Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ∈(−1; 1) 2 Bài 2: Tìm m để phương trình √4
x2+ 1−√
x=m có nghiệm Giải
ĐKXĐ: x>0
Xét hàm số f(x) = √4
x2+ 1−√
x với x>0 ta có f(x) liên tục trên[0; +∞) Lại có: f0(x) = x
24 q
(x2+ 1)3
− 1 2√
x < x 2√4
x6 − 1 2√
x = 0 ∀x >0.
Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên [0; +∞) Mặt khác: lim
x→+∞f(x) = 0
Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m ∈(0; 1] 2 .
~ Nhận xét: Đôi khi ta phải tìm cách cô lập m để đưa phương trình về dạng trên.
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: √4
x4−13x+m+x−1 = 0 (*) Giải
Ta có:
(∗)⇔√4
x4−13x+m+x−1 = 0⇔
(1−x>0
x4−13x+m= (1−x)4 ⇔
(1>x
4x3−6x2−9x= 1−m Xét hàm số f(x) = 4x3−6x2−9xvới x61
Ta có: f0(x) = 12x2−12x−9, f0(x) = 0⇔
x= 3
2 x=−1
2 .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m >−3 2. 2 Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x√
x+√
x+ 12 =m(√
5−x+√ 4−x) Giải
ĐKXĐ: x∈[0; 4].
Khi đó phương trình tương đương với (x√
x+√
x+ 12)(√
5−x−√
4−x) =m Xét hàm số f(x) = (x√
x+√
x+ 12)(√
5−x−√
4−x)liên tục trên đoạn [0; 4].
Ta có: f0(x) = 3
2
√x+ 1 2√
x+ 12
1 2√
4−x− 1 2√
5−x
>0 ∀x∈[0; 4]
Vậy f(x)là hàm đồng biến trên [0; 4].
Suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2√ 3(√
5−2)6m 6122 .
Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm:(∗)
2x2 6
1 2
4−5x 3x2−mx√
x+ 16 = 0
Giải Ta có:
(∗)⇔
(x2 6−4 + 5x 3x2−mx√
x+ 16 = 0 ⇔
(x∈[1; 4]
3x2−mx√
x+ 16 = 0 ⇒m = 3x2+ 16 x√
x Xétf(x) = 3x2+ 16
x√
x với x∈[1; 4]. Ta có:
f0(x) = 6x2√
x− 3 2
√x(3x2+ 16)
x3 = 3√
x(x2−16)
2x3 60∀x∈[1; 4]
Như vậy m=f(x) nghịch biến trên [1; 4], do đó f(4) 6m6f(1)⇒86m619 Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khim ∈[8; 19] 2
~ Nhận xét: Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
(72x+
√x+1−72+
√x+1
+ 2007x62007 x2−(m+ 2)x+ 2m+ 3 = 0
Giải Ta có:
72x+
√x+1−72+
√x+1+ 2007x62007⇒72+
√x+1(72x+2−1)62007(1−x) (∗)
> Nếux >1⇒72+
√x+1(72x−2−1)>0>2007(1−x).Suy ra (*) vô nghiệm.
> Nếux61⇒72+
√x+1(72x−2 −1)6062007(1−x). Suy ra (*) đúng .
Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình x2 −(m+ 2)x+ 2m+ 3 = 0 có nghiệm với x∈[−1; 1], hay phương trình m= x2−2x+ 3
x−2 có nghiệm với x∈[−1; 1].
Xét hàm số f(x) = x2−2x+ 3
x−2 với x∈[−1; 1], có f0(x) = x2−4x+ 1
(x−2)2 = 0⇔x= 2−√ 3 Dựa vào bảng biến thiên suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi m62−√
3.
Bài 7: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (∗)
(x−y+m= 0 y+√
xy= 2 Giải
ĐKXĐ: xy>0. Từ hệ ta cũng có y6= 0.
(∗)⇔
(x−y+m= 0
√xy= 2−y ⇔
x−y+m= 0 x= y2−4y+ 4
y y 62
⇒m=y− y2−4y+ 4
y = 4y−4
y (y62)
Xét hàm số f(y) = 4y−4
y (y62) ta có f0(y) = 4
y2 >0 ∀y 6= 0, suy ra hàm số f(y) đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; 2].
Mặt khác, lim
y→−∞f(y) = 4, lim
y→0+f(y) = −∞; lim
y→0−f(y) = +∞
Suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi m∈(−∞; 2]∪(4; +∞) 2 Bài 8: Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt:
√
x4−4x3+ 16x+m+√4
x4−4x3+ 16x+m= 6 (∗)
Giải Ta có:
(∗)⇔ √4
x4 −4x3+ 16x+m= 2 ⇔m=−x4+ 4x3−16x+ 16 Xét hàm số f(x) =−x4+ 4x3−16x+ 16 với x∈R. Ta có:
f0(x) = −4x3+ 12x2−16;f0(x) = 0⇒
"
x=−1 x= 2
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m <27.
Bài 9: Tìm m để phương trình m√
x2+ 2 = x+m (∗) có ba nghiệm phân biệt.
Giải Từ (*) ta có: (∗)⇔m= x
√x2+ 2−1 Xét hàm số: f(x) = x
√x2+ 2−1 với x∈R. Ta có: f0(x) = 2−√
x2 + 2
√x2+ 2(√
x2 + 2−1)2
;f0(x) = 0⇔x=±√ 2 . Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −√
2< m <√ 2 2 Bài 10: Tìm m để phương trình: mx2+ 1 = cosx (∗)có đúng một nghiệm x∈
0;π 2
Giải Ta thấy để (*) có nghiệm thì m60. Khi đó
mx2+ 1 = cosx⇒m= cosx−1
x2 ⇒ −2m= sin2x
2 x2
4
Xét hàm số f(t) = sin2t
t2 với t∈ 0;π
4 Ta có
f0(t) = 2t2sintcost−2tsin2t
t4 = 2 sint(tcost−sint)
t3 = sin 2t(t−tant)
t3 <0 ∀t∈ 0;π
4 Suy ra hàm sốf(t) nghịch biến trên (0;π4).
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có đúng một nghiệm trên (0; π4) khi và chỉ khi 8
π2 <−2m <1⇒ −1
2 < m <− 4 π2 2
Bài 11: Tìm m để hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt:
(∗)
(3(x+ 1)2+y−m = 0 x+√
xy= 1 Giải Điều kiện xy>0
Ta có
(∗)
(3(x+ 1)2+y=m
√xy= 1−x ⇒
3(x+ 1)2+y=m y= x2−2x+ 1
x y61
⇒m= 3(x+ 1)2+x2−2x+ 1 x
⇔m−3 = 3x2 + 6x+x2−2x+ 1 x Xét hàm số: f(x) = 3x2 + 6x+x2−2x+ 1
x (x61)ta có
f0(x) = 6x3 + 7x2−1
x2 = 0⇔
x=−1 x= −1 2 x= 1
3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt khi m∈[−4;−154 ]∪[203 ; 12] 2
~ Nhận xét: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt t = u(x)(x ∈ D), ta tìm được t ∈ D1 và phương trình f(x, m) = 0 (1) trở thành g(t, m) = 0 (2). Khi đó (1) có nghiệm x∈D⇒ (2) có nghiệm t∈D1.
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàmu(x)).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trịt ∈D1 thì phương trình t=u(x)có bao nhiêu nghiệm x∈D.
Bài 12: Tìm m để phương trình m(√
x−2 + 2√4
x2−4)−√
x+ 2 = 2√4
x2−4 có nghiệm
Giải ĐKXĐ; x>2
Ta thấy x= 2không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho √4
x2 −4:
m 4
rx−2 x+ 2 + 2
!
− 4 rx+ 2
x−2 = 2 (∗) Đặt t= 4
rx+ 2
x−2(t >1). Khi đó (*) trở thành: m 1
t + 2
−t= 2 ⇔m= t2+ 2t 2t+ 1. Xét hàm số f(t) = t2+ 2t
2t+ 1(t >1) ta có f0(t) = 2t2+ 2t+ 2
(2t+ 1)2 >0∀t >1.
Vậy hàm số f(t)đồng biến trên (1; +∞).
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m >12
~ Nhận xét: Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t . Để tìm được điều kiện của ẩn phụ t, chúng ta có thể dùng công cụ hàm số, bất đẳng thức, lượng giác hóa. . .
Bài 13:Tìm m để phương trình log23x+p
log23x+ 1−2m−1 = 0có nghiệm trênh 1; 3
√ 3i
Giải Đặt t=p
log23x+ 1. Do x∈h 1; 3
√3i
⇒16t 62 Phương trình đã cho trở thành: t2+t= 2m+ 2
Xét hàm số f(t) = t2+t với 16t62, ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên[1; 2]
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 262m+ 266⇔06m 622 Bài 14: Xác định m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt
(log√3(x+ 1)−log√3(x−1)>log34 log2(x2−2x+ 5)−mlog(x2−2x+5)2 = 5
Giải
Điều kiện :x >1. Từ bất phương trình thứ nhất của hệ ta có:log√3x+ 1
x−1 >log√32⇒x∈(1; 3).
Đặt t= log2(x2−2x+ 5)(t∈(2; 3))và phương trình thứ hai của hệ trở thành t+m
t = 5 ⇒t2−5t=−m
Từ cách đặt t ta có: Với mỗi giá trịt∈(2; 3)thì cho ta đúng một giá trịx∈(1; 3). Suy ra hệ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t2−5t=−mcó 2 nghiệm phân biệt t∈(2; 3).
Xét hàm số f(t) =t2−5t với t∈(2; 3). Ta có f0(t) = 2t−5;f0(t) = 0⇔t= 5
2. Dựa vào bảng biến thiên ta có, hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ∈(6;254) 2
Bài 15:(Đề thi ĐH khối B - 2004) Tìm m để phương trình có nghiệm:
m(√
1 +x2−√
1−x2+ 2) = 2√
1−x4+√
1 +x2−√
1−x2 (∗)
Giải Điều kiện: −16x61
Trước tiên, ta nhận thấy rằng:(1−x2) (1 +x2) = 1−x4 và 1−x2+ 1 +x2 = 2 nên ta có phép đặt ẩn phụ như sau:
Đặt t=√
1 +x2−√ 1−x2 Phương trình đã cho trở thành:
m(t+ 2) =−t2+t+ 2⇔ −t2+t+ 2
t+ 2 =m (1) Do √
1 +x2 >√
1−x2 ⇒t>0 Mặt khác: t2 = 2−2√
1−x4 62⇒t 6√ 2 Ta xét hàm số: f(t) = −t2+t+ 2
t+ 2 ,∀t∈ 0;√
2
, ta có:f0(t) = −t2−4t (t+ 2)2 60 Vậy hàmf(t)nghịch biến trên đoạn
0;√ 2
. Mà hàm số liên tục trên 0;√
2
nên phương trình đã cho có nghiêm x khi phương trình (1) có nghiệm t∈
0;√ 2
. Điều này tương đương với:
minf(t)6m6maxf(t) ∀t∈h 0;√
2i
⇔f√ 2
6m6f(0) Vậy các giá trị m cần tìm là√
2−16m 612.
Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
x√ x+√
x+ 12 =m √
5−x+√ 4−x Giải
Cũng giống như những bài toán trước, ờ bài này ta nghĩ ngay là phải đưa bài toán về dạng f(x) = m rồi sử dụng tương giao giữa 2 đồ thị và suy ra điều kiện m.
Ta giải bài toán như sau:
Điều kiện: 06x64
Phương trình đã cho tương đương với: x√ x+√
x+ 12
√5−x+√
4−x =m Đặt f(x) = x√
x+√ x+ 12
√5−x+√
4−x ∀x∈[0; 4]
Tuy nhiên, nếu đến đây ta khảo sát hàm số này thì có vẻ khá phức tạp và dài dòng. Vì vậy ta sẽ giải quyết theo một hướng khác. Để ý rằng, ta có tính chất sau:
Với hàm số y = f(x)
g(x). Nếu y = f(x) đồng biến và y = g(x) nghịch biến thì y = f(x) g(x) đồng biến.
Ta vận dụng tính chất trên như sau:
Xét hàm số g(x) =x√ x+√
x+ 12 ta có:
g0(x) = 3 2
√x+ 1 2√
x+ 12 >0 nên hàm g(x) là đồng biến.
Xét hàm số h(x) =√
5−x+√
4−x ta có:
h0(x) =− 1 2√
5−x − 1 2√
4−x <0nên hàm h(x)là nghịch biến
Vậy, theo tính chất trên ta có hàm y = g(x)
h(x) đồng biến ∀x∈[0; 4].
Do đó phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi f(0)6m 6f(4)⇔2 √
15−√ 12
6m 6122. Bài 17: Giải và biện luận phương trình sau theo m:
√x2 −2x+m2 =|x−1| −m (1) Giải
Xét x>1ta có:
(1)⇔√
x2−2x+m2 =x−1−m ⇔
(x−1−m>0
x2−2x+m2 = (x−1−m)2 ⇔
(x>1 +m 2mx= 2m+ 1
> Nếu m= 0: hệ trên vô nghiệm
> Nếu m6= 0 ⇒x= 2m+ 1 2m Ta có x>1 +m⇔ 2m+ 1
2m >1 +m⇔ −2m2+ 1
2m >0⇔m6−
√2
2 ∨0< m <
√2 2 Lại có x>1⇒ 2m+ 1
2m >1⇔m >0 Kết hợp điều kiện trên ta có 0< m <
√2 2 . - Xét x <1:
(1)⇔√
x2−2x+m2 = 1−x−m ⇔
(1−x−m >0
x2−2x+m2 = (1−x−m)2 ⇔
(2mx= 2m−1 x61−m Kết luận:
> Nếu m= 0: hệ vô nghiệm
> Nếu 0< m < 1
3∨m >3: phương trình có 2 nghiệm:x= 1 +m±√
−3m2+ 10m−3 1−m
> Nếu m= 3: phương trình có nghiệm duy nhất x=−1
> Nếu m= 1
3: phương trình có nghiệm duy nhấtx= 1.2 Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
x2+ x2+x+ 12
= x2+ 12
+m x2−x+ 12
Giải Để ý rằng: (x2+ 1)2 −x2 = (x2+x+ 1) (x2−x+ 1) Do đó, phương trình đã cho tương đương với:
x2+x+ 12
= x2+x+ 1
x2 −x+ 1
+m x2−x+ 12
Do x2−x+ 1 >0,∀x nên chia hai vế của phương trình chox2−x+ 1 ta được:
x2+x+ 1 x2−x+ 1
2
− x2+x+ 1 x2−x+ 1 =m
Đặt t= x2+x+ 1 x2−x+ 1, 1
3 6t63
Phương trình trên trở thành:t2−t=m
Đây là một phương trình bậc hai đơn giản nên việc khảo sát xin dành cho bạn đọc.
Điều lưu ý ở đây là điều kiện của t. Thực chất ở đây ta đã tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x2+x+ 1
x2−x+ 1 (có thể dùng phương pháp miền giá trị).
Bài 19: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:
x+ 1
x +y+ 1 y = 5 x3 + 1
x3 +y3+ 1
y3 = 15m−10 Giải
Cách 1:
Nhìn vào hệ này, ta thấy ngay được hướng đi là phải đặt ẩn phụ vì giữa các đại lượng x+ 1 x và x3+ 1
x3 dường như có mối liên hệ với nhau. Với ý tưởng đó, ta có phép đặt như sau:
Đặt
a=x+ 1 x b=y+1
y
, (|a|>2,|b|>2).
Ta có
x3+ 1 x3 =
x+ 1
x 3
−3
x+ 1 x
=a3−3a y3+ 1
y3 =
y+1 y
3
−3
y+1 y
=b3−3b Khi đó, hệ đã cho trở thành:
(a+b= 5
a3+b3−3 (a+b) = 15m−10 ⇔
(a+b = 5 ab= 8−m
Dễ thấy a, b là nghiệm của phương trình X2−5X+ 8−m = 0 ⇔ X2−5x+ 8 = m (1) Xét hàm sốf(X) =X2−5X+ 8, |X|>2, ta có:
f0(X) = 2X−5 ⇒f0(X) = 0⇔X = 5 2
Từ đó, kẻ bảng biến thiên và chú ý rằng hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm |X|>2. Ta tìm được: 7
2 6m62∨m>22.
Cách 2:
Ta nhận thấy rằng ở phương trình thứ nhất không có chứa tham số nên ta sẽ xuất phát từ phương trình này. Khai triển phương trình này ra, ta được:
x3−y3+ 4 (x−y) = 9y+ 8−3x2+ 6y2 ⇔x3+ 3x2+ 4x=y3+ 6y2+ 13y+ 8
⇔(x+ 1)3+ (x+ 1) = (y+ 2)3+ (y+ 2) Xét hàm số f(t) =t3+t, dễ thấy là hàm số này đồng biến nên
f(x+ 1) =f(y+ 2)⇔x+ 1 =y+ 2⇔x=y+ 1
Từ đây, thay x=y+ 1 vào phương trình thứ hai ta được:
p15 + 2y−y2 = 2m+p
4−y2 ⇔p
(5−y) (y+ 3)−p
4−y2 = 2m Đến đây ý tưởng đã rõ, ta chỉ cần chuyển về tương giao giữa hai đồ thị.
Bài 20: Tìm m để hệ sau có nghiệm thực:
(x3+ (y+ 2)x2+ 2xy=−2m−3 x2+ 3x+y=m
Giải
~ Ý tưởng: Ở hệ này ta quan sát thấy bài toán còn chưa rõ đường lối nào vì cả hai phương trình trong hệ đều chứa đến tham số m. Vì vậy để đi đến hướng giải quyết tốt ta nên bắt đầu phân tích hai vế trái trong hai phương trình trong hệ. Cụ thể ta có:
x3+ (y+ 2)x2+ 2xy=x3+yx2+ 2x2+ 2xy=x2(x+y) + 2x(x+y) = (x+y) x2+ 2x Mặt khác:
x2+ 3x+y=x2+ 2x+x+y
Rõ ràng ở bước phân tích này ta đã tìm ra lối giải cho bài toán này đó chính là đặt ẩn phụ.
~ Lời giải:
Đặt:
(a =x2+ 2x>−1
b =x+y ta có hệ phương trình (a+b =m
ab=−2m−3 ⇔
(a2−3 = (a+ 2)m(1) b=m−a
Từ phương trình (1) trong hệ ta có: a2−3
a+ 2 =m (2)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm a>−1.
Xét hàm số: f(x) = x2−3
x+ 2 với x>−1
Đến đây ta chỉ cần lập bảng bíến thiên. Công việc tiếp theo xin dành cho bạn đọc.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình tan2x+ cot2x+m(cotx+ tanx) = 3 có nghiệm Bài 2: Tìm m để phương trình √
x+√
−x+ 9 =√
9x−x2+m có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình √
3 +x+√
−x+ 6−√
18 + 3x−x2 =m có nghiệm Bài 4: Tìm m để phương trình x3−4mx2+ 8 = 0có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 5: Tìm m để phương trình x3 + 3x2+ (3−2m)x+m+ 1 = 0 có đúng một nghiệm lớn hơn 1.
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
4x2−2mx+ 1 = 3√
8x3+ 2x