TAB = ACB (2)
Câu 7:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
: 1 0
CH x y , phân giác trong BN x y: 2 5 0.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
(ĐS:
4;3 ,
13 9; , 454 4 ABC 4
B C S ))
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
114
■ Phân tích tìm lời giải:
● Do đề cho “đường cao CH”tìm thêm được đường mới. (do nhận xét AB CH và AB qua A) viết pt đường AB.
● Một dấu hiệu đặc trưng khi đề bài cho “đường phân giác” tìm thêm được điểm mới. (do nhận xét về tính đối xứng của phân giác) tìm được tọa độ A’ BC viết pt đường BC.
● AB BN = B và BC HC = C tìm được tọa độ B và C.
● Để tính SABC ta dùng công thức SABC = 12 d[C;AB]. AB
► Hướng dẫn giải :
* AB CH: x – y + 1 = 0 AB: x + y + m = 0, AB qua A(1 ; –2) m = 1.
Suy ra AB : x + y + 1 = 0.
* Ta có B = AB BN Tọa độ B là nghiệm của hệ : x y 1 0
B( 4;3) 2x y 5 0
* Gọi H là hình chiếu của A lên phân giác trong BN và A’ là điểm đối xứng của A qua BN (ta có H là trung điểm AA’ và A’ BC)
Do AH BN: 2x + y + 5 = 0 AH: x – 2y + n = 0, AH qua A(1; –2) n = –5 Suy ra AH : x – 2y – 5 = 0.
* Ta có H = AH BN Tọa độ H là nghiệm của hệ x 2y 5 0
H( 1; 3) 2x y 5 0
Lại có H là trung điểm AA’ A’(–3 ;–4).
* Đường BC qua B(–4;3) nhận A'B ( 1;7) làm vtcp có dạng:
y 3
x 4 7x y 25 0
1 7
54
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
* Ta có C = BC CH Tọa độ C là nghiệm của hệ
7x y 25 0 C 13 9;
x y 1 0 4 4
* Ta có SABC = 12BC.d[A; BC] = 1 15 2 | 7.1 2 25| 45. .
2 4 49 1 4
(đvdt)
Vậy tọa độ điểm cần tìm là: B( 4;3),C 13 9; ,S ABC 45(dvdt)
4 4 4
Câu 8:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 5 = 0, d2: 3x + 2y – 1 = 0 và điểm G(1;3). Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2.
(ĐS: B
35;65 ,C 49; 73
)■ Phân tích tìm lời giải:
● Với gợi ý A = d1d2 (1) cùng với B d1, C d2 (2) d1 chứa đường AB, d2
chứa đường AC.
● Ta dễ dàng tính ra tọa độ điểm A nhờ (1), dựa vào (2) ta tham số hóa điểm B và C.
● Dùng công thức trọng tâm G để tính ra B và C
► Hướng dẫn giải :
* Ta có: A = d1d2 tọa độ A là nghiệm của hệ
2x y 5 0 A 11;17
3x 2y 1 0
* Ta có B d1: 2x + y + 5 = 0 B(b; – 5 – 2b) và C d2 : 3x + 2y – 1 = 0
C t;1 3t 2
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
116
* Do G là trọng tâm ABC
A B C
G
A B C
G
x x x b t 3 11
x y y y 3 3 y 5 2b 1 3t 2 9 17
b c 14 b 35 B( 35;65) 4b 3c 7 c 49 C(49; 73)
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:B(–35; 65) và C(49; –73) Câu 9:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,
cho tam giác ABC có C(1;2), hai đường cao xuất phát từ A và B lần lượt có phương trình là x + y = 0 và 2x – y + 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC.
(ĐS: 9 (dvdt)
ABC 2
S )
■ Phân tích tìm lời giải:
● Để tính diện tích tam giác ABC
ta có thể vận dụng công thức S = 12 đường cao. đáy
● Trong đó đường cao chính là khoảng cách từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện ở đây trong bài này ta có thể chọn đỉnh C nhưng lại chưa có phương trình đường AB hay thông tin của cả điểm A và Btìm tọa độ điểm A và B
● Để tìm tọa độ điểm B và A, ta có thể tham số hóa điểm A và B tương ứng với các đường thẳng đang thuộc tuy nhiên việc thiết lập 2 phương trình 2 ẩn nếu cóAHCB và BH CA (với H là trực tâm của tam giác có thể tìm được) khá dài và phức tạp.
● Ta xét xem A và B trong sự tương giao của các đường? Ở đây A đã thuộc d1: x + y = 0. Dựa vào hình vẽ ta thấy A AC và AB Ta nghĩ đến việc lập phương trình AC hoặc ABở đây việc lập AC là khả thi nhất vì AC qua C và ACd2: 2x – y + 1 = 0. Một cách tương tự ta cũng viết được phương trình BC.
● Khi tìm được tọa độ A và B, ta có thể dùng công thức SABC = 12d[A;BC].BC = 1
2d[B;AC].AC
mà không cần phải lập thêm phương trình AB. Mời các bạn xem lời giải.
► Hướng dẫn giải:
54
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
* Ta có AC d1: 2x – y + 1 = 0
AC: x + 2y + m = 0, AC qua C(1 ; 2) m = –5 Suy ra AC : x + 2y – 5 = 0.
Lại có A =AC d2 Tọa độ A là nghiệm của hệ
x 2y 5 0 A 5;5
x y 0
* Ta có BC d2: x + y = 0 BC: x – y + n = 0, BC qua C(1 ; 2) n = 1 Suy ra BC : x – y + 1 = 0.
Lại có B = BC d1 Tọa độ B là nghiệm của hệ
2x y 1 0 B 0;1
x y 1 0
* SABC = 12d[B; AC].AC =1 | 0 1.2 5|. (1 5)2 (2 5)2 9
2 1 4 2
(đvdt)
Vậy diện tích tam giác ABC là:SABC = 92 (đvdt)
Câu 10:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC có đỉnh A(4; 3), đường cao BH và trung tuyến CM có pt lần lượt là: 3x y + 11 = 0, x + y 1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C
(ĐS: B
4; 1 ,
C 5;6
)■ Phân tích tìm lời giải:
● Tương tự như bài toán 9, Khi có đường cao BH viết phương trình ACC = ACCM.
● Để tìm tọa độ điểm B ta có thể mã hóa B theo BH và biểu diễn tọa độ M theo tọa độ B (Do nhận xét M thuộc đường thẳng CM)
► Hướng dẫn giải:
* AC BH: 3x – y + 11 = 0 AC; x + 3y + m = 0, AC qua A(4; 3) m = –13.
Suy ra AC : x + 3y – 13 = 0.
Lại có C = AC CM
Tọa độ C là nghiệm của hệ
x 3y 13 0 C 5;6
x y 1 0
* Ta có B BH: 3x – y + 11 = 0 B(b; 3b + 11).
* Lại có M là trung điểm AB
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
118
B A M M
B A M
M
x b 4
x x 2x 2 M b 4 3b 14 ;
y y 2y y 3b 14 2 2
2
* Mặt khác M CM b 4 3b 14 1 0 b 4 B( 4; 1)
2 2
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:B(–4; –1) và C(–5; 6)
Câu 11:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường AB: 5x – 2y + 6 = 0 và phương trình đường AC: 4x + 7y – 21 = 0. Biết gốc tọa độ O là trực tâm của ABC. Tìm trọng tâm của ABC.
(ĐS: 9 11;
G2 3
)
■ Phân tích tìm lời giải:
● Để tìm trọng tâm tam giác ABC ta nghĩ ngay đến việc tìm tọa độ 3 đỉnh A, B, C. Vậy câu hỏi đặt ra trong 3 đỉnh trên, đỉnh nào có thể tìm được dễ dàng nhất?
chính là điểm A = AB AC.
● Cách 1: Rõ ràng trong hai điểm B và C còn lại vai trò là tương tự nhau nên ta xét việc tìm điểm B trước. Ta xét thấy O là trực tâm ABC OB AC và OB qua O viết phương trình OB OB AB = B. Một cách tương tự ta cũng tìm được tọa độ điểm C.
● Cách 2: Ngoài ra bạn cũng có thể tham số hóa tọa độ điểm BAB, CACtìm hai phương trình 2 ẩn?
Đó chính là phương trình OB AC và OC AB giải hệ pt tìm được tọa độ B và C.
► Hướng dẫn giải cách 1:
* Ta có A = AB AC
Tọa độ A là nghiệm của hệ
5x 2y 6 0 A 0;3
4x 7y 21 0
* Ta có OB AC: 4x + 7y – 21 = 0 OB: 7x – 4y + m = 0, OB qua O(0; 0)
m = 0
Suy ra OB: 7x – 4y = 0.
Lại có: OB AB = B Tọa độ B là nghiệm của hệ
54
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
7x 4y 0
B 4; 7 5x 2y 6 0
* Ta có OC AB: 5x – 2y + 6 = 0 OC: 2x + 5y + n = 0, OC qua O(0; 0)
n = 0
Suy ra OC: 2x + 5y = 0.
Lại có: OC AC = C Tọa độ C là nghiệm của hệ
2x 5y 0 C 35 ; 7
4x 7y 21 0 2
* Vậy tọa độ trọng tâm G là
A B C
G
A B C
G
x x x 9
x 3 2 G 9 11 ;
y y y 11 2 3
y 3 3
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:
G 9 11 ; 2 3
► Hướng dẫn giải cách 2:
* Ta có A = AB AC Tọa độ A là nghiệm của hệ
5x 2y 6 0
A 0;3 4x 7y 21 0
* Ta có B AB: 5x – 2y + 6 = 0 B(2b; 5b + 3), C AC: 4x + 7y – 21 = 0
C(7c ; 3 – 4c)
* O là trực tâm ABC
AC
AB
OB.u 0 OB AC
OC AB OC.u 0
(*) với ABAC
OB (2b;5b 3) OC (7c;3 4c) u (2;5) la vtcp cua AB u (7; 4) la vtcp cua AC
* Do đó (*)
B( 4; 7) b 2
2b.7 4(5b 3) 0
5 C 35 ; 7 7c.2 5(3 4c) 0 c
2 2
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
120
* Vậy tọa độ trọng tâm G là
A B C
G
A B C
G
x x x 9
x 3 2 G 9 11 ;
y y y 11 2 3
y 3 3
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:
G 9 11 ; 2 3
■ Lời bình: khi đọc lời giải ở cách 2, nếu bạn tinh ý một chút sẽ phát hiện hai điều quan trọng
Một là, việc đặt ẩn tham số hóa cho B và C đã được cân nhắc, thay vì đặt xB= b ta đặt xB= 2b (tương tự với trường hợp xC = 7c thay vì xC = c). Việc đặt ẩn này hỗ trợ phần nào trong quá trình tính toán của bạn, tuy nhiên không phải lúc nào cũng thực hiện được. Nhưng trong quá trình tham số hóa các điểm ta luôn phải có ý thức đặt ẩn sao cho “gọn nhẹ” để tiện cho việc tính toán về sau.
Hai là, thay vì sử dụng véctơ AC và AB thì ở cách 2 đã sử dụng véctơ chỉ phương của 2 đường để thay thế cho. Việc làm cũng góp phần giúp ta tính toán
“gọn nhẹ” bài toán đi. Tuy nhiên xét ở một góc độ nào đó cách 1 vẫn có ưu thế hơn khi phát huy được việc “lập phương trình đường thẳng mới” trong quá trình tìm tọa độ điểm.
Câu 12:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(–1; 2), B(2; 1) và trực tâm H(1; 2). Xác định tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
(ĐS: I(1;3))
■ Phân tích tìm lời giải:
● Để tìm tọa độ tâm I cách đều 3 đỉnh tam ABCta cần xác định cho được tọa độ điểm C
● Để tìm tọa độ điểm C xét C trong sự tương giao của các đường
C = AC BC
● Như vậy ta cần viết phương trình AC và BC trong đó ta có AC qua A và AC BH, BC qua B và BC AH.
● Khi đã có tọa độ điểm C thì bạn đọc có thể xem lại câu 1 phần bài tập chọn lọc về cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp khi đã biết ba đỉnh A, B, C. (ở đây tác giả sử dụng cách viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm)
54
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
► Hướng dẫn giải :
* Đường AC qua A(–1;2) nhận BH ( 1;1)làm véctơ pháp tuyến có dạng là:
1(x 1) 1(y 2) 0 AC x y: 3 0
* Đường BC qua B(2; 1) nhận AH (2;0)làm véctơ pháp tuyến có dạng là:
2(x 2) 0(y2) 0 BC x: 2 0
* Ta có AC BC = C
Tọa độ C là nghiệm của hệ
3 0 2 0
x yx
2 (2;5)
5
x C
y
* Gọi phương trình khai triển của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(a; b) là: x2
y2 2
ax 2
by c 0
* Ta có
( 1;2) ( ) 5 2 4 0 1
(2;1) ( ) 5 4 2 0 3
(2;5) ( ) 29 4 10 0 5
A C a b c a
B C a b c b
C C a b c c
tâm I(1; 3)
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:I(1; 3)
Câu 13:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC có tọa độ đỉnh A(2; 1), B(–1; 2). Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC.
(ĐS: 1 1 3 3 3 3; 2 1 3 3 3 3;
2 2 2 2
C hay C
)
■ Phân tích tìm lời giải:
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
122
● Hướng thứ 1: Để tìm tọa độ điểm C thỏa mãnABC đều ta có thể gọi tọa độ C(m; n) và thiết lập hai phương trình 2 ẩn để giải phương trình thứ 1 là CHAB (khi đó ABC cân tại C) và phương trình thứ 2 là BC = AB (khi đó
ABC đều)
● Hướng thứ 2: Ta sẽ tìm cách tham số hóa điểm C theo một đường thẳng đã có (nhưng hiện tại chưa có đường thẳng nào? ). Xét thấy có 3 đường thẳng qua C là AC , BC và HC (H là trung điểm AB) DoABC đều nên HC là trung trực của AB viết phương trình HC tham số hóa điểm C theo đường thẳng HC. (khi đó bạn ABC đã là tam giác cân tại C).Để ABC đều thì ta có BC = AB giải phương trình 1 ẩn tìm C.
Ở đây tác giả trình bày bằng cả hai cách để bạn đọc tiện so sánh.
► Hướng dẫn giải cách 1:
* Gọi C(m; n) là tọa độ điểm cần tìm và H là trung điểm AB 1 3; H2 2
* ABC đều HC AB2
. 0
2 BC AB
(*) với( 3;1) (m 1;n 2)
1 ; 3
2 2
AB BC
HC m n
* Do đó (*)
2
2
2
21 3
3 1 0 3
2 2
1 3 2 10
1 2 10
m n n m
m m
m n
2
3
2 2 1 0
n m
m m
Suy ra
1 3 3 3 3
2 2
1 3 3 3 3
2 2
m n
m n
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:
1 1 3 3 3 3; 2 1 3 3 3 3;
2 2 2 2
C hay C
► Hướng dẫn giải cách 2:
* Gọi H là trung điểm AB
1 3 ;
H 2 2
. Do ABC HC AB 54khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
* HC qua 1 3; H2 2
và nhận AB ( 3;1)làm véctơ pháp tuyến có dạng là:
1 3
3 1 0 :3 0
2 2
x y HC x y
* Ta có C HC C(c; 3c) và BC ( 1;3c c2)
* ABC đều
2 2
( 1) (3 2) 10
2 22
22 1 0 1 3
BC
AB
c
c
c
c
c 2
Vậy tọa độ điểm cần tìm là:1
1 3 3 3 3 ;
21 3 3 3 3 ;
2 2 2 2
C
hay C
Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,