C HUYÊN ĐỀ 13. GÓC
4. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Chon hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm
TR UN G TÂM BD VH & LTĐH THIÊN AN
ĐỀ CƯƠN G ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
• Giả sử đường thẳng a có VTCP là #»a và (P) có VTPT là #»n thì khi đó sin
a,’(P)
= |#»a .#»n|
|#»a|.|#»n| ⇒
a,’(P) .
• Giả sử mặt phẳng (α) và (β) lần lượt có VTPT là #»a và #»
b. Khi đó
cos
(α),◊(β)
=
#»a .#»
b
|#»a|.
#»b
⇒
(α),◊(β) .
B
B BÀI TẬP MẪU
CÂU 53 (Câu 32 đề minh họa 2021-2022). Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng A0C0 và BD bằng
A. 90◦. B. 30◦. C. 45◦. D. 60◦.
A B
C D
A0 B0
C0 D0
CÂU 54 (Câu 35 đề minh họa 2020-2021).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AB = AD = 2 và AA0 = 2√
2 (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA0 và mặt phẳng (ABCD) bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
A0 D0
B C
C0
D A
B0
CÂU 55 (Câu 43 đề minh họa 2020-2021).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 45◦ (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A. a3
8 . B. 3a3
8 . C.
√3a3
12 . D. a3 4 .
S
A
B
C
TR UN G TÂM BD VH & LTĐH THIÊN AN
C
C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 13.1 (Đề minh họa 2019-2020). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a√
3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a√
2. Góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) là A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
A
B C
D S
Câu 13.2. Cho một hình thoiABCDcạnh avà một điểmS nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA=a và SA vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa SD và BC.
A. 60◦. B. 90◦. C. 45◦. D. 30◦.
Câu 13.3. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành vớiBC = 2a,SAvuông góc với mặt phẳng đáy, SA= 3a. Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào?
A. (20◦; 30◦). B. (30◦; 40◦). C. (40◦; 50◦). D. (50◦; 60◦).
Câu 13.4. Cho tứ diệnABCDcóAC =BC = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểmBC, AD. Biết M N =a√
3. Số đo góc giữa AC và BD là
A. 60◦. B. 90◦. C. 45◦. D. 30◦.
Câu 13.5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4BCD, M là trung điểm CD. Tính cô-sin góc giữa AC và BM.
A.
√3
4 . B.
√3
6 . C.
√3
2 . D.
√2 2 .
Câu 13.6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC =a. Các cạnh bên của hình chóp cũng bằng a√
2. Khi đó góc giữa hai đường thẳngAB và SC bằng A. 60◦. B. 90◦. C. 45◦. D. 30◦.
Câu 13.7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm BC, AD, AC. Cho AB = 2a, CD = 2a√
2, M N =a√
5. Tính góc ϕ=
AB, CDÿ .
A. 135◦. B. 60◦. C. 90◦. D. 45◦. Câu 13.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật với AB = a, AD = a√
3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào?
A. (30◦; 60◦). B. (40◦; 50◦).
C. (50◦; 60◦). D. (60◦; 70◦).
S
D
B C
A
Câu 13.9. Cho hình chóp S.ABC có các ∆ABC và ∆SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng
A. 45◦. B. 75◦. C. 65◦. D. 30◦.
Câu 13.10. Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), SA=a, ∆ABC đều cạnh a. Tính góc giữa SB và (ABC).
A. 30◦. B. 60◦. C. 45◦. D. 90◦.
ĐỀ CƯƠN G ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
Câu 13.11. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC), SA =a , ∆ABC đều cạnh a. Gọi β là góc giữa SC và mặt phẳng (SAB). Khi đó, tanβ bằng
A.
…3
5. B.
…5
3. C. 1
√2. D. √ 2.
Câu 13.12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a√
2 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
S
D
B C
A
Câu 13.13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = √
3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
S
D
B C
A
Câu 13.14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) vàSA=a√
6. Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng (SBC).
A. 1
3. B. 1
√6. C. 1
√7. D.
√3
√7.
Câu 13.15. Cho hình chóp đềuS.ABCDcó cạnh đáy a√
2, cạnh bên 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
B
A
C D O
S
Câu 13.16. Cho hình chópS.ABCD có đáyABCDlà hình thang vuông tại A và D, AD = 2AB = 2BC = 2a, SA và vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
S
A
B C
D
Câu 13.17. Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằngavàSA=SB =SC =SD=a.
Khi đó cô-sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng A. 1
4. B. 1
3. C.
√3
2 . D. −1
3.
Câu 13.18. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB =a, trên đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại điểm Ata lấy một điểm D sao cho4BCD đều. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (ABC)
TR UN G TÂM BD VH & LTĐH THIÊN AN
và (BCD) nằm trong khoảng nào?
A. (40◦; 50◦). B. (50◦; 60◦). C. (60◦; 70◦). D. (70◦; 80◦).
Câu 13.19. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, góc giữa đường thẳng A0C và mặt phẳng (ABC) bằng 30◦. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng
A. a3√ 6
18 . B. 2a3√
6
3 . C. a3√
6
2 . D. a3√
6 6 .
Câu 13.20. Cho lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, BAD’ = 1200. Góc giữa đường thẳng AC0 và mặt phẳng (ADD0A0) bằng 30◦. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. V =√
6. B. V =
√6
6 . C. V =
√6
2 . D. V =√
3.
Câu 13.21. Cho hình chóp đềuS.ABCDcó cạnh đáy 2a, cạnh bên a√
3 (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
A
B C
D S
Câu 13.22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a√
2,SAvuông góc với mặt phẳng đáy,SA=a√
3 (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦. A
B C
D S
Câu 13.23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB= 2a, AD= 2a√
3
3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
A
B C
D S
D
D BẢNG ĐÁP ÁN
53. A 54. B 55. A 13.1. A 13.2. C 13.3. D 13.4. A 13.5. B
13.6. C 13.7. D 13.8. D 13.9. A 13.10.C 13.11.A 13.12.A 13.13.A 13.14.D 13.15.C 13.16.A 13.17.B 13.18.B 13.19.D 13.20.C 13.21.B 13.22.C 13.23.B
ĐỀ CƯƠN G ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022 C
HUYÊN ĐỀ14. KHOẢNG CÁCH
A
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
a) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định nghĩa 0.1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên (P).
âBài toán cơ bản: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Xác định khoảng cách từ điểmA đến mặt phẳng (SBC).
Chú ý: Vị trí điểmM trên BC tùy thuộc đặc điểm của tam giác
ABC, thể hiện trong bảng sau: A
B
C S
M H
Nếu tam giác ABC vuông tại B thì M trùng với B.
Nếu tam giác ABC có ABC’ = 120◦ thì M nằm ngoài đoạnBC về phía điểm B.
B ≡M
A C
S
H
120◦
A
M
C S
B H
Nếu tam giác ABC cân tại A thì M là trung điểmBC.
Nếu tam giácABC vuông tại Avà AB <
AC thì M nằm trên đoạn BC và ở gần điểm B hơn điểm C.
A
B
C S
M H
A
B
C S
M H
TR UN G TÂM BD VH & LTĐH THIÊN AN
âĐưa về bài toán cơ bản:
• Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và M, N là hai điểm trên d thì d(M,(P)) = d(N,(P)).
d
P
M N
• Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại I thì d(M,(P)) = M I
AI d(A,(P)).
d
P
A I M
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa 0.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và ∆ là độ dài đoạn vuông góc chung của d và ∆.
âCách xác định thường dùng
• Tìm một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và song song với đường thẳngd.
• Chọn một điểm A trên d.
• Khi đó d(d,∆) = d(A,(P)).
d A
(P) ∆
B
B BÀI TẬP MẪU
CÂU 56 (Câu 36 đề minh họa 2021-2022). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB = 4 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB0A0) bằng
A. 2√
2. B. 2. C. √
2. D. 4.
A
B
C A0
B0
C0
CÂU 57 (Câu 36 đề minh họa 2020-2021).
Cho hình chóp tức giác đều S.ABCD có độ tài cạnh đáy bằng 2 và độ dài cạnh bên bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
A. √
7. B. 1. C. 7. D. √ 11.
S
B C
A D
ĐỀ CƯƠN G ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
C
C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 14.1. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AB =AC =a và thể tích bằng a3
6. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
A. h=a√
2. B. h=a√
3. C. h=a. D. h= 2a.
Câu 14.2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = a, SB = a√ 2, SC =a√
3. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
A. 11a
6 . B. a√
66
6 . C. 6a
11. D. a√
66 11 .
Câu 14.3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA⊥(ABCD). Gọi M là trung điểm BC.Biết BAD’ = 120◦, SM A’ = 45◦. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng
A. a√ 6
5 . B. a√
6
3 . C. a√
6
4 . D. a√
6 6 . Câu 14.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a√
3 và thể tích bằng a3. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.
A. h= 3a. B. h=a. C. h= a
√3. D. h= a 3.
Câu 14.5. Nếu có một khối chóp có thể tích và diện tích mặt đáy lần lượt bằnga3 và a2 thì chiều cao của nó bằng
A. 3a. B. a
3. C. 2a. D. a.
Câu 14.6. Cho hình chóp S.ABC có thể tích V = 2a3 và đáy ABC là tam giác vuông cân tại A biết AB=a. Tínhh là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
A. h= 6a. B. h= 3
2a. C. h= 3a. D. h= 12a.
Câu 14.7. Cho khối lăng trụ (H) có thể tích là 4a3, đáy là tam giác vuông cân có độ dài cạnh huyền bằng a√
2. Độ dài chiều cao khối lăng trụ (H) bằng
A. 8a. B. 4a. C. 6a. D. 2a.
Câu 14.8. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, thể tích khối chóp làa3. Tính chiều cao h của hình chóp.
A. h=a. B. h= 2a. C. h= 4a. D. h= 3a.
Câu 14.9. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a,Dlà trung điểmBC. BiếtSAD là tam giác đều và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).
A. 6√ 13a
7 . B. 4√
13a
13 . C. 4√
13a
7 . D. 6√
13a 13 .
Câu 14.10. Khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B.
Biết SB = 2a, BC =a và thể tích khối chóp là a3
3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) là.
A. 3a
2 . B. a. C. a√
3
4 . D. 6a.
Câu 14.11. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 45◦. Khoảng cách từ tâm O của ABCD đến mặt phẳng (SCD) bằng
A.
√2
4 a. B. 1
2a. C. a√
2. D.
√2 2 a.
TR UN G TÂM BD VH & LTĐH THIÊN AN
Câu 14.12. Cho hình chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 45◦. Khoảng cách từ trọng tâm Gcủa tam giác SAC đến mặt phẳng (SCD) bằng
A. 1
3a. B.
√2
6 a. C. 2√
2
12 a. D. 2√
2 3 a.
Câu 14.13. Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại Avà B, AB=BC =a,AD= 2BC. Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 60◦. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng
A.
√30
5 a. B. 2√
3
3 a. C.
√6
3 a. D. 2√
2 3 a.
Câu 14.14. Cho hình chópS.ABCDcóABCDlà hình vuông cạnha, cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ trọng tâm Gcủa tam giác SADđến mặt phẳng (SAC) bằng
A.
√2
4 a. B.
√2
6 a. C.
√3
2 a. D.
√3 6 a.
Câu 14.15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc hợp bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 45◦. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng
A.
√6
3 a. B.
√6
4 a. C.
√3
6 a. D.
√3 3 a.
Câu 14.16. Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCD là hình thoi cạnh bằng 2a√
3, gócBAD bằng 120◦. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45◦. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
A. 2a√ 2
3 . B. 2a√
2. C. a√
3. D. 3a√
2 2 .
Câu 14.17. Cho hình chóp S.ABC có ASB’ =BSC’ =CSA’ = 60◦ và SA= 3, SB = 6, SC = 9.
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng A. 3√
6. B. 6√
3. C. 9
2. D. 9√
3 2 .
Câu 14.18. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
A. a
2. B. 2a. C. a√
5
2 . D. a.
Câu 14.19. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA=a√
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng A. a
2. B. a√
2. C. a. D. a√
2 2 .
Câu 14.20. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 cóA0ABC là tứ diện đều cạnh a. Khoảng cách từ A0 đến mặt phẳng (BCC0B0) bằng
A. a√ 3
2 . B. a√
2
2 . C. a√
3
6 . D. a√
2 6 . D
D BẢNG ĐÁP ÁN
56. D 57. A 14.1. C 14.2. D 14.3. C 14.4. B 14.5. A 14.6. D
14.7. B 14.8. D 14.9. D 14.10.B 14.11.A 14.12.B 14.13.C 14.14.B 14.15.A 14.16.D 14.17.A 14.18.B 14.19.A 14.20.B
ĐỀ CƯƠN G ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022 C
HUYÊN ĐỀ15. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Thể tích khối chóp a. Thể tích khối chóp: V = 1
3B.h
• B: Diện tích mặt đáy.
• h: Chiều cao của khối chóp.
b. Tỉ số thể tích:
VS.A0B0C0
VS.ABC = SA0 SA.SB0
SB.SC0 SC c. Hình chóp cụt:ABC.A0B0C0
V = h 3
ÄB+B0+√ BB0ä
Với B, B0, h là diện tích hai đáy và chiều cao. A
C
B S
A0
B0
C0