cĐịnh nghĩa 1.2.
Cho hai vec-tơ #»a và #»
b đều khác vec-tơ #»
0. Từ một điểmObất kỳ, ta vẽ # » OA= #»a và # »
OB= #»
b. GócAOB‘ với số đo từ0◦ đến180◦được gọi là góc giữa hai vec-tơ
#»a và #»
b. Ta ký hiệu góc giữa hai vec-tơ #»a và #»
b là #»a,#»
b
. Nếu #»a,#»
b
=90◦ thì ta nói rằng #»a và #»
b vuông góc với nhau, ký hiệu là #»a ⊥ #»
b hoặc #»
b ⊥ #»a.
#»b #»a
O B #»
b
#»a A
o
Từ định nghĩa ta có #»a,#»b
= #»
b,#»a . c Tính chât 1.5. Nếu #»a và #»
b cùng hướng thì #»a,#»
b
=0◦. c Tính chât 1.6. Nếu #»a và #»
b ngược hướng thì #»a,#»
b
=180◦. B – CÁC DẠNG TOÁN
| Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác Sử dụng các công thức cơ bản ở phần lý thuyết để tính ra các giá trị lượng giác.
o
Cần chú ý dấu của các giá trị lượng giác khi tính.c Ví dụ 1. Chosinα = 1
4. Tínhcosα,tanα,cotα biết0◦<α<90◦. ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 2. Chocosα =−1
3. Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócα.
ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 3. Chotanx=2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócx.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 4. Chocotx=−3. Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócx.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 1. Chocosα =−2
3. Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócα.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 2. Chosinx=3
4. Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócxbiết90◦<x<180◦. ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . . cBài 3. Chotanα=√
2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócα. ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 4. Chocotβ =−
√3
2 . Tính các giá trị lượng giác còn lại của gócβ. ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 5. Chotan 180◦−a
=−1
2. Tính các giá trị lượng giác của góca.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 6. Chocos 180◦−α
=
√5
3 . Tính các giá trị còn lại của gócα.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 7. Chosin 180◦−α
= 2
5 với0◦<α <90◦. Tính các giá trị lượng giác của gócα.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
| Dạng 2. Tính giá trị các biểu thức lượng giác.
Từ giả thiết đề cho (thường là giá trị của góc hay một giá trị lượng giác) định hướng biến đổi biểu thức về dạng chỉ xuất hiện giá trị đã cho của giả thiết để tính.
o
Cần chú ý điều kiện áp dụng (nếu có).c Ví dụ 5. TínhA=acos 60◦+2atan 45◦−3asin 30◦. ÊLời giải.
. . . .
c Ví dụ 6. Chox=30◦. TínhA=sin 2x−3 cosx.
ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . .
. . . . . . . .
c Ví dụ 7. Chocosx= 1
3. Tính giá trị biểu thứcP=4 sin2x+cos2x=1.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
c Ví dụ 8. Chotanx=2. TínhA= 3 sinx+cosx sinx−cosx .
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 9. Chosinx=2
3. TínhB= cotx−tanx cotx+tanx.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 8. Tính
a. A=5−cos20◦+2 sin230◦−3 tan245◦. b. B=2 cos 2x+3 sin 3xvớix=45◦. cBài 9. Tính
a. A=tan 10◦.tan 20◦. . .tan 80◦.
b. B=cot 20◦+cot 40◦+· · ·+cot 140◦+cot 160◦.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 10. Chocota=−3. TínhA= sina−2 cosa 3 cosa+2 sina.
ÊLời giải.
p Ô
. . . .
cBài 11. Biếttana=2. TínhB= sin3a+2 cos2a.sina cota.sin3a−2 cosa.
ÊLời giải.
. . . .
cBài 12. Chocosα =3
4. TínhC= 2 tanα+cotα 4 tanα−3 cotα.
ÊLời giải.
. . . .
cBài 13. Biếtsinx+cosx= 1
3. TínhD=sinx.cosx.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
| Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng linh hoạt các công thức cở bản, các phép biến đổi đại số và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn và chứng minh.
c Ví dụ 10. Cho
a=sinx b=cosxsinx c=cosxcosy
. Chứng minh rằnga2+b2+c2=1
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x+cos4x=1−2 sin2xcos2x.
b) cos4x−sin4x=cos2x−sin2x=1−2 sin2x=2 cos2x−1.
c) tan2x−sin2x=tan2xsin2x.
d) 1
1+tanx+ 1
1+cotx=1.
ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 12. ChoA,B,Clà các góc của tam giác. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin(A+B) =sinC.
b) cos(A+B) +cosC=0.
c) sinA+B
2 =cosC 2.
d) tan(A−B+C) =−tan 2B.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 13. Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vàox.
a) A=sin8x+sin6xcos2x+sin4xcos2x+sin2xcos2x+cos2x b) B= 1−sin6x
cos6x −3 tan2x cos2x
ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Ví dụ 14. Tìmm để biểu thứcP=sin6x+cos6x−m sin4x+cos4x
có giá trị không phụ thuộc vàox.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Ví dụ 15. Choa,blà các số dương và thỏa mãn hệ thức sin4x
a +cos4x b = 1
a+b. Chứng minh rằng sin2018x
a1008 +cos2012x
b1008 = 1 (a+b)1008.
ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BÀI TẬP TỰ LUYỆN
cBài 14. ChoA=sinα,B=cosαsinβ,C=cosαcosβsinγ,D=cosαcosβcosγ. Chứng minh rằng A2+B2+C2+D2=1.
cBài 15. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
a) 1+sin2x
1−sin2x =1+2 tan2x.
b) cosx
1+sinx+tanx= 1 cosx. c) tan2x−sin2x=tan2xsin2x.
cBài 16. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vàox a) A=sin4x(3−sin2x) +cos4x(3−2 cos2x).
b) B=3 sin8x−cos8x +4Ä
cos6x−sin6xä
+6 sin4x.
c) C=sin8x+cos8x+6 sin4xcos4x+4 sin2xcos2x sin4x+cos4x .
cBài 17. Tìmmđển biểu thứcP=sin6x+cos6x+mÄ
sin6x+cos6xä
+2 sin22xkhông phụ thuộc vào x
ÊLời giải.
p Ô
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 18. Cho f(x) =sin6x+3
4sin22x+cos6x. Tính f π
2017
. ÊLời giải.
. . . . BÀI TẬP TỔNG HỢP
cBài 19. Chocosa+2 sina=0. Tính các giá trị lượng giác của góca.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
cBài 20. Chocos4x−sin4x=7
8. Tính các giá trị lượng giác của gócxbiếtxlà góc tù.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 21. TínhC=sin210◦+sin220◦+· · ·+sin2170◦+sin2180◦. ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 22. Chosinx+cosx= 3
4. Tínhsin4x+cos4x.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Ô
cBài 23. Chosin4x+3 cos4x= 7
4. Tínhcos4x+3 sin4x.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cBài 24. Cho2 sinxsiny−3 cosxcosy=0. Chứng minh rằng:
1
2 sin2x+3 cos2x+ 1
2 sin2y+3 cos2y =5 6.
ÊLời giải.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cBài 25. Cho6 cos2α+cosα−2=0. BiếtA=2 sinαcosα−sinα
2 cosα−1 =a+btanα vớia,b∈Q. Tính giá trị của biểu thứca+b.
ÊLời giải.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p Ô
B ÀI 2 . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ B ÀI 3 . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa
cĐịnh nghĩa 3.1. Cho hai véc-tơ #»a và #»b đều khác #»
0. Tích vô hướng của #»a và #»b là một số, kí hiệu là
#»a.#»
b, được xác định bởi công thức sau:
#»a.#»
b =|#»a|.|#»
b|.cos(#»a,#»
b.) Trường hợp ít nhất một trong hai véc-tơ #»a và #»
b bằng véc-tơ #»
0 ta quy ước #»a.#»
b =0.
o
a) Với #»a và #»
b khác véc-tơ #»a ta có #»a.#»
b =0⇔ #»a⊥#»
b. b) Khi #»a = #»
b tích vô hướng #»a.#»a được kí hiệu là #»a2và số này được gọi là bình phương vô hướng của véc-tơ #»a.
Ta có: #»a2=|#»a|.|#»a|.cos 0◦=|#»a|2.
2. Các tính chất của tích vô hướng c Tính chât 3.1. Với ba véc-tơ #»a, #»
b, #»c bất kì và mọi sốkta có:
○ #»a.#»
b = #»
b.#»a (tính chất giao hoán);
○ #»a.(#»
b+#»c) = #»a.#»
b +#»a.#»c (tính chất phân phối);
○ (k.#»a).#»
b =k(#»a.#»a) = #»a.(k#»
b);
○ #»a2≥0, #»a2=0⇔#»a = #»
0.
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng hai véc-tơ ta suy ra
○ (#»a+#»a)2= #»a2+2#»a.#»
b +#»
b2;
○ (#»a−#»
b)2= #»a2−2#»a.#»
b +#»
b2;
○ (#»a+#»
b).(#»a−#»
b) = #»a2−#»
b.