Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Nguyễn Bảo Vương

(1)

Chương i.

hàm số lượng giác và

phương trình lượng giác .

Nguyễn bảo vương

TàI LIệU Có ĐáP áN Và Hdg

(2)

Soỏ 17. Hoaứng Vaờn Thuù. TT. Chử Seõ. Gia Lai https://www.facebook.com/phong.baovuong

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang1

BàI 1. HàM Số Lượng giác

a. kiến thức cần nhớ.

 Hàm số sin: y sinx

Tớnh chất:

•Tập xỏc định .

•Tập giỏ trị: 1;1 ,cú nghĩa là  1 sinx   1, x .

•Hàm số tuần hoàn với chu kỡ 2, cú nghĩa ^sin



^x ^^k²^



^^sin^x^với^k ^^^.

•Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng 2 ; 2

2 k 2 k

 

 

   

 

  và nghịch biến trờn mỗi

khoảng 2 ;3 2

2 k 2 k

 

 

   

 

 ,k .

•y sinxlà hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tõm đối xứng (Hỡnh 1).

Hỡnh 1.

•Một số giỏ trị đặc biệt:

sinx  0 x k,(k )

sin 1 2 ,( )

x x 2 k k



    

sin 1 2 ,( )

x      x 2 k  k

 Hàm số cụsin: y cosx

Tớnh chất:

•Tập xỏc định .

•Tập giỏ trị: 1;1 ,cú nghĩa là  1 cosx   1, x .

•Hàm số tuần hoàn với chu kỡ 2, cú nghĩa ^cos



^x^^k²^



^^cos^x^với^k ^^^.

•Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng



^{ }^ ^k^{2 ; 2}^^k ^



và nghịch biến trờn mỗi khoảng



^k^{2 ;}^{ }^^k²^



^,^k ^^^.

•y cosx là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hỡnh 2).

O x

y

-3π 2

-π 2

3π 2 π

-1 2 1

3π 2π

-3π -2π -π π

f x( ) = sin x( )

(3)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang2 Hỡnh 2.

•Một số giỏ trị đặc biệt:

cos 0 ,( )

x x 2 k k



     cosx  1 x k2 ,( k ). cosx   1 x k2 ,( k ).

 Hàm số tang: sin

tan cos

y x x

  x

Tớnh chất:

•Tập xỏc định: \

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

 

•Tõp giỏ trị là  .

•Hàm số tuần hoàn với chu kỡ , cú nghĩa ^tan



^x^^k^



^^{tan ,(}^{x k}^^⁾^.

•Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ^^^__^{ }^₂ ^k^^;₂^^^k^^^__^,



^k ^



  .

•y tanx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng và nhận

mỗi đường thẳng ,

x 2 k k



   làm đường tiệm cận.(Hỡnh 3)

Hỡnh 3.

•Một số giỏ trị đặc biệt :

tanx  0 x k k, 

1

-1 O y

-3π x

2 -π

2

3π 2 π

2

3π 2π

π -π

-2π -3π

f x( ) = cos x( )

-3π

2 -π

2

3π 2 π

2

-π π 2π

-2π

O y

x f x( ) = tan x( )

(4)

tan 1 ,

x x 4 k k



    .

tan 1 ,

x      x 4 k k .

 Hàm số cotang: cos cot sin y x x

  x .

Tớnh chất:

•Tập xỏc định: ^^{\ k k}



^{ }^



^.

•Tập giỏ trị: .

•Hàm số tuần hoàn với chu kỡ , cú nghĩa ^cot



^x ^^k^



^^{cot ,(}^{x k} ^^⁾^.

•Hàm số nghịch biến trờn mỗi khoảng



^k^{ }^; ^^k^



^,^k ^^^.

•y cotx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tõm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng x k k, làm đường tiệm cận (Hỡnh 4).

Hỡnh 4

•Một số giỏ trị đặc biệt :

cot 0 ,

x   x 2k k .

cot 1 ,

x   x 4k k .

cot 1 ,

x x 4 k k



      .

ii. các dạng toán thường gặp và phương pháp giải.

Daùng toaựn 1: Tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa haứm soỏ.





Phương phỏp giải:

Khi tỡm tập xỏc định của hàm số, ta cần chỳ ý:

• Cỏc hàm số y sin ,x ycosx xỏc định trờn .

3π 2 π

-π 2 -3π 2

2-π π 2π

-2π

f(x)=cotan(x)

O y

x

(5)

• Hàm số

 

y P x

Q x xỏc định khi ^{Q x}

 

^^0. Từ đú suy ra:

- Hàm số y tanx xỏc định khi cosx 0.

- Hàm số y cotx xỏc định khi sinx 0.

• Hàm số ^y ^ ^{f x}

 

xỏc định khi ^{f x}

 

^^0.

Vớ dụ 1. Tỡm tập xỏc định D của hàm số sin ₂2 sin .cos y x

x x

 

A. \ , .

2

D  k k  B. \ , . D  2k k 

C. \ 2 , .

D  2 k k  D. ^D^ ^^\



^{k k}^^, ^^



^.

Vớ dụ 2. Tỡm tập xỏc định của hàm số 2 cos 3

sin 1

y x

x

 

 ^.

A. \ , .

D 2 k k

  

 

    B. \ 2 , .

D 2 k k

  

 

   

C. D  . D. \ 2 , .

D  2 k k 



Áp dụng làm cỏc bài tập sau:

Cõu 1. Hàm số cos

2 sin 3

y x

 x

 cú tập xỏc định là:

A. \ 2 , .

3 k k

 

 

 

   

 

 

 

  B. \ , .

6 k k

 

 

 

   

 

 

 

 

C. 5

\ 2 , 2 , .

6 k 6 k k

 

 

 

    

 

 

 

  D. 2

\ 2 , 2 , .

3 k 3 k k

 

 

 

    

 

 

 

 

Cõu 2. Hàm số tan

2 4

y  x  cú tập xỏc định là:

A. \ 2 , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

  B. \ , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

 

C. 3

\ 2 , .

2 k k

  

 

   

 

 

 

  D. .

Cõu 3. Tập xỏc định của hàm số cot 2 2 y   x3 ^là:

A. \ , .

6 k k

 

 

 

   

 

 

 

  B. \ 2 , .

6 k k

 

 

 

   

 

 

 

 

C. 5

\ , .

12 2

k k

 

 

 

   

 

 

 

  C. \ , .

6 2

k k

 

 

 

   

 

 

 

 

(6)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang5 Cõu 4. Hàm số 1 cos

1 sin y x

x

 

 cú tập xỏc định là:

A. ^^\



^{k k}^^, ^^



^. ^B. ^\^^^^_^₂ ^^{k k}^^, ^ ^^^^_^.

 

 

 

C. \ 2 , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

  D. \ , .

2 k k

 

 

  

 

 

 

 

Cõu 5. Cho hàm số sin 1 tan y x

 x

 và k . Khoảng nào dưới đõy khụng nằm trong tập xỏc định của hàm số?

A. 2 ; 2 .

2 k 2 k

   

 

   

 

  B. 2 ;3 2 .

k 2 k

  

 

   

 

 

C. 3 3

2 ; 2 .

4 k 2 k

 

 

   

 

  ^D.

2 ;3 2 .

2 k 4 k

 

 

   

 

 

Cõu 6. Hàm số cos 1 3 sin y x

x

 

 cú tập xỏc định là:

A. . B. ^^\



^k^{2 ,}^^k ^^



^.^C.



^k^{2 ,}^^k ^^



^. ^D.^^.

 Đỏp ỏn: 1D 2C 3D 4C 5A 6C

Daùng toaựn 2: Xaực ủũnh tớnh chaỹn, leỷ cuỷa haứm soỏ.





Khi xỏc định tớnh chẵn, lẻ của hàm số ^y ^ ^{f x}

 

ta thực hiện cỏc bước sau:

Bước 1. Tỡm tập xỏc định D của hàm số.

• Nếu D khụng là tập đối xứng, nghĩa là  x D sao cho  x D thỡ ta kết luận ngay hàm số

 

y  f x khụng, chẵn, khụng lẻ.

• Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện bước 2.

Bước 2.

• Nếu ^f

 

^{ }^x ^{f x}

 

^{với mọi}^x ^^D thỡ hàm số ^y ^^{f x}

 

là hàm số chẵn.

• Nếu ^f

 

^{  }^x ^{f x}

 

^{với mọi}^x ^^D thỡ hàm số ^y ^ ^{f x}

 

là hàm số lẻ.

• Nếu  x D mà ^f

 

^{ }^x ^{f x}

 

^hoặc^f

 

^{  }^x ^{f x}

 

thỡ hàm số ^y ^^{f x}

 

là hàm số khụng chẵn (khụng lẻ).

Chỳ ý: Khi xỏc định tớnh chẵn, lẻ của hàm số lượng giỏc ta cần lưu ý:

• ^{ }^x ^^{, sin}

 

^{  }^x ^{sin .}^x ^•^{ }^x ^^{, cos}

 

^{ }^x ^{cos .}^x

• ^{ }^x ^\^^^^₂ ^^{k k}^^, ^^^^^{, tan}

 

^{  }^x ^{tan .}^x •^{ }^x ^^\



^{k k}^^, ^^



^{, cot}

 

^{  }^x ^{cot .}^x

Vớ dụ 3. Hàm số nào sau đõy khụng phải là hàm số lẻ?

A. y sin .x B. y cos .x C. y  tan .x D. y cot .x Vớ dụ 4. Hàm số y sin . cosx x là:

(7)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang6 A. Hàm số khụng cú tớnh chẵn, lẻ. B. Hàm chẵn.

C. Hàm cú giỏ trị lớn nhất bằng 1. D. Hàm lẻ.



Cõu 7. Hàm số y sin .cos 2x xlà:

A. Hàm chẵn. B. Hàm khụng cú tớnh chẵn, lẻ.

C. Hàm khụng cú tớnh tuần hoàn. D. Hàm lẻ.

Cõu 8. Hàm số tan 3₃ sin y x

 x thỏa món tớnh chất nào sau đõy?

A. Hàm chẵn. B. Hàm khụng cú tớnh chẵn , lẻ.

C. Xỏc định trờn . D. Hàm lẻ.

Cõu 9. Trong cỏc hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y sin .²x B. y sin .cos .²x x C. tan cos . y x

 x D. cos sin . y x

 x Cõu 10. Trong cỏc hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. tan 2₂ tan 1. y x

 x

 ^B.y sin .cos 2 .x x C. y cos sin .x ^x D. y cos sin .x ³x Cõu 11. Trong cỏc hàm số sau, hàm số nào khụng là hàm chẵn và cũng khụng là hàm lẻ?

A. 1

tan .

y x sin

  x B. 2 sin .

y  x4 C. y sinx tan .x D. y sin⁴xcos .⁴x

 Đỏp ỏn 7D 8A 9C 10C 11B

Daùng toaựn 3: Tỡm giaự trũ lụựn nhaỏt, giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa haứm soỏ.





Để tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giỏc, ta biến đổi hàm số đó cho về dạng y  a bsint hoặc y  a bcos .t

Và sử dụng kết quả:  1 sint   1, 1 cost1.

Vớ dụ 5. Hàm số y 2 sin cosx x cos 2x cú giỏ trị lớn nhất là:

A. 3. B.2 2. C.2. D. 2.

Vớ dụ 6. Hàm số ^y ^



^sin^x^^cos^x



²^^{cos 2}^x cú giỏ trị nhỏ nhất là:

A. 1. B. 1 2. C. 0. D. 1 2.



Cõu 12. Hàm số ^y ^



^sin^x ^^cos^x



²^^{cos 2}^x cú giỏ trị lớn nhất là:

A. 1 2. B. 3. C.5. D. 2.

Cõu 13. Hàm số y  3 sinxcosx cú giỏ trị nhỏ nhất là:

A. 1 3. B.  3. C.2. D. 1 3.

Cõu 14. Cho hàm số cos 1

cos 2

y x

x

 

 . Mệnh đề nào trong số cỏc mệnh đề sau là sai?

A. Tập xỏc định của hàm số là .

(8)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang7 B. Hàm số cú giỏ trị lớn nhất bằng 0.

C. Hàm số cú giỏ trị nhỏ nhất bằng 2.

D. Hàm số tuần hoàn với chu kỡ T 2.

Cõu 15. Hàm số nào sau đõy cú giỏ trị lớn nhất bằng 2.

A. y tanxcot .x B. y 2 tan .x C. ^y ^ ^{2 cos}



^x^^sin^x



^. ^D.^y ^^{sin 2}^^^__ ^x^₄^^^__^.

 Cõu 16. Giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y  3 4 sin²xcos²x là:

A. 1. B. 2. C.1. D.3.

Đỏp ỏn 12A 13C 14D 15C 16B

Daùng toaựn 4: Tỡm chu kỡ cuỷa haứm soỏ lửụùng giaực.





Khi tỡm chu kỡ của hàm số lượng giỏc ta cần lưu ý rằng:

• Hàm số y sin ,x ycosx cú chu kỡ T 2 .

• Hàm số y tan ,x ycotx cú chu kỡ T .

• Hàm số ^y ^^sin



^ax^^{b y}



^, ^^cos



^ax^^{b a}



^, ^⁰ cú chu kỡ 2 .

T a

 

• Hàm số ^y ^^tan



^ax^^{b y}



^, ^^tan



^ax^^{b a}



^, ^⁰ cú chu kỡ T . a

 

• Nếu hàm số f₁ cú chu kỡ là T₁, f₂ cú chu kỡ là T₂ thỡ hàm số f  f₁f₂ cú chu kỡ Tvới T là số nhỏ nhất sao cho T kT₁lT k l₂ : , ^*.

Vớ dụ 7. Hàm số y 2 cos²x1 là hàm tuần hoàn với chu kỡ:

A. T . B.T 2 . C. T ². D. . T 2



Vớ dụ 8. Hàm số sin cos

2 3

y  x x là hàm tuần hoàn với chu kỡ:

A. T . B.T 2 . C. T 3 . D. T 6 .



Cõu 17. Hàm số y  1cos 2x cú chu kỡ là:

A. T 2 . B.T  2 . C. T . D. T  . Cõu 18. Hai hàm số nào sau đõy cú chu kỡ khỏc nhau?

A. cos 2

x và sin . 2

x B. sin x và tan .x C. cos x và cot . 2

x D. tan 2x và cot2 .x

Cõu 19. Chu kỡ của hàm số 2 sin 2 3 cos 2

3 4

y   x   x^là:

A. T 2 . B.T . C. .

T  2 D. T 4 . Cõu 20. Chu kỡ hàm số y sin 2x2 cos 3x là:

(9)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang8 A. T 2 . B.T . C. 2

3 .

T 

 D. .

T 3





^{Đỏp ỏn} ^17C ^18B ^19B ^20A

Daùng toaựn 5: Xaực ủũnh haứm soỏ coự ủoà thũ cho trửụực.





Khi xỏc định hàm số lượng giỏc cú đồ thị cho trước, ta cần chỳ ý đến cỏc yếu tố sau:

• Cỏc điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua;

• Xỏc định chu kỡ của đồ thị hàm số thụng qua đồ thị.

Vớ dụ 9. Hỡnh vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đõy:

A. sin . 2

y  x B. cos .

2

y  x C. cos .

4

y   x D. sin . 2 y  x

Vớ dụ 10. Hỡnh vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đõy:

A. sin .

2

y  x B. y sin .x C. cos . 2

y  x D. y cos .x



Cõu 21. Hỡnh vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đõy:

A. y sin 2 .x B. y sin 3 .x C. y cos .x D. y cos 2 .x Cõu 22. Hỡnh vẽ sau là một phần đồ thị của hàm số nào sau đõy:

(10)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang9 A. y tan 2 .x B. y cot 3 .x C. tan .

2

y  x D. y cot2 .x

Đỏp ỏn 21A 22A

Phương pháp sử dụng casio để giảI quyết dạng toán tìm tập xác định.

Bước 1. Chọn đơn vị sử dụng

Bước 2. Nhập biểu thức vào mỏy tớnh Bước 3. Thử cỏc giỏ trị tường minh.

Vớ dụ 11. Cho hàm số 1 2 cos 1.

y  x

 Tập xỏc định của hàm số là:

A. \ 2 , .

D 6 k k

  

 

    B. \ 2 , .

D 4 k k

  

 

   

C. \ 2 , .

D 3 k k

  

 

     D. \ , .

D 2 k k

  

 

    Sử dụng mỏy tớnh CASIO fx – 570MS, bằng cỏch thực hiện theo thứ tự:

• Chọn đơn vị là radial ta ấn: wwww2

• Nhập biểu thức 2 cosx1 ta ấn: 2kQ[)p1

• Ta lần lượt thử với cỏc giỏ trị , ,

6 4 3

x  x  x 

   qr…

Dễ thấy

x  3 thỡ kết quả mỏy tớnh bằng 0. Nờn chọn C.

Ngoài ra, phương phỏp này cú thể ỏp dụng cho cỏc bài toỏn phương trỡnh lượng giỏc, vấn đề này sẽ núi sau.

iii. bài tập trắc nghiệm tự luyện (có đáp án).

Cõu 1. Tập xỏc định của hàm số y  1sinx là:

A. D  1;1 . B.D   0;1 C.D . D.^D ^{ }



^{1;1 .}



Cõu 2. Tập xỏc định của hàm số y  1cos²x là:

A. D  1;1 . B.^D ^

 

^{0;1 .} ^C.^D ^^^. ^D.^D ^ ^^{\ 1 .}

 

Cõu 3. Tập xỏc định của hàm số y tanxcotx là:

A. | , .

x x 2 k k

  

 

     

 

 

   B. | , .

x x k2 k

 

 

    

 

 

  

C.



^x ^^^|^x ^^{k k}^^, ^^



^. ^D.



^x ^^^|^x ^{ }^ ^k^{2 ,}^^k ^^



^.

(11)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang10 Cõu 4. Tập xỏc định của hàm số 1₂

cot cos

y x

  x là:

A. | , .

x x k2 k

 

 

    

 

 

   B. | , .

x x k3 k

 

 

    

 

 

  

C. | , .

5

x x k k

 

 

    

 

 

   D. | , .

7

x x k k

 

 

    

 

 

  

Cõu 5. Tập xỏc định của hàm số y  1cosx là:

A. D   1;1 . B.D . C.^D^{ }



^{1;1 .}



^D.^D ^{ }^.

Cõu 6. Trong cỏc hàm số sau đõy, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y cosxsin .²x B. y sinxcos .x C. y  cos .x D. y sin .cos 3 .x x Cõu 7. Trong cỏc hàm số sau đõy, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y  sin .x B. y  sinx cos .x C. y  cosxsin .²x D. y sin .cos .x x Cõu 8. Giỏ trị lớn nhất của hàm số cos 2 sin 3

2 cos sin 4

x x

y x x

 

   là:

A. 2 2. 4

 B.⁴8. C.2. D.1.

Cõu 9. Giỏ trị bộ nhất của hàm số cos 2 sin 3 2 cos sin 4

x x

y x x

 

   là:

A. 2

11. B.0. C. 1

2.

 D. 1.

Cõu 10. Giỏ trị lớn nhất của hàm số y  cosx  sinx là:

A. 2 2. 4

 B.⁴8. C.2. D.1.

Cõu 11. Giỏ trị lớn nhất của hàm số sau đõy bằng bao nhiờu y sinxcos .x

A. 2. B. 2. C.1. D.0.

Cõu 12. Hàm số nào sau đõy đồng biến trờn khoảng

 

^0;^ ^?

A. y sin .x B.y cos .x C.y  tan .x D.y x². Cõu 13. Trong cỏc hàm số sau đõy, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y 2x 3 sin .x B.y sinx cosx x. C.y sin .²x D.y xsin .²x

Cõu 14. Trong cỏc hàm số sau đõy, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y xcos .²x B.y cos .²x C.y x²cos .²x D.y x². Cõu 15. Chu kỡ của hàm số y sin²x là:

A. T . B. T 2 . C. T ². D. T  4 . Cõu 16. Chu kỡ của hàm số y sin 2xcos 3 .x là:

A. T . B. T 3 . C. . T 6

 D. T 2 .

(12)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang11 Cõu 17. Chu kỡ của hàm số ^{f x}

 

^^cot^x^^cot₂^x ^^{cot .}^x₃ ^là:

A. T . B. T 2 . C. T 3 . D. T 6 . Cõu 18. Chu kỡ của hàm số y cosx tan .x

   là:

A. T . B. T 2. C. T ². D. Khụng cú chu kỡ.

Cõu 19. Tập giỏ trị của hàm số y sin²x 2 sinx5là:

A. T   4; 8 . B. T   0;1 . C.T   3;5 . D.T . Cõu 20. Tập giỏ trị của hàm số y cos²x cosx1là:

A. T   3; 3 . B. 3

; 3 . T 4 

 

    ^C.^T ^{1; 4 .}

 

    D.T . Cõu 21. Cho hàm số ^{f x}

 

^^{sin 2}^x^^{2 cos 3}^x. Chu kỡ tuần hoàn của hàm số bằng:

A. 2

3 .

T   B. T . C. T 2 . D. T 4 . Cõu 22. Giỏ trị lớn nhất của biểu thức sin⁴x cos⁴x là:

A. 0. B.1. C.2. D.1

2. Cõu 23. Giỏ trị nhỏ nhất của hàm số y cos 2x4 cosx là:

A. 5. B.3. C.0. D.1.

Cõu 24. Tập giỏ trị của hàm số y 2 sin 2x 3 là:

A. T   0;1 . B. T   2; 3 . C.T   2; 3 . D.T   1;5 . Cõu 25. Cho hàm số ^{f x}

 

^^{2 tan}^x₂ ^^{3 tan}^x₃. Chu kỡ tuần hoàn của hàm số là:

A. T 12 . B. T 6 . C. T 3 . D. T . Cõu 26. Giỏ trị bộ nhất của biểu thức cos²xsinx bằng:

A. 2. B. 3.

2 C.1. D.0.

Cõu 27. Giỏ trị lớn nhất của biểu thức cos²xsinx bằng:

A. 2. B.0. C.5

4. D.1.

Cõu 28. Tập giỏ trị của hàm số y  1 2 sin 3x là:

A. T   1;1 . B. T   0;1 . C.T   1; 0 . D.T   1; 3 . Đỏp ỏn.

1C 2C 3B 4A 5B 6D 7C 8C 9A 10B

11B 12D 13C 14B 15A 16D 17C 18D 19A 20B

21C 22B 23B 24D 25B 26C 27C 28A

(13)

BàI 2. PHƯƠNG TRìNH Lượng giác cơ bản

I. kiến thức cần nhớ.

Phương trỡnh ^sin^x ^^a

 

¹

• a 1: Phương trỡnh

 

¹ vụ nghiệm.

• a 1: Gọi  là một cung sao cho sin a. Khi đú

 

¹ ^ ^sin^x ^^sin^ ^và

 

¹ ^{cú cỏc}

nghiệm 2 ,

2 , .

x k k

 

  

   

    





 Chỳ ý:

- Khi

2 2

  

   và sin a thỡ ta viết  arcsin .a

- Phương trỡnh sinx sin^cú cỏc nghiệm: 360 ,

180 360 , .

x k k



   

    



 

  



- Trong một cụng thức nghiệm của phương trỡnh lượng giỏc, khụng được đồng thời dựng hai đơn vị độ và radian.

 Phương trỡnh ^cos^x ^^a

 

²

• a 1: Phương trỡnh

 

² vụ nghiệm.

(14)

• a 1: Gọi ^ là một cung sao cho sin a. Khi đú

 

² ^ ^cos^x ^^cos^ ^và

 

² ^{cú cỏc}

nghiệm 2 ,

2 , .

x k k

 

   

    





 Chỳ ý:

- Khi 0   và cos a thỡ ta viết   arccos .a - Phương trỡnh cosx cos^cú cỏc nghiệm: 360 ,

360 , .

x k k



   

    



 



 Phương trỡnh ^tan^x ^^a

 

³

• `Phương trỡnh

 

³ xỏc định khi , . x  2 k k 

•  a , tồn tại cung  sao cho tan a, Khi đú

 

³ ^ ^tan^x ^^tan^ ^và

 

³ cú nghiệm

, .

x   k k 

 Chỳ ý:

- Khi

2 2

 



   và tan a thỡ ta viết  arctan .a

- Phương trỡnh tanx tan^ cú cỏc nghiệm: x ^k180 ,^ k .

 Phương trỡnh ^cot^x ^^a

 

⁴

• `Phương trỡnh

 

⁴ xỏc định khi x k k, .

•  a , tồn tại cung  sao cho tan a, Khi đú

 

⁴ ^ ^cot^x ^^cot^ ^và

 

⁴ cú nghiệm

, .

x   k k 

 Chỳ ý:

- Khi      và cot a thỡ ta viết  arccot .a

- Phương trỡnh cotx cot^ cú cỏc nghiệm: x ^ k180 ,^ k. Phương pháp casio để giảI toán trắc nghiệm phương trình lượng giác Với mục đớch là kiểm tra nghiệm của phương trỡnh lượng giỏc.

Dạng 1. Nghiệm phương trỡnh lượng giỏc F



sin;cos; tan;cot



0. Để kiểm tra nghiệm ta dựng chức năng tớnh bảng giỏ trị (Table).

Khi làm việc với hàm lượng giỏc, mỏy tớnh phải đưa về chế độ RAD đ : Shift >Mode>4.

Phương phỏp:

Nhập hàm, chuyển tất cả phương trỡnh về 1 vế trỏi, vế phải luụn bằng 0.

Nhận xột trước cỏc phương ỏn để chọn khoảng xột:

+ Nếu cỏc nghiệm đều dương thỡ chọn khoảng xột là 0;2^. + Nếu cú nghiệm õm thỡ chọn  ; ^.

+ Chọn 1 vũng đường trũn lượng giỏc là để xột



^^k²^



^hay



^^k^



^hay^^^__^^k^₂^^__

^.

(15)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang14 Xột cỏc giỏ trị nghiệm chọn bước nhảy thớch hợp. Sau khi cú bảng, thỡ nếu cột

 

⁰

F X  Xlà nghiệm.

Vớ dụ: giải phương trỡnh sin 3xsinx cos 3x cosx cú nghiệm là:

A. 2 ;

2 k 4 k

 

  B. ;

2 k 4 k

 

 

C. ;

2 k 8 k 2

  



  D. ;

k 8 k

  



^k ^^



^.

Ấn mode 7. Nhập hàm sin 3X sinXcos 3XcosX Start?: 0

End? 2

Step:

8



Nhỡn vào cột F(X) nhanh chúng chọn đỏp ỏn

8 k 2

 

 và 2

 là nghiệm chọn C.

II. Một số ví dụ.

Vớ dụ 1. Phương trỡnh sinx cosxcú số nghiệm thuộc đoạn 0; là:

A. 1. B.4. C.5. D.2.

Vớ dụ 2. Phương trỡnh sin 2x 1 cú nghiệm là:

A. 4 , .

x  2k k  B. , . x  2 k k 

C. 2 , .

x 4 k k



   D. , .

x 4 k k



   Vớ dụ 3. Phương trỡnh sin² 1

3

x  cú nghiệm là:

A. 2 , .

x 2 k k



   B. 3

2 , .

x 2 k k



  

C. 3 3 , .

x  2k k  D. x k k, .

Vớ dụ 4. Phương trỡnh 2 cosx 3 0 cú tập nghiệm trong khoảng



^0;2



^:

A. ;11 . 6 6

 

 

 

 

 

  B. 2 ;4 .

3 3

 

 

 

 

 

  C. ;5 . 3 3

 

 

 

 

  D. 5 ;7 .

6 6

 

 

 

 

 

  Vớ dụ 5. Phương trỡnh ^sin



^^{cos 2}^x



^¹ cú nghiệm là:

A. x k k, . B. x   k2 ,k .

C. , .

x 2 k k



   D. , .

x 6 k k



    IIi. Bài tập trắc nghiệm (có đáp án).

Cõu 29. Phương trỡnh cos 1 2

x   cú nghiệm là:

A. x 2k4 , k . B. x k2 , k. C. x k2 , k. D. x 2k k, .

(16)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang15 Cõu 30. Phương trỡnh cos 3² x 1 cú nghiệm là:

A. x k k, . B. , .

2 x k k

 

C. , .

3 x k k

  D. , .

4 x k k

 

Cõu 31. Phương trỡnh tan 0 x 4

 

  

 

  cú nghiệm là:

A. , .

x 4 k k



   B. 3

, .

x 4 k k



  

C. x k k, . D. x k2 , k . Cõu 32. Phương trỡnh cot 0

x 4

 

  

 

  cú nghiệm là:

A. , .

x   4 k k  B. , . x  4 k k 

C. 2 , .

x 4 k k



    D. 2 , .

x 4 k k



  

Cõu 33. Trong 0;, phương trỡnh sinx  1 cos²x cú tập nghiệm là:

A. .

2

 

  

  

   ^B.

;3 . 2 2

 

 

 

 

 

  ^C.

 

^0;^ ^. ^D.^^^^_^{0; ;}₂^ ^^^^^_^.

 

  Cõu 34. Trong 0;2, phương trỡnh cos2x sinx 0 cú tập nghiệm là:

A. 7 11

; .

6 6

 

 

 

 

 

  ^B.

7 11

; ; .

2 6 6

  

 

 

 

 

  ^C.

5 7

; .

6 6

 

 

 

 

 

  ^D.

7 5

; ; .

6 6 6

  

 

 

 

 

 

Cõu 35. Trong _^0;2



, phương trỡnh sin 2x sinx 0 cú số nghiệm là:

A.1. B. 2. C. 3. D. 4.

Cõu 36. Phương trỡnh sinx 3 cosx 1 cú số nghiệm thuộc



^{0; 3}



^là:

A.2. B. 3. C. 4. D. 6.

Cõu 37. Số nghiệm của phương trỡnh 2 cos 1 x 3

 

  

 

  ^thuộc^^^^0;2^^^^là:

A.0. B. 2. C. 1. D. 3.

Cõu 38. Số nghiệm của phương trỡnh sin 1 x 4

 

  

 

  thuộc 0; 3 là:

A.1. B. 0. C. 2. D. 3.

Cõu 39. Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào cú nghiệm?

A. 3 sinx 2. B.1 1

cos 4 .

4 x  2

C.2 sinx 3 cosx 1. D.cot²xcotx 5 0.

Cõu 40. Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào vụ nghiệm?

A. sin 2xcos 2x 1. B.sin 2xcosx 0.

(17)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang16 C.sin 2 .

x 5

 D.sinx 3 cosx 0.

Cõu 41. Tập nghiệm của phương trỡnh 3 tan 3 4

x  trong khoảng _^0;2



^là:

A. 2 3 .

 

 

 

 

  B. 3 2 .

 

 

 

 

  C. 2

; .

3 3

 

 

 

 

  D. 3

; .

2 2

 

 

 

 

 

  Cõu 42. Tập nghiệm của phương trỡnh cos²xcos 2x 0 trong khoảng _^0;2



^là:

A.

 

^0;^ ^. ^B.^^^^_^0;^₂^^^^_^.

 

  ^C.

;3 . 2 2

 

 

 

 

 

  ^D.

0;3 . 2

 

 

 

 

  Cõu 43. Phương trỡnh ^cos



^^sin^x



A. x k k, . B. x k2 , k .

C. , .

x 2 k k



   D. , .

x 4 k k



  

Cõu 44. Phương trỡnh ^cos



^^{cos 3}^x



A. , .

8 4

x  k k

   B. , .

4 2

x  k  k

  

C. , .

6 3

x   k k  D. , .

x  2 k k  Cõu 45. Phương trỡnh sin 1

tan 1

x x



 cú tập nghiệm là:

A. , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

  B. 2 , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

C. . D. 2 , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

Cõu 46. Phương trỡnh sin 2 2 cos sin 1 tan 3 0

x x x

x

   

 cú tập nghiệm là:

A. 2 , .

3 k k

 

 

 

   

 

 

  B. 2 , .

3 k k

 

 

 

   

 

 

 

C. 2 , 2 , .

3 k 2 k k

   

 

 

     

 

 

  D. 2 , .

2 k k

 

 

 

   

 

 

 

Cõu 47. Phương trỡnh sin 3xcos2xsinx 0 cú tập nghiệm trong

 

^0;^ ^là:

A. ;3 . 4 4

 

 

 

 

 

  B. . 4

 

  

  

   C. 3 . 4

 

 

 

 

  D. ; ;3 . 6 4 4

  

 

 

 

 

  Cõu 48. Phương trỡnh cos 2x2 cos²x 1 0 cú tập nghiệm là:

A. , .

4 k k

 

 

 

   

 

 

  B. , .

4 k 2 k

 

 

 

   

 

 

 

C. 2 , .

4 k k

 

 

 

   

 

 

  D.



^{k k}^{ }^, ^



^.

(18)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang17 Cõu 49. Phương trỡnh 2 cos 3 0

2

x   cú nghiệm là:

A. 5

4 , .

x   3k k B. 5

2 , .

x   6k k

C. 5

4 , .

x   6k k D. 5

, .

x   3k k  Cõu 50. Phương trỡnh 3 tanx 3 0 cú nghiệm là:

A. , .

x  3 k k  B. 2 , . x   3 k k

C. , .

x 6 k k



   D. , .

x 3 k k



    Cõu 51. Mệnh đề nào sau đõy sai?

A. sin 1 2 , .

x x 2 k k



       B. sinx  0 x k k, .

C. sinx  0 x k2 , k .

D. sin 1 2 , .

x x 2 k k



    

Cõu 52. Nghiệm của phương trỡnh ^sin^x



^{2 cos}^x^ ³



^⁰^là:

A. , .

6 2 x k

x k k



 

 

 

   



 B. , .

6 x k

x k k



 

 

 

   





C.

2

, .

3 2 x k

x k k



 

 

 

   



 D. 2 , .

x 6 k k



   

Cõu 53. Nghiệm của phương trỡnh cos²xcosx 0 thuộc

 

^0;^ ^là:

A. .

x 2

 B.x 0. C.x  . D. . x 2

  Cõu 54. Phương trỡnh cos2x 0cú nghiệm là:

A.

6 2 , .

5 2

6

x k

k

x k

 

  

 

  



 B. , .

4 2

x   k k

C. 2

2 , .

x   3 k  k  D. , . x  4k k  Cõu 55. Phương trỡnh 2

sin 3

x  2 cú nghiệm là:

A. , .

4 x k k

  B.x k k, .

C. 2 2

; , .

12 3 4 3

k k

x     x     k  D. , .

6 2

x  k k

  

(19)

Biên soạn và giảng dạy: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 Trang18 Cõu 56. Nghiệm phương trỡnh cos 1 0

x  2 là:

A. 2 , .

x  6 k k  B. 5

, .

x  6k k 

C. 2

2 , .

x 3 k k



    D. 2 , .

x   3 k k  Cõu 57. Nghiệm phương trỡnh tanx 1 0 là:

A. , .

x 2 k k



   B. , .

x 4 k k



  

C. , .

x  4 k k  D. 3

2 , .

x 4 k k



   Cõu 58. Nghiệm phương trỡnh 3 tanx  3 0 là:

A. 2 , .

x 3 k k



   B. , .

x 6 k k



   

C. , .

x  6 k k  D. , .

x 3 k k



    Cõu 59. Nghiệm phương trỡnh 1

cot2x  3 là:

A. , .

x k4 k

  B. x k k, .

C. 2 2

; , .

12 3 4 3

k k

x     x     k  D. , .

6 2

x  k k

   Cõu 60. Nghiệm phương trỡnh 19

sin 9

x  18 là:

A. , .

x k4 k B.x k k, .

C. , .

6 2

x   k k  D. Vụ nghiệm.

Cõu 61. Phương trỡnh tan 4x 0 cú nghiệm là:

A. , .

x k4 k

  B. x k k, .

C. 2 2

; , .

12 3 4 3

k k

x     x     k  D. , .

6 2

x  k k

  

Cõu 62. Phương trỡnh ^{sin 4}



^x^¹



^ ₂³ cú nghiệm là:

A. 1 ; 1 , .

4 12 2 4 6 2

k k

x      x    k 

B. 2 ; 2 , .

x   2 k x   k k 

C. 1

, .

24 12

x k k

  

(20)

D. 165 115

180 ; 180 , .

2 2

x  ^ k ^ x   ^ k ^ k 

Cõu 63. Phương trỡnh ^{cos 2}



^x^³⁰^



^{ } ₂² cú nghiệm là:

A. 1 ; 1 , .

4 12 2 4 6 2

k k

x   x   k

      

B. 2 ; 2 , .

x   2 k  x   k  k

C. 1

, .

24 12

x  k k 

D. 165 115

180 ; 180 , .

2 2

x  ^ k ^ x   ^ k ^ k 

Cõu 64. Cỏc giỏ trị nào sau đõy là nghiệm của phương trỡnh 1 sinx  2?

A. 2 , .

x 3 k k



   B. , .

x 6 k k



  

C. 5

2 , .

x  6k k D. 2 , .

x   6 k k  Cõu 65. Nghiệm của phương trỡnh 3

sinx   2 là:

A. , .

x 3 n n



   B. ^x ^{ }

 

¹ⁿ^¹^₃ ^^{n n}^^, ^^^.

C. ^x ^{ }

 

¹ⁿ ^₄ ^^{n n}^^, ^^^. ^D.^x ^{ }

 

¹ⁿ ^₃ ^^{n n}^^, ^^^.

Cõu 66. Nghiệm của phương trỡnh sin 2 x  2 là:

A. ^x ^{ }

 

¹ⁿ^¹^₄ ^^{n n}^^, ^^^. ^B.^x ^ ^₈ ^^{k k}^^, ^^^.

C. ^x ^{ }

 

¹ⁿ ^₄ ^^{n n}^^, ^^^. ^D.^x ^ ₂²^.

Cõu 67. Nghiệm của phương trỡnh 1 cosx  2 là:

A. , .

x 6 k k



    B. 2 , .

x 6 k k



   

C. , .

x   3 k k  D. 2

2 , .

x   3 k k  Cõu 68. Nghiệm của phương trỡnh 3

cosx   2 là:

A. , .

x   6 k k  B. 2 , . x   6 k k

(21)

C. 5 , .

x 6 k k



    D. 5 2 , .

x 6 k k



   

Cõu 69. Phương trỡnh tanx 1 cú nghiệm là:

A. 2 ; 5 2 , .

6 6

x  k x   k k  B. , .

4 2

x  k k

C. , .

x  4 k k  D. , .

x   6 k k  Cõu 70. Phương trỡnh cotx   3 cú nghiệm là:

A. 5

2 ; 2 , .

6 6

x  k x   k k  B. , .

4 2

x  k k

C. , .

x  4 k k  D. , .

x   6 k k  Cõu 71. Phương trỡnh ² 3

sin 3

x  4 cú nghiệm là:

A. , .

6 2

x  k k

    B. 1

, .

10 5 x  k k

C. 2

, .

9 3

x  k k

    D. , .

12 4

x  k k

    Cõu 72. Phương trỡnh tan 2² x 3 cú nghiệm là:

A. , .

6 2

x  k k

    B. 1

, .

10 5 x  k k