Chương 2
TÍNH CHẤT MỚI CÓ THỂ PHÙ HỢP VỚI XU HƯỚNG CỦA ĐỀ THI
Tính chất 19. Cho tam giácABC cân tạiA, các đường caoB D,C E,AH. Tiếp tuyến tạiB cắt đường thẳngDEtạiF. Khi đó
1. AF⊥B F. 2. B F=B H.
3. B F E Hlà hình thoi.
A
C B
D E F
H
1. Ta có∠AB F=∠AC B=∠ADF suy ra tứ giác ADB F nội tiếp suy raAF⊥B F.
2. Ta có∠B AF=∠B DF=∠DB H=∠D AH=∠H AB suy ra4AH B= 4AF B hayB H=B F. 3. Ta có∠E F B=∠D AB=∠B H E=∠DE Hsuy raH E∥B FhayB F E Hlà hình thoi.
5 5
(Võ Quang Mẫn) Đường thẳngDF đi quaM,F nênDF :y+6
5=0. GọiE(a;−6
5), ta cóB F E Hlà hình thoi suy ra
E(22
5 ;−6
5),H(2;−3) E(52
5 ;−6
5),H(8;−3) .
• E(52 5 ;−6
5),H(8;−3)
Đường thẳng AB đi quaB,E nên AB :x−3y−14=0. Đường cao AH đi quaH và vuông góc vớiDF nênAH:x−8=0. Tọa độAlà nghiệm của hệ
x−3y−14=0
x−8=0 ⇒A(8;−2).
ĐiểmC đối xứng vớiB quaHnênC(11;−3).
• E(22 5 ;−6
5),H(2;−3)
Hoàn toàn tương tự như trên ta cóA(2; 6),B(−1;−3)thỏa bài toán.
Tính chất 20. Cho tam giacsABC,Dlà điểm tùy ý trên cạnhBC.DElà phân giác của∠ADC. Đường thẳngB Ecắt ADtạiK. Kéo dàiC K cătAB tạiF. Khi đóDF là phân giác của∠ADB.
A
B
C D
E
K F
Bài tập 17.
Tính chất 21. Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn tâmI. GọiD,E,F lần lượt là tiếp điểm củaBC,C A,AB với(I)và M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳngM I cắt cạnhAB tạiN, đường thẳngDF cắt đường caoAH tại điểmP. Khi đó
1.
2. AN=AP. 3.
A B
C I
E
D
F
M N
H
P
Bài tập 18. Cho tam giác ABC vuông tạiAngoại tiếp đường tròn tâmI(2; 1). GọiD,E,F lần lượt là tiếp điểm củaBC,C A,AB với(I)và M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳngM I cắt cạnh AB tạiN, đường thẳngDF cắt đường cao AH tại điểmP. BiếtN(3; 4),P(1; 2)và đỉnhA thuộc đường thẳngx−3y−5=0. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.
Tính chất 22. Cho tam giácABC có các đường caoAD,B Ecắt nhau tạiH. GọiM,Nlà điểm đối xứng của H qua A,B. các đường thẳngM E,D N cắt các cạnhBC,AC tương ứng tạiP,Q. Khi đóPQ∥AB.
A
C B
H
D E
P
N Q
Bài tập 19.
Tính chất 23. Cho tam giácABC vuông tạiAvà không cân có trung tuyếnAM. GọiH,K lần lượt là trực tâm các tam giác AM B,AMC. Các đường thẳngB K,C H cắt nhau tạiD. Khi đó AM⊥AD.
A
B C
M K
H D
Ta cóC K ∥B H vì cùng vuông góc với AM. Chú ý các tam giác AM B,AMC cân tại M nên các tam giác AH B,AK C lần lượt cân tại H,K do đó DC = C K
= AK
hay AD∥C K. MàC K⊥AM nên
AD⊥AM. Bài tập 20.
Tính chất 24. Cho hình bình hànhABC D. Đường thẳng quaB vuông góc vớiAB cắt trung trực AC tạiE. Đường thẳng quaC vuông góc vớiC D cắt đường thẳng qua A và vuông góc B DtạiF. GọiK là điểm đối xứng củaAquaB, khi đóE,F là tâm ngoại tiếp và trực tâm tam giácAK C.
A
B C
D F
I E K
Dễ thấyB E,E I là trung trực của AK,AC nên E là tâm ngoại tiếp tam giác AK C. Ta có B I là đường trung bình của tam giácAK C màAF⊥B I nênAK⊥K C. mặt khácF C⊥C D nênC F⊥AK, vậy F là trực tâm tam giácAK C.
Bài tập 21. Cho hình bình hành ABC D. Đường thẳng quaB vuông góc với AB cắt trung trực AC tạiE. Đường thẳng quaC vuông góc vớiC D cắt đường thẳng qua A và vuông góc B DtạiF. BiếtA(−1;−3),E(83
20;− 3
80),F(17 10;123
40 ), tìm tọa độ các đỉnhB,C,D.
(Võ Quang Mẫn)
Tính chất 25. Cho hình chữ nhật ABC D,E là một điểm trên cạnh AD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc vớiB E cắt đường thẳngC D tạiF.E F cắtAC tạiH. Khi đóB H⊥E F.
A
B C
D E
H
Ta có∠AB E=∠C B F suy ra4AB E∼ 4C B F suy ra4ABC∼ 4E B F do đó∠B AH=∠B E H hay tứ giácB AE H nội tiếp suy raB H⊥E F.
Bài tập 22. Cho hình chữ nhật ABC D,E là một điểm trên cạnh AD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với B E cắt đường thẳng C D tại F.E F cắt AC tại H. Biết A(−2;−3),E(0;−3),H(54
25; 3
25). Tìm tọa độ các đỉnhB,C,D.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AE H có phương trình(AE H) : (x+1)2+y2=10. Đường thẳng B H đi quaHvà vuông góc AH nên có phương trìnhB H: 9x+13y−21=0. Tọa độB là nghiệm của hệ
9x+13y−21=0
(x+1)2+y2=10 ⇒B(−2; 3).
Đường thẳngE H: 13x−9y−27=0. Đường thẳngB Fđi quaBvà vuông gócB EnênB F:x−3y+11= 0. Tọa độF là nghiệm của hệ
x−3y+11=0
13x−9y−27=0 ⇒F(6;17 3 ).
Đường thẳngC D đi quaF song song vớiABnênC D:x−6=0. Đường thẳngBC đi quaBvà vuông góc AB nênBC :y=3. Giải ra ta đượcC(6; 3),D(6;−3).
Tính chất 26. Cho tam giácABC nội iếp đường tròn tâmI. Hai tiếp tuyến tạiB,C cắt nhau tạiD. Trung trựcAC cắt đường thẳngAB tạiK. Khi đó
1. Năm điểmB,K,I,C,Dnằm trên một đường tròn.
2. I K⊥K D. 3. DK∥AC.
A
B C
D K
I
1. Theo các tính chất kinh điển ta có∠B K C=2∠A=∠B ICnên tứ giácB K ICnội tiếp. Mặt khác doIC⊥C DvàI B⊥B Dnên tứ giácB IC D nội tiếp. Do đó năm điểmB,K,I,C,Dnằm trên một đường tròn.
2. Theo ý 1. ta có tứ giácI K DC nội tiếp suy raI K⊥K D. 3. ∠B K D=∠B I D=∠A suy raDK∥AC.
Bài tập 23. Cho tam giác ABC nội iếp đường tròn tâm I. Hai tiếp tuyến tạiB,C cắt nhau tạiD. Trung trựcAC cắt đường thẳngABtạiK. BiếtA(4; 5),D(4;−5),K(3
2; 0). Tìm tọa độ điểm B,C.
(Võ Quang Mẫn) Đường trung trực AC đia quaK và vuông gócK DnênK I: 2x−4y−3=0. ĐiểmC đối xứng với AquaK InênC(7;−1). Đường tròn ngoại tiếp tam giácK DCcó phương trình(K DC) : (x−4)2+(y+ 15
8 )2=625
64 .Tọa độ điểmIlà nghiệm của hệ
2x−4y−3=0 (x−4)2+(y+15
)2=625 ⇒I(4;5 4).
Tính chất 27. Cho tam giác ABC nhọn, phân giác AD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB D,AC Dlần lượt cắt các cạnh AC,AB tạiE,F. Khi đóC E=B F.
A
B
C D
E F
Bài tập 24.
Tính chất 28. Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi M,N,P,Q là trung điểm cạnhAB,C D,BC,AD.
1. M P NQlà hình bình hành có tâmE.
2. Đường thẳng qua M,N,P,Q lần lượt vuông góc với C D,AB,AD,BC đồng quy tạiK, ở đâyK đối xứng vớiI quaE.
A B
C
M D
N
I K P
Q
Bài tập 25. Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn tâmI(5; 0). Gọi M(1; 0),N(9; 2) là trung điểm cạnhAB,C D. Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABC, biếtA∈y+3=0.
(Võ Quang Mẫn)
Bài tập 26. Cho tứ giácABC Dnội tiếp đường tròn tâm. GọiM(1; 0),N(9; 2),P,Qlà trung điểm cạnh AB,C D,BC,AD. Đường thẳng quaP vuông góc vớiAD cắt đường thẳng quaQ vuông góc vớiBC tạiK(5; 2). Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABC, biếtA∈y+3=0.
(Võ Quang Mẫn)
Tính chất 29. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâmI. GọiM,N là trung điểm BC,AC vàHlà hình chiếu vuông góc củaNlênAB.Dựng hình chữ nhậtM I EC. Khi đó
1. H,N,E thẳng hàng hayHnằm trên đường tròn đường kínhB E.
2. GọiC0là đối xứng củaC quaIvàF là trung điểmC0B, ta có năm điểmB,F,H,E,Cnội tiếp.
B C N
I
M
E
D C0
F
1. Ta cóI N⊥NC,I M⊥MCdo đó năm điểmI,N,E,C,Mnội tiếp. Suy ra∠E NC=∠E IC=∠IC M= 900−∠A=∠AN H do đóH,N,Ethẳng hàng hayH nằm trên đường tròn đường kínhB E. 2. Chú ýI F⊥B F,B F⊥BC nênB F EClà hình chữ nhật do đóF nàm trên đường tròn đường kính
B Ehay năm điểmB,F,H,E,C nội tiếp.
Bài tập 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác nhọn ABC cóB(−2;−3)và C(10;−3)nội tiếp đường tròn tâmI(4;−1) .GọiN là trung điểmAC,H là hình chiếu vuông góc củaN lên AB.Tìm tọa độ của A biết rằng H thuộc đường thẳngx−2y+3=0và H có hoành độ dương.
(Võ Quang Mẫn) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình(ABC) : (x−4)2+(y+1)2=40.GọiM là trung điểmBC suy raM(4;−3). Dựng hình chữ nhật I MC E suy raE(10;−1). Đường tròn đường kínhB E có phương trình (B E) : (x−4)2+(y+2)2=37. Ta có H,N,E thẳng hàng hay H nằm trên đường tròn đường kínhB E. Tọa độ củaH là nghiệm của hệ
(x−4)2+(y+2)2=37
x−2y+3=0 ⇒H(5; 4).
Đường thẳngB Ađi quaB,Hnên có phương trình AB:x−y−1=0.Tọa độAlà nghiệm của hệ
(x−4)2+(y+1)2=40
x−y−1=0 ⇒A(6; 5).
Tính chất 30. Cho tam giácABC nhọn có các đường caoAD,B E,C F, trực tâmH. KẻAM,D N lần lượt vuông góc xuốngE F. Khi đó
1. M H đi qua trung điểmD N. 2. N D là phân giác∠B NC. 3.
A
B C
D
E F
H M
N
K
Bài tập 28.
Tính chất 31. Cho tam giác nhọn ABC có tâm đường tròn nội tiếp I. Đường thẳng vuông góc với AI tạiI cắt các cạnhAB,AC lần lượt tạiM,N. Khi đó4B M I∼ 4I NC hayB M.C N= M I.N I=I M2.
B
C I
M
N
Bài tập 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác nhọnABC có tâm đường tròn nội tiếpI(1; 0) .Đường thẳng vuông góc vớiAI tạiI cắt các cạnhAB,AClần lượt tạiM,Nsao choB M.C N=50.Viết phương trình đường thẳng AC biết rằngP(3; 11)thuộc đường thẳng AB,M thuộc đường thẳngx+y+7=0vàMcó hoành độ âm.
(HSG Nghệ An 2015)
Chương 3
TỔNG HỢP CÁC BÀI TRÊN GROUP OXY
Tính chất 32. Cho tam giác ABC vuông tạiC với đường caoC K. Trong tam giác AC K kẻ đường phân giácC E,D là trung điểm của đoạn thẳng AC,F là giao điểm của các đường thẳngDE vàC K. Chứng minh rằngB F∥C E.
A
C B
K E
D
F
Chú ý tam giácC B E cân tạiB vì∠EC B=∠C E B=900−∠B
2 . Dùng định lý Menelauyt đối với tam giácAC K ta có K F
K C.DC D A
E A
E K =1suy ra K F K C =E K
E A =C K C A =B K
BC =B K
B E do đóC E∥B F. Bài tập 30.
(Nguyễn Đại Dương)
A B
C
D
E
I
F
M
N
Chú ý năm điểm A,K,D,F,B nằm trên đường tròn tâmM bán kínhR=M D=BC
2 . GọiM(a;b) vìM K=M D=M F nênM(− 3
10;19
10). Chú ý theo tính chất cũ ta cóE F đi qua trung điểmN củaBC và bốn điểmE,D,M,N nằm trên đường tròn Euler. Đường tròn Euler có phương trình(x− 9
10)2+ (y−4
5)2=53
20. Phương trìnhE F: 2x−y−2=0. Tọa độNlà nghiệm của hệ
(x− 9
10)2+(y−4
5)2=53 20 2x−y−2=0
⇒N(3 5;−4
5).
Đường thẳngBC đi quaD,Nnên có phương trìnhBC :x+2y+1=0. Đường cao AD: 2x−y=0. Vì M là trung điểmAB,A∈2x−y=0;B ∈x+2y+1=0suy raA(8
5;16
5 ),B(−11 5 ;3
5). Đường trung trực của AB có phương trìnhM I: 19x+13y−19=0. Đường thẳngAF : 16x−3y−16=0. Tọa độIlà nghiệm của hệ
16x−3y−16=0
19x+13y−19=0 ⇒I(1; 0).
Đường tròn ngoại tiếp tam giácABC có phương trình(x−1)2+y2=53
5 . Tọa độClà nghiệm của hệ
(x−1)2+y2=53 5 x+2y+1=0
⇒C(17 5 ;−11
5 ).
Nhận xét: Ta có thể tìm điểmN không cần thông qua đường tròn Euler. Chú ýM N là trung trực củaDF.
Tính chất 33. Cho hình vuông ABC D có tâm I,M là một điểm thuộc cạnh AB sao cho B I =B M. Gọi N là giao điểm của I M và BC, đường tròn đường kính D N cắt B D tại tại P6=D. Khi đó
1. Tam giácM PC vuông cân tạiP.
2. Giả sửM P cắtAI tạiE, ta cóE là trung điểmAI. 3.
A
B C
D I
M
N
K
P E
Bài tập 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y cho hình vuông ABC Dcó tâmI,M là một điểm thuộc cạnh AB sao choB I =B M. GọiN là giao điểm của I M vàBC, trung điểm của cạnD N là điểmK thuộcd:p
2x−y+2=0. Đường tròn đường kínhD N cắtB Dtại tạiP6=D, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácP MClàx2+y2−2x−p
2y=0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuôngABC Dbiết tung độ các điểmK,B,C đều nguyên.
Tính chất 34.
B C I
D
E
K
F
Bài tập 33. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn(S)có tâmI, phân giác gócB AC cắt(S)tại điểm thứ haiD,D I :x+2y−10=0,C DcắtABtạiE(4; 5), đường tròn ngoại tiếp tam giácAC E có phương trình(T) :x2+(y−2)2=25. TìmA,B,C.
Tính chất 35.
A
B M H C
D
E K
Bài tập 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác cân ABC tại A. Biết trung điểm cạnhBC làH(2; 0)vàM(1; 0)là một điểm nằm trên cạnhB H. GọiD,Elần lượt là hình chiếu củaMtrênAB,AC. Tìm tọa độ các đỉnh tam giácABC, biết phương trình đường thẳng DE song song với đường thẳngx−5y=0vàA∈5x+2y−20=0.
(www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/)
Bài tập 35. Cho tam giác ABC, trực tâmH(−1; 6), các điểmM(2; 2),N(1; 1)là trung điểm các cạnhAC,BC. Tìm tọa độ tam giácABC.
A
B C
H
M
N
E
D C0
GọiD,E là điểm đối xứng củaH quaN,M suy raE(5;−2),D(3;−4). Ta có AD,B E là các đường kính nên các tam giácEC N,DC Mvuông tạiC. Đường tròn ngoại tiếp tam giácEC N và tam giác DC M có phương trình(EC N) : (x−3)2+(y+1
2)2= 25
4 , (DC M) : (x−5
2)2+(y+1)2= 37
4 . Tọa độC là nghiệm của hệ
(x−3)2+(y+1
2)2=25 4 (x−5
2)2+(y+1)2=37 4
⇒
C(11
2 ;−1 2) C(3; 2) ⇒
A(1; 2),B(−1; 0) A(−3
2;9
2),B(−7 2;5
2) .
Tính chất 36. Cho hình bình hành ABC D. Trên cạnhAD,AB lấy điểmE,F.B E,B F cắt nhau tạiI. Dựng hình hành AE K F khi đóI,K,C thẳng hàng.
D C
K E
I
Bài tập 36.
Tính chất 37. Cho tam giácABCcó đường caoAH,Mlà trung điểmBC. GọiDlà hình chiếu của M lên AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB D cắtBC tạiE. Khi đóE là trung điểm C H.
A
B
C M
D
E H
ÁP dung tính chất phương tích ta cóC E.C B=C D.C A=C M.C Hvà doC B=2C MnênC H=2C E, VậyElà trung điểmC H.
Bài tập 37. Cho tam giác ABCnhọn có đỉnhC(7;−4).M là trung điểmBC vàDlà hình chiếu vuông góc củaMlên cáchAC. Đường tròn ngoại tiếp tam giácAB Dcắt cạnhBC tạiE(4;−3). Biết Acách gốc bằng 5 vàxA>0. Tìm tọa độ điểmA.
Áp dụng tính chất ta có E là trung điểm HC suy ra H(1;−2). Đường thẳng AH đi qua H và vuông gócECnên có phương trình3x−y−5=0. GọiA(a; 3a−5)ta cóO A=5suy ra
"
A(3; 4)
A(0;−5) loại .
Tính chất 38. Cho tam giác ABC có tâm nội tiếpI, tâm bàng tiếp góc AlàJ và hình chiếu của AlênBC làH. GọiD là trung điểmI J,E là hình chiếu củaH lênA J, khi đóH E M Dnội tiếp đường kínhH D.
B C
J I
D
H M
E
Bài tập 38. Cho tam giácABC có tâm nội tiếpI(0;−1), tâm bàng tiếp gócAlàJ(5; 4)và hình chiếu củaAlênBC làH(11
25;− 2
25). Tính độ dài cạnhBC của tam giác.
Tính chất 39. Cho tam giác không cân ABC. Trên tia B AC A lấy các điểm D,E. Gọi K là chính giữa cungBC chứaA. Khi đó
1. đường tròn ngoại tiếp tam giácADEluôn đi quaK.
2. Bài toán vẫn cònn đúng khiD,E chạy trên tia đối củaB A,C A. 3.
A
B C
M K
D
E
Bài tập 39.
Bài tập 40. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,B E,C F cắt nhau tại H. Đường thẳng BC :x−2y−6=0vàK(32
5 ;−14
5 )là điểm đối xứng củaE qua đường thẳng BC. Biết F(0; 2),xB∈Z, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
B C H
M F
E
D
K
Điểm E đối xứng với K qua đường thẳng BC nên E(4; 2). Gọi M(2m+6; 6) chú ý tam giác B F C,B EC vuông tại F,E nên M F =M E suy ra M(2;−2). Gọi B(2b+6; 6) ta có M B =M F suy ra
"
B(6; 0)
B(−2;−4) loại do đóC(−2;−4). Đường thẳngB F cắtC E tạiK suy raK(1; 5).
Tính chất 40.
Bài tập 41. Cho hình vuông ABC D cóM,N lần lượt là điểm nằm trên đường chéo AC sao cho AC=3AM=4AN. Đường tròn ngoại tiếp tam giácB M N có phương trìnhx2+y2−15x− 13y+86=0. Biết trung trựcC D đi qua gốcOvàxA∈Z. Viết phương trình đường thẳngAB.
Bài tập 42. Cho tam giác ABC và D là trung điểm BC. Gọi E,F là hình chiếu của D lên AB,AC.DF cắt AB tạiP.DE cắt AC tạiQ. Tiếp tuyến tạiE,F của đường tròn ngoại tiếp tam giácE AF cắt nhau tạiM. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC biếtD M : 4x−y−6=0,PQ: x−y=0vàP có tọa độ nguyên vàB(11
25;81 25).
(Chế đề lại của Đoàn Trí Dũng)
A
B
C D
P M Q
E
F
Tọa độ điểmM là nghiệm của hệ
4x−y−6=0
x−y=0 ⇒M(2; 2).
Ta cóD M là trung trực củaBC do đóD(11 5 ,14
5 )vàC(99 25;59
25). GọiP(a;a)vìM là trung điểmPQsuy raQ(4−a; 4−a). Ta cóDlà trực tâm tam giácAPQnên
−−→P D.−−→
CQ=0
−→P B.−−→
QD=0 ⇒
P(1; 1) Q(3; 3)
.
Do đó đường thẳngP B: 4x+y−5=0và đường thẳngQC: 2x+3y−15=0. Tọa độAlà nghiệm của hệ
4x+y−5=0 2x+3y−15=0
.
Bài tập 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có H(3;−4
3)và I(6;−7 3) là trực tâm, tâm ngoại tiếp và các đường cao B E,C F. Đường trung trực của đoạnE F có phương trình :x−3y−10=0.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết điểm B có tung độ dương vàB E:x−3=0.
(www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/)
B C H
I
D
E
F
M J
Tính chất 41.
A
B C
D E
H
K
M N
Bài tập 44. Cho tam giácABC cóADlà phân giác trong∠B AC.E(1; 2)là điểm trên đoạnAD. Gọi H,K là hình chiếu của E trên AB,AC.M(2;−3)là trung điểmBC. Đường thẳng AM cắt đường thẳngH K tạiN(2; 3). BiếtB∈2x+y−5=0, tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
Tính chất 42. Cho hình vuôngABC DđiểmE bất kỳ trên cạnhBC. Đường thẳngAE cắtDC tạiF. Đường thẳngDE cắtB FtạiI. Khi đóC I⊥AF.
A
D C
B
E
F I
K L
Kéo dàiC I cắt AB tạiK. Theo định lý Menelauyt với đường thẳngD I trong tam giácBC F ta có:
DC DF.I F
I B.E B
EC =1. (∗)
Mặt khác theo Thalet ta có I F I B =C F
B K và EC C F = E B
AB =C E+E B C F+AB =C D
DF.Thế vào(∗)ta được B K BC =EC
C F, do đó tam giác4K BC∼ 4EC F. VậyE F⊥C K.
Nhận xét: ta có thể chứng minh bằng cách khác, cụ thể chứngB D∥E K, vìB D⊥AC nênE K⊥AC do đóE là trực tâm tam giácAC K. Từ đó suy raAE⊥C I.
Cách 2: Kéo dài DE cắt AB tại L. Dễ dàng chứng minh được LK B K = LI
I D do đó E K ∥B D. Mà B D⊥AC nênE K⊥AC hayE là trực tâm tam giácAC K. VậyAE⊥C K.
Bài tập 45. Cho hình vuông ABC DcóC(3;−3)và A∈x+2y−2=0. ĐiểmE thuộc cạnhBC. Giả sử đường thẳngAE cắt đường thẳngDC tạiF. Đường thẳngDE cắt đường thẳngB F tại I(87
19;− 7
19). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết đường thẳng AF đi quaM(4 3; 0).
Tính chất 43. Cho hình vuông ABC D cóM nằm trên cạnh AB. GọiE,F là hình chiếu của A,C lênD M vàIlà giao điểm củaC EvớiB F. Khi đóC E⊥B F.
B C M
E
F
Chú ý4AE D= 4DF C nên suy ra4BC F= 4C DEdo đó∠C B F=∠DC E hayC E⊥B F.
Bài tập 46. Cho hình vuông ABC D cóC(−4;−3),M thuộc cạnh AB. GọiE,F là hình chiếu của A,C lênD M.I(2; 3)là giao điểm củaC E vàB F. Điểm B ∈x−2y+10=0, tìm tọa độ các đỉnh của bình vuông.
Tính chất 44.
C
A B
O
H M
D
E
Bài tập 47. Trong mặt phẳngOx y, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(C)tâmO bán kínhO A. GọiH là hình chiếu củaC lênAB.M là trung điểmC H, Kẻ đường thẳng đi quaM và vuông gócOC cắt(C)tạiDvàE. Tìm tọa độDvàEbiết AB: 2x−y−6=0,C(−8; 3),E∈d: x+y=0.
Tính chất 45.
B
A C
H
M
N
I
Bài tập 48. Cho tam giác ABC. Có góc A là góc nhọn, M và N lần lượt là hình chiếu của A,C lênBC vàAB,H là trực tâm tam giácABC.I(2, 0)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác H M N. Tìm tọa độ điểmB,C biếtA(−1, 4)vàB thuộcd:x+2y−2=0vàCthuộc đường thẳng y= −4.
Tính chất 46.
B C
D M
E
F
N
Bài tập 49. Cho tam giác ABC cóD(3; 1)là chân đường cao hạ từ A xuốngBC,M là trung điểmBC. Đường thẳng quaDcắt đường tròn ngoại tiếp tam giácAB Dvà tam giácAC D tại E vàF. ĐiểmN(6; 4)là trung điểmE F. Đường thẳng AB có phương trình2x−y−1=0vàM thuộc đường thẳng có phương trìnhx−5y=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
Tính chất 47. Cho tam giácABC vuông tại Avới đường caoAH. GọiI là trung điểmAC và M thuộc cạnh AB. Đường thẳngI M cắt BC tại N. Đường thẳngH M cắt AN tạiE. Khi đó B E⊥AN
A
C
I
H B
M
N E
Bài tập 50.
Bài tập 51. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độOx ycho tam giácABC vuông tạiAcó đường caoAH, phân giác trong gócB AHcắt BH tại điểmD(1; 1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giácABC biết phương trình đường thẳng đi quaC và trung điểm củaADlàd:x−2y+6=0.
A B
C
H
D
E
Chú ý tam giác AC D cân tạiC.
Bài toán 11. Tam giácABC có trực tâmH(2; 1),A(−2;−1),BC =2p
5với các đường caoB D,C E. Giả
B C D
E
H
M I
K
Bài tập 52. Cho tam giác ABC cóA(5; 3),B(−4; 6). GọiI là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng quaI song songAB cắtBC tạiF(−11
4 ;9
4). Tìm tọa độ điểmC.
A
B C
I
F
Bài tập 53. Cho hình vuôngABC DcóA(−1; 1),E(4; 1),F(2; 2)lần lượt thuộc vào đường thẳng C DvàB Dbiết hệ số góc của đường thẳngAB dương. Tìm tọa độB,C,D.
A
B
C D
E F
K
Cho ba điểm cụ thể A,E,F làm sao dựng lại hình vuông? Chú ý tính chất tam giác vuông cân.
Thật vậy nếuK nằm trên đường thẳngC Dkhi đó tam giácAF K vuông thì nó vuông cân.
Cách làm là dựng điểmK sao cho tam giác AF K vuông cân tại F suy ra đường thẳngC D là đường thẳng đi quaE,K rồi suy ra điểmB,C,D.
Bài tập 54. Cho tam giácABC cân tạiAnội tiếp(C)đường kínhAK, điểmI nằm trên cung nhỏ AB, gọi M là giao điểm giữa I K vàBC. Đường trung trực củaM I cắt AB,AC tạiD,E. Giả sử biết tọa độI(−3; 0),D(−1;−1),E(3, 3). Tìm tọa độ các đỉnhA,B,C.
A
B C
K I
M
N D
E
J
K∈x+y+3=0nên A∈x+y−7=0. Tọa độAlà nghiemj của hệ
(x+1
2)2+(y−5
2)2=25 2 x+y−7=0
⇒A(2; 5).
Đường tròn ngoại tiếp tam giácABC có tâm J bán kínhJ Anên có phương trình(x−2)2+y2=25. Đường thẳngADđi quaA,Dnên có phương trình AD: 2x−y+1=0. Tọa độB là nghiệm của hệ
(x−2)2+y2=25
2x−y+1=0 ⇒B(−2;−3).
Đường thẳngAEđi qua A,E nên có phương trìnhAE: 2x+y−9=0. Tọa độC là nghiệm của hệ
(x−2)2+y2=25
2x+y−9=0 ⇒C(6;−3).
Bài tập 55. Trong mặt phẳng toạ độOx ycho tam giácABC có trực tâmH(−7 2;1
2). GọiM,N lần lượt là trung điểmAB,AC. Giả sửM(2; 4),N(5
2;−1
2). Tìm toạ độ các điểmA,B,C biếtAcó tung độ nhỏ hơn 3
2.
A
B C
M N
D
E
F H
P Q
Tính chất 48. 1. C M⊥E F 2. C F⊥DE
A
B C
D M
E
F G
Bài tập 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho hình vuôngABC D, lấy điểmM thuộc cạnhB D. GọiE,F lần lượt là hình chiếu củaM lên các cạnhAB,AD. Đường thẳngC M,DE lần lượt có phương trìnhC M :x+3y−8=0,DE :−4x+y+3=0. Tìm tọa độ đỉnhB,C biết F(1; 2).
(Nhóm thi thử lần 9) Đường thẳngC F đia quaF và vuông gócC EnênC F :x+4y−9=0. Tọa độC là nghiệm của hệ
x+4y−9=0
x+3y−8=0 ⇒C(5; 1).
Đường thẳngE F đi quaF và vuông gócC M nên có phương trình F E : 3x−y−1−0. Tọa độE là nghiệm của hệ
3x−y−1−0
−4x+y+3=0 ⇒E(2; 5).
Đường tròn đường kínhE F có phường trình(x−3
2)2+(y−7 2)2=5
2. Tọa độM là nghiệm của hệ
(x−3
2)2+(y−7 2)2=5
2 x+3y−8=0
⇒
M(2; 2) M(1
5;18
5 ) loại vìM,C khác phíaE F .
Đường thẳngC B đi quaC và song songM Enên có phương trìnhx=5. Đường thẳng AB đi quaE và vuông gócM Enên có phương trình AB:y=5. Tọa độB là nghiệm của hệ
x=5
y=5 ⇒B(5; 5).
ABC.
A B
C
I
F E
D
H
N
Bài tập 58. Trong mặt phẳng tọa độOx y, cho tam giác nhọn ABC, gọiE,F lần lượt là hình chiếu của các đỉnhB,C lên các cạnhAC,AB. Các đường thẳngBC vàE F lần lượt có phương trình làBC :x−4y−12=0,E F: 8x+49y−6=0, trung điểmI củaE F nằm trên đường thẳng
∆:x−12y=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC biếtBC =2p
17và đỉnhB có hoành độ âm.
A
B D C
E
F
I
K
H
M
Đầu tiên chỉ ra tọa độ điểmICác em suy nghĩ vì sao đề cho điểm I là trung điểmE F? Tìm mối liên hệ tại điểmE,F.
Thấy tam giácB F C,B EC như thế nào?
Do đó gọiM là trung trực củaE F thì ta đươc điều gì? (M I là trung trựcE F) suy tọa độ điểmM Đùng tính chất nội tiếp ta suy ra tọa độE,F rồi suy raA
Tính chất 49.
Bài tập 59. Cho tam giácABC không vuông, trực tâmH thuộc trục hoành.M,N,P lần lượt là trung điểm các đoạn AH,B H,C H. đường tròn qua ba điểm M,N,P có tâm K(1
2;1 2). Xác định tọa độ ba đỉnh tam giác biết phương trình trung trựcAB làx+y=0,C∈x+2y=0.
Tính chất 50.
Bài tập 60. Trong tọa độOx y, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có phương trình(x− 3)2+(y−2)2=25. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC, biếtI(1; 1)là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Tính chất 51. Cho tam giácABC cóDlà chân đường phân giác trong∠ABC,Elà trung điểm B D. Đường thẳngC Ecắt phân giác ngoài∠ABC tạiF. Khi đó AF ∥B Dhay AF⊥B D.