PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
nên α = 1−α⇔α= 1 2 Thay α= 1
2 vào (1) ta tìm được m =√ 2 +√4
8.
~ Điều kiện đủ:
Giả sử m=√ 2 +√4
8, khi đó (1) có dạng sau:
√4
x+√4
1−x+√ x+√
1−x=√ 2 +√4
8 (2) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
√x+√
1−x6√
2và √4 x+√4
1−x6√4 8 Do đó (2)⇔x= 1−x⇔x= 1
2.
Vậy để (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là m =√ 2 +√4
8 2 Bài 2: Tìm a và b để phương trình sau có nghiệm duy nhất
3
q
(ax+b)2+ 3 q
(ax−b)2+√3
a2x2−b2 =√3 b (1) Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x=x0, khi đó dễ thấy x=−x0 cũng là nghiệm của (1). Do đó từ giả thiết ta suy ra x0 = 0. Thay x0 = 0 vào (1) ta được :
√3
b2 =√3 b⇒
"
b= 0 b= 1
~ Điều kiện đủ:
> Khi b = 0, (1) có dạng:
√3
a2x2+√3
a2x2+√3
a2x2 = 0⇔a2x2 = 0 Do đó (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a6= 0
> Khi b = 1, (1) có dạng:
3
q
(ax+ 1)2+ 3 q
(ax−1)2+√3
a2x2−1 = 1 (∗) Đặt u=√3
ax+ 1;v =√3
ax−1, ta thấy:
(∗)⇔
(u3−v3 = 2
u2+uv+v2 = 1 ⇔
(u−v = 2
u2+uv+v2 = 1 ⇔
(u= 1 v =−1 ⇔
(ax+ 1 = 1
ax−1 =−1 ⇔ax = 0 Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a 6= 0
Tóm lại, để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần và đủ là
"
a6= 0;b = 0
b= 1 2
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
√7 +x+√
11−x−4 =m− q
4−3√
10−3m p7 +y+p
11−y−4 = m− q
4−3√
10−3m
Giải Điều kiện: −76x, y 611; 74
27 6m6 10 3 Trừ theo vế hai phương trình ta có:
√x+ 7−√
11−x=p
y+ 7−p 11−y Xét hàm số: f(t) =√
t+ 7−√
11−t; −76t611ta có:
f0(t) = 1 2√
t+ 7 + 1 2√
11−t >0Vậy hàm số đồng biến, suy ra: f(x) = f(y)⇔x=y.
Thay vào một trong hai phương trình của hệ ta được:
√7 +x+√
11−x−4 =m− q
4−3√
10−3m (∗)
~ Điều kiện cần:
Ta thấy là nếux0 là một nghiệm của phương trình thì4−x0 cũng là nghiệm của phương trình.
Nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
x0 = 4−x0 ⇔x0 = 2 Thay vào phương trình (*) ta được:
q
4−3√
10−m=m−2 (∗∗) Giải phương trình (**) ta tìm đượcm = 3.
~ Điều kiện đủ:
Với m= 3, ta thu được hệ phương trình:
√7 +x+√
11−x= 6
√7 +y+√
11−y= 6 Vì x=y nên ta chỉ việc giải phương trình √
7 +x+√
11−x= 6 ⇔x= 2 Vậy m= 3 là giá trị cần tìm để hệ đã cho có nghiệm duy nhất. 2
Bài 4: Tìm a,b để hệ sau có nghiệm duy nhất:
xyz+z =a xyz2+z =b x2+y2+z2 = 4
Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử(x0;y0;z0)là nghiệm của hệ phương trình đã cho thì(−x0;−y0;z0)cũng là nghiệm. Do tính duy nhất nên x0 =−x0; y0 =−y0 ⇒x0 =y0 = 0 Thay trở lại vào hệ , ta có:
z0 =a z0 =b z20 = 4 Từ đây ta suy ra a=b= 2 hoặc a =b =−2
~ Điều kiện đủ:
Xét hai trường hợp sau:
> Nếu a=b= 2: Khi đó hệ có dạng:
xyz+z = 2 (1) xyz2 +z = 2 (2) x2+y2+z2 = 4 (3)
Lấy (1)−(2) ta được xyz(1−z) = 0, từ (1) lại có z 6= 0 do đóxy(1−z) = 0
* Nếu x= 0 ⇒z = 2⇒y= 0
* Nếu y = 0⇒z = 2⇒x= 0
* Nếu z = 1 ⇒
x2+y2 = 3 xy= 1
.
Hệ trên có nghiệm (x1;y1) 6= (0; 0).Vì vậy ngoài nghiệm (0,0,2), hệ còn có nghiệm khác (x1;y1; 1) do đó hệ không có nghiệm duy nhất. Trường hợp này không thỏa mãn.
> Nếu a=b=−2:
Khi đó hệ có dạng:
xyz =−2 xyz22 +z =−2 x2 +y2+z2 = 4 Tiến hành làm như trường hợp trên ta đi đến:
* Nếu x= 0 ⇒z =−2⇒y= 0
* Nếu y = 0⇒z =−2⇒x= 0
* Nếu z = 1 ⇒
x2+y2 = 3 xy=−3
Ta thấy từ hệ phương trình trên, ta suy ra x2+y2 <2|xy| nên hệ vô nghiệm.
Vậy trong trường hợp này hệ có duy nhất nghiệm (x;y;z) = (0,0,−2)
Vậy điểu kiện cần và đủ để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là a=b =−2 2 F Sử dụng điểm thuận lợi
Bài 5: Tìm a để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
log2 a2x2−5ax2+√ 6−a
= log2+x2 3−√ a−1
(∗) Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử (*) đúng với mọi x. Với x= 0 ta có log2√
6−a= log2(3−√ a−1) Lại có:
16a66
√a−1<3
√a−1 +√
6−a= 3
⇒a∈ {2; 5}
~ Điều kiện đủ:
> Nếua= 2 thì (∗)⇔log2(2−12x2) = log2+x22 (∗∗)
Rõ ràng (**) không đúng với mọi x, vì để log2(2−12x2) có nghĩa thì phải có 12x2 <2
> Nếua= 5 thì (∗)⇔log21 = log2+x21(luôn đúng) Vậy a= 5 là điều kiện cần và đủ để (*) đúng với mọi x 2
Bài 6: Tìm a để hệ phương trình ẩn (x;y) có nghiệm với mọi b:
2bx+ (a+ 1)by2 =a2 (a−1)x3+y2 = 1
Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử hệ có nghiệm với mọi b, thay b= 0 ta được
a2 = 1
(a−1)x3+y2 = 1 Do đó điều kiện cần làa =±1
~ Điều kiện đủ:
> Nếua= 1: ta có hệ
2bx+ 2by2 = 1 y2 = 1
Khi b > 1
2 hệ vô nghiệm. Vậy trường hợp này loại.
> Nếua=−1: ta có hệ
2bx = 1
−2x3+y2 = 1 Hệ trên luôn có nghiệm (x;y) = (0; 1)
Vậy a=−1là điểu kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm với mọi b 2 Bài 7: Tìm a để hệ phương trình ẩn (x;y) có nghiệm với mọi b:
(x2+ 1)a+ (b2+ 1)y = 2 a+bxy+x2y = 1
Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử hệ có nghiệm với mọib, thayb = 0 ta có (∗)
(x2+ 1)a= 1 a+x2y= 1
⇔
"
a = 0; x2y= 1
x2+ 1 = a+x2y = 1 ⇔a∈ {0; 1}
~ Điều kiện đủ:
> Nếua= 0 : ta có
(b2+ 1)y = 1 (1) bxy+x2y= 1 (2)
Nếu b6= 0 ⇒b2+ 1 6= 1 nên từ (1) có y= 0, nhưng không thoả (2). Vậy trường hợp này loại.
> Nếu a= 1: ta có
x2+ (b2+ 1)y = 1 bxy+x2y= 0 Hệ trên luôn có nghiệm x=y= 0.
Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm với mọi b 2
Bài 8: Tìm điều kiện của a, b, c, d, e, f để hai phương trình ẩn(x;y) sau là tương đương:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f = 0 (1) x2+y2 = 1 (2)
Giải
~ Điều kiện cần:
Ta thấy (x;y) = (0;±1),(±1; 0), 1
√2; 1
√2
,
− 1
√2;− 1
√2
là nghiệm của (2). Do đó (1) cũng phải có các nghiệm trên.
Như vậy
c+e+f =c−e+f =a+d+f =a−d+f = 0 a+b+c+√
2d+√
2e+ 2f
2 = a+b+c−√
2d−√
2e+ 2f
2 = 0
Giải hệ trên ta tìm được điều kiện cần của bài toán là (∗)
b =d=e= 0 a=c=−f 6= 0
~ Điều kiện đủ:
Dễ thấy với (*) thì (2) trùng với (1).
Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để (1)⇔(2) 2 Bài 9: Cho phương trìnhx3+ax+b= 0 (1)
Tìm a, bđể phương trình trên có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 cách đều nhau.
Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử phương trình (1) có 3 nghiệm khác nhau x1, x2, x3 thỏa giả thiết ⇒x1 +x3 = 2x2
Theo định lý Viete với phương trình bậc 3 ta có: x1+x2+x3 = 0⇒3x2 = 0 ⇒x2 = 0 Thay x2 = 0 vào (1) ta được b = 0
~ Điều kiện đủ:
Giả sử b = 0 , khi đó (1) trở thành:
x3 +ax= 0 ⇔x(x2 +a) = 0 (2)
Ta thấy (2) có 3 nghiệm phân biệt nếu a <0. Khi đó các nghiệm của (2) là
x1 =−√
−a x2 = 0 x3 =√
−a
Các nghiệm trên cách đều nhau nên điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm thỏa mãn đề bài là b= 0, a <0 2
Bài 10: Cho phương trình
x3−3x2+ (2m−2)x+m−3 = 0
Tìm m để phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 sao cho x1 <−1< x2 < x3. Giải
~ Điều kiện cần:
Đặt f(x) =x3 −3x2+ (2m−2)x+m−3
Giả sử phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn x1 <−1< x2 < x3 Ta có: f(x) = (x−x1) (x−x2) (x−x3), suy ra f(x)>0 khi x1 < x < x2
Suy ra f(−1)>0 hay −m−5>0⇔m <−5.
~ Điều kiện đủ:
Giả sử m <−5.
Do lim
x→−∞f(x) =−∞ nên tồn tạiε <−1 mà f(ε)<0
Lại có: f(−1) =−m−5>0và f(x)liên tục nên ta có ε < x1 <−1 sao cho f(x1) = 0 Ta có: f(0) = m−3<0 ( do m <−5)
Vậy tồn tại−1< x2 <0 sao cho f(x2) = 0 Mặt khác, do lim
x→+∞f(x) = +∞ nên phải cóε >0 sao cho f(ε)>0.
Từ đó, tồn tại x3 mà 0< x3 < εsao cho f(x3) = 0.
Như vậy, phương trình f(x) = 0 khi m <−5 có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn x1 <−1< x2 <
0< x3. Vậy m <−5 chính là điều kiện cần và đủ thỏa mãn đế bài.2 Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
20x2+ 10x+ 3
3x2+ 2x+ 1 =x2+ 2 (2m−3)x+ 5m2−16m+ 20 Giải
~ Điều kiện cần:
Giả sử phương trình đã cho có một nghiệm làx0. Đặt f(x) = 20x2+ 10x+ 3
3x2+ 2x+ 1 và g(x) =x2+ 2 (2m−3)x+ 5m2−16m+ 20 Khi đó dễ thấy rằng:
maxf(x)>f(x0) =g(x0)>ming(x) Do ming(x) =g(−(2m−3)) =m2 −4m+ 11
Gọi y0 là giá trị tùy ý của f(x), khi đó ta có:
y0 = 20x2+ 10x+ 3
3x2+ 2x+ 1 ⇔(20−3y0)x2+ 2 (5−y0)x+ 3−y0 = 0 (1) Suy ra (1) có nghiệm khi: ∆0 =−2y02 + 19y0−35>0⇔ 5
2 6y0 67 Vậy maxf(x) = 7 Như vậy, từ điều kiệnmaxf(x)>ming(x) ta có:
7>m2−4m+ 11⇔(m−2)2 60⇔m= 2
~ Điều kiện đủ:
Giả sử m= 2, khi đó phương trình đã cho trở thành 20x2+ 10x+ 3
3x2+ 2x+ 1 =x2+ 2x+ 8 (2) Ta nhận thấy rằng g(x) =x2+ 2x+ 8
( = 7⇔x=−1
>7⇔x6=−1 Mặt khác: f(x) = 20x2+ 10x+ 3
3x2+ 2x+ 1 67với ∀xvà f(−1) = 6,5. Từ đây suy ra (2) vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m thỏa mãn giả thiết. 2
Bài 12: Tìm m để phương trìnhx2 −3x+m = 0 (1) có một nghiệm gấp đôi nghiệm của phương trình x2−x+m= 0 (2)
Giải
~ Điều kiện cần: Giả sử tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài, tức là phương trình (2) có nghiệm x0, còn (1) có nghiệm 2x0. Vậy ta có
4x20 −6x0 +m= 0 x20−x0 +m= 0
Trừ vế với vế của hai phương trình trên cho nhau ta sẽ tìm được x0 = 0 hoặc x0 = 5 3 Thay hai giá trị x0 vào một trong hai phương trình trên ta được m= 0 và m= 10
9 Đây cũng chính là điều kiện cần của bài toán. ~ Điều kiện đủ:
Xét khi m= 0 và m = 10
9 ta sẽ lần lượt giải các phương trình
x2−3x= 0 x2−x= 0 x2−3x+10
9 = 0 x2−x+ 10
9 = 0 Dễ thấy nghiệm của 2 cặp phương trình này thoả giả thiết.
Vậy m ∈
0;10 9
là điều kiện cần và đủ thỏa mãn đề bài. 2
Bài 13: Tìm a,b sao cho với mọi c phương trình sau có không quá hai nghiệm dương:
x3+ax2+bx+c= 0 Giải
Để giải bài này, ta sẽ dùng phần bù. Nghĩa là ta tìm a, b sao cho tồn tại c để phương trình x3+ax2+bx+c= 0 có 3 nghiệm dương.
~ Điều kiện cần:
Giả sử tồn tại cđể phương trìnhf(x) =x3+ax2+bx+c= 0có 3 nghiệm dương x1 < x2 < x3. Khi đó f(x) = (x−x1)(x−x2)(x−x3)
Vậy hàm số f(x) có cưc trị tạiα, β >0 (với x1 < α < x2 < β < x3)
⇒ Phương trìnhf0(x) = 3x2+ 2ax+b = 0 (1)có hai nghiệm dương.
Như vậy
δ0 =a2−3b >0 P = b
3 >0 S = 2a
3 >0
⇔
a2 >3b b >0 a <0
⇔(∗)
b >0 a <−√
3b (*) là điều kiện cần của bài toán.
~ Điều kiện đủ:
Giả sử a, b thoả mãn (*) thì rõ ràng phương trình 3x2 + 2ax+b = 0 có 2 nghiệm dương 0< α < β
Suy ra hàm sốf(x) =x3+ax2+bx+ccó cưc đại tại x=α và cực tiểu tại x=β.
Do α >0 nên tìm được x1 ∈(c;α) sao chof(β)< f(x1)< f(α)⇒ phương trìnhf(x) =f(x1) có ba nghiệm dương. Đặt c = −f(x1) thì phương trình x3 +ax2 +bx +c = 0 có 3 nghiệm dương.
Vậy (*) là điều kiện cần và đủ để tồn tại c sao cho phương trình x3 +ax2 +bx+c= 0 có 3 nghiệm dương.
Từ đó, ta suy ra: b60 hoặc a>−√
3b là điều kịên cần và đủ sao cho phương trình x3+ax2+bx+c= 0 có không quá 2 nghiệm dương. 2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau là tương đương x2 + (m2−5m+ 6)x = 0 và x2 + 2 (m−3)x+m2−7m+ 12 = 0
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
|x+m|2+|x+ 1|=|m+ 1|
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
√x+ 3 +√
6−x−p
(3 +x) (6−x) =m Bài 4: Tìm a để hệ sau có đúng một nghiệm:
( px2+y2−1−a √
x+y−1
= 1 x+y =xy+ 1
Bài 5: Tìm a để hệ sau có đúng một nghiệm:
(√
x2+ 3 +|y|=a py2+ 5 +|x|=√
x2 + 5 +√ 3−a Bài 6: Cho hệ phương trình
((x+y)4 + 13 = 6x2y2 +m xy x2+y2
=m Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 7: Tìm số thực m sao cho hệ:
x3−my3 = 1
2(m+ 1)2 x3+mx2y+xy2 = 1
có nghiệm (x;y)thoả x+y= 0