A.
Z
xedx= xe+1
e+1+C. B.
Z
x2dx=1
3x3+C. C.
Z
exdx= ex+1
x+1+C. D.
Z
x7dx=1
8x8+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
exdx=ex+C⇒.
Chọn đáp án C ä
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 1 2x+3 là A. 1
2ln(2x+3)+C. B. 1
2ln|2x+3| +C. C. ln|2x+3| +C. D. 1
ln 2ln|2x+3| +C. -Lời giải.
Áp dụng cơng thức nguyên hàm mở rộng:
Z
f(x) dx=
Z 1
2x+3dx=1
2ln|2x+3| +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 42. F(x)là một nguyên hàm của hàm số y=x·ex2. Hàm số nào sau đây khơng phải làF(x)? A. F(x)=1
2ex2+2. B. F(x)=1 2
³ ex2+5
´
. C. F(x)= −1
2ex2+C. D. F(x)= −1 2
³ 2−ex2
´ . -Lời giải.
Ta thấy ở đáp án C thì µ
−1
2ex2+C
¶0
= −xex26=xex2 nên hàm số ở đáp án C khơng là một nguyên hàm của hàm y=x·ex2.
Chọn đáp án C ä
Câu 43. Nguyên hàm của hàm số y=e−3x+1là A. 1
3e−3x+1+C. B. −3e−3x+1+C. C. −1
3e−3x+1+C. D. 3e−3x+1+C. -Lời giải.
Ta cĩ:
Z
e−3x+1dx= −1 3 Z
e−3x+1d(−3x+1)= −1
3e−3x+1+C.
Chọn đáp án C ä Câu 44. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e2x, biếtF(0)=1.
A. F(x)=e2x. B. F(x)=e2x 2 +1
2. C. F(x)=2e2x−1. D. F(x)=ex. -Lời giải.
Ta cĩ:
F(x)= Z
f(x) dx= Z
e2xdx=1
2e2x+C.
Theo giả thiết:F(0)=1⇒C=1
2. VậyF(x)=e2x 2 +1
2.
Chọn đáp án B ä
Câu 45. Cho hàm số f(x)thỏa mãn đồng thời các điều kiện f0(x)=x+sinxvà f(0)=1. Tìm f(x). A. f(x)= x2
2 −cosx+2. B. f(x)= x2
2 −cosx−2. C. f(x)= x2
2 +cosx. D. f(x)= x2
2 +cosx+1 2. -Lời giải.
Ta cĩ f0(x)=x+sinx⇒ f(x)=x2
2 −cosx+C; f(0)=1⇔ −1+C=1⇔C=2. Vậy f(x)=x2
2 −cosx+2.
Chọn đáp án A ä
Câu 46. Cho
1
Z
−2
f(x) dx=3. Tính tích phân I=
1
Z
−2
[2f(x)−1] dx.
A. −9. B. −3. C. 3. D. 5.
-Lời giải.
I=
1
Z
−2
[2f(x)−1] dx=2
1
Z
−2
f(x) dx−
1
Z
−2
dx=6−x¯
¯
¯
1
−2=3.
Chọn đáp án C ä
Câu 47. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=5+2x4 x2 . A.
Z
f(x) dx=2x3 3 −5
x+C. B.
Z
f(x) dx=2x3−5 x+C. C.
Z
f(x) dx=2x3 3 +5
x+C. D.
Z
f(x) dx=2x3
3 +5 lnx2+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x) dx= Z µ
2x2+ 5 x2
¶
dx=2x3 3 −5
x+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 48. ChoF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x)=(x+1) lnx. TínhF00(x). A. F00(x)=1+1
x. B. F00(x)=1
x. C. F00(x)=1+1
x+lnx. D. F00(x)=x+lnx. -Lời giải.
Ta cĩF(x)= Z
f(x) dx= Z
(x+1) lnxdx⇒F0(x)=(x+1) lnx⇒F00(x)=1+1 x+lnx.
Chọn đáp án C ä
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x3+x2là:
A. x
4
4 +x3
3 +c. B. x4+x3. C. 3x2+2x. D. 1
3x4+1 4x3.
-Lời giải.
Áp dụng cơng thức nguyên hàm cơ bản ta cĩ:
Z
f(x) dx= Z
(x3+x2) dx=x4 4 +x3
3 +c.
Chọn đáp án A ä
Câu 50. Cho F(x)là một nguyên hàm của f(x)= 1
x−1 trên khoảng (1;+∞)thỏa mãn F(e+1)=4. Tìm F(x).
A. F(x)=2 ln(x−1)+2. B. F(x)=ln(x−1)+3. C. F(x)=4 ln(x−1). D. F(x)=ln(x−1)−3. -Lời giải.
GọiF(x)= Z
f(x) dx= Z dx
x−1=ln(x−1)+Cvớix∈(1;+∞) Lại cĩF(e+1)=4⇒4=1+C⇒C=3. Do đĩF(x)=ln(x−1)+3.
Chọn đáp án B ä
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số y=3x(x+cosx)là
A. x3+3 (xsinx+cosx)+C. B. x3−3 (xsinx+cosx)+C. C. x3+3 (xsinx−cosx)+C. D. x3−3 (xsinx−cosx)+C. -Lời giải.
Ta cĩI= Z
3x(x+cosx) dx= Z
¡3x2+3xcosx¢
dx=x3+3 Z
xcosxdx. TínhJ=
Z
xcosxdx.Đặt
x=u
cosxdx=dv⇒
dx=du sinx=v
⇒J=xsinx− Z
sinxdx=xsinx+cosx+C. VậyI=x3+3 (xsinx+cosx)+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+1là A. sin
2x
2 +x+C. B. −cosx+x+C. C. cosx+x+C. D. −cosx+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x) dx= Z
(sinx+1) dx= −cosx+x+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 53. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e3x, biếtF(0)=1. A. F(x)=1
3e3x+2
3. B. F(x)=e3x+1. C. F(x)=1
3e3x+1
3. D. F(x)=3e3x−2. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x) dx= Z
e3xdx=1
3e3x+c=F(x). Mặt khác,F(0)=1
3·1+c=1⇔c=2 3. NênF(x)=1
3e3x+2 3.
Chọn đáp án A ä
Câu 54. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=10xlà A. 10
x
ln 10+C. B. 10
x+1
x+1 +C. C. 10
x
11 +C. D. 10x·ln 10+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
10xdx= 10x ln 10+C.
Chọn đáp án A ä Câu 55. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=1+lnx
x2 là A. −lnx
x +2
x+C. B. −lnx x −2
x+C. C. lnx x +2
x+C. D. lnx x −2
x+C. -Lời giải.
Ta cĩ f(x)=1+lnx x2 = 1
x2+lnx x2 . Đặt
u=lnx dv= 1
x2dx ⇒
du=1
xdx v= −1
x. Khi đĩ:
Z lnx
x2 dx= −lnx x +
Z 1
x2dx= −lnx x −1
x+C0. Mặt khác,
Z 1
x2dx= −1 x+C". Do đĩ,
Z
f(x) dx= Z lnx
x2 dx+ Z 1
x2dx= −lnx x −1
x−1
x+C= −2 x−lnx
x +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 56. Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x+1) lnxlà A. (x2+x) lnx−x2
2 +x+C. B. (x2+x) lnx−x2
2 −x+C. C. (x2+1) lnx−x2
2 −x+C. D. 2 lnx+1
x+C. -Lời giải.
XétF(x)= Z
(2x+1) lnxdx. Đặt
u=lnx
dv=(2x+1) dx⇒
du=1
xdx v=x2+x.
⇒F(x)=(x2+x) lnx− Z
(x+1) dx=(x2+x) lnx−x2
2 −x+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 57. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=lnx x là A. 1
2ln2x+lnx+C. B. 1
2ln2x+C. C. ln2x+C. D. ln (lnx)+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x) dx= Z lnx
x dx= Z
lnxd (lnx)=1
2ln2x+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 58. Cho hàm số f(x)cĩ đạo hàm liên tục trên khoảng(0;+∞). Khi đĩ
Z f0¡p x¢
px dxbằng A. 1
2f¡p x¢
+C. B. f¡p x¢
+C. C. −2f¡p x¢
+C. D. 2f¡p x¢
+C. -Lời giải.
Ta cĩ:I=
Z f0¡p x¢
px dx. Đặtpx=t, ta cĩ 1 2p
xdx=dt. Do đĩ:I=
Z
f0(t)2 dt=2f(t)+C=2f¡p x¢
+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 59. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=3−5 sinxvà f(0)=10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f(x)=3x+5 cosx+2. B. f(x)=3x−5 cosx+15. C. f(x)=3x+5 cosx+5. D. f(x)=3x−5 cosx+2.
-Lời giải.
Ta có Z
f0(x) dx= Z
(3−5 sinx) dx=3x+5 cosx+C. Mà f(0)=10⇔3·0+5 cos 0+C=10⇔C=5. Vậy f(x)=3x+5 cosx+5.
Chọn đáp án C ä
Câu 60. BiếtF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x)=e−x+sinxthỏa mãnF(0)=0. TìmF(x). A. F(x)= −e−x−cosx+2. B. F(x)= −e−x−cosx.
C. F(x)= −e−x+cosx−2. D. F(x)= −ex−cosx+2. -Lời giải.
Có: f(x)=e−x+sinx⇒ Z
f(x) dx= −e−x−cosx+C. MàF(0)=0⇒ −1−1+C=0⇒C=2.
Khi đóF(x)= −e−x−cosx+2.
Chọn đáp án D ä
Câu 61. Tìm họ nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=ln(2x) x2 . A. F(x)= −1
x(ln 2x−1)+C. B. F(x)= −1
x(ln 2x+1)+C. C. F(x)= −1
x(1−ln 2x)+C. D. F(x)=1
x(ln 2x+1)+C. -Lời giải.
Đặt
u=ln(2x) dv= 1
x2dx , ta có
du=1
xdx v= −1
x. Suy ra
F(x) = Z
f(x) dx=
Z ln(2x) x2 dx
= −ln(2x) x +
Z 1 x2dx
= −ln(2x) x −1
x+C
= −1
x(ln(2x)+1)+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 62. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)= 1 2x+3 là A. 1
2ln(2x+3)+C. B. 1
2ln|2x+3| +C. C. ln|2x+3| +C. D. 2 ln|2x+3| +C. -Lời giải.
Ta có
Z 1
2x+3dx=1
2ln|2x+3| +C.
Chọn đáp án B ä
Câu 63. Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)=xtan2x. A. xtanx+ln|cosx| −x2
2 +C. B. xtanx−ln|cosx| −x2 2 +C. C. xtanx+ln|cosx| +x2
2 +C. D. −xtanx+ln|cosx| −x2 2 +C. -Lời giải.
Đặt
u=x⇒ du=dx
dv=tan2xdx⇒v= −x+tanx.
Khi đĩ Z
xtan2xdx=x(−x+tanx)−
Z
(−x+tanx) dx= −x2+xtanx+x2
2 +ln|cosx| +C Hay
Z
xtan2xdx=xtanx+ln|cosx| −x2 2 +C. Biết rằng
Z
tanxdx=
Z sinx
cosxdx= −
Z d (cosx)
cosx = −ln|cosx| +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 64. ChoI= Z
x¡
1−x2¢10
dx. Đặtu=1−x2, khi đĩ viếtI theouvàduta được A. I= −1
2 Z
u10du. B. I= −2 Z
u10du. C. I= Z
2u10du. D. I=1 2 Z
u10du. -Lời giải.
Đặtu=1−x2⇒du= −2xdx⇒xdx= −1
2du. VậyI= −1 2 Z
u10du.
Chọn đáp án A ä
Câu 65. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=3−5 sinxvà f(0)=1. Mệnh đề nào dưới đâyđúng?
A. f(x)=3x−5 cosx+5. B. f(x)=3x+5 cosx+5. C. f(x)=3x+5 cosx−4. D. f(x)=3x−5 cosx+15. -Lời giải.
Ta cĩ f(x)= Z
f0(x) dx= Z
(3−5 sinx) dx=3x+5 cosx+C. Ta cĩ f(0)=1⇔3·0+5 cos 0+C=1⇔C= −4.
Vậy f(x)=3x+5 cosx−4.
Chọn đáp án C ä
Câu 66. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cosxp
sinx+1. A. F(x)=1
3(sinx+1)p
sinx+1+C. B. F(x)=1−2 sinx−3 sin2x 2p
sinx+1 . C. F(x)=2
3(sinx+1)p
sinx+1+C. D. F(x)=1
3sinxp
sinx+1+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
cosxp
sinx+1 dx= Z p
sinx+1 d(sinx+1)=2
3(sinx+1)p
sinx+1+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 67. BiếtF(x)là một nguyên hàm của hàm sốf(x)=1
x vàF(1)=2. TínhF(2).
A. F(2)=2−ln 2. B. F(2)=2 ln 2. C. F(2)=3. D. F(2)=ln 2+2. -Lời giải.
Theo giả thiết,F(x)=ln|x| +C. DoF(1)=2nênC=2. VậyF(2)=ln 2+2.
Chọn đáp án D ä
Câu 68. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x−sinx. A.
Z
f(x) dx=x−cosx+C. B.
Z
f(x) dx=x2−cosx+C. C.
Z
f(x) dx=x+cosx+C. D.
Z
f(x) dx=x2+cosx+C. -Lời giải.
Ta cĩ
Z
f(x) dx= Z
(2x−sinx) dx=x2+cosx+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 69. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x)=(3x+2)e ? A. F(x)=1
2(3x+1)e2x+3. B. F(x)=1
3(2x+3)e2x+3. C. F(x)=1
4(6x+1)e2x+3. D. F(x)=(3x−1)e2x+3. -Lời giải.
Ta cĩ
Z
f(x) dx= Z
(3x+2)e2x+3dx.
Đặt
u=3x+2 dv=e2x+3dx ⇒
du=3 dx v=1
2e2x+3. Khi đĩ
Z
(3x+2)e2x+3dx = 1
2(3x+2)e2x+3−3 2 Z
e2x+3dx
= 1
2(3x+2)e2x+3−3
4e2x+3+C
= µ3
2x+1−3 4
¶
e2x+3+C
= 1
4(6x+1)e2x+3+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 70. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=sin 2x. A.
Z
sin 2xdx=2 cos 2x+C. B.
Z
sin 2xdx=cos 2x 2 +C. C.
Z
sin 2xdx= −cos 2x+C. D.
Z
sin 2xdx= −cos 2x 2 +C. -Lời giải.
Tính Z
sin 2xdx.
Đặtt=2x⇒dt=2 dx. Khi đĩ, Z
sin 2xdx=
Z sint
2 dt= −cost
2 +C= −cos 2x 2 +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=e3x+1. A.
Z
f(x)dx=1
3e3x+1+C. B.
Z
f(x)dx=e3x+1+C. C.
Z
f(x)dx=1
3e3x+1. D.
Z
f(x)dx= −1
3e3x+1+C. -Lời giải.
Z
f(x)dx= Z
e3x+1dx=1
3e3x+1+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 72. Trong các khẳng định dưới đây, cĩ bao nhiêu khẳng định đúng?
1 Mọi hàm số liên tục trên[a;b]đều cĩ đạo hàm trên[a;b].
2 Mọi hàm số liên tục trên[a;b]đều cĩ nguyên hàm trên[a;b].
3 Mọi hàm số cĩ đạo hàm trên[a;b]đều cĩ nguyên hàm trên[a;b].
4 Mọi hàm số liên tục trên[a;b]thì đều cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên[a;b].
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. -Lời giải.
a)vàb)sai, lấy VD là hàm y= |x|.
c)đúng vì hàm số cĩ đạo hàm trên[a;b]thì liên tục trên[a;b]. Do đĩ hàm số cĩ nguyên hàm trên[a;b]. d)đúng vì hàm số liên tục trên [a;b]thì cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các điểm cực trị hoặc hai đầu mút.
Chọn đáp án A ä
Câu 73. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f(x)=p
x−1trên(0;+∞)?
A. F(x)=2 3
p3
x2−x+1. B. F(x)=2
3
px3−x+2. C. F(x)= 1
2p
x. D. F(x)= 1
2p x−x. -Lời giải.
Ta cĩ:F(x)= Z ¡p
x−1¢ dx=2
3
px3−x+C. ChoC=2ta đượcF(x)=2
3
px3−x+2.
Chọn đáp án B ä