3.3 Nguyên hàm từng phần
3.3.1 Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)(giả sử điều kiện được xác định) TínhI=
Z
lnxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . . dv=. . .−→v=. . . ĐS: I=xlnx−x+C Lời giải:Đặt
u=lnx dv=dx⇒
du=1 xdx v=x Ta có:I=xlnx−
Z x1
xdx=xlnx−x+C.
Bài 1. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)(giả sử điều kiện được xác định):
1 TínhI= Z
xlnxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= x2
2 lnx−x2 4 +C. -Lời giải.
Đặt
u=lnx dv=xdx⇒
du=1
xdx v= x2
2 Ta có:I= x2
2 ·lnx− Z x2
2 ·1
xdx= x2
2 lnx−x2
4 +C. ä
2 TínhI= Z
(2x+1) lnxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . . dv=. . .−→v=. . .
ĐS:I=(x2+x) lnx−x2
2 −x+C -Lời giải.
Đặt
u=lnx
dv=(2x+1)dx⇒
du=1
xdx v=x2+x Ta có:I=(x2+x) lnx−
Z
(x2+x)1
xdx=(x2+x) lnx− Z
(x+1) dx=(x2+x) lnx−x2
2 −x+C
ä
3 TínhI= Z
xln(1−x) dx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=x2−1
2 ln(1−x)−1 4x2−1
2x+C -Lời giải.
Đặt
u=ln(1−x) dv=xdx ⇒
du= −1 1−xdx v=x2
2 I= x2
2 ln(1−x)− Z x2
2 · µ −1
1−x
¶ dx
= x2
2 ln(1−x)+1 2
Z x2 1−xdx
= x2
2 ln(1−x)+1 2
Z µ
−x−1+ 1 1−x
¶ dx
= x2
2 ln(1−x)+1 2 µ
−x2
2 −x−ln(1−x)
¶ +C
= x2−1
2 ln(1−x)−1 4x2−1
2x+C.
ä
4 TínhI= Z
xsinxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= −xcosx+sinx+C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv=sinxdx ⇒
du=dx v= −cosx
I= −xcosx− Z
(−cosx) dx
= −xcosx+ Z
cosxdx
= −xcosx+sinx+C.
ä 5 TínhI=
Z
xcosxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=xsinx+cosx+C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv=cosxdx⇒
du=dx v=sinx Ta có:I=xsinx−
Z
sinxdx=xsinx+cosx+C. ä
6 TínhI= Z
(x+1) sin 2xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS: I= −1
2(x+1) cos 2x+1
4sin 2x+C -Lời giải.
Đặt
u=x+1
dv=sin 2xdx⇒
du=dx v= −1
2cos 2x I= −1
2(x+1) cos 2x− Z µ
−1 2cos 2x
¶
dx= −1
2(x+1) cos 2x+1 2 Z
cos 2xdx
= −1
2(x+1) cos 2x+1
4sin 2x+C.
ä 7 TínhI=
Z
xsinx
2dx. Chọn
u=. . .−→du=. . . dv=. . .−→v=. . .
ĐS: I= −2x·cosx
2+4 sinx 2+C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv=sinx 2dx⇒
du=dx v= −2 cosx
2 I= −2x·cosx
2− Z
(−2)·cosx
2dx= −2x·cosx
2+4 sinx
2+C. ä
8 TínhI= Z
xsinxcosxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= −1
4x·cos 2x+1
8sin 2x+C -Lời giải.
Ta cóI= Z 1
2xsin 2xdx. Đặt
u=1
2x
dv=sin 2xdx
⇒
du=1 2dx v= −1
2cos 2x I= −1
4x·cos 2x− Z µ
−1 4cos 2x
¶ dx
= −1
4x·cos 2x+1 4·1
2sin 2x+C
= −1
4x·cos 2x+1
8sin 2x+C
ä 9 TínhI=
Z
x(2 cos2x−1) dx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=1
2xsin 2x+1
4cos 2x+C -Lời giải.
I= Z
x·cos 2xdx Đặt
u=x
dv=cos 2xdx⇒
du=dx v=1
2sin 2x I=1
2xsin 2x− Z 1
2sin 2xdx
=1
2xsin 2x+1
4cos 2x+C.
ä
10 TínhI= Z
xexdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=x·ex−ex+C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv=exdx⇒
du=dx v=ex
I=x·ex− Z
exdx
=x·ex−ex+C.
ä 11 TínhI=
Z
(1−2x)exdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS: I=(1−2x)ex+2ex+C -Lời giải.
Đặt
u=1−2x dv=exdx⇒
du= −2 dx v=ex
I=(1−2x)·ex− Z
ex(−2) dx
=(1−2x)ex+2ex+C.
ä 12 TínhI=
Z
xe3xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=1
3xe3x−1
9e3x+C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv=e3xdx⇒
du=dx v=1
3e3x
I=1 3ex−
Z 1 3e3xdx
=1
3xe3x−1 3·1
3·e3x+C
=1
3xe3x−1
9e3x+C.
ä 13 TínhI=
Z
xe−xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= −xe−x−e−x+C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv=e−xdx⇒
du=dx v= −e−x
I= −xe−x− Z
(−e−x) dx
= −xe−x+ Z
e−xdx
= −xe−x−e−x+C.
ä 14 TínhI=
Z
(4x−1)e−2xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . . dv=. . .−→v=. . .
ĐS:I= −1
2(4x−1)e−2x−e−2x+C -Lời giải.
Đặt
u=4x−1 v=e−2xdx ⇒
du=4 dx v= −1
2e−2x I= −1
2(4x−1)e−2x− Z µ
−1
2e−2x·4
¶ dx
= −1
2(4x−1)e−2x+2 Z
e−2xdx
= −1
2(4x−1)e−2x+2· µ
−1 2
¶
·e−2x+C
= −1
2(4x−1)e−2x−e−2x+C.
ä 15 TínhI=
Z x
sin2xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . . dv=. . .−→v=. . .
ĐS:I= −xcotx−ln|sinx| +C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv= 1
sin2xdx⇒
du=dx v= −cotx
I= −xcotx+ Z
(−cotx) dx
= −xcotx−
Z cosx sinxdx
= −xcotx−
Z d(sinx) sinx
= −xcotx−ln|sinx| +C.
ä 16 TínhI=
Z x
cos2xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . . dv=. . .−→v=. . .
ĐS:I=xtanx+ln|cosx| +C -Lời giải.
Đặt
u=x
dv= 1
cos2xdx⇒
du=dx v=tanx
I=xtanx− Z
tanxdx
=xtanx−
Z sinx cosxdx
=xtanx+
Z d(cosx) cosx
=xtanx+ln|cosx| +C.
ä
17 TínhI=
Z 2x−1
1+cos 2xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=1
2(2x−1) tanx+ln|cosx| +C -Lời giải.
Đặt
u=2x−1 dv= 1
2 cos2xdx⇒
du=2 dx v=1
2tanx I=1
2(2x−1) tanx− Z 1
2tanx·2 dx
=1
2(2x−1) tanx+
Z d(cosx) cosx
=1
2(2x−1) tanx+ln|cosx| +C.
ä 18 TínhI=
Z 2x
1−cos 4xdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= −1
2xcot 2x+1
4ln|sin 2x| +C -Lời giải.
I=
Z 2x
2 sin22xdx=
Z x
sin22xdx. Đặt
u=x
dv= 1
sin22xdx⇒
du=dx v= −1
2cot 2x I= −1
2xcot 2x− Z µ
−1 2cot 2x
¶ dx
= −1
2xcot 2x+1 2
Z cos 2x sin 2xdx
= −1
2xcot 2x+1 2·1
2
Z d(sin 2x) sin 2x
= −1
2xcot 2x+1
4ln|sin 2x| +C.
ä 19 TínhI=
Z lnx
x3 dx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= −lnx 2x2− 1
4x2+C -Lời giải.
Đặt
u=lnx dv= 1
x3dx⇒
du=1 xdx v=x−2
−2 = 1
−2x2.
I= −lnx 2x2−
Z x−2
−2 ·1 xdx
= −lnx 2x2+1
2 Z 1
x3dx
= −lnx 2x2+1
2·x−2
−2 +C
= −lnx 2x2− 1
4x2+C.
ä
20 TínhI=
Z x2−1
x2 lnxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I= µ
x+1 x
¶
lnx−x+1 x+C -Lời giải.
I=
Z x2−1
x2 lnxdx= Z µ
1− 1 x2
¶
lnxdx.
Đặt
u=lnx dv=
µ 1− 1
x2
¶ dx⇒
du=1 xdx v=x+1
x I= µ
x+1 x
¶ lnx−
Z µ x+1
x
¶
·1 xdx
= µ
x+1 x
¶ lnx−
Z µ 1+ 1
x2
¶ dx
= µ
x+1 x
¶ lnx−
µ x−1
x
¶ +C
= µ
x+1 x
¶
lnx−x+1 x+C.
ä
21 TínhI= Z
excosxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=1
2ex(cosx−sinx)+C -Lời giải.
Đặt
u=cosx dv=exdx⇒
du= −sinxdx v=ex
I=ex·cosx+ Z
ex·sinxdx=ex·cosx+I2, vớiI2= Z
ex·sinxdx. Đặt
u=sinx dv=exdx⇒
du=cosxdx v=ex
I2=exsinx−R
excosxdx=exsinx−I. Do đó:I=excosx−(exsinx−I)+C⇔I=1
2ex(cosx−sinx)+C. ä
22 TínhI= Z
exsinxdx. Chọn
u=. . .−→du=. . .
dv=. . .−→v=. . . ĐS:I=1
2ex(sinx−cosx)+C -Lời giải.
Đặt
u=sinx dv=exdx⇒
du=cosxdx v=ex
I=exsinx− Z
ex·cosxdx
=exsinx−I2
TínhI2= Z
excosxdx
Đặt
u=cosx dv=exdx⇒
du= −sinxdx v=ex
I2=excosx+ Z
exsinxdx
=excosx+I
⇒I=exsinx−excosx−I
⇔2I=ex(sinx−cosx)
⇒I=1
2ex(sinx−cosx)+C.
ä
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm sốF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=xe−x thỏa mãnF(0)=1.
ĐS:F(x)= −xe−x−e−x+1 Lời giải: Theo đề ta tính
Z
f(x) dx= Z
xe−xdx. Đặt
u=x ⇒du=dx dv=e−xdx ⇒v= −e−x. Suy ra
Z
xe−xdx= −xe−x+ Z
e−xdx= −xe−x−e−x+C=F(x). MàF(0)=1⇒C=1.
VậyF(x)= −xe−x−e−x+1.
Bài 2. Tìm một nguyên hàm của hàm sốF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiện cho trước.
1 Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=xcos 3xthỏa mãnF(0)=1. ĐS:F(x)=1
3xsin 3x+1
9cos 3x−1 9 -Lời giải.
Theo đề ta tính Z
f(x) dx= Z
xcos 3xdx. Đặt
u=x ⇒du=dx dv=cos 3xdx ⇒v=1
3sin 3x.
Suy ra Z
xcos 3xdx=1
3xsin 3x−1 3 Z
sin 3xdx=1
3xsin 3x+1
9cos 3x+C=F(x). MàF(0)=1⇒C= −1
9. VậyF(x)=1
3xsin 3x+1
9cos 3x−1
9. ä
2 ChoF(x)=lnxlà một nguyên hàm của hàm số f(x)
x3 . Tìm nguyên hàm của hàm f0(x) lnx. ĐS:
Z
f0(x) lnxdx=x2lnx−x2 2 +C -Lời giải.
VìF(x)=lnxlà một nguyên hàm của hàm số
x3 nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (lnx)0= f(x)
x3
⇒ 1
x = f(x) x3
⇒ f(x)=x2⇒f0(x)=2x.
Khi đó Z
f0(x) lnxdx= Z
2xlnxdx. Đặt
u=lnx ⇒du=1 xdx dv=2xdx ⇒v=x2. Suy ra
Z
2xlnxdx=x2lnx− Z
xdx=x2lnx−x2
2 +C. ä
3 ChoF(x)=lnxlà một nguyên hàm của hàm số f(x)
x2 . Tìm nguyên hàm của hàm f0(x) lnx. ĐS:
Z
f0(x) lnxdx=xlnx−x+C -Lời giải.
VìF(x)=lnxlà một nguyên hàm của hàm sô f(x)
x2 nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (lnx)0= f(x)
x2
⇒ 1
x= f(x) x2
⇒ f(x)=x⇒ f0(x)=1.
Khi đó Z
f0(x) lnxdx= Z
lnxdx. Đặt
u=lnx ⇒du=1 xdx dv=dx ⇒v=x.
Suy ra Z
lnxdx=xlnx− Z
1 dx=xlnx−x+C. ä
4 ChoF(x)=lnxlà một nguyên hàm của hàm sốx f(x). Tìm nguyên hàm của hàm f0(x) lnx. ĐS:
Z
f0(x) lnxdx= 1
x2lnx+ 1 2x2+C -Lời giải.
VìF(x)=lnxlà một nguyên hàm của hàm sôx f(x)nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (lnx)0=x f(x)
⇒ 1
x =x f(x)
⇒ f(x)= 1
x2⇒ f0(x)= − 2 x3. Khi đó
Z
f0(x) lnxdx= Z −2
x3 lnxdx. Đặt
u=lnx ⇒du=1 xdx dv=−2
x3 dx ⇒v= 1 x2. Suy ra
Z −2
x3 lnxdx= 1 x2lnx−
Z 1
x3dx= 1
x2lnx+ 1
2x2+C. ä
5 ChoF(x)=x2+1là một nguyên hàm của f(x)
x . Tìm nguyên hàm của hàm f0(x) lnx. ĐS:
Z
f0(x) lnxdx=2x2lnx−x2+C -Lời giải.
VìF(x)=x2+1là một nguyên hàm f(x)
x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (x2+1)0= f(x)
x
⇒ 2x= f(x) x
⇒ f(x)=2x2⇒ f0(x)=4x.
Khi đó Z
f0(x) lnxdx= Z
4xlnxdx. Đặt
u=lnx ⇒du=1 xdx dv=4xdx ⇒v=2x2. Suy ra
Z
4xlnxdx=2x2lnx− Z
2xdx=2x2lnx−x2+C. ä
6 ChoF(x)= 1
x2 là một nguyên hàm của f(x)
x . Tìm nguyên hàm của f0(x)(x4−x3). ĐS:
Z
f0(x) lnxdx=2x2−4x+C -Lời giải.
VìF(x)= 1
x2 là một nguyên hàm của f(x)
x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có µ 1
x2
¶0
= f(x) x
⇒ − 2
x3= f(x) x
⇒ f(x)= −2
x2⇒ f0(x)= 4 x3. Khi đó
Z
f0(x)(x4−x3) dx= Z
(4x−4) dx=2x2−4x+C.
ä 7 ChoF(x)=x2 là một nguyên hàm của f(x)e2x. Tìm nguyên hàm của f0(x)e2x.
ĐS:
Z
f0(x)e2xdx=2x−2x2+C -Lời giải.
VìF(x)=x2là một nguyên hàm của f(x)e2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (x2)0=f(x)e2x
⇒ 2x=f(x)e2x
⇒ f(x)= 2x
e2x ⇒f0(x)=2−4x e2x Khi đó
Z
f0(x)e2xdx= Z
(2−4x) dx=2x−2x2+C
ä
8 ChoF(x)=
x2 là một nguyên hàm của
x . Tìm nguyên hàm của f0(x)(x3+1). ĐS:
Z
f0(x)(x3+1) dx=4x− 2 x2+C -Lời giải.
VìF(x)= 1
x2 là một nguyên hàm của f(x)
x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có µ 1
x2
¶0
= f(x) x
⇒ − 2
x3= f(x) x
⇒ f(x)= −2
x2⇒ f0(x)= 4 x3. Khi đó
Z
f0(x)(x3+1) dx= Z
(4+ 4
x3) dx=4x− 2 x2+C.
ä 9 ChoF(x)=1
x là một nguyên hàm củax2f(x). Tìm nguyên hàm của f0(x)x3lnx. ĐS:
Z
f0(x)x3lnxdx= −4
xlnx−4 x+C -Lời giải.
VìF(x)=1
x là một nguyên hàm củax2f(x)nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có µ1
x
¶0
=x2f(x)
⇒ − 1
x2=x2f(x)
⇒ f(x)= −1
x4⇒ f0(x)= 4 x5. Khi đó
Z
f0(x)x3lnxdx= Z 4
x2lnxdx.
ä Đặt
u=lnx ⇒du=1 xdx dv= 4
x2dx ⇒v= −4 x. Suy ra
Z
4x2lnxdx= −4 xlnx+
Z 4
x2dx= −4
xlnx−4 x+C.
10 ChoF(x)= 1
x2 là một nguyên hàm của f(x)
x . Tìm nguyên hàm của f0(x)xlnx. ĐS:
Z
f0(x)xlnxdx= −4
xlnx−4 x+C -Lời giải.
VìF(x)= 1
x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)
x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có µ 1
x2
¶0
= f(x)
x ⇒ − 2
x3 = f(x)
x ⇒ f(x)= −2
x2⇒ f0(x)= 4 x3.
Khi đóI= Z
f0(x)xlnxdx= Z 4
x2lnxdx. Đặt
u=lnx dv= 4
x2dx⇒
du=dx x v= −4
x
⇒I= −4 xlnx+
Z 4
x2dx= −4
xlnx−4
x+C. ä
11 ChoF(x)= 1
x3 là một nguyên hàm của f(x)
x2 . Tìm nguyên hàm của f0(x) lnx. ĐS:
Z
f0(x) lnxdx= − 3
x2·lnx− 3 2x2+C -Lời giải.
VìF(x)= 1
x3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)
x2 nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có µ 1
x3
¶0
= f(x)
x2 ⇒ − 3
x4 = f(x)
x2 ⇒ f(x)= −3
x2⇒ f0(x)= 6 x3. Khi đóI=
Z
f0(x) lnxdx=6 Z 1
x3lnxdx. Đặt
u=lnx dv= 1
x3dx⇒
du=dx x v= − 1
2x2
⇒I= −6· 1
2x2·lnx+3 Z 1
x3dx= −3
x2·lnx− 3
2x2+C. ä
12 ChoF(x)= x4
16 là một nguyên hàm của f(x)
x . Tìm nguyên hàm của f0(x) lnx. ĐS:
Z
f0(x) lnxdx=x4
4 ·lnx−x4 16+C -Lời giải.
VìF(x)= x4
16là một nguyên hàm của hàm số f(x)
x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có µx4
16
¶0
= f(x) x ⇒ x3
4 = f(x)
x ⇒f(x)= x4
4 ⇒f0(x)=x3. Khi đóI=
Z
f0(x) lnxdx= Z
x3lnxdx.
Đặt
u=lnx dv=x3dx⇒
du=dx x v= x4
4
⇒I=x4
4 ·lnx− Z x3
4 dx=x4
4 ·lnx−x4
16+C. ä
13 ChoF(x)= −xex là một nguyên hàm của hàm số f(x)e2x. Tìm nguyên hàm của f0(x)e2x. ĐS:
Z
f0(x)e2xdx=xex−ex+C -Lời giải.
VìF(x)= −xexlà một nguyên hàm của hàm số f(x)e2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
¡−xex¢0
=f(x)e2x⇒ −ex−xex=f(x)e2x⇒f(x)=−1−x
ex ⇒f0(x)= x ex. Khi đóI=
Z
f0(x)e2xdx= Z
xexdx. Đặt
u=x
dv=exdx⇒
du=dx
v=ex ⇒I=xex− Z
exdx=xex−ex+C. ä
14 ChoF(x)=2(x−1)e là một nguyên hàm của hàm số f (x)e thỏa f(0)=0. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)ex.
ĐS:
Z
f(x)exdx¡
x2−2x+2¢
ex+C0 -Lời giải.
VìF(x)=2(x−1)exlà một nguyên hàm của hàm số f0(x)exnên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
¡2(x−1)ex¢0
=f0(x)ex⇒2ex+2(x−1)ex=f0(x)ex⇒2xex=f0(x)ex⇒f0(x)=2x⇒ f(x)=x2+C.
Mà f(0)=0⇒C=0, do đó f(x)=x2. Khi đóI=
Z
f(x)exdx= Z
x2exdx. Đặt
u=x2 dv=exdx⇒
du=2xdx
v=ex ⇒I=x2ex−2 Z
xexdx.
Đặt
u0=x
dv0=exdx⇒
du0=dx v0=exdx ⇒
Z
xexdx=xex− Z
exdx=xex−ex+C. Do đóI=x2ex−2 (xex−ex+C)=¡
x2−2x+2¢
ex+C0(vớiC0=2C). ä
15 Cho F(x)= µ
1−x2 2
¶
cosx+xsinx là một nguyên hàm của hàm số f(x) sinx. Tìm nguyên hàm của
hàm số f0(x) cosx. ĐS:
Z
f0(x) cosxdx=xsinx+cosx+C -Lời giải.
Vì F(x) = µ
1−x2 2
¶
cosx+xsinx là một nguyên hàm của hàm số f(x) sinx nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µµ 1−x2
2
¶
cosx+xsinx
¶0
=f(x) sinx⇒ −xcosx− µ
1−x2 2
¶
sinx+sinx+xcosx= f(x) sinx⇒ x2
2 sinx=f(x) sinx⇒ f(x)=x2
2 ⇒ f0(x)=x. Khi đóI=
Z
f0(x) cosxdx= Z
xcosxdx. Đặt
u=x
dv=cosxdx⇒
du=dx
v=sinx⇒I=xsinx− Z
sinxdx=xsinx+cosx+C. ä
16 Cho F(x)= µx2
2 −1
¶
sinx+xcosx là một nguyên hàm của hàm số f(x) cosx. Tìm nguyên hàm của
hàm số f0(x) sinx. ĐS:
Z
f0(x) sinxdx= −xcosx+sinx+C -Lời giải.
VìF(x)= µx2
2 −1
¶
sinx+xcosxlà một nguyên hàm của hàm sốf(x) cosxnên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
µµx2 2 −1
¶
sinx+xcosx
¶0
=f(x) cosx⇒xsinx+ µx2
2 −1
¶
cosx+cosx−xsinx=f(x) cosx⇒ x2
2 cosx=f(x) cosx⇒f(x)= x2
2 ⇒f0(x)=x. Khi đóI=
Z
f0(x) sinxdx= Z
xsinxdx. Đặt
u=x
dv=sinxdx⇒
du=dx
v= −cosx ⇒I= −xcosx+ Z
cosxdx= −xcosx+sinx+C. ä
17 Cho F(x)=xtanx+ln|cosx|là một nguyên hàm của hàm số f(x)
cos2x. Tìm nguyên hàm của hàm số
f0(x) tanx. ĐS:
Z
f0(x) tanxdx= −ln|cosx| +C -Lời giải.
VìF(x)=xtanx+ln|cosx|là một nguyên hàm của hàm số f(x)
cos2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có(xtanx+ln|cosx|)0= f(x)
cos2x ⇒tanx+ x
cos2x−tanx= f(x)
cos2x ⇒ x
cos2x= f(x)
cos2x ⇒ f(x)=x⇒ f0(x)=1.
Khi đóI= Z
f0(x) tanxdx= Z
tanxdx= −ln|cosx| +C. ä
18 ChoF(x)= −xcotx+ln|sinx|là một nguyên hàm của hàm số f(x)
sin2x. Tìm nguyên hàm của hàm số
f0(x) cotx. ĐS:
Z
f0(x) cotxdx=ln|sinx| +C -Lời giải.
VìF(x)= −xcotx+ln|sinx|là một nguyên hàm của hàm số f(x)
sin2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có(−xcotx+ln|sinx|)0= f(x)
sin2x⇒ −cotx+ x
sin2x+cotx= f(x)
sin2x⇒ x
sin2x= f(x)
sin2x⇒f(x)=x⇒ f0(x)=1.
Khi đóI= Z
f0(x) cotxdx= Z
cotxdx=ln|sinx| +C. ä
19 Cho F(x)= µx2
2 −x+1
¶
ex là một nguyên hàm của hàm số f(x)ex. Tìm nguyên hàm của hàm số
f0(x)ex. ĐS:
Z
f0(x)exdx=(x−1)ex+C -Lời giải.
VìF(x)= µx2
2 −x+1
¶
ex là một nguyên hàm của hàm só f(x)ex nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có
·µx2
2 −x+1
¶ ex
¸0
=f(x)ex⇒(x−1)ex+ µx2
2 −x+1
¶
ex=f(x)ex⇒x2ex=f(x)ex⇒f(x)=x2. Suy ra f0(x)=2x. Khi đó I=
Z
f0(x)exdx= Z
2xexdx.
Đặt
u=2x dv=exdx⇒
du=2 dx
v=ex ⇒I=xex− Z
exdx=xex−ex=(x−1)ex. ä
4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b
Z
a
[f(x)]u0(x) dx=F[u(x)]
¯
¯
¯
b
a=F[u(b)]−F[u(a)] . Bước 1:Biến đổi để chọn phép đặtt=u(x)⇒dt=u0(x)dx.
Bước 2:Đổi cận
½x=b⇒t=u(b) x=a⇒t=u(a).
Bước 3:Đưa về dạng I=
u(b)
Z
u(a)
f(t) dtđơn giản hơn và dễ tính toán.
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 NHẬN BIẾT
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=ex+xlà A. ex+x2+C. B. ex+1
2x2+C. C. 1
x+1ex+1
2x2+C. D. ex+1+C. -Lời giải.
Ta có
Z
f(x) dx= Z
(ex+x) dx= Z
exdx+ Z
xdx=ex+1
2x2+C,vớiC là hằng số.
Chọn đáp án B ä
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f(x)=x3+xlà
A. x4+x2+C. B. 3x2+1+C. C. x3+x+C. D. 1 4x4+1
2x2+C. -Lời giải.
Ta có Z
(x3+x) dx=1 4x4+1
2x2+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f(x)=x4+x2là A. 4x3+2x+C. B. 1
5x5+1
3x3+C. C. x4+x2+C. D. x5+x3+C. -Lời giải.
Ta có Z
f(x) dx= Z
(x4+x2) dx=1 5x5+1
3x3+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 4. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A.
Z
2exdx=2¡
ex+C¢
. B.
Z
x3dx=x4+C 4 . C.
Z 1
xdx=lnx+C. D.
Z
sinxdx= −cosx+C. -Lời giải.
Ta có Z 1
xdx=ln|x| +Cnên mệnh đề ở phương án C sai.
Chọn đáp án C ä
Câu 5. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=52x? A.
Z
52xdx=2.52xln 5+C. B.
Z
52xdx=2.52x ln 5+C. C.
Z
52xdx= 25x
2 ln 5+C. D.
Z
52xdx=25x+1 x+1 +C. -Lời giải.
Ta có Z
52xdx=1 2.52x
ln 5+C= 25x 2 ln 5+C.
Chọn đáp án C ä
Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2+3xlà A. x3+3xln 3+C. B. x3+ 3x
ln 3+C. C. x3+3x+C. D. x3+ln 3 3x +C. -Lời giải.
Ta có Z
¡3x2+3x¢
dx=x3+ 3x ln 3+C.
Chọn đáp án B ä
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=22x là A. 4x·ln 4+C. B. 1
4x·ln 4+C. C. 4x+C. D. 4
x
ln 4+C.
-Lời giải.
Ta cĩ Z
22xdx= Z
4xdx= 4x ln 4+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 8. VớiClà hằng số, họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2 cos 2xlà
A. −sin 2x+C. B. −2 sin 2x+C. C. 2 sin 2x+C. D. sin 2x+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x) dx= Z
2 cos 2xdx=sin 2x+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=e−x µ
2+ ex cos2x
¶ . A. F(x)= −2
ex+tanx+C. B. F(x)=2ex−tanx+C. C. F(x)= −2
ex−tanx+C. D. F(x)=2e−x+tanx+C. -Lời giải.
Tập xác địnhD=R\nπ
2+kπ,k∈Zo . Ta cĩ
Z e−x
µ
2+ ex cos2x
¶ dx=
Z µ
2e−x+ 1 cos2x
¶
dx= −2
ex+tanx+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 10. Cho biếtF(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x)trênR. TìmI= Z
[2f(x)−1] dx.
A. I=2xF(x)−x+C. B. I=2xF(x)−1+C. C. I=2F(x)−1+C. D. I=2F(x)−x+C. -Lời giải.
Ta cĩ
I= Z
[2f(x)−1] dx=2 Z
f(x) dx− Z
dx=2F(x)−x+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 11. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=sin 5xlà A. 1
5cos 5x+C. B. cos 5x+C. C. −cos 5x+C. D. −1
5cos 5x+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x)dx= Z
sin 5xdx= −1
5cos 5x+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 12. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= 1 x+1 là
A. log|1+x| +C. B. ln(1+x)+C. C. − 1
(1+x)2+C. D. ln|1+x| +C. -Lời giải.
Ta cĩ Z 1
x+1dx= Z 1
x+1d(x+1)=ln|x+1| +C.
Chọn đáp án D ä
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=ex+x2là A. 1
xex+x3
3 +C. B. ex+2x+C. C. ex+x3
3 +C. D. ex+3x3+C. -Lời giải.
Z
¡ex+x2¢
dx=ex+x3
3 +C, vớiClà hằng số.
Chọn đáp án C ä
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=cos 3x. A.
Z
cos 3xdx=3 sin 3x+C. B.
Z
cos 3xdx=sin 3x 3 +C. C.
Z
cos 3xdx= −sin 3x
3 +C. D.
Z
cos 3xdx=sin 3x+C. -Lời giải.
Z
cos 3xdx=1 3 Z
cos 3xd(3x)=sin 3x 3 +C
Chọn đáp án B ä
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)= 1 5x−2. A.
Z dx 5x−2=1
5ln|5x−2| +C. B.
Z dx
5x−2= −1
2ln(5x−2)+C. C.
Z dx
5x−2=5 ln|5x−2| +C. D.
Z dx
5x−2=ln|5x−2| +C. -Lời giải.
Ta cĩ
Z dx 5x−2=
Z 1
5(5x−2)d(5x−2)=1
5ln|5x−2| +C.
Chọn đáp án A ä
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=7x. A.
Z
7xdx=7xln 7+C. B.
Z
7xdx= 7x ln 7+C. C.
Z
7xdx=7x+1+C. D.
Z
7xdx= 7x+1 x+1+C. Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=cos 2x.
A.
Z
f(x)dx=1
2sin 2x+C. B.
Z
f(x)dx= −1
2sin 2x+C. . C.
Z
f(x)dx=2 sin 2x+C. . D.
Z
f(x)dx= −2 sin 2x+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x)dx=1 2 Z
cos 2xd(2x)=1
2sin 2x+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=x2+ 2 x2. A.
Z
f(x)dx= x3 3 −2
x+C. B.
Z
f(x)dx=x3 3 −1
x+C. C.
Z
f(x)dx= x3 3 +2
x+C. D.
Z
f(x)dx=x3 3 +1
x+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z µ
x2+ 2 x2
¶
dx=x3 3 −2
x+C.
Chọn đáp án A ä
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2+1là A. x3+C. B. x
3
3 +x+C. C. 6x+C. D. x3+x+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
(3x2+1) dx=3.x3
3 +x+C=x3+x+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 20. Nguyên hàm của hàm số f(x)=x3+xlà
A. x4+x2+C. B. 3x2+1+C. C. x3+x+C. D. 1 4x4+1
2x2+C. -Lời giải.
Ta cĩ Z
(x3+x) dx=1 4x4+1
2x2+C.
Chọn đáp án D ä
Câu 21. Tìm một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=4x·22x+3. A. F(x)=24x+3
ln 2 . B. F(x)=24x+1·ln 2. C. F(x)=24x+1
ln 2 . D. F(x)=24x+3·ln 2. -Lời giải.
Ta cĩ Z
f(x)dx= Z
4x·22x+3dx= Z
24x+3dx=24x+3
4 ln 2 +C=24x+1 ln 2 +C.
Chọn đáp án C ä