Ta có công thức viết nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểmA(xA;yA)vàB(xB;yB)là:
x−xA
xB−xA = y−yA yB−yA
Chú ý: Công thức phương trình đường thẳng∆quaM(x0;y0)và vuông góc với đường thẳngd: Ax+ By+C=0là: B(x−x0)−A(y−y0) =0.
Ví dụ 19. Cho tam giácABC có đỉnhA(3;−4)và hai đường caoBH vàCH có phương trình:7x− 2y−1=0và2x−7y−6=0. Hãy tìm phương trình hai cạnhABvàAC.
Lời giải. CạnhAC: là đường thẳng đi quaA(3;−4)và vuông góc vớiBH: 7x−2y−1=0nên có phương trình:2(x−3) +7(y+4) =0⇔2x+7y+22=0.
CạnhAB: là đường thẳng quaA(3;−4)và vuông góc vớiCH: 2x−7y−6=0nên có phương trình: 7(x− 3) +2(y+4) =0⇔7x+2y−73=0.
Ví dụ 20. Cho tam giácABC, biết trung điểm các cạnh làM(−1;−1),N(1; 9),P(9; 1).
a) Lập phương trình các cạnh của tam giácABC.
b) Lập phương trình các đường trung trực của tam giácABC.
Lời giải.
A N
B M C
P
a) CạnhABqua điểmP(9; 1)và song song vớiMNnên nhận véc-tơ−−→
MN= (2; 10)làm véc-tơ chỉ phương.
Phương trình cạnhABlà: x−9
2 =y−1
10 ⇔5x−y−44=0.
Tương tự, ta có phương trình cạnhBClà:x+y−2=0.
Phương trình cạnhAC là:x−5y+44=0.
b) Gọi các đường trung trực kẻ từM,N,Ptheo thứ tự là(dM),(dN),(dP).
Đường thẳng(dM) qua điểm M(−1;−1) và vuông góc với PN nên nhận véc-tơ−→
PN = (8;−8) làm véc-tơ pháp tuyến.
Ta có phương trình đường thẳng(dM)là:x−y=0.
Tương tự,(dN): 5x+y−14=0.
(dP):x+5y−14=0.
Ví dụ 21. Cho tam giácABC, biết đỉnhA(2; 2), các đường cao xuất phát từ các đỉnhB,Ccó phương trình lần lượt làx+y−2=0và9x−3y−4=0. Hãy lập phương trình các cạnh của tam giácABC.
Lời giải. Theo giả thiết ta có phương trình các đường cao:BH: x+y−2=0,CK: 9x−3y−4=0.
• Lập phương trình cạnhAC.
CạnhAClà đường thẳng quaAvà vuông góc vớiBH nên phương trìnhAC có dạng:x−y+c=0.
DoA(2; 2)∈ACnên2−2+c=0⇔c=0.
Vậy phương trìnhAClà:x−y=0.
• Phương trình cạnhAB.
CạnhABvuông góc vớiCK nên phương trình cạnhABcó dạng:3x+9y+m=0.
DoA(2; 2)∈AB⇔3.2+9.2+m=0⇔m=−24.
Phương trình cạnhABlà:3x+9y−24=0⇔x+3y−8=0.
• Phương trình cạnhBC:
Ta cóC=CK∩ACnên tọa độ điểmClà nghiệm của hệ phương trình:
®x−y =0 9x−3y−4 =0 ⇒C
Å2 3;2
3 ã
.
Lại có:B=AB∩BH nên tọa độ điểmBlà nghiệm của hệ phương trình
®x+y−2 =0 x+3y−8 =0 ⇔
®x =−1
y =3 ⇒C(−1; 3).
Phương trình cạnhBCqua hai điểmBvàCnên có phương trình:
x−xC
xB−xC = y−yC
yB−yC ⇔ x+1 2 3+1
= y−3 2 3−3
⇔7x+5y−8=0.
Ví dụ 22. Tam giácABCcó phương trình cạnhABlà5x−3y+2=0, các đường cao qua đỉnhAvà Blần lượt là4x−3y+1=0;7x+2y−22=0. Lập phương trình hai cạnhAC,BCvà đường cao thứ ba.
Lời giải. Tọa độ điểmAlà nghiệm của hệ phương trình:
®5x−3y+2=0 (AB) 4x−3y+1=0 (AH) ⇔
®x =−1
y =−1 ⇒A(−1;−1)
CạnhACquaA(−1;−1)và vuông góc vớiBH: 7x+2y−11=0có phương trình:
2(x+1)−7(y+1) =0⇔2x−7y−5=0 (AC) Tọa độ điểmBlà nghiệm của hệ phương trình:
®5x−3y+2 =0 7x+2y−22 =0⇔
®x=2
y=4 ⇒B(2; 4) CạnhBCquaB(2; 4)và vuông góc vớiAH: 4x−3y+1=0có phương trình:
3(x−2) +4(y−6) =0⇔3x+4y−22=0 (BC) Tọa độ điểmClà nghiệm của hệ phương trình:
®2x−7y−5 =0 3x+4y−22 =0 ⇔
®x=6
y=1 ⇒C(6; 1) Đường caoCH quaC(6; 1)và vuông góc vớiAB: 5x−3y+2=0có phương trình:
3(x−6) +5(y−1) =0⇔3x+5y−23=0
Ví dụ 23. Lập phương trình các cạnh của tam giácABCbiếtB(2;−1), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnhA,Clần lượt là3x−4y+27=0vàx+2y−5=0.
Lời giải.
CạnhBClà đường thẳng quaB(2;−1)và vuông góc với phân giác3x−4y+27=0 nên có phương trình:4(x−2) +3(y+1) =0⇔4x+3y−5=0.
Tọa độ điểmClà nghiệm của hệ phương trình:
®4x+3y−5 =0
x+2y−5 =0⇔C(−1; 3)
A
C
B H
K
Đường phân giác ứng với phương trìnhx+2y−5=0có véc-tơ chỉ phương:−→v = (2;−1).
Ta có:tan(−÷→
CB,−→v) =tan(−→÷v,−→
CA) (1) Biết−→
CB= (−3; 4),−→
CA= (xA+1;yA−3).
Do đó(1)⇔ 3−8
−6−4 =2(yA−3) + (xA+1) 2(xA+1)−(yA−3) ⇔1
2 = xA+2yA−5
2xA−yA+5 ⇔yA=3.
Ta có:yA−yC=3. Vậy phương trình đườngAC lày=3.
ThayyA=3vào3x−4y+27=0, ta có:A(−5; 3).
Suy ra−→
AB= (7;−4).
Phương trình cạnhABlà:4(x+5) +7(y−3) =0⇔4x+7y−1=0.
Ví dụ 24. Trong mặt phẳngOxy, cho tam giácABCcó đường phân giác trong(AD): x−y=0, đường cao(CH): 2x+y+3=0, cạnh AC quaM(0;−1), AB=2AM. Viết phương trình ba cạnh của tam giácABC.
Lời giải.
A
C
B D
H
N M
K
GọiN là điểm đối xứng củaM quaAD (theo tính chất của đường phân giác trong), suy raN nằm trên tia AB.
Mặt khác ta có:AN=AM⇒AB=2AN. Suy raN là trung điểm củaAB. DoMN⊥ADnên phương trình MNlà:x+y+m1=0;
M(0;−1)∈MN⇒ −1+m1=0⇔m1=1. Suy ra(MN): x+y+1=0.
GọiK=MN∩AD, tọa độK là nghiệm của hệ phương trình:
®x+y=−1 x−y=0 ⇔
x=−1 2 y=−1 2
⇒K Å
−1 2;−1
2 ã
.
VìKlà trung điểm củaMNnên
®xN =2xK−xM=−1
yN =2yK−yM=0 ⇒N(−1; 0).
DoAB⊥CH nên phương trìnhABlà: 2−2y+m2=0; N(−1; 0)∈AB⇔ −1+m2=0⇔m2=1.
Suy raAB: x−2y+1=0.
VìA=AB∩ADnên tọa độAlà nghiệm của hệ phương trình:
®x−2y =−1 x−y =0 ⇔
®x=1
y=1 ⇒A(1; 1) Suy ra: AC: 2x−y−1.
VìC=AC∩CH nên tọa độClà nghiệm của hệ phương trình:
®2x−y =1 2x+y =−3 ⇔
x=−1 2 y=−2
⇒C Å
−1 2;−2
ã
DoN là trung điểm củaABnên
®xB=2xN−xA=−2
yB=2yN−yA=−1 ⇒B(−3;−1).
Phương trình đường thẳngBCqua hai điểmB(−3;−1)vàC Å
−1 2;−2
ã là:
x+3
−1 2+3
= y+1
−2+1⇔2x+5y+11=0 Vậy BC: 2x+5y+11=0.
Ví dụ 25. Trong mặt phẳngOxy, cho tam giácABC có đỉnhA(−1; 2). Trung tuyếnCM: 5x+7y− 20=0và đường caoBH: 5x−2y−4=0. Viết phương trình các cạnhACvàBC.
Lời giải. DoAC⊥BHnên phương trìnhACcó dạng:2x+5y+m=0.
DoA(−1; 2)∈AC⇔ −2+10+m=0⇔m=−8.
Suy ra AC: 2x+5y−8=0.
DoC=AC∩CM nên tọa độClà nghiệm của hệ phương trình:
®2x+5y=8 5x+7y=20 ⇔
®x=4
y=0 ⇒C(4; 0) ĐặtB(a;b). DoB∈BH nên5a−2b−4=0.
VìMlà trung điểm củaABnên tọa độMlàM
Å−1+a 2 ;2+b
2 ã
∈CM⇔5·−1+a
2 +7·2+b
2 −20=0⇔
5a+7b−31=0
Tọa độMlà nghiệm của hệ:
®5a−2b=4 5a+7b=31 ⇔
®a=2
b=3 ⇒B(2; 3) Phương trình cạnhBClà BC: 3x+2y−12=0.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 23. Lập phương trình các cạnh của tam giácABCnếu choB(−4;−5)và hai đường cao có phương trình là:5x+3y−4=0và3x+8y+13=0.
Lời giải. Đáp số:AB: 3x−5y−13=0;
BC: 8x−3y+17=0;
AC: 5x+2y−1=0.
Bài 24. Cho 4ABC, biết đỉnhC(4;−1), đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnhA có phương trình tương ứng là(d1): 2x−3y+12=0và(d2): 2x+3y=0. Lập phương trình các cạnh của4ABC.
Lời giải.
(d1) (d2)
A B
H C
M
• Lập phương trình cạnhBC.
VìBC⊥(d1)nên phương trình(BC)có dạng:−3x−2y+c=0 (1) VìC∈(BC)nên:(−3).4−2.(−1) +c=0⇔c=10.
Thayc=10vào(1)ta được phương trình(BC): 3x+2y−10=0.
• Lập phương trình cạnhAC.
Ta có điểmA= (d1)∩(d2)nên tọa độ điểmAlà nghiệm của hệ:
®2x−3y+12 =0
2x+3y =0 ⇒A(−3; 2) Phương trình đường thẳng(AC)qua hai điểmA(−3; 2)vàC(4; 1)là:
x+3
4+3 = y−2
−1−2⇔(AC): 3x+7y−5=0.
• Lập phương trình cạnhAB.
GọiMlà trung điểm củaBC, khi đó điểmM= (d2)∩(BC).
Tọa độ điểmMlà nghiệm của hệ phương trình:
®3x+2y−10 =0
2x+3y =0 ⇒M(6; 4).
Tọa độ điểmBđược xác định bởi:
®xB+xC =2xM yB+yC =2yM ⇔
®xB =2xM−xC yB =2yM−yC ⇔
®xB=8 yB=−7 Phương trình đường thẳng(AB)qua hai điểmA(−3; 2)vàB(8;−7)là:
x−8
−3−8 = y+7
2+7⇔9x+11y+5=0
Bài 25. Cho tam giácABC, biếtA(1; 3)và hai trung tuyến có phương trình làx−2y+1=0vày−1=0.
Lập phương trình các cạnh của4ABC.
Lời giải.
(d1) (d2)
A
C B
G
A0
Để có được phương trình các cạnh của4ABCta đi xác định tọa độ điểmB,C.
GọiA0là điểm đối xứng vớiAqua trọng tâmGcủa4ABC, khi đó:
®A0Bk(d1) A0Ck(d2) . Suy ra: ĐiểmBlà giao điểm của(A0B)và(d2).
Điểm(C)là giao điểm của(A0C)và(d1).
Vậy ta lần lượt thực hiện theo các bước sau:
• GọiGlà trọng tâm4ABC, khi đó tọa độ củaGlà nghiệm của hệ:
®x−2y+1 =0
y−1 =0 ⇒G(1; 1).
• ĐiểmA0là điểm đối xứng vớiAquaG, tọa độ củaA0được cho bởi:
®xA0=2xG−xA
yA0=2yG−yA ⇒A0(1;−1)
• Tìm tọa độ điểmB.
Đường thẳngA0Bqua điểmA0(1;−1)và song song với đường thẳngd1nên nhận véc-tơ−→
CG= (2; 1) làm véc-tơ chỉ phương.
Phương trình đường thẳngA0Blà: x−1
2 =y+1
1 ⇔x−2y−3=0.
ĐiểmB=A0B∩d2, tọa độ điểmBlà nghiệm hệ:
®x−2y−3 =0
y−1 =0 ⇒B(5; 1).
• Tương tự, ta cóC(−3;−1).
• Phương trình đường thẳngACqua hai điểmA(1; 3)vàC(−3;−1)là:
x−1
−3−1 = y−3
−1−3⇔x−y+2=0.
• Tương tự ta có: phương trình cạnhABlà:x+2y−7=0;
Phương trình cạnhBClà:x−4y−1=0.
Bài 26. Cho tam giác ABCcó phân giác của gócAcó phương trình là:d1: x+y+2=0; đường cao vẽ từ Bcó phương trình làd2: 2x−y+1=0, cạnhABquaM(1;−1). Tìm phương trình cạnhAC của tam giác.
Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnhC của tam giácABCbiết rằng hình chiếu vuông góc củaC trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trìnhx−y+2=0và đường cao kẻ từBcó phương trình4x+3y−1=0.
Lời giải. Phương trình đường thẳngd qua H(−1;−1)và vuông góc với∆: x−y+2=0 có dạng1(x+ 1) +1(y+1) =0.
Giao điểmI củad và∆là nghiệm của hệ phương trình:
®x+y+2=0
x−y+2=0 ⇒I(−2; 0)
GọiK là điểm đối xứng củaHqua∆thìK(−3; 1).
ACquaK và vuông góc với đường cao:4x+3y−1=0.
Phương trìnhAC:3(x+3)−4(y−1) =0⇔3x−4y+13=0.
Tọa độ điểmAlà nghiệm của hệ phương trình:
®3x−4y+13 =0
x−y+2 =0 ⇒A(5; 7) CH quaH và có véc-tơ pháp tuyến−→
HA=2−→n với−→n = (3; 4).
Phương trìnhCH: 3(x+1) +4(y+1) =0.
Tọa độClà nghiệm của hệ phương trình:
®3x+4y+7 =0 3x−4y+13 =0⇒C
Å
−10 3 ;3
4 ã
§2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính
Trong mặt phẳng toạ độOxy, phương trình đường tròn nhận điểmI(a;b)làm tâm và có bán kínhRlà (x−a)2+ (y−b)2=R2.
2. Dạng khác của phương trình đường tròn
Phương trình dạngx2+y2−2ax−2by+c=0là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi a2+b2−c>0
Khi đó, tâm làI(a;b), bán kính làR=√
a2+b2−c.
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Sau đây, ta có 2 công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn (công thức tách đôi).
• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn(x−a)2+ (y−b)2=R2tại điểmM(x0;y0)thuộc đường tròn là
(x0−a).(x−a) + (y0−a).(y−a) =R2.
• Phương trình tiếp tuyến của đường trònx2+y2−2ax−2by+c=0tại điểmM(x0;y0)thuộc đường tròn là
x0x+y0y−a(x0+x)−b(y0+y) +c=0.
Không dùng công thức tách đôi này, ta vẫn có thể viết được phương trình tiếp tuyến bằng cách tìm toạ đoạ độ véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến này là−→
IM= (x0−a;y0−a).