d)sao choO A=

p10

5 và đoạnOB cắt (C)tạiK sao choK A=K B.

Bài 2. Giải hệ phương trình







px²+2x+5− q

y²−2y+5=y−3x−3 y²−3y+3=x²−x . Bài 3. Cho các số thực dươnga,b,c. Chứng minh rằng:

pa+b+c+p a b+c +

pa+b+c+p b c+a +

pa+b+c+p c

a+b ≥ 9+3p 3 2p

a+b+c.

39 THPT Triệu Sơn 3 (Thanh Hóa)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y cho hình chữ nhật ABC D có điểm H(1; 2) là hình chiếu vuông góc của A lênB D. ĐiểmM

µ9 2; 3

¶

là trung điểm của cạnhBC, phương trình đường trung tuyến kẻ từAcủa∆AD H làd: 4x+y−4=0. Viết phương trình cạnhBC.

Bài 2. Giải hệ phương trình





 x

q

x²+y+y=p

x⁴+x³+x x+p

y+p

x−1+p

y(x−1)=9 2

.

Bài 3. Cho a,b,c thuộc khoảng (0; 1)thỏa mãn µ1

a −1

¶ µ1 b−1

¶ µ1 c −1

¶

=1. Tìm GTNN của biểu thứcP=a²+b²+c².

40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP. HCM)

Bài 1. Trong mặt phẳng^{Ox y} cho hình thang ^{ABC D}có đáy lớn^{C D}=3AB,^C(−3;−3), trung điểm của AD là M(3; 1). Tìm tọa độ đỉnhB biết S_{BC D} =18,AB =p

10 và đỉnhD có hoành độ nguyên dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình







x−yp

2−x+2y²=2 2

³p

x+2−4y´ +8p

yp

x y+2y=34−15x .

Bài 3. Chox,y là các số không âm thỏax²+y²=2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:

P=5(x⁵+y⁵)+x²y²³ 5p

2x y+2−4x y+12´ .

41 THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho đường tròn(C) :x²+y²−2x−4y−4=0tâmI và điểmM(3; 2). Viết phương trình đường thẳng∆đi quaM,∆cắt(C)tại hai điểm phân biệtA,B sao cho diện tích tam giác^{I AB} lớn nhất.

Bài 2. Giải hệ phương trình







x⁴−2x=y⁴−y (x²−y²)³=3 .

Bài 3. Cho các sốa,b,c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng:

r a b+c+

s b c+a+

r c

a+b+9p

ab+bc+c a a+b+c ≥6.

42 THPT Đồng Lộc (Hà Tĩnh)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình thang cânABC Dcó diện tích bằng ⁴⁵ 2, đáy lớnC D nằm trên đường thẳngx−3y−3=0. Biết hai đường chéo AC,B Dvuông góc với nhau tại I(2; 3). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnhBC, biết điểmC có hoành độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình







y³+6y²+16y−3x+11=0 x³+3x²+x+3y+3=0 . Bài 3. Cho0<a,b,c<1

2thỏa mãn^a+2b+3c=2. Chứng minh rằng:

1

a(4b+6c−3)+ 2

b(3c+a−1)+ 9

c(2a+4b−1)≥54.

43 THPT Hậu Lộc 2 (Thanh Hóa)

Bài 1. Trong không gian tọa độOx y zcho mặt phẳng(P) :x−y+z+2=0và điểmA(1;−1; 2). Tìm tọa độ điểmA⁰đối xứng với điểm A qua mặt phẳng(P). Viết phương trình mặt cầu đường kính A A⁰.

Bài 2. Giải hệ phương trình











(x+1)²+y²=2 Ã

1+1−y² x

!

4y²=(y²−x³+3x−2) µp

2−x²+1

¶ .

Bài 3. Cho các số thực dươngx,y,zthỏa mãnx y≥1,z≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P= x

y+1+ y

x+1+ z³+2 3(x y+1)

44 Đề 44

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho điểm M(0; 2) và hai đường thẳng d₁: x+2y =0, d₂: 4x+3y=0. Viết phương trình đường tròn đi qua điểmM có tâm thuộc đường thẳngd₁và cắtd₂ tại hai điểmA,B sao cho độ dài đoạnAB bằng4p

3. Biết tâm đường tròn có tung độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







x³+12y²+x+2=8y³+8y q

x²+8y³=5x−2y Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S= 3

b+c−a + 4

a+c−b+ 5 a+b−c

Trong đó a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thỏa mãn2a+b=abc

45 Sở GDĐT Vĩnh Phúc (lần 1)

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y cho tam giác ABC có trực tâmH(3; 0)và trung điểm củaBC làI(6; 1). Đường thẳng AH có phương trìnhx+2y−3=0. GọiD;E lần lượt là chân đường cao kẻ từB,C của tam giác ABC. Xác định tọa độ đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳngDE có phương trìnhx−2=0và điểmDcó tung độ dương.

Bài 2. Giải hệ phương trình:







x y+2=yp

x²+2(1) y²+2 (x+1)p

x²+2x+3=2x²−4x(2)

Bài 3. Chox;y;zlà các số thực dương thỏa mãn:x+y−x= −1. Tìm GTLN của biểu thức:

P= x³y³

¡x+y z¢ ¡

y+xz¢ ¡

x+x y¢2

46 Sở GDĐT Vĩnh Long

Bài 1. GIải bất phương trình:2x+5>p

2−x³p

x−1+p

3x+4´

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độOx y cho hình thang ABC D có∠^{B AD=}∠^{ADC =90◦},AB =AD= 2;DC =4, đỉnh C nằm trên đường thẳngd : 3x−y+2=0. Điểm M nằm trên cạnh AD sao cho AM=2M D và đường thẳng^{B M}có phương trình là^3x−2y+2=0. Tìm tọa độ^C.

Trong tài liệu Tài liệu luyện đạt điểm 8 – 9 – 10 môn Toán THPT Quốc gia - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia (Trang 65-200)