Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình

a·sinx+b=0

¬ a·cosx+b=0

a·tanx+b=0

® ¯ a·cotx+b=0

L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản.

a·sinx+b=0⇔sinx=−b

¬ a a·cosx+b=0⇔cosx=−b

a a·tanx+b=0⇔tanx=−b

® a a·cotx+b=0⇔cotx=−b

¯ a

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx L Dạng phương trình

• asinx±bcosx=c (1).

• Điều kiện có nghiệma²+b²≥c².

L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho√

a²+b². Khi đó (1) ⇔ a

√

a²+b²sinx± b

√

a²+b²cosx= c

√

a²+b²

⇔ cosφ·sinx±sinφ·cosx= c

√

a²+b²

⇔ sin(x±φ) = c

√a²+b² (2), với cosφ = a

√a²+b² và sinφ = b

√a²+b².

Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước.

Chú ý hai công thức sau:

• sinacosb±cosasinb=sin(a±b).

• cosacosb±sinasinb=cos(a∓b).

3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 30

a·sin²x+b·sinx+c=0

¬ a·cos²x+b·cosx+c=0 a·tan²x+b·tanx+c=0

® ¯ a·cot²x+b·cotx+c=0

L Phương pháp giải

• Đặt ẩn phụt, chuyển phương trình về ẩnt.

• Bấm máy, tìm nghiệmt. Sau đó, giải tìmx.

• Chú ý với phương trình số¬vàthì−1≤t≤1.

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

cVí dụ 1. Giải các phương trình sau:

2 sinx+1=0;

a) √

2 cosx−1=0;

b) tanx+√

3=0;

c) √

3 cotx−1=0.

d) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

2 sin

x−π 6

+1=0.

a) √

2 cos

3x−π 4

−1=0.

b) tan

π 3−x

+√

3=0.

c) √

3 cot

x+π 6

+3=0.

d) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 32

cVí dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình2 sin 2x−1=0trong đoạn[−2π; 2π].

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 4. Giải phương trình(2 cosx−1) (sinx+cosx) =sin 2x−sinx.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Bài 1. Giải các phương trình sau 2 cos 2x+√

3=0.

a) b) 2 sin 3x+1=0

2 cos 2x−√ 2=0.

c) 3−2√

3 cos x+π

=0.

d) 2 cos

x−π

+1=0.

e) 2√

2 sin Å

x+2π 5

=√ 6.

f) 3 sin(x−1) +2=0.

g) √

3 tanπ 6−2x

+1=0.

h) (cos 2x+√

2)(cot 3x−1) =0.

i) 2−2√

3 tan

x+π 3

=0.

Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

√3 tanx−3=0trên(0,3π).

a) √

2 sin(x−1) =−1trên Å

−7π 2 ;π

2 ã

. b)

Bài 3. Giải phương trình2 sin²2x+sin 7x−1=sinx.

Bài 4. Giải phương trình(cosx−sinx)sinxcosx=cosxcos 2x.

Bài 5. Giải phương trình(2 sinx−cosx)(1+cosx) =sin²x.

| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

c Ví dụ 5. Giải các phương trình sau 3 sin²x−5 sinx+2=0;

a) b) 4 cos²x−4 cosx−3=0.

3 sin²2x+7 cos 2x−3=0;

c) √

3 tan²x−2 tanx+√ 3=0.

d) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 6. Giải các phương trình sau cos 2x+cosx+1=0;

a) b) 6 sin²3x+cos 12x=−2;

cos 4x+6=7 cos 2x;

c) d) 7 tanx+4 cotx=11.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 1−Ä

2+√ 2ä

sinx+ 2√ 2

1+cot²x =0;

a) tan²x− 5

cosx+7=0.

b) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 8. Giải các phương trình sau cos 2x+3 cot 2x+sin 4x

cot 2x−cos 2x =2;

a) 4 sin²2x+6 sin²x−9−3 cos 2x

cosx =0.

b) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 6. Giải các phương trình sau cos²x+cosx−2=0;

a) b) 2 sin²x−5 sinx+2=0;

6 cos²x+5 sinx−7=0;

c) 3 tan²x−2√

3 tanx+1=0.

d) Bài 7. Giải các phương trình sau:

2 tanx+cotx−3=0

a) b) 5 sinx−2=3(1−sinx)tan²x;

2 cos 2x.cosx=1+cos 2x+cos 3x;

c) cos 2x+cosx=4 sin²x

2 −1 d)

Bài 8. Tìm nghiệmx∈(0; 10π)của phương trình

√3

cos²x−tanx−2√

3=sinx

1+tanx.tanx 2

| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

c Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:

sinx+√

3 cosx=1;

a) √

3 sin 2x−cos 2x=2;

b) sin 2x−√

3 cos 2x=2;

c) d) 3 sinx+cosx=2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm các nghiệmx∈ Å2π

5 ;6π 7

của phương trìnhcos 7x−√

3 sin 7x=−√ 2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11 (D.2007). Giải phương trình sinx

2+cosx 2

+√

3 cosx=2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 40

. . . . . . . . . . . .

cVí dụ 12. Giải phương trình (1−2 sinx)cosx

(1+2 sinx)(1−sinx)=√ 3.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 9. Giải các phương trình sau:

cosx−√

3 sinx=1

a) √

3 sinx+cosx=√ 2 b)

√3 cosx−sinx=0

c) sin 3x−√

3 cos 3x=2 sin 4x d)

Bài 10. Giải các phương trình sau cos(π−2x)−cos

2x+π 2

=√ 2;

√3 cos 2x+sin 2x+2 sin

2x−π 6

=2√ 2;

sinx−√

2 cos 3x=√

3 cosx+√

2 sin 3x;

cos 7xcos 5x−√

3 sin 2x=−sin 5xsin 7x.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Bài 11. Giải các phương trình sau:

sinx−√

3 cosx=2 sin 5x a)

√3 sin 2x+2sin²x=2 b)

√3 cos 5x−2 sin 3xcos 2x−sinx=0 c)

cos 7xcos 5x−√

3 sin 2x=1−sin 7xsin 5x d)

sinx+cosxsin 2x+√

3 cos 3x=2 cos 4x+sin³x e)

tanx−3 cotx=4Ä

sinx+√

3 cosxä f)

Bài 12. Giải phương trình2 sin(x+π

6) +sinx+2 cosx=3.

Bài 13. Giải phương trình(sin 2x+cos 2x)cosx+2 cos 2x−sinx=0.

Bài 14. Giải phương trìnhsin 2x−cos 2x+3 sinx−cosx−1=0.

| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

L Dạng phương trình

• asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0

• Tổng quát:asin²x+bsinxcosx+ccos²x=d L Phương pháp giải

• Trường hợp 1. Xétcosx=0, khi đósinx=±1. Ta thay trực tiếp vào phương trình

— Nếu thỏa mãn, suy rax=π

2+kπlà nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2.

— Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2.

• Trường hợp 2. Xétcosx6=0, chia 2 vế phương trình chocos²xta đưa phương trình đang xét về dạng phương trình bậc hai theotanx.

• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp.

Chú ý công thức sinx

cosx =tanx.

¬ sin 2x=2 sinxcosx 1

cos²x =tan²x+1

c Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:

2cos²x−3 sinx.cosx+sin²x=0

a) b) sin²x−sin 2x−3cos²x+2=0

4sin²x+3√

3 sin 2x−2cos²x=4

c) d) 4cos²x+sin 2x−3=0

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 42

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 15. Giải các phương trình sau:

2sin²x+Ä 3+√

3ä

sinxcosx+Ä√

3−1ä

cos²x=−1 a)

sin²x+sin 2x−2cos²x= 1 b) 2

4sin²x+3√

3 sin 2x−2cos²x=4 c)

sin²x+√

3 sinxcosx+2cos²x= 3+√ 2 d) 2

2sin²x−5 sinxcosx−cos²x=−2 e)

3sin²x+8 sinxcosx+Ä 8√

3−9ä

cos²x=0 f)

| Dạng 5. Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx · cosx L Dạng phương trình

• a(sinx+cosx) +bsinxcosx+c=0.

• a(sinx−cosx) +bsinxcosx+c=0.

L Phương pháp giải:

• Đặtt=sinx±cosx

• Tínht²= (sinx±cosx)²=1±2 sinx·cosx. Từ đây ta tính đượcsinx·cosx.

• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩnt. Giải tìmt, sau đó tìmx.

Chú ý

Điều kiện củat là−√

2≤t≤√

¬ 2. sinx±cosx=√

2 sin

x±π 4

c Ví dụ 14. Giải các phương trình sinxcosx+2(sinx+cosx) =2

a) b) sinx−cosx+4 sinxcosx+1=0

4√

2(sinx+cosx) +3 sin 2x−11=0

c) sin 2x+√

2 sin

x−π 4

=1 d)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 44

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 16. Giải các phương trình sinx−cosx+7 sin 2x=1

a) b) cotx−tanx=sinx+cosx

sinx+cosx+ 1

sinx+ 1

cosx = 10

c) 3 1+sin³x+cos³x= 3

2sin 2x d)

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Phương trình2 sinx−√

3=0có các nghiệm là A





 x=π

3+k2π x=−π

3+k2π

,k∈Z. B





 x= π

3+k2π x= 2π

3 +k2π

,k∈Z.





 x=π

3+k2π x=−π

3+k2π

,k∈Z. D





 x= π

3+kπ x= 2π

3 +kπ

,k∈Z. Câu 2. Cho phương trìnhsinx−(m+1)cosx=2. Tìmmđể phương trình có nghiệm.

A m∈[0;−2]. B m∈Ä

−∞;−1−√ 3ó

∪î

−1+√

3;+∞ä . C m∈(−∞;−2]∪[0;+∞). D m∈î

−1−√

3;−1+√ 3ó

. Câu 3. Giải phương trình2 cosx−1=0.

A x=±π

3+k2π,k∈Z. B x=±π

6+k2π,k∈Z. C x= π

3+k2π,k∈Z. D x=±π

3+2π,k∈Z. Câu 4. Nghiệm của phương trìnhcot 3x=−1là

A x= π

12+kπ vớik∈Z. B x=−π

12+kπvớik∈Z. C x= π

12+kπ

3 vớik∈Z. D x=−π

12+kπ

3 vớik∈Z. Câu 5. Nghiệm của phương trìnhsin 2x=1là

A x=π

4 +k2π. B x= π

4+kπ. C x= kπ

2 . D x=π

2 +k2π.

Câu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình msinx−3 cosx=5có nghiệm làm∈(−∞;a]∪[b;+∞) với a,b∈Z. Tínha+b.

A −4. B 4. C 0. D 8.

Câu 7. Giải phương trìnhsin 2x=1.

A x= kπ

2 , vớik∈Z. B x= π

2+k2π, vớik∈Z. C x= π

4+kπ, vớik∈Z. D x= π

4+k2π, vớik∈Z. Câu 8. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?

A tanx=π. B sinx= π

4. C sinx+cosx=2. D cosx= 2017 2018.

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 46

Câu 9. Nghiệm của phương trìnhsin 3x=cosxlà A x=±π

4+k2π;k∈Z. B x= π

8 +kπ

2 ,x= π

4 +kπ;k∈Z. C x= π

4−kπ;k∈Z. D x= π

8 +kπ;k∈Z.

Câu 10. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trìnhsin 2x−cosx=0trên đường tròn lượng giác.

A 1. B 4. C 3. D 2.

Câu 11. Gọix₀là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình3 sin²x+2 sinxcosx−cos²x=0. Chọn khẳng định đúng.

A x₀∈ 0;π

. B x₀∈

Å3π 2 ; 2π

. C x₀∈π 2;π

. D x₀∈

Å π;3π

2 ã

. Câu 12. Nghiệm của phương trình2 sin

4x−π

−1=0là A





x=k2π x= π

2+k2π (k∈Z). B

ñx=kπ

x=π+k2π (k∈Z).





x=π+k2π x=kπ

(k∈Z). D





 x= π

8 +kπ 2 x= 7π

24 +kπ 2

(k∈Z).

Câu 13. Phương trình2 sinx−1=0có bao nhiêu nghiệmx∈(0; 2π)?

A 1 nghiệm. B 4 nghiệm. C Vô số nghiệm. D 2 nghiệm.

Câu 14. Giải phương trìnhcos 2x+5 sinx−4=0.

A x= π

2+kπ. B x=k2π. C x=π

2 +kπ. D x= π

2+k2π.

Câu 15. Chosinx+cosx=1

2 và0<x<π

2. Tính giá tri củasinx.

A sinx= 1−√ 7

4 . B sinx= 1+√ 7

4 . C sinx= 1−√ 7

6 . D sinx= 1+√ 7 6 . Câu 16. Cho x₀ là nghiệm của phương trình sinxcosx+2(sinx+cosx) = 2. Khi đó, giá trị của P= 3+sin 2x₀là

A P=3+

√2

2 . B P=2. C P=0. D P=3.

Câu 17. Giải phương trìnhsin 3x+cos 3x=√ 2.

A x= π

9+k2π

3 ,k∈Z. B x= π

6 +kπ

3,k∈Z. C x= π

3+kπ,k∈Z. D x= π

12+k2π

3 ,k∈Z. Câu 18. Số nghiệm của phương trình√

2 cos

x+π 3

=1với0≤x≤2π.

A 4. B 3. C 1. D 2.

Câu 19. Phương trìnhcosx=0có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng(−π;π)?

A 3. B 1. C 2. D 4.

Câu 20. Tổng2nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trìnhcos 4x+1 2 =0là A 5π

6 . B π

6. C π

2. D 7π

6 .

Câu 21. Cho phương trìnhcos 2x+cosx=2. Khi đặtt=cosx, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

A 2t²+t−3=0. B 2t²−t−1=0. C 2t²−t−3=0. D 2t²+t−1=0.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Câu 22. Số nghiệm phương trình sin 3x

cosx+1 =0thuộc đoạn[2π; 4π]là

A 6. B 2. C 4. D 5.

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể phương trìnhcos²x=m−1có nghiệm.

A 1≤m≤2. B m≤2. C 1<m<2. D m≥1.

Câu 24. Điều kiện của tham số thựcmđể phương trìnhsinx+ (m+1)cosx=√

2vô nghiệm là A m>0. B −2<m<0. C

ñm≥0

m≤ −2. D m<−2.

Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương củamđể phương trìnhmsin 2x−3 cos 2x=2m+1có nghiệm?

A 4. B 2. C 1. D 10.

Câu 26. Tìm số đo góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương trình cos 2x=−1

2. A nπ

3;π 3;π

3 o

, nπ

2;π 4;π

4 o

. B nπ

3;π 3;π

3 o

. C nπ

3;π 3;π

3 o

, ß2π

3 ;π 6;π

™

. D

ß2π 3 ;π

6;π 6

™ . Câu 27. Cho0<α< π

2 thỏa mãnsinα+√

2 sinπ 2 −α

=√

2. Tínhtan α+π

. A −9+4√

7 . B −9+4√

7 . C 9−4√

7 . D 9+4√

7 .

Câu 28. Tính tổng tất cảT các nghiệm thuộc đoạn[0; 200π]của phương trìnhcos 2x−3 cosx−4=0.

A T =10000π. B T =5100π. C T =5151π. D T =10100π.

Câu 29. Số nghiệm của phương trìnhcos²x−sin 2x=√

2+cos² π

2+x

trên khoảng(0; 3π)bằng

A 4. B 1. C 3. D 2.

Câu 30. Số các giá trị thực của tham sốmđể phương trình(sinx−1)(2 cos²x−(2m+1)cosx+m) =0có đúng4nghiệm thực thuộc đoạn[0; 2π]là

A 1. B 2. C 3. D Vô số.

—HẾT—

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 48

Trong tài liệu Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Phạm Hùng Hải - TOANMATH.com (Trang 32-51)