XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ
Dạng 1: Tìm tọa độ các tiếp điểm
Nhận xét: Như vậy, với hàm đa thức bậc ba
( )
C thì phương trình hoành độ tiếp điểm khi biết hệ số góc k là một phương trình bậc hai (kí hiệu là( )
* ), do vậy sẽ có ba trường hợp xảy ra:▪ Nếu (*) vô nghiệm thì không có tiếp điểm, khi đó bài toán thường được phát biểu dưới dạng:
Câu 36. Cho hàm số C :y 1x3 1x2 x
3 2 1. Nếu tiếp tuyến tại điểm Mcủa C có hệ số góc bằng 2 thì tọa độ của điểm là:
A. 0 1; . B. ; 1
1 6 .
C. 6 49; . D. Cả A, B, C đều sai.
▪ Nếu (*) có một nghiệm thì có một tiếp điểm, khi đó bài toán thường được phát biểu như trên (tìm tọa độ tiếp điểm) hoặc dưới dạng:
Câu 37. Cho hàm số C :y 1x3 1x2 x
2 1
3 2 . Tiếp tuyến của C có hệ
số góc bằng 1 (hoặc song song với đường thẳng y x 1 hoặc vuông góc với đường thẳng x y 2 0) có phương trình:
A. 3x 3y 4 0. B. 2x 2y 3 0. C. x y 2 0. D. x y 1 0.
▪ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì có hai tiếp điểm, khi đó bài toán thường được phát biểu dưới các dạng:
➢ Lời giải tự luận kết hợp phép thử: Ta có : y' 3x2 6 .x Giả sử M x y; là tiếp điểm, khi đó:
2 1 1; 2
' 9 3 6 9
3 3;2
x A
y x x x
x B
Và tọa độ 2 điểm A, B thỏa mãn phương trình trong C.
Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn.
➢ Lựa chọn đáp án bằng phép đánh giá: Nhận xét rằng đường thẳng (AB) sẽ phải đi qua điểm uốn U của đồ thị hàm số.
Ta lần lượt có : y' 3x2 6x ; y'' 6x 6
'' 0 1 1;0
y x U
Và tọa độ U chỉ thỏa mãn phương trình trong C.
Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn.
Câu 39. Cho hàm số C :y x3 6x2 8x 1 . Tiếp tuyến của C vuông góc với đường thẳng
4 4 0
x y có phương trình:
A. 4x y 11 0. B. 4x y 9 0.
C. 4x y 6 0. D. 4x y 9 0.
Lời giải Chọn B.
➢ Lời giải tự luận: Ta có: y' 3x2 12x 8 Giả sử M x y; là tiếp điểm, khi đó:
' 4 3 2 12 8 4 2 2;1
y x x x x M
Từ đó, suy ra phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y 4 x 2 1 4x y 9 0
➢ Lựa chọn đáp án bằng phép thử kết hợp sử dụng MTCT: ta lần lượt đánh giá:
-Với đường thẳng trong đáp án A, ta có phương trình hoành độ giao điểm :
3 6 2 8 1 11 4 3 6 2 12 10 0
x x x x x x x
Phương trình không có nghiệm bội, bằng cách ấn:
w541=p6=12=z10==
Đáp án A bị loại.
Với đường thẳng trong đáp án B, ta có phương trình hoành độ giao điểm
3 6 2 12 8 0 2 3 0 2
x x x x x là nghiệm bội
9 4
y x tiếp xúc với (C)
Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.
Câu 40. Cho hàm số C :y x4 14x2 13 . Nếu tiếp tuyến tại điểm M của C có hệ số góc bằng 24 thì tọa độ của điểm M là:
A.M 3; 32 ,M 1;0 ,M 2; 27 . B. M 3; 32 ,M 1;0 ,M 2; 27 . C. M 3; 32 ,M 1;0 ,M 2; 27 . D. M 3; 32 ,M 1;0 ,M 2;27 .
Lời giải Chọn C.
➢ Lời giải tự luận: Ta có: y' 4x3 28x Từ giả thiết kM 24 , ta được:
3
3
4 28 24 1
2
M
M M M
M
x
x x x
x
3; 32 , 1;0 , 2; 27 .
M M M
➢ Lời giải tự luận kết hợp sử dụng MTCT. Ta có: y' 4x3 28x Từ giả thiết kM 24 , ta được:
3 3
3
4 28 24 7 6 0 1
2
M
M M M M M
M
x
x x x x x
x
bằng cách ấn:
w541=0=z7=z6==
Sau đó, chúng ta có tọa độ các tiếp điểm M 3; 32 ,M 1;0 ,M 2; 27 bằng cách ấn : Q)^4$p14Q)d+13
r3=
rz1=
rz2=
➢ Lựa chọn đáp án bằng phép thử kết hợp sử dụng MTCT. Ta lần lượt đánh giá:
-Vì M 1;0 C nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng k y' 1 24 bằng cách ấn:
qyQ)^4$p14Q)d+13$1=
Vậy các đáp án A và D bị loại.
-Vì M 2; 27 C nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng k y' 2 24 bằng cách thay đổi 1 ở dòng lệnh trên bằng 2.
qyQ)^4$p14Q)d+13$1=!!o 2=
Vậy đáp án B bị loại.
Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn.
Câu 41. Cho hàm số C :y x4 24x2 25 . Nếu tiếp tuyến tại điểm M của C song song với đường thẳng 64x y 4 0 thì tọa độ của điểm M là:
A.M 2; 55 ,M 4; 103 . B. M 2; 55 ,M 4; 103 . C. M 2; 55 ,M 4; 103 . D. M 2; 55 ,M 4; 103 .
Lời giải Chọn A.
➢ Lời giải tự luận: Ta có: y' 4x3 48x Giả sử điểm M(x;y) là tiếp điểm, khi đó:
3 2
' 64 4 48 64
4
y x x x x
x 2; 55 , 4; 103 .
M M
➢ Lời giải tự luận kết hợp sử dụng MTCT: Ta có: y' 4x3 48x
Giả sử điểm M(x;y) là tiếp điểm, khi đó: 3 2
' 64 4 48 64
4
y x x x x
x bằng
cách ấn:
w541=0=z12=16==
Khi đó, chúng ta có tọa độ các tiếp điểm là M 2; 55 ,M 4; 103 bằng cách ấn:
Q)^4$p24Q)d+25rz4=
r2=
➢ Lựa chọn đáp án bằng phép thử kết hợp sử dụng MTCT: Ta lần lượt đánh giá:
-Vì M 2; 55 C nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng k y' 2 64 bằng cách ấn:
qyQ)^4$p24Q)d+25$2=
Vậy cả đáp án C và D bị loại.
-Vì M 4; 103 C nên hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng k y' 4 64 bằng cách thay đổi 2 ở dòng lệnh trên bằng -4.
qyQ)^4$p24Q)d+25$2=!!o z4=
Vậy đáp án B bị loại.
Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn.
Câu 42. Cho hàm số C :y x4 4x2 5. Tiếp tuyến của C song song với đường thẳng 16x y 1 0 có phương trình là
A. 16x y 14 0. B. 16x y 27 0.
C. 16x y 18 0. D. 16x y 27 0.
Lời giải Chọn B.
➢ Lời giải tự luận: Ta có: y' 4x3 8x Giả sử điểm M(x;y) là tiếp điểm, khi đó:
' 16 4 3 8 16 2 2;5
y x x x x M
Từ đó, suy ra phương trình tiếp tuyến (d) có dạng
: 16 2 5 : 16 27 0
d y x d x y
➢ Lời giải tự luận kết hợp sử dụng MTCT: Ta có: y' 4x3 8x
Giả sử điểm M(x;y) là tiếp điểm, khi đó:
' 16 4 3 8 16 2
y x x x x bằng cách ấn:
w541=0=z2=z4==
Khi đó, chúng ta có tọa độ các tiếp điểm là M 2;5 .
Từ đó, suy ra phương trình tiếp tuyến (d) có dạng
: 16 2 5 : 16 27 0
d y x d x y
➢ Lựa chọn đáp án bằng phép thử kết hợp sử dụng MTCT . Ta lần lượt đánh giá:
- Với đường thẳng trong đáp án A, ta có phương trình hoành độ giao điểm là:
4 2 4 2
3 2
4 5 16 14 4 16 19 0
1 3 19 0 2.70522..
x x x x x x
x x x x x Phương trình không có nghiệm bội,
bằng cách ấn:
w541=1=z3=z19==
Vậy cả đáp án A và D bị loại.
-Với đường thẳng trong đáp án B, tương tự giải pthđ giao điểm có nghiệm bội x = 2.
Từ đó, suy ra phương trình tiếp tuyến d : 16x y 27 0 . Do đó việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.
Câu 43. Cho hàm số : 3 2 H y x
x . Hai tiếp tuyến của H song song với đường thẳng
4 1 0
x y tiếp xúc với H tại A B, . Tọa độ trung điểm I của AB là A. 0;3 .
2 B. 1;2 . C. 2;1 . D. 4;1 .
2 Lời giải
Chọn C.
➢ Lời giải tự luận: Ta có: ' 1 2 2 y
x
Giả sử M(x; y) là tiếp điểm, khi đó:
2
0;3
0 2
1 1 1
' 2;1
4 2 4 4 4;1
2 x A
y x I
x x B
.
➢ Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá: Nhận xét rằng hai điểm A, B đối xứng qua tâm I của đồ thị hàm số, nên I(2; 1) là trung điểm của đoạn AB.
Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn.
Câu 44. Cho hàm số : 2 1 1 H y x
x . Hai tiếp tuyến của H vuông góc với đường thẳng y 3x 2 tiếp xúc với H tại A B, . Phương trình đường thẳng AB có dạng:
A.x 2y 3 0. B. x 3y 5 0.
C. x 3y 5 0. D. x 2y 3 0.
Lời giải Chọn B.
➢ Lời giải tự luận: Ta có: ' 3 2 1 y
x
Giả sử M(x; y) là tiếp điểm, khi đó: 1 3 2 1 2 2;1
' 3 1 3 4 4;3
x A
y x x x B
Khi đó phương trình đường thẳng (AB) được cho bởi:
2;1 2 1
: : : 3 5 0.
4 2 3 1
4;3
qua A x y
AB AB AB x y
qua B
➢ Lời giải tự luận kết hợp phép thử: Ta có: ' 3 2 1 y
x
Giả sử M(x; y) là tiếp điểm, khi đó: 1 3 2 1 2 2;1
' 3 1 3 4 4;3
x A
y x x x B
Vậy tọa độ 2 điểm A, B thỏa mãn phương trình trong B.
Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn.