Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
Mặt khác, dễ thấy ED là đường kinh của đường tròn (O) vuông góc với dây cung BC tại M.
Từ đó bốn điểm B, E, F, M cùng nằm trên một đường tròn, suy ra / / (2)
FME FBE ABE ADE MF AD
Từ (1) và (2) suy ra MF AE (3) . Lại có MN // AB. EF vuông góc AB nên EF // MN (4).
Từ (3) và (4) ta thấy F là trực tâm tam giác EKM suy ra KF vuông góc EM Mà EM vuông góc BC suy ra FK // BC (đpcm).
►Tính chất 10.17.Cho tam giác nhọn ABC , tia phân giác trong của góc BAC cắt BC tại D. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu vuông góc của D trên AB và AC. K là giao điểm của CE và BF. Chứng minh rằng AK vuông góc BC.
☺Chứng minh:
Kẻ AN vuông góc BC (N thuộc BC), suy ra các tứ giác AEND và AFDN nội tiếp.
Từ đó suy ra BD.BN = BE.BA và CN.CD = CF.CA.
Suy ra DB NB AB BE. . NB BE DC NC AC CF NC CF
. . 1 ( )
NB FC EA do AE AF
NC FA EB
.
Theo định lý Ceva đảo, ta có AN, CE, BF đồng quy tại K suy ra AK vuông góc BC.
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
49
Suy ra 2
2 2
NI AB NI MI AB CD EF MN EF MN
MI CD
(đpcm)
►Tính chất 11.2.Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC của hình vuông ABCD. Chứng minh: AN vuông góc DM.
☺Chứng minh:
Ta có: ABN DAM c g c( )
1 1
A D
.
Mà D1 M1900 A1 M1900
AHM H AN DM
(đpcm)
►Tính chất 11.3.Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, M là một điểm trên AB = 2AD, M là một điểm trên AB sao cho AB = 4AM. Chứng minh DM vuông góc AC.
☺Chứng minh:
Ta có: D1 M190 10
.Mặt khác: 1 1 1
1
tan 1
2 D
tan D 1
2 A BC
AB A
AM AD
thay vào (1) ta được
1 1 90 10
A M
Suy ra DM vuông góc AC tại H. (với H là giao điểm DM và AC) (đpcm).
Chú ý: ta cũng có thể E, F lần lượt là trung điểm AB và CD. I là trung điểm DF và G là giao điểm AC và EF. Theo định lý thales thuận ta có G là trung điểm EF. Dựa vào tính chất 11.2 ta suy ra AC vuông góc EI. Như vậy ta chỉ cẩn chứng minh MEID là hình bình hành (việc chứng minh xin dành cho bạn đọc) 6
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
►Tính chất 11.4.Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AC4AN . Chứng minh rằng tam giác DMN vuông tại N.
☺Chứng minh:
Gọi F là trung điểm ID suy ra NF là đường trung bình tam giác IAD suy ra NF vuông góc CD.
Mặt khác DI vuông góc NC và F là giao điểm NF và DI
Suy ra F là trực tâm tam giác NCD suy ra FC vuông ND (1).
Mặt khác ta có NF = MC và NF // MC suy ra tứ giác NMCF là hình bình hành
Do đó NM // FC.
Từ (1) ta suy ra MN vuông ND tại N Nên tam giác DMN vuông tại N (đpcm).
►Tính chất 11.5.Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên CD sao cho CN 2ND . Chứng minh góc MAN bằng 450 .
☺Chứng minhcách 1:
Gọi I là trung điểm CD và H là giao điểm IM và AC suy ra H là trung điểm IM.
Ta có:
tan 3 3
3
tan 4 3
4
AD DN
AND DN DN
AC AND AMH
AMH HMAH AC
.
Lại có ADN AHM 900
Suy ra tam giác ADN đồng dạng tam giác AHM (g–g) suy ra
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
51
NAD MAH
Mà NAD HAN 450 MAH HAN450 MAN450 (đpcm).
☺Chứng minhcách 2: Đặt cạnh hình vuông AB = a > 0
Ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
10
9 3
5
4 2
4 5
9 4 6
a a
AN AD DN a
a a
AM BM AB a
a a a
MN NC MC
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác AMN ta có:
2 2 2
1 0
cos 45
2 . 2
MA NA MN
MAN MAN
MA NA
(đpcm).
►Tính chất 11.6.Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh AI = AD.
☺Chứng minh:
Gọi P là trung điểm CD. Ta có CPMA là hình bình hành (do PC = AM và PC //
AM)
Suy ra AP // MC. Mặt khác theo tính chất 11.2, ta có MC DN .
Do đó, AP vuông góc DI.
Lại có AP // MC có P là trung điểm CD Suy ra AP đi qua trung điểm DI nên AP vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
Do đó ta có tam giác ADI cân tại A suy ra AD = AI. (đpcm)
►Tính chất 11.7.Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường thẳng BD (M khác B, M khác D). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh CM vuông góc HK.
☺Chứng minh:
Gọi E KM BC F CD MF , . Xét: MC KH.
MD DC KA AH
. . . .
MD KA MD AH DC KA DC AH
6
Phát triển tư duy khoa học & sáng tạo giải toán hình học tọa độ phẳng Oxy
Với
0 0
0
. . cos( , ) . .cos135
. . cos( , ) .AH.cos135
. 0
. . cos( , ) .AH.cos0
MD KA MD KA MD KA MD KA
MD AH MD AH MD AH MD
DC KA
DC AH DC AH DC AH DC
Do đó:
. . . .CD CD.AH 0 MC KH
2
MC KH MD AD CD AH AH
►Tính chất 11.8.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường chéo AC. Các điểm M, K lần lượt là trung điểm của AH và CD. Chứng minh rằng BM vuông KM.
☺Gợi ý chứng minh: (xem cách chứng minh tính chất 11.4 – Lấy điểm phụ E là trung điểm BH ta sẽ được lời giải cho bài toán).
►Tính chất 11.9.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Chứng minh rằng AN vuông góc CN.
☺Chứng minh:
Ta có: DNB DCB900 suy ra tứ giác BCND nội tiếp. (2 góc liên tiếp cùng nhìn cạnh BD)
Do đó, BNC BDC(do cùng chắn cung BC)
Lại cóCAB BDC(tính chất của hình chữ nhật ABCD)
Suy ra CAB BNCnên tứ giác ABCN nội tiếp (2 góc liên tiếp cùng nhìn cạnh BC)
Do đó: ABC ANC1800 ANC 900 AN NC (đpcm)
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848
53
►Tính chất 11.10.Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB.
Gọi H là hình chiếu của D trên đường chéo AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HC. Chứng minh rằng BM vuông góc MD.
☺Gợi ý chứng minh: Lấy điểm phụ E là trung điểm DH sẽ tìm được lời giải cho bài toán.
►Tính chất 11.11.Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E. Một đường thẳng đi qua A cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.
Gọi K là giao điểm của các đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng CK vuông góc BN.
☺Chứng minh :
Trên tia đối của tia BC, dựng điểm F sao cho CF = CN.
Xét tam giác DCF và BCN có : 900
( ) ( ) (1)
( )
DCF BCN
CF CN gt DCF BCN c g c DFC BNC
DC BC gt
Tam giác DCB vuông tại C có CE vuông góc BD nên BC2 BE BD. (2) Mặt khác, do AB // CN nên
2 . (3)
BM AB BC BM BC BC BM BF
CM CN CF BC BF Từ (2) và (3) cho BE.BD = BM.BF
( ) (4)
BE BM BEM BFD c g c BEM BFD
BF BD
Từ (1) và (4) cho BNC BEM tứ giác DEKN nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc đối trong) suy ra BKE BDC45 .0 Lại có: ECB450 (tính chất hình vuông).
Suy ra ECB EKB450tứ giác BKCE nội tiếp Suy ra BKC BEC900 CK BN (đpcm).
6
khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 39103821 – 0903 906 848