B – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN - Định lí 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua điểmM x y

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Tâm I của

 

^C thoả mãn:

 

I d

d I, IA

 

  

 .

 Bán kính RIA.

f/ Dạng 6.

 

^C đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B

 Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và  .

 Xác định tâm I  d '.

 Bán kính I d .

g/ Dạng 7.

 

^C đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ₁ và ₂

 Tâm I của

 

^C thoả mãn:

     



¹1



 

d I, d I, 1

d I, IA 2

   

  

 .

 Bán kính I d . Lưu ý

o Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong

 

¹ , ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ₁ và ₂hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ₁ và ₂.

o Nếu ₁ // ₂, ta tính



1 2



R 1d ,

 2   , và

 

² được thay thế bới I d .

h/ Dạng 8.

 

^C tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d

 Tâm I của

 

^C thoả mãn: d I,





d I,





I d

   

 

 .

 Bán kính R d I,



 1



d I,



2



i/ Dạng 9.

 

^C đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Cách 1

 Phương trình của

 

^C có dạng: ^x²^^y²^^2ax^^2by^{ }^c ⁰

 

^ ^.

 Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào

 

^ ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c.

 Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c phương trình của

 

^C ^.

Cách 2

 Tâm I của

 

^C thoả mãn:

2 2

IA IB IA IB

IA IC IA IC

 

   

 

 

   

 

 

 Bán kính R IA IB IC. j/ Dạng 10.

 

^C nội tiếp tam giác ABC

 Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác.

 Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.

 Bán kính ^R^^{d I, AB}

 

 Tập hợp các tâm đường tròn (quỹ tích tâm I của đường tròn)

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn

 

^{C ,} ta có thể làm theo các bước sau

 Bước 1. Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.

 Bước 2. Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I

 

x f m y g m

 

  .

 Bước 3. Khử m giữa x và y ta được phương trình ^{F x; y}

 

^⁰^.

 Bước 4. Dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền của x hoặc y.

 Bước 5. Phương trình tập hợp điểm là ^{F x; y}

 

^⁰ cùng với phần giới hạn ở bước 4.

 Lưu ý: Để tìm tập hợp điểm là đường tròn, ta cũng thực hiện tương tự như các bước trên.

 Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng : AxByC0 và đường tròn

 

^{C : x}²^^y² ^^2ax^^2by^{ }^c ^0, ta có thể thực hiện như sau

 Phương pháp 1. So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bán kính R.

 Xác định tâm I và bán kính R của

 

^C ^.

 Tính khoảng cách từ I đến 

+ ^{d I;}

 

^{ }^R ^{ }^cắt

 

^C tại hai điểm phân biệt.

+ ^{d I;}

 

^{ }^R ^{ } tiếp xúc với

 

^C ^.

+ ^{d I;}

 

^{ }^R ^{ }^và

 

^C không có điểm chung.

 Phương pháp 2. Toạ độ giao điểm (nếu có) của  và

 

^C là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

 

Ax By C 0

x y 2ax 2by c 0

   

 

     



+ Hệ

 

^ có 2 nghiệm   cắt

 

^C tại hai điểm phân biệt.

+ Hệ

 

^ có 1 nghiệm   tiếp xúc với

 

^C ^.

+ Hệ

 

^ vô nghiệm   và

 

^C không có điểm chung.

 Vị trí tương đối của hai đường tròn

 

C1 và

 

Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn

 

C : x1 ²y² 2a x1 2b y1 c1 0 và

 

C : x2 ²y²2a x2 2b y2 c2 0, ta có thể thực hiện theo hai phương pháp

 Phương pháp 1. So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I₂ với các bán kính R₁, R₂.

 R1R2 I I1 2 R1R2 

 

C1 cắt

 

C2 tại hai điểm.

 I I1 2 R1R2 

 

C1 tiếp xúc ngoài với

 

C2 .

 I I1 2  R1R2 

 

C1 tiếp xúc trong với

 

C2 .

 I I1 2 R1R2 

 

C1 và

 

C2 ở ngoài nhau.

 I I1 2  R1R2 

 

C1 và

 

C2 ở trong nhau.

 Phương pháp 2. Phương pháp đại số: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của

 

C1 và

 

C2 là nghiệm của hệ phương trình

 

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

x y 2a x 2b y c 0

     

 

     



 Hệ

 

^ có hai nghiệm 

 

C1 cắt

 

C2 tại 2 điểm.

 Hệ

 

^ có một nghiệm 

 

C1 tiếp xúc với

 

C2 ^.

 Hệ

 

^ vô nghiệm 

 

C1 và

 

C2 không có điểm chung.

 Tiếp tuyến của đường tròn

 Cho đường tròn

 

^C có tâm I, bán kính R và đường thẳng .

  tiếp xúc với

 

^C ^^{d I,}

 

^{ }^R^.

a/ Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm M x ; yo



o o

  

 C .

 Phương pháp 1. Tiếp tuyến  đi qua M x ; yo



o o



và có VTPT n_  IM_o .

 Phương pháp 2. Phân đôi tọa độ:

Phương trình tiếp tuyến có dạng :

   



^oo



 

o^o

 

^o ²

x x yy a x x b y y c 0

: x a x a y b y b R

       

        .

b/ Dạng 2. Tiếp tuyến có phương cho trước.

 Bước 1. Viết phương trình của  có phương cho trước :

 Bước 2. Dựa vào điều kiện tiếp xúc ^{d I,}

 

^{ }^R để tìm thành phần còn lại.

Từ đó suy ra phương trình của .

 Lưu ý : Các dạng phương cho trước thường gặp là

● Tiếp tuyến // d : AxByC 0 Tiếp tuyến : AxByD0.

● Tiếp tuyến d : AxByC 0 Tiếp tuyến : BxAyD0.

● Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k  Tiếp tuyến

: y kx m : kx y m 0

        .

● Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : AxByC0 một góc α. Khi đó ta linh hoạt sử dụng một trong hai công thức ^d

u .u cos

u . u



 

 

  hoặc ^d

k k

tan 1 k .k



  

 ^.

c/ Dạng 3. Tiếp tuyến vẽ từ một điểm A x ; y



A A



ở ngoài đường tròn

 

^C ^.

 Viết phương trình của  đi qua A (chứa 2 tham số).

 Dựa vào điều kiện: ^{d I,}

 

^{ }^R, ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình của .

d/ Dạng 4. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

 

C1 và

 

C2 .

 Bước 1. Giả sử tiếp tuyến là : AxByC0 với A²B²0.

 Bước 2. Theo điều kiện tiếp xúc của  với

 

C1 và

 

C2 :

 



¹2



¹2

d I ; R

  

  

 .

 Bước 3. Kết luận về tiếp tuyến chung của . e/ Họ tiếp tuyến của đường tròn

 Cho đường tròn

 

^C có phương trình :

  

^{C : x}^^a

 

²^ ^y^^b



² ^^R²^.

 Tiếp tuyến với

 

^C ^tạiM x ; y



o o

  

 C có dạng :



xa x



oa

 

 yb y



ob



R² ^



^x^^{a .}



^x^o_R^^a ^



^y^^{b .}



^y^o_R^^b ^^R^.

 Vì

   

2 2

o o

x a y b

M x ; y C 1

R R

     

   

 

      . Do đó có thể đặt :



x a

sin t

R , t 0;2

y b

cos t R

  

  

 

 

 



 Khi đó, mọi tiếp tuyến  của

 

^C có dạng :

  

^ ^{: x}^^{a sin t}



^



^y^^{t cos t}



^^R^.

 Ta gọi các tiếp tuyến  với tham số t là họ tiếp tuyến của

 

^C . Tọa độ tiếp điểm của

 

^C ^với^^là^{  }^_{  }^x_y ^a_b ^{R sin t}_{R cos t}

 .

Trong tài liệu Định lí 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua điểmM x y 0 (Trang 58-62)