: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II. CÁC BÀI TẬP MINH HỌA

ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Giải: Ta đặt : ݐ ൌ •‹ ݔ ǡ ݐ א ሾെͳǢ ͳሿ Bất phương trình tương đương với

ͷ ൅ ʹሺͳ െ ʹݐ^ଶሻ ൑ ͵ȁʹݐ െ ͳȁ

฻ ͹ െ Ͷݐ^ଶ ൑ ͵ȁʹݐ െ ͳȁ

ƒ”…–ƒܽ൅݇ߨ ൑ݔ ൏ ߨ

ʹ൅݇ߨሺ݇ א Ժሻ

݇ߨ ൏ܽ ൑ ƒ”……‘–ܽ൅݇ߨሺ݇א Ժሻ - –ƒݔ ൒ܽ có nghiệm là :

- …‘–ݔ ൒ܽ có nghiệm là :

•‹ݔ െ …‘•ݔ ൅ ͳ

•‹ݔ ൅ …‘•ݔ െ ͳ ൐ Ͳ Bài 1: Giải bất phương trình sau :

ͷ ൅ ʹ …‘• ʹݔ ൑ ͵ȁʹ •‹ݔെ ͳȁ Bài 2: Giải bất phương trình sau :

Giải: Bất phương trình tương đương với

ሺ•‹ ݔ െ …‘• ݔ ൅ ͳሻሺ•‹ ݔ ൅ …‘• ݔ െ ͳሻ ൐ Ͳ

฻ •‹^ଶݔ െ ሺͳ െ …‘• ݔሻ^ଶ ൐ Ͳ

฻ ͳ െ …‘•^ଶݔ െ ሺͳ െ ʹ …‘• ݔ ൅ …‘•^ଶݔሻ ൐ Ͳ

฻ ʹ …‘•^ଶݔ െ ʹ …‘• ݔ ൏ Ͳ

฻ Ͳ ൏ …‘• ݔ ൏ ͳ

฻ ቊെ ʹ

ߨ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ ݔ ് ݇ʹߨ

฻ ۏێ ێێ

ێۍ൝͹ െ Ͷݐ^ଶ ൑ ͸ݐ െ ͵ ݐ ൒ͳ

ʹ

൝͹ െ Ͷݐ^ଶ ൑ ͵ െ ͸ݐ ݐ ൑ͳ

ʹ

฻

ۏێ ێێ ێێ ێێ ێۍ

ەۖ

۔

ۖۓ൥ ݐ ൒ ͳ ݐ ൑ െͷ

ʹ ݐ ൒ͳ

ʹ

ەۖ

۔

ۖۓ൥ ݐ ൒ ʹ ݐ ൑ െͳ

ʹ ݐ ൑ͳ

ʹ

฻ ൥ ݐ ൌ ͳ

ݐ ൑ െͳ ʹ

฻ ൥ •‹ ݔ ൌ ͳ

•‹ ݔ ൑ െͳ ʹ

฻ ൦

ݔ ൌߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ͷߨ

͸ ൅ ݇ʹߨ ൑ ݔ ൑ ͳͳߨ

͸ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

Giải: Điều kiện :

൞

•‹ ݔ ് Ͳ …‘• ݔ ് Ͳ …‘• ʹݔ ് Ͳ …‘• Ͷݔ ് Ͳ

฻ •‹ ͺݔ ് Ͳ ฻ ݔ ് ݈ߨ

ͺሺ݈ א Ժሻሺכሻ …‘–ݔെ –ƒݔെ ʹ –ƒ ʹݔെ Ͷ –ƒ Ͷݔ ൏ ͺξ͵

͵ Bài 3: Giải bất phương trình sau :

Bất phương trình tương đương với

ʹ …‘– ʹݔ െ ʹ –ƒ ʹݔ െ Ͷ –ƒ Ͷݔ ൏ͺξ͵

͵

฻ ʹሺ…‘– ʹݔ െ –ƒ ʹݔሻ െ Ͷ –ƒ Ͷݔ ൏ͺξ͵

͵

฻ Ͷሺ…‘– Ͷݔ െ –ƒ Ͷݔሻ ൏ ͺξ͵

͵

฻ …‘– ͺݔ ൏ξ͵

͵

฻ߨ

͵

฻ ߨ

ʹͶ൅݇ߨ

ͺ ൏ ݔ ൏ ߨ ͺ൅

݈ߨ

ͳ͸ሺ݈ א Ժሻሺכሻ

െ ʹ –ƒ ʹݔ െ Ͷ –ƒ Ͷݔ െ ͺ –ƒ ͺݔ ൒ ͳ͸ξ͵

ͳ

–ƒ ʹݔെ –ƒ ʹݔ൰ െ Ͷ –ƒ Ͷݔ െ ͺ –ƒ ͺݔ ൒ ͳ͸ξ͵

฻ Ͷ ൬ ͳ

–ƒ Ͷݔെ –ƒ Ͷݔ൰ െ ͺ –ƒ ͺݔ ൒ ͳ͸ξ͵

฻ ͺ ൬ ͳ

–ƒ ͺݔെ –ƒ ͺݔ൰ ൒ ͳ͸ξ͵

฻ …‘– ͳ͸ݔ ൒ ξ͵

…‘–ݔെ –ƒݔെ ʹ –ƒ ʹݔെ Ͷ –ƒ Ͷݔെ ͺ –ƒ ͺݔ ൒ ͳ͸ξ͵

Bài 4: Giải bất phương trình sau :

൅ ݇ߨ ൏ ͺݔ ൏ ߨ ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

݇ߨ

ͺ ሺ݇ א Ժሻ൫–Šỏƒሺכሻ൯

Giải: Điều kiện :

•‹ ͳ͸ݔ ് Ͳ ฻ ݔ ് Bất phương trình tương đương với

ͳ െ –ƒ^ଶݔ

–ƒ ݔ

฻ ʹ ൬

฻ ݇ߨ ൏ ݔ ൑ ߨ ͻ͸൅݇ߨ

͸ ሺ݇ א Ժሻ൫–Šỏƒሺכሻ൯

Giải: Điều kiện :

൦ ݔ ്͹ߨ ͳʹ൅ ݈ߨ ݔ ് െ ߨ

ͳʹ൅ ݈ߨ

ሺ݈ א Ժሻሺכሻ

Bất phương trình tương đương với

൑ ͳ

฻ ൑ ͳ

฻ …‘• ቀݔ ൅ߨ

Ͷ

͵ߨ ʹ

ەۖ

۔

ۖۓ݇ʹߨ ൑ ݔ ൑͵ߨ

ʹ ൅ ݇ʹߨ ݔ ്͹ߨ

ͳʹ൅ ݈ߨ ݔ ് െ ߨ

ͳʹ൅ ݈ߨ

ሺ݇ǡ ݈ א Ժሻ

•‹ ͵ݔ൅ …‘• ͵ݔ ͳ ൅ ʹ •‹ ʹݔ ൑ ͳ Bài 5: Giải bất phương trình sau :

͵ሺ•‹ ݔ െ …‘• ݔሻ െ Ͷሺ•‹ ݔ െ …‘• ݔሻሺͳ ൅ •‹ ݔ …‘• ݔሻ ͳ ൅ ʹ •‹ ʹݔ

ሺ•‹ ݔ െ …‘• ݔሻ ቂ͵ െ Ͷ ቀͳ ൅ ͳʹ•‹ʹݔቁቃ ͳ ൅ ʹ •‹ ʹݔ

฻ …‘• ݔ െ •‹ ݔ ൑ ͳ ቁ ൑ ͳ

฻ ݇ʹߨ ൑ ݔ ൑

ξʹ

൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ ta có nghiệm của bất phương trình là

Giải: Điều kiện :

•‹ ʹݔ ് Ͳ ฻ ݔ ്݈ߨ

ʹሺ݈ א Ժሻሺכሻ Bất phương trình tương đương với

…‘– ݔ ൅ ሺ…‘– ݔ െ –ƒ ݔሻ ൑ξ͵

͵

฻ …‘– ݔ ൅ ʹ …‘– ʹݔ ൑ ξ͵

͵

฻ …‘– ݔ ൑ ξ͵

͵

฻ ߨ

͵

ߨ

͵

Giải: Bất phương trình ሺͳሻ tương đương với ξ͵

ʹ ሺͳ ൅ …‘• ʹݔሻ ൅ͳ

ʹ•‹ ʹݔ ൒ ξ͵

฻ ξ͵ …‘• ʹݔ ൅ •‹ ʹݔ ൒ ξ͵

ʹ …‘–ݔെ –ƒݔ ൑ξ͵

͵ ൅ ʹ …‘– ʹݔ Bài 6: Giải bất phương trình sau :

ξ͵ …‘•^ଶݔ൅ͳ

ʹ•‹ ʹݔ ൒ ξ͵ሺͳሻ Bài 7: Tìm nghiệm của bất phương trình

Thỏa mãn bất phương trình Ž‘‰ሺݔ^ଶ൅ݔ൅ Ͷሻ ൏ ͳሺʹሻ

൅ ʹ …‘– ʹݔ

൅ ʹ …‘– ʹݔ

൅ ݇ߨ ൑ ݔ ൏ ߨ ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Kết hợp với ሺכሻ ta có nghiệm của bất phương trình là

൅ ݇ߨ ൑ ݔ ൏ ߨ ൅ ݇ߨሺ݇ ് Ͷ݈ ൅ ͳǢ ݈ א Ժሻ

฻ •‹ ቀʹݔ ൅ߨ

͵ቁ ൒ξ͵

ʹ

฻ ݇ߨ ൑ ݔ ൑ ߨ

͸൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ Bất phương trình ሺʹሻ tương đương với

ݔ^ଶ൅ ݔ െ ͸ ൏ Ͳ ฻ െ͵ ൏ ݔ ൏ ʹ Do đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là

Ͳ ൑ ݔ ൑ߨ

͸

Giải: Điều kiện :

…‘• ݔ ് Ͳ ฻ ݔ ്

൅ ʹݐ

ͳ ൅ ݐ^ଶ ൑ ݐ

െʹ ൑ ݐ ൑ െͳ

െߙ ൅ ݇ߨ ൑ ݔ ൑ െߨ

Ͷ൅ ݇ߨሺ݇ א ԺǢ –ƒ ߙ ൌ ʹሻ Với ݐ ൒ ͳ thì

ߨ

Ͷ൅ ݇ߨ ൑ ݔ ൏ ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

So với điều kiện ሺכሻ, ta nhận 2 nghiệm trên là nghiệm của bất phương trình.

ʹ …‘• ʹݔ ൅ •‹ ʹݔ ൑ –ƒݔ Bài 8: Giải bất phương trình sau :

ߨ

ʹ൅ ݈ߨሺ݈ א Ժሻሺכሻ Đặt ൌ –ƒ ݔ ǡ ݐ א Թ . Khi đó, bất phương trình tương đương với

ʹǤͳ െ ݐ^ଶ ͳ ൅ ݐ^ଶ

฻ ݐ^ଷ൅ ʹݐ^ଶെ ݐ െ ʹ ൒ Ͳ

฻ ቂ ݐ ൒ ͳ

Với െʹ ൑ ݐ ൑ െͳ thì

݂ሺݔሻ ൌ Ͳ ฻ ൤ Với ሺͳሻ :

ξʹ •‹ ቀݔ ൅ ݔ ൌ͹ߨ Ͷ ݔ ൌ͵ߨ

Ͷ

ʹݐ ൅ͳ െ ݐ^ଶ

ʹ െ ʹ ൌ Ͳ ݐ ൌ ͳ

ݐ ൌ ͵ሺŽ‘ạ‹ሻ

…‘• ቀݔ ൅ߨ

Ͷቁ ൌ ͳ

ξʹ ฻ ൥ ݔ ൌ Ͳ ݔ ൌ͵ߨ

ʹ Lập bảng xét dấu của ݂ሺݔሻ trên ሾͲǢ ʹߨሿ ta thấy

ʹ …‘• ʹݔ൅ •‹^ଶݔ…‘•ݔ൅ •‹ݔ…‘•^ଶݔ ൐ ʹሺ•‹ݔ ൅ …‘•ݔሻ Bài 9: Giải bất phương trình sau :

(ĐH Kinh Tế Tp.HCM 1997)

Giải: Bất phương trình tương đương với

ሺ•‹ ݔ ൅ …‘• ݔሻሾʹሺ…‘• ݔ െ •‹ ݔሻ ൅ •‹ ݔ …‘• ݔ െ ʹሿ ൐ Ͳ Đặt ݂ሺݔሻ ൌ ሺ•‹ ݔ ൅ …‘• ݔሻሾʹሺ…‘• ݔ െ •‹ ݔሻ ൅ •‹ ݔ …‘• ݔ െ ʹሿ

Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ ʹߨ nên ta chỉ cần xét dấu của ݂ሺݔሻ trên ሾͲǢ ʹߨሿ.

Ta có :

•‹ ݔ ൅ …‘• ݔ ൌ Ͳሺͳሻ

ʹሺ…‘• ݔ െ •‹ ݔሻ ൅ •‹ ݔ …‘• ݔ െ ʹ ൌ Ͳሺʹሻ

ߨ

Ͷቁ ൌ Ͳ ฻ ൦ Với ሺʹሻ, ta đặt ݐ ൌ …‘• ݔ െ •‹ ݔ ǡ ȁݐȁ ൑ ξʹ :

฻ ൤ Suy ra

ݔ 0 ^ଷగ_ସ ^ଷగ ଶ

଻గ

ସ ʹߨ

݂ሺݔሻ 0 Ȃ 0 ൅ 0 Ȃ 0 ൅ 0

Như vậy, ta có trong 1 chu kỳ nghiệm của bất phương trình là

൦

͵ߨ

Ͷ ൏ ݔ ൏͵ߨ

͹ߨ ʹ

Ͷ ൏ ݔ ൏ ʹߨ Do đó, nghiệm của bất phương trình là

൦

͵ߨ

͹ߨͶ Ͷ

ͷݔ ʹ •‹ݔ

ʹ ൐ Ͳ

฻ ൝…‘• ݔ …‘•

ͷݔ ʹ ൐ Ͳ Ͳ ൏ ݔ ൏ ʹߨ Lập bảng xét dấu trên ሾͲǢ ʹߨሿ ta thấy

•‹ ʹݔ൅ •‹ Ͷݔ ൐ •‹ݔ ൅ •‹ ͵ݔ൅ Bài 10: Giải bất phương trình sau :

൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏͵ߨ ൅ ݇ʹߨ ʹ

൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ ʹߨ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Giải: Đặt ݂ሺݔሻ ൌ െ •‹ ݔ െ •‹ ͵ݔ ൅ •‹ ʹݔ ൅ •‹ Ͷݔ

Do hàm số tuần hoàn có chu kỳ ʹߨ nên ta chỉ cần xét dấu của ݂ሺݔሻ trên ሾͲǢ ʹߨሿ.

Ta có, bất phương trình tương đương với

ʹ •‹ ͵ݔ …‘• ݔ െ ʹ •‹ ʹݔ …‘• ݔ ൐ Ͳ

฻ …‘• ݔ …‘•

ݔ 0 ^గ ହ

గ ଶ

ଷగ

ହ ߨ ^଻గ

ହ

ଷగ ଶ

ଽగ

ହ ʹߨ …‘• ݔ ൅ ൅ 0 െ െ െ െ 0 ൅ ൅ …‘•ͷݔ

ʹ ൅ 0 െ െ 0 ൅ Ͳ െ 0 ൅ ൅ 0 െ …‘• ݔ …‘•ͷݔ

ʹ ൅ 0 െ 0 ൅ 0 െ 0 ൅ 0 െ 0 ൅ 0 െ Suy ra nghiệm của bất phương trình là

ۏێ ێێ ێێ

ێۍ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ߨ

ͷ൅ ݇ʹߨ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏͵ߨ

ʹ ൅ ݇ʹߨ ߨ ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏͹ߨ

ͷ ൅ ݇ʹߨ

͵ߨ

ʹ ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ͻߨ

ͷ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

Giải: Điều kiện :

…‘• ݔ ് Ͳሺכሻ

–ƒ ݔ ൅ ʹ

–ƒ ݔ ൅ ͵ ൑ ʹ^{ଵିξ୲ୟ୬௫} Đặt ݐ ൌ –ƒ ݔ ǡ ݐ ൒ Ͳ, ta đưa bất phương trình trở thành

͵ξݐ ൅ ͳǤݐ ൅ ʹ

ݐ ൅ ͵ ൑ ʹ^ଵିξ௧ Ta xét hàm số

݂ሺݐሻ ൌ ͵ξݐ ൅ ͳǤݐ ൅ ʹ

ݐ ൅ ͵ǡ ݐ ൒ Ͳ

͵ξ–ƒݔ ൅ ͳǤ•‹ݔ൅ ʹ …‘•ݔ

•‹ݔ൅ ͵ …‘•ݔ ൑ ʹ^{ଵିξ୲ୟ୬௫} Bài 11: Giải bất phương trình sau :

ቄ–ƒ ݔ ൒ Ͳ Bất phương trình tương đương với

͵ξ–ƒ ݔ ൅ ͳǤ

݂^ᇱሺݐሻ ൌ ͵ ൤ ͳ

ʹξݐ ൅ ͳǤݐ ൅ ʹ

ݐ ൅ ͵൅ ξݐ ൅ ͳǤ ͳ

ሺݐ ൅ ͵ሻ^ଶ൨ ൐ Ͳ Do đó, ݂ሺݐሻ đồng biến trên ሾͲǡ λሻ

Ta xét thêm hàm số

݃ሺݐሻ ൌ ʹ^ଵିξ௧ǡ ݐ ൒ Ͳ

݃^ᇱሺݐሻ ൌ െʹ^ଵିξ௧Ǥ ͳ

ʹξݐ ൏ Ͳ Do đó, ݃ሺݐሻ nghịch biến trên ሾͲǡ λሻ

Suy ra với mọi ݐ א ሾͲǡ λሻ

൜

Như vậy, ta có :

Khi đó,

Giải: Điều kiện :

ቄ–ƒ ݔ ൒ Ͳ …‘• ݔ ് Ͳሺכሻ Bất phương trình tương đương với

͹ξ–ƒ ݔ Ǥ–ƒ^ଶݔ ൅ ͵

–ƒ^ଶݔ ൅ Ͷ൑ ͸ξ͵^ర

͹ξ–ƒݔሺ•‹^ଶݔ ൅ ͵ …‘•^ଶݔሻ ൑ ͸ξ͵^ర ሺ•‹^ଶݔ൅ Ͷ …‘•^ଶݔሻ Bài 12: Giải bất phương trình sau :

(Đề nghị Olympic 30-4, 2006)

݂ሺݐሻ ൒ ݂ሺͲሻ ൌ ʹ

݃ሺݐሻ ൑ ݃ሺͲሻ ൌ ʹ

ฺ ݂ሺݐሻ ൒ ʹ ൒ ݃ሺݐሻǡ ׊ݐ א ሾͲǡ λሻ

݂ሺݐሻ ൌ ݃ሺݐሻ ൌ ʹ ฻ ݐ ൌ Ͳ

–ƒ ݔ ൌ Ͳ ฻ ݔ ൌ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ൫–Šỏƒሺכሻ൯

Đặt ݐ ൌ –ƒ ݔ ǡ ݐ ൒ Ͳ. Ta đưa bất phương trình trở thành

͹ξݐǤݐ^ଶ൅ ͵

ݐ^ଶ൅ Ͷ൑ ͸ξ͵^ర Ta xét hàm số

݂ሺݐሻ ൌ ͹ξݐǤݐ^ଶ൅ ͵

ݐ^ଶ൅ Ͷǡ ݐ ൒ Ͳ

݂^ᇱሺݐሻ ൌ ͹ ቈ ͳ

ʹξݐǤݐ^ଶ൅ ͵

ݐ^ଶ൅ Ͷ൅ ξݐǤ ʹݐ

ሺݐ^ଶ൅ Ͷሻ^ଶ቉ ൐ Ͳ Do đó, ݂ሺݐሻ đồng biến trên ሾͲǡ λሻ.

Suy ra :

݂ሺݐሻ ൑ ͸ξ͵^ర Như vậy,

ߨ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ൫–Šỏƒሺכሻ൯

…Ǥ•‹ ݔ െ …‘• ݔ

•‹ ݔ ൅ …‘• ݔ ൐ Ͳ

7.1.2. Giải các bất phương trình sau :

ƒǤ •‹ ͵ݔ ൅ •‹ ݔ ൏ •‹ ʹݔ

„Ǥ •‹^ଷݔ •‹ ͵ݔ െ …‘•^ଷݔ …‘• ͵ݔ ൑ͳ ʹ …Ǥ …‘• ݔ ൅ ͳ

…‘• ݔ ൒ͷ ʹ

฻ ݐ ൑ ξ͵

Ͳ ൑ –ƒ ݔ ൑ ξ͵ ฻ ݇ߨ ൑ ݔ ൑

͵

- BÀI TẬP TỰ LUYỆN

7.1.1. Giải các bất phương trình sau :

ƒǤ …‘•^ଶݔ ൅ ξ͵ •‹ ݔ …‘• ݔ ൏ ͳ

„Ǥ •‹ሺ…‘• ݔሻ ൑ ͳ ʹ

7.1.3. Giải các bất phương trình sau :

ƒǤξ͵ …‘– ݔ െ –ƒ ݔ ൐ ξ͵ െ ͳ

„Ǥʹ –ƒ ݔ ൅ …‘– ݔ ൒ ξ͵ ൅ ʹ

•‹ ʹݔ …Ǥ ʹ …‘• ݔ െ ͳ

…‘• ʹݔ ൅ …‘• ݔ൒ ʹ

7.1.4. Giải các bất phương trình sau :

ƒǤ …‘• ݔ െ •‹ ݔ െ …‘• ʹݔ ൐ Ͳ

„Ǥ …‘• ݔ ൅ …‘• ʹݔ ൒ …‘• ͵ݔ ൅ ͳ …Ǥ–ƒ ݔ െ •‹ ݔ

–ƒ ݔ ൅ •‹ ݔ൑ ξ͵ –ƒݔ ʹ

- GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 7.1.1. Nghiệm của bất phương trình là :

ƒǤߨ

͵൅ ݇ߨ ൏ ݔ ൏ ߨ ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

ߨ

͸ǡ ݇ א Ժ …Ǥߨ

ʹ൅ ݇ߨ ൏ ݔ ൏͵ߨ Ͷ

7.1.2. Nghiệm của bất phương trình là :

ƒǤ ۏێ ێێ

ێۍ ൅ ݇ʹߨ

ߨ

͵൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ߨ

൅ ݇ʹߨ

െߨ

͵

ሺ݇ א Ժሻ

„Ǥؕố‰Š‹ệ

…Ǥ ൦ ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൑ߨ

͵ ൅ ݇ʹߨ

͵ߨ

ʹ ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൑ͷߨ

͵ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

„Ǥߙ ൅ ݇ʹߨ ൑ ݔ ൑ ʹߨ െ ߙ ൅ ݇ʹߨǡ ߙ א ቀͲǢߨ

ʹቁǡ …‘• ߙ ൌ

൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ

ߨ ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ ͵ߨ ʹ ʹ

൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ ݇ʹߨ

7.1.3. Nghiệm của bất phương trình là :

ƒǤ ൦െߨ

ʹ൅ ݇ߨ ൏ ݔ ൏ െߨ

͵൅ ݇ߨ

݇ߨ ൏ ݔ ൏ ߨ

Ͷ൅ ݇ߨ ሺ݇ א Ժሻ

„Ǥߨ

͵൅ ݇ߨ ൑ ݔ ൏ߨ

ʹ൅ ݇ߨሺ݇ א Ժሻ …Ǥʹߨ

͵ ൅ ݇ʹߨ ൑ ݔ ൑Ͷߨ

͵ ൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ 7.1.4. Nghiệm của bất phương trình là :

ƒǤ ൦ ߨ

Ͷ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ߨ

ʹ൅ ݇ʹߨ ͷߨ

Ͷ ൅ ݇ʹߨ ൏ ݔ ൏ ʹߨ ൅ ݇ʹߨ

ሺ݇ א Ժሻ

„Ǥ ൥ ݔ ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨ

െߨ

͵൅ ݇ʹߨ ൑ ݔ ൑ ߨ

͵൅ ݇ʹߨሺ݇ א Ժሻ

…Ǥ ൞݇ʹߨ ൏ ݔ ൑ ʹߨ

͵ ൅ ݇ʹߨ ݔ ് ݇ߨ

ʹ

ሺ݇ א Ժሻ

Đọc Thêm

͵ͳ

͹൏ ݔ ൏ ͵ͳͲ

Cách xấp xỉ trên của Archimedes có độ chính xác đến 3 chữ số sau dấu phẩy. Còn ͹ͳ Ptomely vào năm 150 sau Công Nguyên đã tính ߨ xấp xỉ bằng ͵ǡͳͶͳ͸. Và cuộc đua này

TẢN MẠN VỀ SỐ PI

Số ߨ là một trong những hằng số độc đáo và đặc biệt nhất của Toán học, và luôn hấp dẫn các nhà khoa học nói chung và nhà Toán học nói riêng bởi ở hầu hết các lĩnh vực đều thấy sự xuất hiện của số ߨ. Cụ thể như số ߨ đóng vai trò là tỉ lệ của đường kính và chu vi đường tròn, hay là một số siêu việt, tức là số không là nghiệm của bất kì phương trình đại số với hệ số nguyên nào…

Đã hàng nghìn năm nay, con người luôn cố gắng tính toán nhiều hơn nữa các chữ số sau dấu phẩy thập phân của số ߨ. Chẳng hạn như Archimedes đã tính giá trị ߨ bằng đánh giá xuất phát từ cách tăng số cạnh của đa giác nội tiếp vòng tròn

Về mặt lý thuyết, phương pháp xấp xỉ của Archimedes có thể kéo dài vô hạn, nhưng với phát minh về phép tính vi phân, phương pháp của người Hy Lạp không được dùng đến nữa. Thay vào đó, các chuỗi tích và liên phân số vô hạn hội tụ đã được sử dụng để xấp xỉ số ߨ.

Ͷ

ߨൌ ͳ ൅ ͳ

͵ ൅ Ͷ

ͷ ൅ ͻ

͹ ൅ ͳ͸

ͻ ൅ ʹͷ ͳͳ ൅ ͵͸

ߨ

Ͷ ൌ ͳ െͳ

͵൅ͳ ͷെͳ

͹൅ͳ ͻെ ͳ

൅ ڮ

ƒ”…–ƒሺݔሻ ൌ ݔ െݔ^ଷ

͵ ൅ݔ^ହ ͷ

ݔ^଻

͹ ൅ݔ^ଽ

ͻ െݔ^ଵଵ

ͳͳ ൅ ڮ ሺȁݔȁ ൑ ͳሻ

ߨൌ ξ͵

൬ͳ െͳ ͻ൅ ͳ

Ͷͷെ ͳ

ͳͺͻ൅ ͳ

͹ʹͻെ ͳ

൅ ڮ ൰

ƒ”…–ƒ ͳ ൌ Ͷ ƒ”…–ƒͳ

ͷെ ƒ”…–ƒ ͳ ʹ͵ͻ

ƒ”…–ƒ ͳ ൌ ƒ”…–ƒͳ

ʹ൅ ƒ”…–ƒͳ

͵

ƒ”…–ƒ ͳ ൌ Ͷ ƒ”…–ƒͳ

ͷെ ƒ”…–ƒ ͳ

͹Ͳ൅ ƒ”…–ƒ ͳ ͻͻ

ͳ͵ ൅ ڮ

Từ cuối thế kỷ 17, các dãy vô hạn và chuỗi trở thành những đối tượng chủ yếu trong nghiên cứu của các nhà Toán học. Một trong những kết quả đầu tiên theo hướng này là chuỗi Leibnitz được Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) tìm ra vào năm 1673.

ͳͳ

Chuỗi Leibnitz là một trường hợp riêng của một chuỗi tổng quát hơn, được tìm ra bởi James Gregory (1638-1675) vào năm 1670.

െ

Nếu như trong chuỗi Gregory, ngoài việc thay ݔ ൌ ͳ để được chuỗi Leibnitz thì ta có thể thay ݔ với các giá trị khác nhỏ hơn, để được một chuỗi khác có tốc độ hội tụ cao hơn rất nhiều. Abraham Sharp (1651-1742) đã sử dụng kết quả trên để đạt được kết quả kỷ lục vào năm 1699 với 71 chữ số sau dấu phẩy.

͵

͸ ʹ͸͹͵

Tiếp theo đó, các nhà Toán học đã thông qua việc tìm nhưng tổ hợp các ƒ”…–ƒሺݔሻ mà mỗi trong chúng được biểu diễn bởi các chuỗi hội tụ nhanh hơn chuỗi Leibnitz.

ƒ”…–ƒ ͳ ൌ ƒ”…–ƒͳ

ʹ൅ ƒ”…–ƒͳ

ͷ൅ ƒ”…–ƒͳ ͺ

Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng các đẳng thức này bẳng cách sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác :

ƒ”…–ƒ ݔ ൅ ƒ”…–ƒ ݕ ൌ ƒ”…–ƒ ݔ ൅ ݕ

ͳ െ ݔݕሺݔݕ ൏ ͳሻ

ƒ”…–ƒ ݔ െ ƒ”…–ƒ ݕ ൌ ƒ”…–ƒ ݔ െ ݕ

ͳ ൅ ݔݕሺݔݕ ൐ െͳሻ ʹ ƒ”…–ƒ ݔ ൌ ƒ”…–ƒ ʹݔ

ͳ െ ݔ^ଶሺȁݔȁ ൏ ͳሻ

Việc khai triển này cho ta được một chuỗi thuận tiện hơn rất nhiều cho việc tính toán.

Và giúp John Machin (1680-1751) tính được 100 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1706.

Thành công của John Machin đã khởi lên cho các nhà Toán học khác tiếp tục tham gia cuộc chạy đua mà nó đã bắt đầu từ thời Archimedes.

Sử dụng phương pháp của Abraham Sharp, De Lagny (1660-1734) đã tính được 127 chữ số sau dấu phẩy vào năm 1719. Không lâu sau đó, Leonard Euler (1707-1783) bằng một phương pháp khác kiểm tra kết quảcủa De Lagny và tìm ra sai sót ở chữ số thứ 113.

Năm 1841, William Reserford (không rõ năm sinh, năm mất) đã tìm ra 208 chữ số sau dấu phẩy và được kiểm tra lại bởi Johan Martin Zacharias Dase (1824-1861) sai ở chữ số 153. Năm 1847, Thomas Clausen (1801-1885) tiến thêm đến 250 chữ số sau dấu phẩy, trong đó có 248 chữ số tính đúng.

Năm 1853, William Reserford tăng thành tích của mình lên 440 chữ số sau dấu phẩy.

Và kỷ lục của thời kỳ này được thiết lập bởi William Shanks (1812-1882) với 530 chữ số (trong đó 527 chữ số tính đúng). Về sau, William Shanks đã phải làm việc cật lực để tính tiếp các chữ số tiếp theo, đưa kỷ lục lên đến 707 chữ số tính đúng.

Đến thế kỷ 20, cuộc cách mạng máy tính đánh dấu những thành tựu vĩ đại của trí tuệ con người. Những kiểm tra đầu tiên trên máy tính điện tử vào năm 1945 đã phát hiện William Shanks đã sai ngay từ chữ số thứ 528. Điều này khiến nhà Toán học Harold Scott MacDonald Coxeter (1907-2003) phải thốt lên rằng : “Không thể không buồn khi nghĩ rằng, những tính toán mà Shanks tội nghiệp đã phải bỏ ra một phần lớn của cuộc đời để tính, thì máy tính điện tử hiện đại có thể thực hiện trong vài giây như là để khởi động vậy”. Và như vậy, sự xuất hiện của máy tính điện tử làm cho tốc độ cuộc đua tìm những chữ số sau dấu phẩy càng tăng nhanh.

ߨ

ͳʹൌ ෍^ஶ ሺെͳሻ^௡ሺ͸݊ሻǨ

௡ୀ଴

ൣʹͳʹͳ͹ͷ͹ͳͲͻͳʹξ͸ͳ

chữ số đạt được vào năm 1958 bởi Fredrick Jenuine (1908-1973) với sự trợ giúp của máy tính IBM 704. Và 100.000 chữ số sau dấu phẩy của số ߨ được tính vào năm 1961 bởi Daniel Shanks (1917-1996) cùng với máy tính IBM 7079. Năm 1973, Jan Gyiu và M.

Buet (không rõ năm sinh, năm mất) đã lập kỷ lục với mức 1 triệu chữ số sau dấu phẩy, sử dụng gần một ngày làm việc của máy CDC-7600.

Đến cuối thế kỷ 20, người ta đã tính được số ߨ với độ chính xác đến chữ số thứ 200 tỉ.

Và cho tới hiện tại, mới đây nhất là kỷ lục của Fabrice Bellard (1972) khi tính chính xác đến chữ số thứ 2.7 tỉ tỉ của số ߨ. Mất đến 131 ngày để tính toán, nhưng đây là một kết quả cực kỳ ấn tượng vì Fabrice Bellard chỉ sử dụng máy tính để bàn thông thường để xử lý số liệu cùng với việc phát triển một phần mềm xử lý thuật toán mạnh hơn 20 lần so với những sản phẩm tương tự trước đó.

Tưởng như là kỷ nguyên của máy tính điện tử đã loại bỏ con người ra khỏi cuộc chơi một cách dứt khoát, máy tính nào có tốc độ xử lý nhanh hơn thì máy đó thắng. Nhưng sự thực thì không như vậy, chính con người đã khởi xướng cuộc chạy đua không tiền khoán hậu này và tạo nên nhiều thuật toán nhân nhanh giúp máy tính điện tử xử lý hiệu quả hơn.

Trở lại con số 200 tỉ đã được thiết lập vào cuối thế kỷ 20…

Năm 1987, Jonathan và Peter Borwein (1953) đã tìm ra một chuỗi đáng ngạc nhiên :

ሺ݊Ǩሻ^ଷሺ͵݊ሻǨ ൣͷʹͺͲ൫ʹ͵͸͸͹Ͷ ൅ ͵Ͳ͵Ͳ͵ξ͸ͳ൯൧^{ଷ௡ାଷଶ}

൅ ͳ͸ͷ͹ͳͶͷʹ͹͹͵͸ͷ ൅ ݊൫ͳ͵͹͹͵ͻͻͲͺͻʹ͸͹ʹξ͸ͳ ൅ ͳͲ͹ͷ͹ͺʹʹͻͺͲʹ͹ͷͲ൯൧ Dãy các số hạng dưới dấu tính tổng với ݊ ൌ Ͳǡͳǡʹǡ͵ ǥ bổ sung thêm khoảng 25 chữ số sau dấu phẩy cho số ߨ ứng với mỗi số hạng. Chỉ riêng số hạng đầu tiên ሺ݊ ൌ Ͳሻ cho giá trị gần đúng đến 24 chữ số sau dấu phẩy.

Thậm chí, Jonathan và Peter Borwein còn đưa ra thuật toán giúp tính toán các chữ số sau dấu phẩy của số ߨ, có hiệu quả thần kỳ. Mỗi một bước tính của thuật toán này làm tăng thêm độ dài các chữ số sau dấu phẩy được tính đúng lên 4 lần. Dưới đây là mô tả của thuật toán này :

Ta đặt ݕ_଴ ൌ ξʹ െ ͳ và ܽ_଴ ൌ ͸ െ Ͷξʹ, các số hạng tiếp theo ݕ_௡ାଵ được tính theo số hạng trước đó bởi công thức

ݕ_௡ାଵ ൌͳ െ ඥͳ െ ݕ^ర _௡^ସ ͳ ൅ ඥͳ ൅ ݕ^ర _௡^ସ Dãy số ሼܽ_௡ሽ được xây dựng bởi công thức

ܽ_௡ାଵ ൌ ሺͳ ൅ ݕ_௡ାଵሻ^ସܽ_௡െ ʹ^ଶ௡ାଷݕ_௡ାଵሺͳ ൅ ݕ_௡ାଵ൅ ݕ_௡ାଵ^ଶ ሻ Khi ݊ càng tăng thì ta có đánh giá

Ͳ ൏ ܽ_௡ െͳ

ߨ൏ ʹ^ଶ௡ାଷǤ ݁^{ିଶమ೙శభగ} Nói cách khác,

ͳ ߨ

ʹ ߨ

ߨ^ଶ

ܽ_௡ሱۛ^௡՜ஶሮ

Cơ sở của phát minh ra thuật toán này là những nghiên cứu trong lĩnh vực tích phân elliptic và hàm theta. Thuật toán kỳ diệu này lấy ý tưởng của nhà Toán học thiên tài người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Và con số 200 tỉ đã xuất hiện từ đó…

Có thể nói thêm rằng, một trong những phương pháp gây tò mò nhất để tính số ߨ là của Count Buffon vào thế kỷ 18 cùng với Bài toán chiếc kim của ông. Trên một mặt phẳng, ta kẻ các đường thẳng song song cách đều nhau ݀ đơn vị chiều dài. Thả chiếc kim có độ dài nhỏ hơn ݀ lên mặt phẳng đó. Nếu chiếc kim rơi lên trên đường kẻ thì lần thả đó được coi là thành công. Khám phá đầy bất ngờ của Buffon là tỉ lệ số lần thả thành công so với không thành công là một biểu thức chứa số ߨ.

Nếu chiều dài kim bằng ݀ đơn vị thì xác suất thả thành công là ͲǤ͸͵͸ͻͶͳͺ ൎ

Số lần thả càng nhiều thì xấp xỉ cho số ߨ càng chính xác. Trong một phương pháp xác suất khác để tính số ߨ là vào năm 1904, R. Chartes đã tìm ra xác suất để hai số nguyên được viết ngẫu nhiên nguyên tố cùng nhau và xác suất để một số nguyên được chọn ngẫu nhiên mà nó không chia hết cho số chính phương đều mang chung giá trị tuyệt vời là

͸

Trong tài liệu Phương Trình, Hệ Phương Trình Và Bất Phương Trình Lượng Giác – Võ Anh Khoa, Hoàng Bá Minh (Trang 181-200)