Phương pháp giải:
• Cách 1.
- Tìm toạ độ tâmI(a;b)của đường tròn(C) - Tìm bán kínhRcủa đường tròn(C)
- Viết phương trình của(C)theo dạng(x−a)2+ (y−b)2=R2.
• Cách 2.
- Giả sử phương trình đường tròn(C)là:x2+y2−2ax−2by+c=0(hoặcx2+y2+2ax+ 2by+c=0).
- Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn làa,b,c.
- Giải hệ để tìma,b,c, từ đó tìm được phương trình đường tròn(C).
Chú ý:
• Cho đường tròn(C)có tâmIvà bán kínhR.A∈(C)⇔IA=R.
• (C)tiếp xúc với đường thẳng∆tạiA⇔IA=d(I;∆) =R.
• (C)tiếp xúc với hai đường thẳng∆1và∆2⇔d(I;∆1) =d(I;∆2) =R.
• (C)cắt đường thẳng∆3theo dây cung có độ dàia⇔(d(I;∆3))2+a2 4 =R2.
Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn có tâmI(3;−5)bán kínhR=2.
Lời giải. Ta có phương trình đường tròn là(x−3)2+ (y+5)2=22⇔x2+y2−6x+10y+30=0.
Ví dụ 5. Lập phương trình đường tròn đường kínhABvớiA(1; 6),B(−3; 2).
Lời giải. Đường tròn đường kínhABcó:
• TâmI(−1; 4)là trung điểmAB.
• Bán kínhR= AB 2 =2√
2.
Do đó phương trình đường tròn là:
(x+1)2+ (y−4)2=Ä 2√
2ä2
⇔x2+y2+2x−8y+9=0.
Ví dụ 6. Viết phương trình đường tròn(C)có tâmI(−1; 2)và tiếp xúc với đường thẳng∆:x−2y+ 7=0.
Lời giải. Bán kính đường tròn(C)chính là khoẳng cách từItới đường thẳng∆nên R=d(I;∆) =|−1−4−7|
√1+4 = 2
√ 5. Vậy phương trình đường tròn(C)là:(x+1)2+ (y−2)2= 4
5.
Ví dụ 7. Viết phương trình đường tròn tâmI(−2; 1), cắt đường thẳng∆:x−2y+3=0tại hai điểm A,Bthỏa mãnAB=2.
Lời giải. Gọihlà khoảng cách từIđến đường thẳng∆. Ta có:
h=d(I,∆) = |−2−2+3|
»
12+ (−2)2
= 1
√ 5. GọiRlà bán kính đường tròn, từ giả thiết suy ra:
R=
h2+AB2 4 =
1 5+22
4 =
…6 5. Vậy phương trình đường tròn là:(x+2)2+ (y−1)2= 6
5.
Ví dụ 8. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:M(−2; 4),N(5; 5),P(6;−2).
Lời giải.
• Cách 1.Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là:x2+y2−2ax−2by+c=0.
Do đường tròn đi qua ba điểmM,N,Pnên ta có hệ phương trình:
4+16+4a−8b+c=0 25+25−10a−10b+c=0 36+4−12a+4b+c=0
⇔
a=2 b=1 c=−20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:x2+y2−4x−2y−20=0.
• Cách 2.GọiI(x;y)vàRlà tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra:
IM=IN=IP⇔
®IM2=IN2 IM2=IP2 . nên ta có hệ
®(x+2)2+ (y−4)2= (x−5)2+ (y−5)2 (x+2)2+ (y−4)2= (x−6)2+ (y+2)2 ⇔
®x=2 y=1. Suy raI(2; 1), bán kínhIA=5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm(C):(x−2)2+ (y−1)2=25.
Ví dụ 9. Cho hai điểmA(8; 0)vàB(0; 6).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácOAB.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giácOAB.
Lời giải.
a) Ta có tam giácOABvuông ởOnên tâmIcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyềnABsuy raI(4; 3)và bán kínhR=IA=p
(8−4)2+ (0−3)2=5.
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácOABlà:(x−4)2+ (y−3)2=25.
b) Ta cóOA=8;OB=6;AB=√
82+62=10.
Mặt khác 1
2OA.OB=pr(vì cùng bằng diện tích tam giácABC).
Suy rar= OA.OB
OA+OB+AB =2.
Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là(2; 2).
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giácOABlà(x−2)2+ (y−2)2=4.
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x−y−5=0 và hai điểm A(1; 2),B(4; 1). Viết phương trình đường tròn(C)có tâm thuộcdvà đi qua hai điểmA,B.
Lời giải.
• Cách 1.GọiIlà tâm của(C). DoI∈dnênI(t; 2t−5).
Hai điểmA,Bcùng thuộc(C)nên
IA=IB⇔(1−t)2+ (7−2t)2= (4−t)2+ (6−2t)2
⇔t=1
Suy raI(1;−3)và bán kínhR=IA=5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
(C):(x−1)2+ (y+3)2=25.
A
B M
d I
• Cách 2.Gọi M Å5
2;3 2
ã
là trung điểmAB. Đường trung trực của đoạn ABđi qua M và nhận −→ AB= (3;−1)làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình∆: 3x−y−6=0.
Tọa độ tâmI của(C)là nghiệm của hệ
®2x−y−5=0
3x−y−6=0⇒I(1;−3).
Bán kính của đường tròn bằngR=IA=5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm(C):(x−1)2+ (y+3)2=25.
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai đường thẳngd1:x+3y+8=0,d2: 3x−4y+ 10=0và điểm A(−2; 1). Viết phương trình đường tròn(C)có tâm thuộcd1, đi qua điểmAvà tiếp xúc vớid2.
Lời giải.
GọiI là tâm của(C). DoI∈d1nênI(−3t−8;t).
Theo giả thiết bài toán, ta có
d(I,d2) =IA⇔ |3(−3t−8)−4t+10|
√
32+42 =
»
(−3t−8+2)2+ (t−1)2
⇔t=−3.
Suy raI(1;−3)và bán kínhR=IA=5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
(C):(x−1)2+ (y+3)2=25.
A
B d1
I
d2
Ví dụ 12. Viết phương trình đường tròn(C)có tâm nằm trên đường thẳngd:x−6y−10=0và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trìnhd1: 3x+4y+5=0vàd2: 4x−3y−5=0.
Lời giải.
Vì đường tròn cần tìm có tâmK nằm trên đường thẳng d nên gọiK(6a+10;a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1,d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kínhRsuy ra
|3(6a+10) +4a+5|
5 = |4(6a+10)−3a−5|
5
⇔ |22a+35|=|21a+35|
⇔
a=0 a= −70
43
K d1 d
d2
• Vớia=0thìK(10; 0)vàR=7suy ra(C):(x−10)2+y2=49
• Vớia= −70 43 thìK
Å10 43;−70
43 ã
vàR= 7
43 suy ra(C): Å
x−10 43
ã2
+ Å
y+70 43
ã2
= Å 7
43 ã2
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là (C):(x−10)2+y2=49và(C):
Å x−10
43 ã2
+ Å
y+70 43
ã2
= Å 7
43 ã2
.
Ví dụ 13. Viết phương trình đường tròn tâmIthuộc đường thẳngd1:x−y+1=0, bán kínhR=2 và cắt đường thẳngd2: 3x−4y=0tại hai điểmA,Bthỏa mãnAB=2√
3.
Lời giải. TâmIthuộc đường thẳngd1nên suy raI(a;a+1).
d(I,d2) =
R2−AB2 4 =
… 4−12
4 =1.
Do đó
|3a−4(a+1)|
»
32+ (−4)2
=1⇔ |−a−4|=5⇔
ña=1 a=−9
• Vớia=1ta cóI(1; 2), phương trình đường tròn là:(x−1)2+ (y−2)2=4.
• Vớia=−9ta cóI(−9;−8), phương trình đường tròn là:(x+9)2+ (y+8)2=4.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, lập phương trình đường tròn đi qua ba điểmA(−1; 3),B(1; 4), C(3; 2).
Lời giải. Gọi phương trình đường tròn làx2+y2−2ax−2by+c=0. Do đường tròn quaA(−1; 3),B(1; 4),C(3; 2) nên ta có
(−1)2+32−2(−1)a−2.3.b+c=0 12+42−2.1.a−2.4.b+c=0 32+22−2.3.a−2.2.b+c=0
⇔
2a−6b+c=−10
−2a−8b+c=−17
−6a−4b+c=−13
⇔
a=5
6 b=11
6 c=−2
3 .
Phương trình đường tròn làx2+y2−5 3x−11
3 y−2 3 =0.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳngd : 2x−y−4=0. Viết phương trình đường tròn(C)tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳngd.
Lời giải. GọiI(m; 2m−4)∈d là tâm đường tròn(C). Theo giả thiết bài toán, ta có
d(I,Ox) =d(I,Oy)⇔ |2m−4|=|m| ⇔
m=4 m= 4 3 .
• Vớim= 4
3, suy raI Å4
3;−4 3
ã
. Bán kính đường trònR=d(I,Oy) =|m|= 4 3. Vậy phương trình đường tròn(C):
Å x−4
3 ã2
+ Å
y+4 3
ã2
= 16 9 .
• Vớim=4, suy raI(4; 4). Bán kính đường trònR=d(I,Oy) =|m|=4.
Vậy phương trình đường tròn(C):(x−4)2+ (y+4)2=16.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểmA(−1; 1),B(3; 3)và đường thẳngd: 3x−4y+8= 0. Viết phương trình đường tròn(C)đi qua hai điểmA,Bvà tiếp xúc vớid.
Lời giải.
Đường trung trực ∆đi qua M(1; 2)là trung điểm AB và nhận −→
AB= (4; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình∆: 2x+y−4=0.
Do (C) đi qua hai điểm A,B nên tâm I của (C) thuộc trung trực ∆ nên I(t; 4−2t).
Theo giả thiết bài toán, ta có
IA=d(I,d)⇔
»
(−1−t)2+ (2t−3)2= |3t−4(4−2t) +8|
√9+16
⇔5p
5t2−10t+10=|11t−8| ⇔2t2−37t+93=0
⇔
t=3 t= 31
2
A
B I
d
• Vớit=3, suy raI(3;−2). Bán kínhR=IA=5. Khi đó phương trình đường tròn cần tìm là (C):(x−3)2+ (y+2)2=25.
• Vớit= 31
2 , suy raI Å31
2 ;−27 ã
. Bán kínhR=IA= 65
2 . Khi đó phương trình đường tròn cần tìm là (C):
Å x−31
2 ã2
+ (y+27)2= 4225 4 .
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai đường thẳng d:x+2y−3=0và ∆:x+3y−5=0.
Viết phương trình đường tròn(C)có bán kính bằng 2√ 10
5 , có tâm thuộcdvà tiếp xúc với∆.
Lời giải. GọiI(−2t+3;t)∈dlà tâm của(C). Theo giả thiết bài toán, ta có d(I,∆) =R⇔|a−2|
√10 = 2√ 10
5 ⇔
ña=6 a=−2.
• Vớia=6, suy raI(−9; 6). Phương trình đường tròn(C):(x+9)2+ (y−6)2=8 5.
• Vớia=−2, suy raI(7;−2). Phương trình đường trịn(C):(x−7)2+ (y+2)2=8 5. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳngd1:√
3x+y=0. và d2:√
3x−y=0. Gọi(C) là đường trịn tiếp xúc vớid1tạiA, cắtd2tại hai điểmB,Csao cho tam giácABCvuơng tạiB. Viết phương trình của(C), biết tam giácABCcĩ diện tích bằng
√3
2 và điểmAcĩ hồnh độ dương.
Lời giải.
Vì A ∈ d1 ⇒ AÄ a;−√
3aä
,a > 0;B,C ∈ d2 ⇒
BÄ b;√
3bä ,CÄ
c;√ 3cä
. Suy ra−→
ABÄ
b−a;√
3(a+b)ä ,−→
ACÄ
c−a;√
3(c+a)ä .
Tam giácABCvuơng tạiBdo đĩAClà đường kính của đường trịn(C).
Do đĩ
AC⊥d1⇒−→
AC.−→u1 =0
⇒ −1.(c−a) +√ 3.√
3(a+c) =0
⇒2a+c=0(1) AB⊥d2⇒−→
AB.−→u2=0
⇒1.(b−a) +3(a+b) =0
⇒2b+a=0(2)
I A
B C
d1
d2
Mặt khácSABC= 1
2d(A;d2).BC⇒ 1 2.
2√
3a 2
»
(c−b)2+3(c−b)2=
√3
2 ⇔2a|c−b|=1(3) Từ (1), (2) suy ra2(c−b) =−3athế vào (3) ta đượca|−3a|=1⇔a=
√3 3 Do đĩb=−
√3
6 ,c=−2√ 3 3 ⇒A
Ç√ 3 3 ;−1
å ,C
Ç
−2√ 3 3 ;−2
å . Suy ra(C)nhậnI
Ç
−
√ 3 6 ;−3
2 å
là trung điểm củaAClàm tâm và bán kính làR= AC 2 =1.
Vậy phương trình đường trịn cần tìm là(C): Ç
x+
√3 6
å2
+ Å
x+3 2
ã2
=1
Bài 6. Cho ba đường thẳngd1:x−y+1=0,d2: 3x−4y=0,d3: 4x−3y−3=0. Viết phương trình đường trịn tâmI thuộc đường thẳng d1, cắt đường thẳng d2tại hai điểm A,Bvà cắt đường thẳngd3 tại hai điểm C,Dsao choAB=CD=2√
3.
Lời giải. TâmIthuộc đường thẳngd1nên suy raI(a;a+1).
d(I,d2) =
R2−AB2 4 =p
R2−3 d(I,d3) =
R2−AB2 4 =p
R2−3 Suy ra
d(I,d2) =d(I,d3)⇒ |−a−4|
5 = |a−6|
5 ⇒a=1.
Vớia=1ta cĩI(1; 2)vàR=2, phương trình đường trịn là:(x−1)2+ (y−2)2=4.