Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Phạm Hùng Hải - TOANMATH.com

(1)

Fly Education Thầy Hải Toán

K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng SĐT: 0905958921

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021

(2)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1

§0 – Công thức lượng giác cần nhớ 1

§1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3

A

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .3

B B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . .4

| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác. . . .4

| Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số. . . .7

| Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất. . . .8

C C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . .13

§2 – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 17 A A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .17

| Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản. . . .19

| Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng. . . .21

| Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định. . . .22

| Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a;b)cho trước. . . .24

§3 – MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 29 A A KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . .29

| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. . . .30

| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. . . .33

| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. . . .37

| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx. . . .41

| Dạng 5. Phương trình chứa sinx±cosx và sinx·cosx. . . .43

§4 – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 48 A A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . .48

| Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác. . . .48

| Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx. . . .49

(3)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

MỤC LỤC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

ii

| Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích. . . .50

| Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số. . . .51 B

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . .55

§5 – ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 57

A

A Đề số 1. . . .57 B

B Đề số 2. . . .60

§6 – ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 63

(4)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

1

C h ư HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

B ÀI 0 . CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

1) Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

GTLG

Góc (I) (II) (III) (IV)

sinα + + − −

cosα + − − +

tanα + − + −

cotα + − + −

(Nhất cả - Nhịsin- Tamtan- Tứcos) ^x

cosx sinx y

O 1

−1

1

−1

(I) (II)

(III) (IV)

2π 0 π

2

3π 2 π

+

−

2) Công thức lượng giác cơ bản

sin²α+cos²α =1 tanα = sinα

cosα cotα =cosα

sinα tanα·cotα =1 1+tan²α = 1

cos²α 1+cot²α = 1 sin²α

3) Cung góc liên kết

Cung (góc) đối nhau Cung (góc) bù nhau Cung (góc) phụ nhau

cos(−α) =cosα sin(π−α) =sinα sin

π 2 −α

=cosα sin(−α) =−sinα cos(π−α) =−cosα cosπ

2 −α

=sinα tan(−α) =−tanα tan(π−α) =−tanα tan

π 2−α

=cotα cot(−α) =−cotα cot(π−α) =−cotα cot

π 2−α

=tanα

(5)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

0. Công thức lượng giác cần nhớ Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 2

Cung (góc) hơn kémπ Cung (góc) hơn kém π 2 cos(π+α) =−cosα sin

π 2 +α

=cosα sin(π+α) =−sinα cosπ

2 +α

=−sinα tan(π+α) =tanα tan

π 2+α

=−cotα cot(π+α) =cotα cot

π 2+α

=−tanα

4) Công thức cộng

sin(a±b) =sina·cosb±cosa·sinb cos(a±b) =cosa·cosb∓sina·sinb tan(a+b) = tana+tanb

1−tana·tanb tan(a−b) = tana−tanb 1+tana·tanb Hệ quả:tan

π 4 +x

=1+tanx 1−tanx vàtan

π 4−x

=1−tanx 1+tanx 5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba

Nhân đôi Hạ bậc Nhân ba

sin 2α =2 sinα·cosα sin²α = 1−cos 2α

2 sin 3α =3 sinα−4 sin³α cos 2α = cos²α−sin²α

= 2 cos²α−1

= 1−2 sin²α

cos²α =1+cos 2α

2 cos 3α =4 cos³α−3 cosα tan 2α= 2 tanα

1−tan²α tan²α =1−cos 2α

1+cos 2α tan 3α= 3 tanα−tan³α 1−3 tan²α cot 2α= cot²α−1

2 cotα

cot²α =1+cos 2α 1−cos 2α

6) Công thức biến đổi tổng thành tích cosa+cosb=2 cosa+b

2 ·cosa−b

2 cosa−cosb=−2 sina+b

2 ·sina−b 2 sina+sinb=2 sina+b

2 ·cosa−b

2 sina−sinb=2 cosa+b

2 ·sina−b 2 tana+tanb= sin(a+b)

cosa·cosb tana−tanb= sin(a−b) cosa·cosb cota+cotb= sin(a+b)

sina·sinb cota−cotb= sin(b−a) sina·sinb Đặc biệt

sinx+cosx = √ 2 sin

x+π 4

= √ 2 cos

x−π 4

sinx−cosx = √ 2 sin

x−π 4

= −√ 2 cos

x+π 4

7) Công thức biến tích thành tổng cosa·cosb= 1

2[cos(a−b) +cos(a+b)] sina·sinb= 1

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

sina·cosb= 1

[sin(a−b) +sin(a+b)]

(6)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

B ÀI 1 . HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm sốy=sinx

○ Tập xác định:D =R.

○ Tập giá trị:[−1; 1], tức là−1≤sinx≤1,∀x∈R.

○ Hàm số y=sinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.

○ Hàm số y =sinx tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa làsin(x+k2π) =sinx, vớik∈Z.

x

Đồ thị hàm sốy=sinx y

−π π

−^π₂

π 2

2. Hàm sốy=cosx

○ Tập xác định:D =R.

○ Tập giá trị:[−1; 1], tức là−1≤cosx≤1,∀x∈R.

○ Hàm số y=cosxlà hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trụcOylàm trục đối xứng.

○ Hàm sốy=cosxlà hàm số tuần hoàn với chu kìT = 2π, nghĩa làcos(x+k2π) =cosx, vớik∈Z.

x

Đồ thị hàm sốy=cosx y

−π −^π₂ π

π 2

3. Hàm sốy=tanx

○ Điều kiệncosx6=0⇔x6= π

2+kπ,k∈Z. Tập xác định:D =R\nπ

2 +kπ,k∈Z o

.

○ Tập giá trị:R.

○ Là hàm số lẻ.

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =π, nghĩa là tan(x+kπ) =tanx, vớik∈Z.

x y

O

−π

π

−^π₂

π 2

4. Hàm sốy=cotx

(7)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH

4

○ Điều kiệnsinx6=0⇔x6=kπ,k∈Z. Tập xác định:D=R\ {kπ,k∈Z}.

○ Tập giá trị:R.

○ Là hàm số lẻ.

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =π, nghĩa là cot(x+kπ) =cotx, vớik∈Z.

x y

O

−π

π

−^π₂

π 2

3π 2

5. Một số trường hợp đặc biệt Các trường hợp đặc biệt cho hàmy=sinx

cos sin

O

B

sinx=1⇔x= ^π₂+k2π

cos sin

O

B⁰

sinx=−1⇔x=−^π₂+k2π

cos sin

O

A A⁰

sinx=0⇔x=kπ

Các trường hợp đặc biệt cho hàmy=cosx

cos sin

O

A

cosx=1⇔x=k2π

cos sin

O

A⁰

cosx=−1⇔x=π+k2π

cos sin

O

B

B⁰

cosx=0⇔x= ^π₂+kπ

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác ta cần nhớ:

○ y=tanf(x) = sinf(x) cosf(x)

−−−−−−−−−−−−−ĐKXĐ →cosf(x)6=0⇔ f(x)6= π

2 +kπ,k∈Z.

○ y=cotf(x) =cosf(x) sinf(x)

−−−−−−−−−−−−−ĐKXĐ →sinf(x)6=0⇔ f(x)6=kπ,k∈Z.

○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp:

y= 1 P(x)

−−−−−−−−→ĐKXĐ P(x)6=0.

○ y= ²ⁿp

P(x)−−−−−−−−→^ĐKXĐ P(x)≥0.

○

(8)

y= 1

2np P(x)

−−−−−−−−→ĐKXĐ P(x)>0.

○

o

Khi tìm tập xác định, ta xem nó có mẫu không? cótan,cotkhông? có căn không?

○ Vớik∈Z, ta cần nhớ những trường hợp đặc biệt:

+sinx=1⇔x=π

2+k2π.

+sinx=−1⇔x=−π

2 +k2π.

+sinx=0⇔x=kπ.

○

+cosx=1⇔x=k2π.

+cosx=−1⇔x=π+k2π.

+cosx=0⇔x= π 2+kπ.

○

+tanx=1⇔x=π 4+kπ.

+tanx=−1⇔x=−π 4 +kπ.

+tanx=0⇔x=kπ.

○

+cotx=1⇔x= π 4+kπ.

+cotx=−1⇔x=−π 4+kπ.

+cotx=0⇔x= π 2+kπ.

○

c Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y= 2 sinx+3 cosx

a) y=1+cosx

1−cosx

b) y= 2+3 cos 2x

sinx c)

y= 1+cosx 1+sinx

d) y= sinx−3

cosx+1

e) y= 2 sinx+3

cosx+2 f)

y= 2 sinx+3 sinx−1

g) y=2 sinx−3

2 sinx+3

h) y=sinx−1

x+2. i)

y=√

3−2 cosx.

j) y=

√cosx−2 1+cosx

k) y=

…1+cosx 1−cosx l)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(9)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y=2 tanx+3

a) b) y=2 tan 2x−4 sinx y=cot

x+π

4

+1 c)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 3. Tìm tất cả các giá trị củamđể hàm số sau có tập xác địnhR. y=√

m−cosx

a) y=√

2 sinx−m

b) y= sinx−1

cosx+m c)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 4. Tìm tất cả các giá trị củamđể hàm số y=p

cos²x−(2+m)·cosx+2mcó tập xác định R.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(10)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số Bước 1. Tìm tập xác địnhD của hàm số lượng giác.

Nếu∀x∈D thì−x∈D, suy raD là tập đối xứng và chuyển sang bước tiếp theo.

Bước 2. Tính f(−x), nghĩa là ta sẽ thayxbằng−x, sẽ có hai kết quả thường gặp sau:

○ Nếu f(−x) = f(x)thì f(x)là hàm số chẵn.

○ Nếu f(−x) =−f(x)thì f(x)là hàm số lẻ.

o

^○ ^NếuD không là tập đối xứng (∃x∈D ⇒ −x6∈D) hoặc (f(−x)6= f(x)và f(−x)6=−f(x)) ta sẽ kết luận hàm số f(x)không chẵn, không lẻ.

○ Ta thường sử dụng cung góc liên kết trong dạng toán này, cụ thể

cos(−a) =cosa,sin(−a) =−sina,tan(−a) =−tana,cot(−a) =−cota.

○ Lũy thừa:sin²ⁿ(−α) =sin²ⁿα,cos²ⁿ(−α) =cos²ⁿα,tan²ⁿ(−α) =tan²ⁿα,. . .

○ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ Olàm tâm đối xứng.

c Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y= f(x) =sin

Å

2x+9π 2

ã

;

a) b) y= f(x) =tanx+cotx.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(11)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm sốy=tan⁷2x·sin 5x.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác.

Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

○ −1≤sinx≤1⇒

0≤ |sinx| ≤1

0≤sin²x≤1 hoặc−1≤cosx≤1⇒

0≤ |cosx| ≤1 0≤cos²x≤1.

○ Biến đổi về dạng:m≤y≤M.

Kết luận:maxy=Mvà miny=m.

Phương pháp:Khảo sát parabol.

Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác, ta có thể dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hàm bậc hai, sau đó khảo sát hàm này và kết luận.

Kiến thức cơ bản về parabol:

○ Đỉnh parabol(P):y=ax²+bx+clàI Å

− b 2a;− ∆

4a ã

.

○ Bảng biến thiên:

a>0 : 00 01 02

10 11 12

20 21 22

30 31 32

x −∞ − b

2a +∞

y

−∆ 4a

○ a<0 :

00 01 02

10 11 12

20 21 22

30 31 32

x −∞ − b

2a +∞

y

−∆ 4a

○

(12)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

Phương pháp:Sử dụng bất đẳng thức.

○ Bất đẳng thức Cauchy:

○ ∀a,b≥0thì a+b

2 ≥√

ab. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khia=b≥0.

○ ∀a,b,c≥0thì a+b+c 3 ≥√³

abc. Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khia=b=c≥0.

○ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

○ ∀x,y,a,b∈Rthì|ax+by| ≤p

(a²+b²) (x²+y²). Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi x a= y

b.

○ ∀x,y∈R,a,b>0thì x² a +y²

b ≥ (x+y)²

a+b . Dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi x a = y

b.

o

Trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên đoạn cho trước, ta sẽ sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền của sin hoặc cos. Sau đó thêm bớt giống phương pháp 1 hoặc bậc 2 thì sử dụng parabol.

m≥ f(x),∀x∈D ⇔m≥max

x∈D f(x).

○ m≤ f(x),∀x∈D ⇔m≤min

x∈D f(x).

○

c Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau y=2 sinx+3.

a) y=1−2sin²x

3 .

b) y=√

2+cosx−1.

c) y=4 sinxcosx+1.

d) e) y=4−3 sin²2x. f) y= (3−sinx)²+1.

y=sin⁴x+cos⁴x.

g) h) y=sin⁶x+cos⁶x.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(13)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(14)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

c Ví dụ 8. Tìmxđể hàm sốy= (sinx+3)²−1đạt giá trị nhỏ nhất.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Tìmxđể hàm sốy=1−3√

1−cos²xđạt giá trị nhỏ nhất.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau y=√

3 sinx+cosx

a) b) y=sin 2x−cos 2x c) y=3 sinx+4 cosx

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(15)

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau y=2sin²x−3 sinx+1

a) b) y=2cos²x+3 cosx−2 c) y=cos 2x−sinx+3 ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(16)

. . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy=2 cos²x−2√

3 sinxcosx+1.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốy= sinx+3 cosx+1 sinx−cosx+2 . ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tìm tập xác địnhD của hàm sốy=−tanx.

A D=R\nπ

2 +kπ,k∈Z o

. B D =R\ {kπ,k∈Z}.

C D=R\ {k2π,k∈Z}. D D =R\nπ

2 +k2π,k∈Z o

.

(17)

14

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm sốy=cotx.

A D =R\n kπ

2|k∈Z o

. B D =R\{kπ|k∈Z}.

C D =R\{k2π|k∈Z}. D D =R\nπ

2+kπ|k∈Z o

. Câu 3. Điều kiện xác định của hàm sốy= 1−3 cosx

sinx là A x6= π

2+kπ, k∈Z. B x6=k2π, k∈Z. C x6=kπ

2 , k∈Z. D x6=kπ, k∈Z. Câu 4. Với ký hiệuk∈Z, điều kiện xác định của hàm sốy=2 sinx+1

1−cosx là A x6=k2π. B x6=kπ. C x6=π

2 +kπ. D x6= π

2+k2π.

Câu 5. Với ký hiệuk∈Z, điều kiện xác định của hàm sốy=tan

2x−π 3

là A x6= π

6+kπ

2. B x6= 5π

12 +kπ. C x6=π

2 +kπ. D x6= 5π

12+kπ 2. Câu 6. Tập giá trị của hàm sốy=cosxlà tập hợp nào sau đây?

A R. B (−∞; 0]. C [0;+∞]. D [−1; 1].

Câu 7. Tập giá trị của hàm sốy=sin 2xlà

A [−2; 2]. B [0; 2]. C [−1; 1]. D [0; 1].

Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm sốy=sinxlà hàm số chẵn. B Hàm sốy=cosxlà hàm số chẵn.

C Hàm sốy=tanxlà hàm số chẵn. D Hàm sốy=cotxlà hàm số chẵn.

Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:

A y=sin²x. B y=xcos 2x. C y=xsinx. D y=cosx.

Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm sốy=tanx+cotx.

A x6=kπ,k∈Z. B x6= π

2 +kπ,k∈Z. C x6=kπ

2 ,k∈Z. D x∈R. Câu 11. Tập xác định của hàm sốy= 2 cos 3x−1

cosx+1 là

A D =R\ {π+kπ;k∈Z}. B D =R\ {k2π;k∈Z}.

C D =R\ {π

2 +kπ;k∈Z}. D D =R\ {π+k2π;k∈Z}.

Câu 12. Mệnh đề nào dưới đâysai?

A Hàm sốy=tanxtuần hoàn với chu kìπ. B Hàm sốy=cosxtuần hoàn với chu kìπ. C Hàm sốy=cotxtuần hoàn với chu kìπ. D Hàm sốy=sin 2xtuần hoàn với chu kìπ. Câu 13. Hàm sốy=sin 2xcó chu kỳ là

A T =2π. B T = π

2. C T =π. D T =4π.

Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn?

A y=sin x+π

2

. B y=cos

x+π 2

. C y=sin 2x. D y=tanx−sin 2x.

Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương ánA,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

O x

y

−π π

2π 1

−1

(18)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

A y=1+sinx. B y=1−sinx. C y=sinx. D y=cosx.

Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương ánA,B,C,D. Hỏi đó là hàm số nào?

x y

−π −π 2

π 2

O 1

A y=cosx+1. B y=2−sinx. C y=2 cosx. D y=cos²x+1.

Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốy=√

cosx+2.

A maxy=3và miny=1. B maxy=3và miny=2.

C maxy=3và miny=−2. D maxy=3và miny=−1.

Câu 18. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=√

2 sinx+3.

A maxy=√

5,miny=1. B maxy=√

5,miny=2√ 5.

C maxy=√

5,miny=2. D maxy=√

5,miny=3.

Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=1+3 sin 2x−π

4

. A miny=−2,maxy=4. B miny=2,maxy=4.

C miny=−2,maxy=3. D miny=−1,maxy=4.

Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=3−2 cos²3x.

A miny=1,maxy=2. B miny=1,maxy=3.

C miny=2,maxy=3. D miny=−1,maxy=3.

Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=1+√

2+sin 2x.

A miny=2,maxy=1+√

3. B miny=2,maxy=2+√

3.

C miny=1,maxy=1+√

3. D miny=1,maxy=2.

Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy= 4 1+2sin²x. A miny=4

3,maxy=4. B miny= 4

3,maxy=3.

C miny=4

3,maxy=2. D miny= 1

2,maxy=4.

Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=2 sin²x+cos²2x.

A maxy=4,miny= 3

4. B maxy=3,miny=2.

C maxy=4,miny=2. D maxy=3,miny=3 4.

Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=3 sinx+4 cosx+1.

A maxy=6,miny=−2. B maxy=4,miny=−4.

C maxy=6,miny=−4. D maxy=6,miny=−1.

Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sauy=3 sinx+4 cosx−1.

A miny=−6; maxy=4. B miny=−6; maxy=5.

C miny=−3; maxy=4. D miny=−6; maxy=6.

Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy=3 sinx+4 cosx−1.

A maxy=4,miny=−6. B maxy=6,miny=−8.

C maxy=6,miny=−4. D maxy=8,miny=−6.

(19)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

16

Câu 27. GọiT là tập giá trị của hàm sốy=1

2sin²x−3

4cos 2x+3. Tìm tổng các giá trị nguyên củaT.

A 4. B 6. C 7. D 3.

Câu 28. Hàm sốy=cos²x+sinx+1có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng

A 3; 1. B 1;−1. C 9

4; 0. D 9

4; 2.

Câu 29. Giá trị lớn nhất của hàm sốy=2 cos²x−sin 2x+5là A 6+√

2. B 6−√

2. C √

2. D −√

2.

Câu 30. Tìm giá trị lớn nhấtMcủa hàm sốy= sinx+2 cosx+1 sinx+cosx+2 .

A M=−2. B M=−3. C M=3. D M=1.

—HẾT—

(20)

B ÀI 2 . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trìnhsin x=a.

Trường hợpa∈ {−1; 0; 1}.

cos sin

O

B

sinx=1⇔x=^π₂+k2π

cos sin

O

B⁰

sinx=−1⇔x=−^π₂+k2π

cos sin

O

A A⁰

sinx=0⇔x=kπ

Trường hợpa∈

®

±1 2;±

√ 2 2 ;±

√3 2

´

. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi sốavề gócα hoặcβ^◦tương ứng.

¬ Công thức theo đơn vị rad:

sinx=a⇔

ñx=α+k2π

x=π−α+k2π,k∈Z

Công thức theo đơn vị độ:

sinx=a⇔

ñx=β^◦+k360^◦

x=180^◦−β^◦+k360^◦,k∈Z

sin

O

M

N a

Trường hợpa∈[−1; 1]nhưng khác các số ở trên.

sinx=a⇔

ñx=arcsina+k2π

x=π−arcsina+k2π,k∈Z

Công thức mở rộng cho hai hàm f(x)vàg(x)

sin[f(x)] =sin[g(x)]⇔

ñf(x) =g(x) +k2π

f(x) =π−g(x) +k2π,k∈Z

2. Phương trìnhcosx=a.

Trường hợpa∈ {−1; 0; 1}.

(21)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 18

cos sin

O

A

cosx=1⇔x=k2π

cos sin

A⁰ O

cosx=−1⇔x=π+k2π

O cos

B

B⁰

cosx=0⇔x= ^π₂+kπ

Trường hợpa∈

®

±1 2;±

√2 2 ;±

√3 2

´

. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi sốavề gócα hoặcβ^◦tương ứng.

cosx=a⇔

ñx=α+k2π

x=−α+k2π,k∈Z

cosx=a⇔

ñx=β^◦+k360^◦

x=−β^◦+k360^◦,k∈Z

cos O

M

N a

Trường hợpa∈[−1; 1]nhưng khác các số ở trên.

cosx=a⇔

ñx=arccosa+k2π

x=−arccosa+k2π ,k∈Z

Công thức mở rộng cho hai hàm f(x)vàg(x)

cos[f(x)] =cos[g(x)]⇔

ñf(x) =g(x) +k2π

f(x) =−g(x) +k2π,k∈Z

3. Phương trìnhtan x=a.

Trường hợpa∈

® 0;±

√3

3 ;±1;±√ 3

´

. Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi sốavề gócα hoặcβ^◦tương ứng.

(22)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

tanx=a⇔x=α+kπ,k∈Z

tanx=a⇔x=β^◦+k180^◦,k∈Z

O

tang

M

N a

Trường hợpakhác các số ở trên thì

tanx=a⇔x=arctana+kπ,k∈Z.

4. Phương Trìnhcot x=a Trường hợpa∈

®

±

√3

3 ;±1;±√ 3

´

. Ta bấm máy SHIFT tan 1

a để đổi sốavề gócα hoặcβ^◦tương ứng. Riênga=0thìα = π

2

cotx=a⇔x=α+kπ,k∈Z

cotx=a⇔x=β^◦+k180^◦,k∈Z

O

cotang

M

N

a

Trường hợpakhác các số ở trên thì

cotx=a⇔x=arccota+kπ,k∈Z.

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản

• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem sốaquy đổi về góc "đẹp" hay xấu;

• Chọn và ráp công thức nghiệm.

c Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

sin 3x=−

√3

a) 2 2 sinπ

5 −x

=1

b) c) 2 sin(x−45^◦)−1=0

(23)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

cos Å

x−2π 3

ã

=1

d) √

2 cos 2x−1=0

e) f) 3 cosx−1=0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 2. Giải các phương trình sau:

tan 3x=−

√3

a) 3 √

3 tan π

6−x

=1

b) c) tan(x−45^◦)−1=0

sinx−√

3 cosx=0

d) √

3 cotx−1=0

e) f) (tanx−2)(cotx+1) =0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(24)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 3 (A.2014). Giải phương trìnhsinx+4 cosx=2+sin 2x ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng

• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau sinu=sinv

¬ cosu=cosv ® tanu=tanv ¯ cotu=cotv

• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau:

−sinx=sin(−x).

¬ −cosx=cos(π−x).

sinx=cos π

2−x

® . cosx=sin

π 2−x

¯ .

sin 3x=sin 2x

a) b) sin 2x−sinx=0 c) sin 5x+sinx=0

cos 2x−cosx=0

d) e) cos 8x+cosx=0 f) cos 4x−sinx=0

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(25)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 5 (B.2013). Giải phương trìnhsin 5x+2 cos²x=1 ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định

cosx 1−sinx =0

a) cos²x−sin²x

√2−sinx =0

b) c) tanx(1−2 sin²x) =0

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(26)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Giải phương trìnhtan

2x+π 6

+tan

π 3−x

=0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 8. Giải phương trình

cotx

3−1 cotx 2+1

=0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 9. Giải phương trình sin 2x+2 cosx−sinx−1

√3+tanx =0 ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(27)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

| Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a;b) cho trước

¬ Giải phương trình, tìm các họ nghiệmx=α+kπ

Vìx∈(a;b)nêna<α+kπ <b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" củak.

® Kết hợp vớik∈Z, ta chọn các giá trịknguyên nằm trong khoảng vừa tìm được.

¯ Với mỗi giá trịk, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng.

cVí dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

√3 tanx−3=0trên(0,3π).

a) √

2 sin(x−1) =−1trên Å

−7π 2 ,π

2 ã

. b)

2 cos 3x−π

3

−1=0trên(−π,π).

c) tan(3x+2)−√

3=0trên

−π 2,π

2

. d)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(28)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11. Giải phương trình3−√ 3 tan

2x−π 3

=0với −π

4 <x<2π 3 . ÊLời giải.

(29)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 12. Giải phương trìnhtan(x+30^◦) +1=0với−90^◦<x<360^◦. ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . .

cVí dụ 13. Tìmx∈(−π;π)sao chosin x−π

3

+2 cos x+π

6

=0.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Vớik∈Zthì phương trình2 sin(x+60^◦) =√

3có nghiệm là

A x=k.180⁰;x=60⁰+k.180⁰. B x=k.360⁰;x=−120⁰+k.360⁰. C x=k.360⁰;x=60⁰+k.360⁰. D x=−30⁰+k.360⁰;x=90⁰+k.360⁰. Câu 2. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trìnhsinx=0?

A tanx=0. B cosx=−1. C cotx=1. D cosx=1.

Câu 3. Tìmmđể phương trìnhcos 2x=1−mcó nghiệm.

A −16m63. B 06m62. C m62. D m>0.

Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A sinx= 1

2. B tanx=√

3. C sinx=3. D cosx=−1

2. Câu 5. Phương trìnhsinx=mvô nghiệm khi và chỉ khi

(30)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

A m>1. B m<−1. C −1≤m≤1. D

ñm<−1 m>1.

Câu 6. Nghiệm của phương trìnhsinx=−1là A x=−π

2+kπ,k∈Z. B x=kπ,k∈Z.

C x= 3π

2 +kπ,k∈Z. D x=−π

2+k2π,k∈Z. Câu 7. Tìm nghiệm của phương trìnhcot

x−π 3

=

√3 3 . A x=π

3 +kπ,k∈Z. B x= 2π

3 +kπ,k∈Z. C x= π

3+k2π,k∈Z. D x=kπ,k∈Z. Câu 8. Phương trìnhcosx=−

√3

2 có tập nghiệm là A

ß

x=±5π

6 +k2π;k∈Z

™

. B n

x=±π

3+kπ;k∈Z o

. C n

x=±π

3+k2π;k∈Z o

. D n

x=±π

6+kπ;k∈Z o

. Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trìnhsin 3x=

√ 3 2 . A





 x=π

9+k2π

3 , k∈Z x=2π

9 +k2π

3 , k∈Z

. B





 x= π

9+k2π, k∈Z x= 2π

9 +k2π, k∈Z .

C





 x=π

9+kπ

3 , k∈Z x=2π

9 +kπ

3 , k∈Z

. D





 x= π

3+k2π

3 , k∈Z x= 2π

3 +k2π

3 , k∈Z .

Câu 10. Nghiệm của phương trình2 sinx+1=0là A x= 11π

6 +k2πvàx= −π

6 +k2π. B x= π

6+k2π vàx= −7π

6 +k2π.

C x= −π

6 +kπ vàx=7π

6 +kπ. D x= −π

6 +k2π vàx=7π

6 +k2π.

Câu 11. Phương trìnhsinx−cosx=1có một nghiệm là A −π

2. B π

4. C 2π

3 . D π.

Câu 12. Tập nghiệm của phương trìnhsin 2x=1là A nπ

4+2kπ,k∈Z o

. B nπ

4+kπ,k∈Z o

. C {kπ,k∈Z}. D nπ

2 +2kπ,k∈Z o

. Câu 13. Phương trìnhsinx= 2

3 có số nghiệm thuộc(−π;π)

A 1. B 3. C 2. D 4.

Câu 14. Cho phương trìnhsin 2x=

√3

2 . Gọinlà số các nghiệm của phương trình trong đoạn[0; 3π]thì giá trị củanlà

A n=8. B n=5. C n=6. D n=2.

Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trìnhsinx−cosx=0.

A x=±π

4+k2π(k∈Z). B x= π

4+k2π;x= 5π

4 +k2π (k∈Z).

C x= π

4+k2π(k∈Z). D x= 5π

4 +k2π(k∈Z).

(31)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình cos 2x=−1

2. A nπ

3,π 3,π

3 o

; nπ

4,π 4,π

2 o

. B nπ

3,π 3,π

3 o

; ß2π

3 ,π 6,π

6

™ . C

ß2π 3 ,π

6,π 6

™

. D nπ

3,π 3,π

3 o

. Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm:cos 2x= m

2.

A m≤1. B −1≤m≤1. C −2≤m≤2. D m≤ −1hoặcm≥1.

Câu 18. Số nghiệm của phương trình2 cos x−π

2

=1trong khoảng(0;π)là

A 4. B 1. C 2. D 3.

Câu 19. Phương trình2 cosx−1=0có nghiệm là A x=±π

6+k2π,k∈Z. B x=±π

3 +kπ,k∈Z. C x=±π

6+2π,k∈Z. D x=±π

3 +k2π,k∈Z. Câu 20. Tập nghiệm của phương trìnhcos 2x=−1là

A −kπ,k∈Z. B n

−π

4 +kπ,k∈Z o

. C n

−π

2+k2π,k∈Z o

. D {90^◦+k180^◦,k∈Z}.

Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin

2x+π 3

= 1

2 trên đường tròn lượng giác là

A 4. B 6. C 1. D 2.

Câu 22. Phương trìnhcosx

2=−1có tập nghiệm là

A {2π+k4π|k∈Z}. B {π+k2π|k∈Z}. C {k4π|k∈Z}. D {k2π|k∈Z}.

Câu 23. Nghiệm của phương trìnhsin⁴x−cos⁴x=0là

A x=π+k2π. B x=kπ. C x=π

2 +kπ. D x= π

4+kπ 2. Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trìnhsinx.cosx.cos 2x=0.

A kπ

2 (k∈Z). B kπ(k∈Z). C kπ

4 (k∈Z). D kπ

8 (k∈Z).

Câu 25. Tính tổng các nghiệmx∈[0; 2018π]của phương trìnhsin 2x=1.

A S= 4071315π

2 . B S= 4071315π

4 . C S=8141621π

2 . D S= 8141621π

4 .

Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng(−π;π)của phương trìnhcosx+sin 2x=0

A 1. B 4. C 2. D 3.

Câu 27. Phương trìnhsin 5x−sinx=0có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn[−2018π; 2018π]?

A 16145. B 20181. C 20179. D 16144.

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham sốmđể phương trìnhcos²πx=m²−9có nghiệm.

A 5. B 2. C 1. D 3.

—HẾT—

(32)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

B ÀI 3 . MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình

a·sinx+b=0

¬ a·cosx+b=0

a·tanx+b=0

® ¯ a·cotx+b=0

L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản.

a·sinx+b=0⇔sinx=−b

¬ a a·cosx+b=0⇔cosx=−b

a a·tanx+b=0⇔tanx=−b

® a a·cotx+b=0⇔cotx=−b

¯ a

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx L Dạng phương trình

• asinx±bcosx=c (1).

• Điều kiện có nghiệma²+b²≥c².

L Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho√

a²+b². Khi đó (1) ⇔ a

√

a²+b²sinx± b

√

a²+b²cosx= c

√

a²+b²

⇔ cosφ·sinx±sinφ·cosx= c

√

a²+b²

⇔ sin(x±φ) = c

√a²+b² (2), với cosφ = a

√a²+b² và sinφ = b

√a²+b².

Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước.

Chú ý hai công thức sau:

• sinacosb±cosasinb=sin(a±b).

• cosacosb±sinasinb=cos(a∓b).

3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác L Dạng phương trình

(33)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 30

a·sin²x+b·sinx+c=0

¬ a·cos²x+b·cosx+c=0 a·tan²x+b·tanx+c=0

® ¯ a·cot²x+b·cotx+c=0

L Phương pháp giải

• Đặt ẩn phụt, chuyển phương trình về ẩnt.

• Bấm máy, tìm nghiệmt. Sau đó, giải tìmx.

• Chú ý với phương trình số¬vàthì−1≤t≤1.

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

2 sinx+1=0;

a) √

2 cosx−1=0;

b) tanx+√

3=0;

c) √

3 cotx−1=0.

d) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(34)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 sin

x−π 6

+1=0.

a) √

2 cos

3x−π 4

−1=0.

b) tan

π 3−x

+√

3=0.

c) √

3 cot

x+π 6

+3=0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(35)

cVí dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình2 sin 2x−1=0trong đoạn[−2π; 2π].

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 4. Giải phương trình(2 cosx−1) (sinx+cosx) =sin 2x−sinx.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(36)

Bài 1. Giải các phương trình sau 2 cos 2x+√

3=0.

a) b) 2 sin 3x+1=0

2 cos 2x−√ 2=0.

c) 3−2√

3 cos x+π

4

=0.

d) 2 cos

x−π

6

+1=0.

e) 2√

2 sin Å

x+2π 5

ã

=√ 6.

f) 3 sin(x−1) +2=0.

g) √

3 tanπ 6−2x

+1=0.

h) (cos 2x+√

2)(cot 3x−1) =0.

i) 2−2√

3 tan

x+π 3

=0.

j)

Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

√3 tanx−3=0trên(0,3π).

a) √

2 sin(x−1) =−1trên Å

−7π 2 ;π

2 ã

. b)

Bài 3. Giải phương trình2 sin²2x+sin 7x−1=sinx.

Bài 4. Giải phương trình(cosx−sinx)sinxcosx=cosxcos 2x.

Bài 5. Giải phương trình(2 sinx−cosx)(1+cosx) =sin²x.

| Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

c Ví dụ 5. Giải các phương trình sau 3 sin²x−5 sinx+2=0;

a) b) 4 cos²x−4 cosx−3=0.

3 sin²2x+7 cos 2x−3=0;

c) √

3 tan²x−2 tanx+√ 3=0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(37)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 6. Giải các phương trình sau cos 2x+cosx+1=0;

a) b) 6 sin²3x+cos 12x=−2;

cos 4x+6=7 cos 2x;

c) d) 7 tanx+4 cotx=11.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(38)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 7. Giải các phương trình sau 1−Ä

2+√ 2ä

sinx+ 2√ 2

1+cot²x =0;

a) tan²x− 5

cosx+7=0.

b) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(39)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cVí dụ 8. Giải các phương trình sau cos 2x+3 cot 2x+sin 4x

cot 2x−cos 2x =2;

a) 4 sin²2x+6 sin²x−9−3 cos 2x

cosx =0.

b) ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(40)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 6. Giải các phương trình sau cos²x+cosx−2=0;

a) b) 2 sin²x−5 sinx+2=0;

6 cos²x+5 sinx−7=0;

c) 3 tan²x−2√

3 tanx+1=0.

d) Bài 7. Giải các phương trình sau:

2 tanx+cotx−3=0

a) b) 5 sinx−2=3(1−sinx)tan²x;

2 cos 2x.cosx=1+cos 2x+cos 3x;

c) cos 2x+cosx=4 sin²x

2 −1 d)

Bài 8. Tìm nghiệmx∈(0; 10π)của phương trình

√3

cos²x−tanx−2√

3=sinx

1+tanx.tanx 2

.

| Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

sinx+√

3 cosx=1;

a) √

3 sin 2x−cos 2x=2;

b) sin 2x−√

3 cos 2x=2;

c) d) 3 sinx+cosx=2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(41)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(42)

. . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 10. Tìm các nghiệmx∈ Å2π

5 ;6π 7

ã

của phương trìnhcos 7x−√

3 sin 7x=−√ 2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Ví dụ 11 (D.2007). Giải phương trình sinx

2+cosx 2

2

+√

3 cosx=2.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(43)

. . . . . . . . . . . .

cVí dụ 12. Giải phương trình (1−2 sinx)cosx

(1+2 sinx)(1−sinx)=√ 3.

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bài 9. Giải các phương trình sau:

cosx−√

3 sinx=1

a) √

3 sinx+cosx=√ 2 b)

√3 cosx−sinx=0

c) sin 3x−√

3 cos 3x=2 sin 4x d)

Bài 10. Giải các phương trình sau cos(π−2x)−cos

2x+π 2

=√ 2;

a)

√3 cos 2x+sin 2x+2 sin

2x−π 6

=2√ 2;

b)

sinx−√

2 cos 3x=√

3 cosx+√

2 sin 3x;

c)

cos 7xcos 5x−√

3 sin 2x=−sin 5xsin 7x.

d)

(44)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường

sinx−√

3 cosx=2 sin 5x a)

√3 sin 2x+2sin²x=2 b)

√3 cos 5x−2 sin 3xcos 2x−sinx=0 c)

cos 7xcos 5x−√

3 sin 2x=1−sin 7xsin 5x d)

sinx+cosxsin 2x+√

3 cos 3x=2 cos 4x+sin³x e)

tanx−3 cotx=4Ä

sinx+√

3 cosxä f)

Bài 12. Giải phương trình2 sin(x+π

6) +sinx+2 cosx=3.

Bài 13. Giải phương trình(sin 2x+cos 2x)cosx+2 cos 2x−sinx=0.

Bài 14. Giải phương trìnhsin 2x−cos 2x+3 sinx−cosx−1=0.

| Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

L Dạng phương trình

• asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0

• Tổng quát:asin²x+bsinxcosx+ccos²x=d L Phương pháp giải

• Trường hợp 1. Xétcosx=0, khi đósinx=±1. Ta thay trực tiếp vào phương trình

— Nếu thỏa mãn, suy rax=π

2+kπlà nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2.

— Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2.

• Trường hợp 2. Xétcosx6=0, chia 2 vế phương trình chocos²xta đưa phương trình đang xét về dạng phương trình bậc hai theotanx.

• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp.

Chú ý công thức sinx

cosx =tanx.

¬ sin 2x=2 sinxcosx 1

cos²x =tan²x+1

®

2cos²x−3 sinx.cosx+sin²x=0

a) b) sin²x−sin 2x−3cos²x+2=0

4sin²x+3√

3 sin 2x−2cos²x=4

c) d) 4cos²x+sin 2x−3=0

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . .

(45)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(46)

. . . .

2sin²x+Ä 3+√

3ä

sinxcosx+Ä√

3−1ä

cos²x=−1 a)

sin²x+sin 2x−2cos²x= 1 b) 2

4sin²x+3√

3 sin 2x−2cos²x=4 c)

sin²x+√

3 sinxcosx+2cos²x= 3+√ 2 d) 2

2sin²x−5 sinxcosx−cos²x=−2 e)

3sin²x+8 sinxcosx+Ä 8√

3−9ä

cos²x=0 f)

| Dạng 5. Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx · cosx L Dạng phương trình

• a(sinx+cosx) +bsinxcosx+c=0.

• a(sinx−cosx) +bsinxcosx+c=0.

L Phương pháp giải:

• Đặtt=sinx±cosx

• Tínht²= (sinx±cosx)²=1±2 sinx·cosx. Từ đây ta tính đượcsinx·cosx.

• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩnt. Giải tìmt, sau đó tìmx.

Chú ý

Điều kiện củat là−√

2≤t≤√

¬ 2. sinx±cosx=√

2 sin

x±π 4

.

c Ví dụ 14. Giải các phương trình sinxcosx+2(sinx+cosx) =2

a) b) sinx−cosx+4 sinxcosx+1=0

4√

2(sinx+cosx) +3 sin 2x−11=0

c) sin 2x+√

2 sin

x−π 4

=1 d)

ÊLời giải.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(47)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(48)

. . . . . . . . . . . . . . . .

Bài 16. Giải các phương trình sinx−cosx+7 sin 2x=1

a) b) cotx−tanx=sinx+cosx

sinx+cosx+ 1

sinx+ 1

cosx = 10

c) 3 1+sin³x+cos³x= 3

2sin 2x d)

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Phương trình2 sinx−√

3=0có các nghiệm là A





 x=π

3+k2π x=−π

3+k2π

,k∈Z. B





 x= π

3+k2π x= 2π

3 +k2π

,k∈Z.

C





 x=π

3+k2π x=−π

3+k2π

,k∈Z. D





 x= π

3+kπ x= 2π

3 +kπ

,k∈Z. Câu 2. Cho phương trìnhsinx−(m+1)cosx=2. Tìmmđể phương trình có nghiệm.

A m∈[0;−2]. B m∈Ä

−∞;−1−√ 3ó

∪î

−1+√

3;+∞ä . C m∈(−∞;−2]∪[0;+∞). D m∈î

−1−√

3;−1+√ 3ó

. Câu 3. Giải phương trình2 cosx−1=0.

A x=±π

3+k2π,k∈Z. B x=±π

6+k2π,k∈Z. C x= π

3+k2π,k∈Z. D x=±π

3+2π,k∈Z. Câu 4. Nghiệm của phương trìnhcot 3x=−1là

A x= π

12+kπ vớik∈Z. B x=−π

12+kπvớik∈Z. C x= π

12+kπ

3 vớik∈Z. D x=−π

12+kπ

3 vớik∈Z. Câu 5. Nghiệm của phương trìnhsin 2x=1là

A x=π

4 +k2π. B x= π

4+kπ. C x= kπ

2 . D x=π

2 +k2π.

Câu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình msinx−3 cosx=5có nghiệm làm∈(−∞;a]∪[b;+∞) với a,b∈Z. Tínha+b.

A −4. B 4. C 0. D 8.

Câu 7. Giải phương trìnhsin 2x=1.

A x= kπ

2 , vớik∈Z. B x= π

2+k2π, vớik∈Z. C x= π

4+kπ, vớik∈Z. D x= π

4+k2π, vớik∈Z. Câu 8. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?

A tanx=π. B sinx= π

4. C sinx+cosx=2. D cosx= 2017 2018.

(49)

Gv Ths: Phạm Hùng Hải

Câu 9. Nghiệm của phương trìnhsin 3x=cosxlà A x=±π

4+k2π;k∈Z. B x= π

8 +kπ

2 ,x= π

4 +kπ;k∈Z. C x= π

4−kπ;k∈Z. D x= π

8 +kπ;k∈Z.

Câu 10. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trìnhsin 2x−cosx=0trên đường tròn lượng giác.

A 1. B 4. C 3. D 2.

Câu 11. Gọix₀là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình3 sin²x+2 sinxcosx−cos²x=0. Chọn khẳng định đúng.

A x₀∈ 0;π

2

. B x₀∈

Å3π 2 ; 2π

ã

. C x₀∈π 2;π

. D x₀∈

Å π;3π

2 ã

. Câu 12. Nghiệm của phương trình2 sin

4x−π

3

−1=0là A





x=k2π x= π

2+k2π (k∈Z). B

ñx=kπ

x=π+k2π (k∈Z).

C





x=π+k2π x=kπ

2

(k∈Z). D





 x= π

8 +kπ 2 x= 7π

24 +kπ 2

(k∈Z).

Câu 13. Phương trình2 sinx−1=0có bao nhiêu nghiệmx∈(0; 2π)?