Một Số Tính Chất Hay Dùng Trong Hình Học Phẳng Oxy Tập 2 – Võ Quang Mẫn

VÕ QUANG MẪN

Ngày 3 tháng 5 năm 2016

1 TÍNH CHẤT KINH ĐIỂN CẦN NẮM VỮNG 3

1.1 Đường tròn Apolonius . . . 3

1.2 Hàng điểm điều hòa . . . 5

1.3 Phép nghịch đảo, cực và đối cực. . . 9

1.4 Tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc . . . 13

1.5 Tứ giác ngoại tiếp . . . 17

1.6 Hai đường tròn trực giao . . . 17

1.7 Trực tâm, trung điểm và tính đối trung. . . 17

1.8 Tâm nội tiếp của tam giác đường cao. . . 26

1.9 Tập phân tích những bài toán có sự đối xứng, yếu tố trung tâm và mối liên hệ giữa chúng . . . 28 2 TÍNH CHẤT MỚI CÓ THỂ PHÙ HỢP VỚI XU HƯỚNG CỦA ĐỀ THI 29

3 TỔNG HỢP CÁC BÀI TRÊN GROUP OXY 41

Do thời gian gấp rút nên một số bài chưa kịp đăng lời giải, một số bài có thể thiếu dữ kiện (lỗi do đánh máy). Các em tự làm và tự phát hiện tính chất cho những bài không có đáp án. Do nhiều quá nên không nhớ hết tác giả của từng bài toán. Dù đã cố gắng hết sức nhưng không thể tránh khỏi nhiều sai sót, mong được bỏ qua.

Sẽ có một bản hoàn thiện hơn cho cả hai tập. Thân chào các em và đồng nghiệp! . Sử dụng bản gốc là sự tôn trọng về tác giả, còn sử dụng bản sách lậu là tiếp tay cho bọn tội phạm.

Võ Quang Mẫn

Chương 1

TÍNH CHẤT KINH ĐIỂN CẦN NẮM VỮNG

1.1 Đường tròn Apolonius

Định nghĩa 1. Cho tam giác ABC cóBC cố định, điểm A di động sao cho0< AB

AC =k <1 không đổi. Khi đó Achạy trên một đường tròn và đường tròn này gọi là đường tròn Apolo- nius.

Bài tập 1. Cho tam giác^ABC có^AB=2AC và^Mlà trung điểm^AB.Cho^I(1;−8)là tâm đường tròn tiếp xúc với cạnh^AB,AC lần lượt tại^M,C. Biết^BC :x−9y+5=0và^A∈x+y−3=0. Tìm tọa độ các đỉnh ^A,B,C.

(Vted lần 6)

C

B Q P

E

A

M

I F

H

GọiP,Q là các điểm chia đoạnC Btheo tỷ sốk= −1 2;1

2. Khi đó ta có ^AC AB =PC

P B =QC

QB nên AP,AQ là phân giác ngoài của tam giácC ABhay Achạy trên đương tròn đường kínhPQ. GọiElà trung

P là nghiệm của hệ







(a−11)(x−1)+(a−1)(y+8)=0

x−9y+5=0 ⇒P(−34a+11

5(a−10) ; −a−29 5(a−10)).

Ta có^−→P F =1 4

−→P Asuy raF()suy ra đường thẳngC F đi quaF vuông gócAI có phương trình. Tọa độ C là nghiệm của hệ





x−9y+5=0 ⇒C().

Chú ýC A⊥C I nên^−−→C A.−→

IC=0suy ra

"

a= a= . Nhận xét:

• Cách làm 1 có vẻ tự nhiên theo tư duy thông thường mà một học sinh đa số sẽ suy nghĩ theo hướng này.

• Dựa vào cách 1 ta có thể tổng quát cho tam giác cóAB=k AC. Cách 2: làm hình học theo tính chất suy đoán

Ta chứng minh thêm một tính chất đẹp hơn nữa nếu phát hiện đó là: GọiGlà trọng tâm tam giácABC khi đóIG⊥BC. Câu hỏi đặt ra là làm sao phát hiện được điều này? Xin thưa theo ý chủ quan của mình thì tác giả có thể xuất phát từ bài toán sau.

Tính chất 1. Cho tam giác cân ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm I có dường trung tuyếnB M. GọiGlà trọng tâm tam giácAB M. Khi đóG I⊥B M.

A

B C

I

M E

D

G

1.2 Hàng điểm điều hòa

Tính chất 2. Cho tam giác ABC nhọn, trực tâmH nội tiếp đường tròn(O). Các đường cao AD,B E,C F.E F cắtBC tạiK.M là trung điểmBC. Khi đó

1. M D.M K=M B²=MC².

2. Gọi T là giao điểm của tia MH với đường tròn (O). Chứng minh rằng năm điểm T,F,H,A,E nằm trên một đường tròn.BC,E F,AT đồng quy tạiK vàAM⊥K H.

3. AM cắtK HtạiIvà AMcắt(O)tạiJ. Ta cóM I =M J

A

B

C M

F

E

H

K D

T

I

J L

O

N

1. Ta có(K,D,B,C)= −1và doM là trung điểm củaBC nênM D.M K=M B²=MC².Chú ý ta có thể chứng minh bằng sơ cấp ý 1. bằng cách sử dụng ý 2. và ý 3. rồi suy ra lại ý 1. như sau 2. Giả sử AOcắt đường tròn(O)tạiN. Chú ýH,M,N thẳng hàng suy raH T⊥AT. Do đó năm

điểmT,F,H,A,E nằm trên một đường tròn. VìE F cắtBC tạiK nênK là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), (M), (L) hay BC,E F,AT đồng quy tại K. Trong tam giác AK M có AH,M H là đường cao nênK H⊥AM.

3. Chú ýM là trung điểm củaH N và H I,N J song song vì cùng vuông góc với AMnên H I N J là hình bình hành hayM là trung điểm củaI J.

Khi đó ta chứng minh lại ý 1. như sau: Ta cóM D.M K=M I.M A=M J.M A=M B.MC =M B²=MC² Nhận xét:Chú ý khi tam giácABC tù thìHvẫn là trực tâm tam giác AK M.

Bài toán 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(3; 0) và trung điểm của BC là I(6; 1). Đường thẳng AH có phương trìnhx+2y–3=0.Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng DE:x–2=0và điểm D có tung độ dương. (Chuyên Vĩnh Phúc 2015) Bài toán 3. Cho 4ABC với các đường cao AD,B E,C F cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểmBC vàN là giao điểmE F vàBC. ChoC(5;−4),N(−65

2 ;7

2)và đường thẳng AM: 9x−y−3=0,H thuộc đường thẳngd:x−37−3=0.

(www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/) Bài toán 4. TrongOx y cho tam giác nhọn ABC cóA(7; 4).E,F là hình chiếu củaB,C lên AC,AB. GọiK(1;−1)là giao điểm củaE F vàBC, trung điểmBC có tọa độM(9; 1). Tìm tọa độB,C.

(www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/) Tính chất 3. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp (I)tiếp xúc với các cạnhBC,C A,AB lần lượt tạiD,E,F. Khi đó

1. Giả sửE F cắtBC tạiK thì(K,D,B,C)= −1suy raM D.M K=M B²=MC². 2. Giả sử ADcắtE F tạiP và cắt(I)tạiQ thì(A,P,Q,D)= −1.

3. Hạ^{D H} vuông góc với^{E F} ta có^{H D} là phân giác∠^{B HC.}

A

B

C D

I

E

F

M Q

P

K

H

1. Chú ý ^{AD,B E},C F đồng quy nên theo định lý Ceva và Menelauyt ta có^(K,D,B,C)= −1. từ đó theo công thức Maclaurin nên ta có^{M D.M K}=M B²=MC².

2. Được suy ra từ 1.

3. Vì(K,D,B,C)= −1vàK H⊥H D nênH Dlà phân giác trong của∠^{B HC}. Chú ýK Q là tiếp tuyến của(I).

Bài toán 5. Cho tam giác ABC cóB µ1

2; 1

¶

, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnhBC,C A, AB lần lượt tạiD,E,F. ChoD(3; 1),E F :y−3=0. TìmAbiết Acó tung độ dương.

(B-11) Bài toán 6. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnhBC,C A, AB lần lượt tạiD,E,F. ChoD(2;−2),E F :y−1=0, điểmM(0;−3)là trung điểm củaBC . TìmA,B,C .

(www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/) Bài toán 7. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnhBC,C A, AB lần lượt tạiD,E,F. ChoD(2;−2),E F :y−1=0, điểm A(1; 5). TìmB,C .

(www.facebook.com/groups/moingaymottinhchat/) Tính chất 4. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn(I)với các tiếp điểm của các cạnh BC,C A,AB làD,E,F. Đường thẳngI DcắtE F tạiP. Khi đóAP đi qua trung điểmM củaBC.

I

D A

B C

E

F

P

M

N K

QuaPkẻ đường thẳng song song vớiBC, cắtAB,ACtạiN,K. Xét tam giácAN KcóI F⊥AN,I P⊥N K,I E⊥AK vàE,P,F thẳng hàng nên theo định lý đảo Simson ta có tứ giácAN I K nội tiếp, hay∠^{F N I=}∠^{E K I}.

DoI F =I Enên4I F N = 4I E K. Do đóI N=I K suy ra tam giácN I K cân tạiN cóI P là đường cao nênP là trung điểmN K. VậyAP đi qua trung điểmM củaBC.

Cách 3: Dùng hàng điểm điều hòa (tuyệt chiêu).

Bài tập 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp dường tròn tâm I(1; 1)bán kínhr =2và các tiếp điểm với các cạnhBC,C A,ABlàD,E,F. Đường thẳngD I cắtE FtạiP. Giả sửAP: 2x−y+1=0, trực tâmH(−1; 3), trọng tâmG thuộc đường thẳngd:x−y+2=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài tập 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm tại các cạnh BC,C A,AB lần lượt làM,N,P. GọiD là trung điểmBC. BiếtM(−1; 1),N P:x+y−4=0,AD: 14x−13y+7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC.

(HSG Nghệ An) Để làm bài bài này ta cần ôn lại các tính chất đã học

1. P N,AD,M I đồng quy tạiK.

2. Giả sửP N cắtBC tạiE, khi đóD M.DE=DB²=DC². (Tính chất hàng điểm điều hòa)

A

B

C I

P

M

N

D K

E

Tọa độK là nghiệm của hệ







14x−13y+7=0

x+y−4=0 ⇒K(5 3;7

3).

Đường thẳng^BC đi qua^M và vuông góc^{M K} nên^{BC : 8x}+4y+3=0. Tọa độ^Dlà nghiệm của hệ







14x−13y+7=0

8x+4y+3=0 ⇒D(−1 2; 0).

Tọa độE là nghiệm của hệ







x+y−4=0

8x+4y+3=0 ⇒E(−5; 9).

Sử dụng tính chất^{D M.DE}=DB²=DC²suy ra

"

B(−2; 3),C(1;−3) C(−2; 3),B(1;−3).

• B(−2; 3),C(1;−3)

Sử dụngE P E N=E M²suy raP(0; 4),N(3; 1)do đó đường thẳngAB đi quaB,P nên có phương trìnhAB:x−2y+8=0, tương tựAC: 2x−y−5=0. Tọa độAlà nghiệm của hệ







x−2y+8=0

2x−y−5=0 ⇒A(6; 7).

• C(−2; 3),B(1;−3)

Giải tương tự ta cũng cóA(6; 7).

1.3 Phép nghịch đảo, cực và đối cực

Định nghĩa 2. Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A. Xét phép nghịch đảo cực O phương tích R² biến A thành H. Đường thẳngd đi qua H và vuông góc vớiO A được gọi là đường đối cực của điểmAđối với đường tròn(O)vàAlà cực của d đối với đường tròn(O).

O A

C H

Bài tập 4. TìmM∈O y sao cho từM kẻ được hai tiếp tuyếnM A,M B đến(C) : (x−4)²+y²=4 sao cho AB đi quaE(4; 1).

Cách 1: dùng hình họcTa cần tính chất quan trọng của cực và đối cực

Tính chất 5. AB là đường đối cực của điểmMvà AB đi quaE do đóM nằm trên đường đối cực của điểmE.

AB là đường đối cực của điểmM do đóM nằm trên đường đối cực của điểmE. Đường thẳng I E:x=4, trên đường thẳng I E lấy điểmH sao cho^−→I E.−→

I H =R²suy raH(4; 4). QuaH dựng đường thẳng vuông góc vớiI H cắt đường thẳngO y tạiM suy raM(0; 4).

Cách 2: dùng hình học theo ngôn ngữ THCS

I

M

B A

E

K

D

H

Giả sử^{I M} cắt^AB tại^H. Hạ ^{I K} vuông góc xuống đường thẳng^{O y} suy ra^K(0; 0). Giả sử^{I K} cắt AB tại^D. Ta có tứ giác ^{H DK M} nội tiếp suy ra^{−→I D.−→I K} =−→

I H.−−→

I M =I A²=4suy^{D(3; 0)}. Đường thẳng AB đi qua^D,Enên có phương trình ^AB :x−y−3=0. Đương thẳng^{I M} đi qua^Ivuông góc với ^AB nên có phương trình^{I M} :x+y−4=0. Tọa độ^M là nghiệm của hệ







x+y−4=0

x=0 ⇒M(0; 4).

Cách 3: dùng đại sốĐường tròn(C)có tâmI(4; 0)và bán kínhR=2. GọiM(0;m), ta cóM A²= M I²−I A²=m²+16−4=m²+12. Do đó đường tròn tâmM bán kínhM Acó phương trìnhx²+(y− m)²=m²+12. Vì vậy đường thẳngAB có phương trìnhAB : 8x−2m y−24=0. Đường thẳng AB đi quaE(4; 1)suy ram=4hayM(0; 4).

Bài tập 5. Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn tâmI(3; 3). Các đường caoAD,B E,C F cắt nhau tạiH. Đường thẳngE F cắt đường thẳng ADtạiP(2;7

2). GọiM(3; 2)là trung điểm của BC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác^ABC.

(Trần Công Hưng)

Bài này ta làm cách tổng quát, và cần nhớ lại các tính chất kinh điển đã học.

Tính chất 6. GọiK là trung điểmAH. Khi đó 1. ^−−→AK =−−→

I M.

2. K E⊥E M,K F⊥F M.

B

C I

M H

D

E

F

P K

90^◦

90^◦ Q

Cách 1 dùng trục đẳng phương Đường thẳng AD đi quaP và song song với I M nên AD : x−2=0. GọiK(2;a), ta có đường tròn ngoại tiếp tứ giác AF H E là đường tròn tâmK bán kínhI M nên có phương trình(x−2)²+(y−a)²=1.Đường tròn đường kínhK Mcó phương trình(K M) : (x−

5

2)²+(y−a+2

2 )²=1+(2−a)²

4 .Do đó đường thẳng^{E F}có phương trình^{E F} :x+(2−a)y+a²−2a−3=0.

Đường thẳngE F đi quaP suy raa²−11

2 a+6=0suy ra



 a=4 a=3 2

.Do đó





K(2; 4) K(2;3

2) , vì^−−→AK =−−→

I M nên





A(2; 5) A(2;5

2) .

Cách 2 tuyệt chiêu, dùng cực và đối cực hay hàng điểm điều hòa Tính chất 7. K P.K D=K H²=K A²=I M².

Đường thẳng AD đi qua P và song song với I M nên AD: x−2=0,AD: y =2. Suy ra tọa độ D(2; 2). Chú ýK P.K D=K Q.K M=K E²=I M²suy ra





K(2; 4) K(2;3

2) , vì^−−→AK =−−→

I M nên





A(2; 5) A(2;5

2) . Nhận xét:

• Tính chất trên là hệ quả của định lý Brocard. Ta có(A,H,P,D)= −1.suy raK P.K D=K H²= K A².

• Theo quan niệm cực và đối cực. Xét đường tròn tâmK bán kínhK A. Vì đường đối cực củaM làE F đi quaP nên đường đối cực củaP cũng đi quaM do đó đường đối cực củaP là đường thẳng quaM vuông góc vớiK P, tức là đường thẳngBC.

Tính chất 8. Cho tam giác ABC vuông tạiAnội tiếp đường tròn(O). Đường caoAH, đường tròn tâmAbán kínhAH cắt(O)tạiE,F. GọiI là giao điểm củaAH vàE F. Khi đóI là trung điểmAH.

A

B C

H E

F

I 90^◦

GọiA⁰là điểm đối xứng củaAquaBC. Xét phép nghich đảo f cựcAtheo phương tíchk=AH². Ta có f(E)=E,f(F)=F mà(O)đi quaA nên qua phép nghịch đảof biến(O)thành đường thẳng E F hay f(A⁰)=I. Do đóAI.A A⁰=AH²màAH =1

2A A⁰nênAI =1

2AH hayI là trung điểmA A⁰. Nhận xét: GọiMlà trung điểmBC theo tính chất của phép nghịch đảo ta cóAM⊥E F.

1.4 Tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc

Tính chất 9. Cho tứ giácABC Dnội tiếp đường tròn có hai đường chéoAC⊥B Dvà cắt nhau tạiI. GọiM,Nlà trung điểmAD,BC.M I,N I cắtBC,ADtạiH,K. Khi đóM H⊥BC,N K⊥AD.

A

C B

I

D E M

H

N

K

Ta có∠^{H B I}=∠^{I AD}và∠^{B I H}=∠^{M I D}=∠^{M D I}do đó∠^{H B I}+∠^{B I H}=∠^{I AD}+∠^{AD I}=90⁰hay M H⊥BC. Tương tựN K⊥AD.

Bài tập 6. Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn có hai đường chéo AC⊥B D và cắt nhau tạiI(3; 3). BiếtBC :x+7y−48=0,AD:x−7y−6=0,x_B>0.Tìm tọa độ A,B,C,D.

(Vted lần 13) Đường thẳngN I đi quaI và vuông gócADnênN I: 7x+y−24=0. Tọa độNlà nghiệm của hệ







7x+y−24=0

x+7y−48=0 ⇒N(5 2;13

2 ).

GọiB(48−7b;b)ta cóN B=NC=N Isuy ra

"

B(6; 6)

B(−1; 7) loại ^.

Suy raC(−1; 7). Đường thẳngB I đi quaB,I nên có phương trìnhB I :x−y=0. Tọa độDlà nghiệm của hệ







x−y=0

x−7y−6=0 ⇒D(−1;−1).

Tương tự giải raA(6; 0).

Mở rộng lên ta có tính chất tương tự.

Tính chất 10. Cho tứ giácABC Dnội tiếp đường tròn. Hai đường chéo AC,B Dcắt nhau tại I. GọiE là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAD I. Khi đóE I⊥BC.

A

B

C

D I

E F

Ta có tam giác AE I cân tại E nên ∠^{AI E} = 1

2(180⁰−∠^{AE I)}=90⁰−∠^{I D A} =90⁰−∠^{IC F} do đó E I⊥BC.

Bài tập 7. Cho hình thang cân^{ABC D(AB}∥C D)có đỉnh^A(2;−1). Giao điểm hai đường chéo AC vàB D là điểm I(1; 2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AD I có tâm làE(−27

8 ;−9 8). Biết đường thẳngBC đi qua điểmM(9;−6). Tìm tọa độ đỉnhB,Dbiết điểmB có tung độ nhỏ hơn 3.

( Trần Phú - Hà Tĩnh lần 1)

Tính chất 11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tứ giác ABC D nội tiếp có hai đường chéo AC vàB Dvuông góc với nhau tạiH. GọiM là điểm trên cạnhAB sao cho AM= 1

3AB vàN là trung điểm củaHC. Khi đóH M⊥D N.

A C

D H M

N

Tứ giác ABC D nội tiếp suy raH A.HC =H B.H D hayH M⊥D N. Ta có^−−→H M =2 3

−−→H A+1 3

−−→H B,−−→

D N=

−−→H N−−−→

H D. Do đó^−−→H M.−−→

D N=1 3(2−−→

H A.−−→

H N−−−→

H B.−−→

H D)=1

3(−H A.HC+H B.H D)=0

Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tứ giác ABC D nội tiếp có hai đường chéo AC vàB D vuông góc với nhau tạiH(1;−1). GọiM là điểm trên cạnh AB sao cho AM=1

3AB và N(−1

2;−1)là trung điểm của HC. Tìm toạ độ các điểm A,B,C biết rằng D(1; 4) và điểm M nằm trên đường thẳngd: 3x+y−11=0.

(Vted lần 21) Đường thẳng H M đi qua H và vuông gócD N nên H M: 3x+10y+7=0.Tọa độ M là nghiệm của hệ







3x+10y+7=0

3x+y−11=0 ⇒M(13 3 ;−2).

Đường thẳng H N : y+1=0,H D :x−1=0. Gọi A(a;−1),B(1;b), điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k= −1

2suy ra tọa độM(2a+1 3 ;b−2

3 )=(13

3 ;−2)do đó





 a=6 b= −4

suy ra







A(6;−1) B(1;−4)

. Ta cóN là trung điểmHC suy raC(−2;−1).

Nhận xét: Ta có thể làm bài này thông qua tính chất kinh điển đã học " gọiP là trung điểm AB khi đóH P⊥DC".

+) Tìm tọa độC(2;−1).

+) Viết phương trìnhH P,H A,H B.

+) Tham số hóa điểm ^A,B sau đó tìm tọa độ^M,P(vẫn theo tham số) thế vào phương trình đã có ta suy ra tọa độ điểm^A,B.

Bài tập 9. Cho hình thang cânABC D(AD=3BC)có hai đường chéo vuông góc tạiI.M trên cạnh AB sao cho M B=2M A vàN là trung điểmIC. BiếtB(−1;−3), đường thẳngI M đi qua E(2;−3)vàD N:x+2y−5=0. Tìm tọa độ A,C,D.

1.5 Tứ giác ngoại tiếp

1.6 Hai đường tròn trực giao

1.7 Trực tâm, trung điểm và tính đối trung

Định nghĩa 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Gọi D là một điểm tùy ý trên cạnhBC sao cho AD,AM đối xứng nhau qua đường phân giác khi AD được gọi là đường đối trung (trong) của trung tuyến AM.

Tính chất 12. Cho tam giácABC cóM là trung điểmBC. GọiDlà một điểm tùy ý trên cạnh BC. Khi đóAD,AMđối xứng nhau qua đường phân giác khi và chỉ khi ^{B D}

DC =¡AB AC

¢₂ .

A

B D M C

Bài này có nhiều cách chứng minh. Cách đơn giản nhất là dùng diện tích. Thật vậy ta có B D

DC =S_{AB D}

S_ADC = AB. sinB AD AC. sinD AC = AB

AC.sinC AM

sinB AM = AB² AC²

AC. sinC AM

AB. sinB AM =¡AB AC

¢2

.S_AMC

S_{B AM} =¡AB AC

¢2

.

Cách dựng đường đối trung.

Cách 1

B C

E P

Q D

H

K

Tiếp tuyến tạiB,C của đường tròn ngoại tiếp tam giácABC cắt nhau tạiE. Khi đóAElà đường đối trung.

Thật vậy hạE P,EQ lần lượt vuông góc với các đường thẳngAB,AC và gọiD là giao điểm của AE vàBC.

Ta có ^{E P}

EQ = E Bsin∠^{E B P} ECsin∠^{ECQ =}

sin∠^C sin∠^{B =}

AB

AC.HạD H,DK vuông góc xuống AB,AC. Khi đó ^{D H} DK = E P

EQ = AB

AC.Do đó ^{B D}

DC =S_{AB D}

S_{AC D} =2AB.D H

2AC.DK =¡AB AC

¢2

.Suy raAElà đường đối trung.

Nhận xét: Ta có thể chứng minh bằng cách khác không dùng đến điều kiên tương đương của đường đối trung. Thật vậy gọiAM là đối xứng củaADqua phân giác gócA. Ta có

B M

MC = AM. sin∠^{B AM. sin}∠^{AC B} AM. sin∠^{C AM. sin}∠^{ABC =}

sin∠^{B AM. sin}∠^{AC B} sin∠^{C AM. sin}∠^{ABC =}

sin∠^{C AE. sin}∠^{AB E} sin∠^{B AE. sin}∠^{AC E =}

C E AE.AE

B E =1.

do đóMlà trung điểmBC. Cách 2

A

B D M C

P

Q

N

Một đường tròn bất kyd qua ^B,C cắt ^AB,AC tại^P,Q. Gọi ^N là trung điểm^PQ. Khi đó ^AN là đường đối trung. Còn nhiều cách nữa nhưng tạm ngang đây.

Tính chất 13. Cho tam giácABC, tiếp tuyến tại Acủa đường tròn ngoại tiếp tam giácABC cắt đường thẳngBC tạiD. Khi đó ^DB

DC =¡AB AC

¢2

.

B C

A

D

Ta có4DB A∼ 4D AC suy ra ^DB D A =D A

DC = AB

AC.Do đó ^DB DC =DB

D A.D A

DC =¡AB AC

¢2

.

Nhận xét: đường thẳng ADđược gọi là đường đối trung ngoài đỉnhAcủa tam giác ABC.

Ta có^−−→DB =1 4

−−→DC suy raD(2; 1). Đường thẳngAMđia quaD,N nên có phương trìnhAM:x−y− 1=0. GọiA(a;a−1)sử dụng ^AB

AC =1

2giải ra ta được

"

A(0;−1) A(4; 3) .

Bài tập 11. Cho tam giác ABC có trực tâmH(3; 0)và trung điểm của BC làM(6; 1). Đường thẳng AH có phương trìnhx+2y−3=0. GọiE,F lần lượt là chân đường cao kẻ từB,C của tam giác ABC. Biết đường thẳngE F có phương trìnhx−2=0, tìm toạ độ các đỉnh của tam giácABC.

Nâng lên mức độ một chút

Bài tập 12. Cho tam giácABC có trung điểm của BC làM(6; 1). Đường thẳngAHcó phương trình x+2y−3=0. Gọi E,F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B,C của tam giác ABC. Biết đường thẳngE F có phương trìnhx−2=0, tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.

Nâng lên một chút nữa hai bài sau:

Bài tập 13. Cho tam giácABC cóM(3;−2)là trung điểmBC vàH(1; 1)là trực tâm tam giác.

GọiE,F lần lượt là chân đường cao hạ từB,Ccủa tam giácABC. Đường thẳngE Fcó phương trình2x−5y+9=0.Tìm tọa độ các đỉnh tam giácABC.

Bài tập 14. Cho tam giác ABC cóM(3; 1)là trung điểmBC và A(−4; 0). GọiE,F lần lượt là chân đường cao hạ từB,Ccủa tam giácABC. Đường thẳngE Fcó phương trìnhE F:x+1=0.

Tìm tọa độ các đỉnh tam giácABC.

A

B C

H

E

F

M I

N

Cách 1: Tính chất hình học, cách CÀNG KHÔN ĐẠI NA DI, đọc cho biết không nên luyện.

Ta có ba dữ kiện đã biết là điểm^A,M và đường thẳng^{E F}. Giả sử^{M I} cắt^{E F} tại^N. Ta có Nhận xét: như sau:

• N là trung điểmE F

• AMlà đường đói trung của AN.

Do đó bài toán trên được quy về bài toán tìm tọa độE,F ( xét tam giác AE F) khi ta biết điểm A, trung điểmN, đường đối trungAM, đường thẳngE F. Đây là bài toán cơ bản. Khi có tọa độ điểm E,F ta chỉ cần dựng đường tròn tâmM bán kínhM E=M F, cắt đường thẳng AE,AF lần lượt tại C,B.

Cách dựngE,F:

F E

N D

K

P

M

Dựng đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc∠^{N AM} cắt đường thẳngE F tạiD,K. Dựng tiếp tuyếnN P đến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK. Đường tròn tâm N bán kính N P cắt đường thẳngE F tạiE,F.

Đây là cách dựng hoàn toàn thuần túy bằng hình học.

Cách 2: dùng hình học pha thêm đại số

Các em thấy hai bài trên đều có chung một điểmM và đường thẳngE F. Còn yếu tố chung của đỉnhA và trực tâmH là gì? Đó chính là trung điểmAH, yếu tố không thay đổi cho cả hai trường hợp. Tìm cách đưaE F là trục đẳng phương của hai đường tròn. Ta có tính chất kinh điển đã học

• I Mlà trung trực củaE F.

• E,F thuộc đường tròn đường kínhAH

• E,F thuộc đường tròn đường kínhI M

Dựa vào yếu tố trên ta có cách làm đại số như sau:

Viết phương trình đường thẳngM I, trung trựcE F. GọiI tham số thuộc đường thẳngM I.

Viết hai phương trình đường tròn đường kínhI M và đường tròn tâm I bán kínhI H(hay tương I A). Giao hai đường tròn này chính là đường thẳngE F rồi giải ra tọa độI, từ đó ra tọa độ A(hay H tương ứng).

Cuối cùng tìm tọa độE,F, viết đường thẳngBC và tìm tọa độB,C. Lời giải cụ thể

Đường thẳng M I đi qua M vuông góc vớiE F có phương trìnhM I :y−1=0. GọiI(a; 1)∈M I. Đường tròn tâm I bán kínhI A có phương trình(C₁) : (x−a)²+(y−1)²=(a+4)²+1. Đường tròn đường kínhI Mcó phương trình(C₂) : (x−a+3

2 )²+(y−1)²=(3−a)²

4 . Khi đó trục đẳng phương của hai đường tròn(C₁), (C₂)làE F : (a−3)x+11a+17=0. MàE F :x+1=0 nên a−3=11a+17 hay

a= −2. Suy ra^(C1) : (x+2)²+(y−1)²=5. Do đó tọa độ^E,F là nghiệm của hệ







(x+2)²+(y−1)²=5

x+1 ⇒

"

E(−1; 3),F(−1;−1) E(−1;−1),F(−1; 3) . Đường tròn tâmM bán kínhM E có phương trình(C) : (x−3)²+(y−1)²=20.

• E(−1; 3),F(−1;−1)

Đường thẳngAEđi qua A,E có phương trình:AE:x−y+4=0. Tọa độC là nghiệm của hệ







x−y+4=0

(x−3)²+(y−1)²=20 ⇒C(1; 5).

Đường thẳngAF đi qua A,F có phương trình:AF:x+3y+4=0. Tọa độB là nghiệm của hệ







x+3y+4=0

(x−3)²+(y−1)²=20 ⇒B(5;−3).

• E(−1;−1),F(−1; 3)

Làm tương tự ta cóB(1; 5),C(5;−3).

Nhận xét: Các em nên làm theo cách 2 là cách dùng hình học, pha thên đại số nhưng cũng phải cần nắm vững các tính chất kinh điển trong sách "Các tính chất hay dùng trong hình học phẳng Oxy tập 1- tác giả Võ Quang Mẫn" để vận dụng.

Tính chất 14. Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâmK đi qua B,C cắt các cạnh AB,AC tạiD,E. Tiếp tuyến tạiD,Ecủa đường tròng ngoại tiếp tam giácADE cắt nhau tạiP. Khi đó AP đi qua trung điểmM củaBC.

A

B C

K D

E

P

M

Tính chất 15. Cho tam giác ABC. Tiếp tuyến tạiAcủa đường tròng ngoại tiếp tamABC cắt đường thẳngBCtạiD. Tiếp tuyến tạiA,B của đường tròn ngoại tiếp tam giácAB Dcắt nhau tạiE. Khi đóDEđi qua trung điểmM của AC.

A

B C

D E

M

Ta cóDE là đường đối trung của tam giácADB do đóDEđi qua trung điểmM của AC.

Nhận xét: Tính chất này là sự mở rộng của tính chất cơ bản sau đã có trong sách tập 1.

Tính chất 16. Cho tam giácABC vuông tạiCcó đường caoC E. Tiếp tuyến tạiA,C cắt nhau tạiD. Khi đó

1. B Dđi qua trung điểmF củaC E.

2. Giả sửAC cắtD M tạiK vàB Dcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tạiP6=B. Ta có bốn điểmC,F,K,P nội tiếp đường tròn.

A M B C

D

E F

90^◦

J

P

K

1. Dùng Thalet và tính chất tiếp tuyến. Dựng tiếp đường tròn tạiB cắtC DtạiJ. Ta có E F

AD =E B AB =C J

D J = J B D J =C F

DC = C F AD. VậyC F=F E, hayB Dđi qua trung điểm củaC E.

2. Dễ thấyAP⊥DPvàAK⊥DKnên tứ giácADP Knội tiếp. Suy ra∠^{K P F}=∠^{K AD}=∠^{AC E(}doAD∥ C E)do đó tứ giácK PC F nội tiếp.

Chú ý ta có thể chứng minhDB qua trung điểmC E thông qua 2. như sau: Thật vậy do tứ giác K PC F nội tiếp nên∠^{F K C} =∠^{B PC} =∠^{B AC} nên K F ∥AB màK là trung điểm AC nên F là trung điểmC E.

Bài toán 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C nội tiếp đường tròn tâm I, chân đường cao hạ từ đỉnh C là điểm H. Tiếp tuyến của đường tròn (I) tại A,C cắt nhau tại M, đường thẳng BM cắt CH tại N. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biếtH(1

5;12

5 ),N(13 5 ;6

5)và điểmP(0;−5 2) thuộc đường thẳngAC

Đáp sốA(−3;−4),B(2; 6)và^C(5; 0). Bài toán 9. TrongOx y cho tam giác ABC vuông tạiC nội tiếp đường tròn(T)có tâmI(2; 1)và H là bình chiếu vuông góc củaClênAB. GọiK là trung điểm củaC H. Tiếp tuyến của(T)tạiA,C cắt nhau tạiM. Phương trình đường thẳngM K: 27x+14y−93=0vàB∈x+2y+1=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

(Chuyên Hạ Long lần 1) Tổng quát theo hướng khác cho tính chất trên

A

B C

O

M N P

D B⁰

A⁰

Dựng đường kính A A⁰, khi đó AN A⁰M là hình bình hành nên A⁰M⊥AP. Chú ý AB⊥B A⁰ nên 4B AP ∼ 4B A⁰M. GọiB⁰ là điểm đối xứng củaB qua P. Ta suy ra 4B AB⁰∼ 4B A⁰C hay B⁰,A,C thẳng hàng. Trong tam giácBC B⁰cóC P là trung tuyến mà AD∥B B⁰nênC P đi qua trung điểm AD.

Bài toán 10. Trong mặt phẳng toạ độ Ox y cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(−2; 1), gọiH(−1;−1)là chân đường cao hạ từ đỉnhA, vàM là trung điểm cạnhBC,N là điểm đối xứng củaM quaI. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng quaB vuông góc với BC tạiD, đường thẳngC D cắt AH tại điểmE(0; 2). Tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC biếtB có hoành độ dương.

1.8 Tâm nội tiếp của tam giác đường cao

Bài tập 15. Cho tam giác^ABC vuông tại^A, có^AH là đường cao. Gọi^I,J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ^{AH B,AHC}. Biết^{A(2; 5),I}(2;−1),J(6; 1). Tìm tọa độ đỉnh^B,C.

(HSG Cần Thơ) Thấy trên mạng có nhiều nhóm bình luận bài này, nên cũng xin góp một bài tổng quát cho vui.

• Thứ nhất bài cho dữ kiện tam giácABC vuông tạiAlà một dữ kiện thừa.

• Hoặc tác giả bài này không biết đến tính chất đẹp của bài toán tổng quát hay cố tình cho góc^A vuông để dễ xử lý.

Ta tính chất đẹp sau:

Tính chất 18. Cho tam giác ABC cóAH là đường cao sao cho H nằm giữaB vàC. Gọi I,J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AH B,AHC. Đường tròn đường kínhI J cắt AH,BC tại P,M. Khi đóI P J Mlà hình vuông.

A

B C

H I

J P

M

Chú ý tam giácI H Jvuông tạiHnên năm điểmI,p,J,H,M nội tiếp đường tròn do đó∠^{M I P}=

∠^ÀM=∠^{M J P}=90⁰nên tứ giácI P J Mlà hình chữ nhật. Mặt khác∠^{M I J}=∠^{j HC}=45⁰do đó tam giácI M J là tam giác vuông cân hayI P J M là hình vuông.

Dựa vào tính chất này ta có thể giải quyết được bài toán cho dù đề không cho∠=90⁰. VìI P J Mlà hình vuông nên giải ra được

"

P(3; 2),M(5;−2)

P(5;−2),M(3; 2) loại vìA,P khác phía ^.Đường cao AH đi qua A,P nên có phương trình AH: 3x+y−11=0. Đường thẳngBC đi quaM và vuông góc AP nên có phương trìnhBC :x−3y−11=0. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác AH B tiếp xúc vớiBC nên có phương trình(x−2)²+(y+1)²=18

5 . Tương tự đường tròn nội tiếp tam giácAHC có phương trình(x−6)²+(y−1)²=32

5 .

Phương trình đường thẳngAB tiếp xúc với(I)có dạng

"

3x−y−1=0

3x+y−11=0 loại trùngAH . Đường thẳngAC tiếp xúc với(J)có dạng

"

x+3y−17=0

3x+y−11=0 loại trùng AH . Tọa độB là nghiệm của hệ







3x−y−1=0

x−3y−11 ⇒B(−1;−4).

1.9 Tập phân tích những bài toán có sự đối xứng, yếu tố trung

tâm và mối liên hệ giữa chúng

Chương 2

TÍNH CHẤT MỚI CÓ THỂ PHÙ HỢP VỚI XU HƯỚNG CỦA ĐỀ THI

Tính chất 19. Cho tam giácABC cân tạiA, các đường caoB D,C E,AH. Tiếp tuyến tạiB cắt đường thẳngDEtạiF. Khi đó

1. AF⊥B F. 2. B F=B H.

3. B F E Hlà hình thoi.

A

C B

D E F

H

1. Ta có∠^{AB F}=∠^{AC B}=∠^ADF suy ra tứ giác ADB F nội tiếp suy raAF⊥B F.

2. Ta có∠^{B AF}=∠^{B DF}=∠^{DB H}=∠^{D AH}=∠^{H AB} suy ra4AH B= 4AF B hayB H=B F. 3. Ta có∠^{E F B=}∠^{D AB=}∠^{B H E=}∠^{DE H}suy raH E∥B FhayB F E Hlà hình thoi.

5 5

(Võ Quang Mẫn) Đường thẳng^DF đi qua^M,F nên^DF :y+6

5=0. Gọi^E(a;−6

5), ta có^{B F E H}là hình thoi suy ra





 E(22

5 ;−6

5),H(2;−3) E(52

5 ;−6

5),H(8;−3) .

• E(52 5 ;−6

5),H(8;−3)

Đường thẳng AB đi quaB,E nên AB :x−3y−14=0. Đường cao AH đi quaH và vuông góc vớiDF nênAH:x−8=0. Tọa độAlà nghiệm của hệ







x−3y−14=0

x−8=0 ⇒A(8;−2).

ĐiểmC đối xứng vớiB quaHnênC(11;−3).

• E(22 5 ;−6

5),H(2;−3)

Hoàn toàn tương tự như trên ta cóA(2; 6),B(−1;−3)thỏa bài toán.

Tính chất 20. Cho tam giacsABC,Dlà điểm tùy ý trên cạnhBC.DElà phân giác của∠^ADC. Đường thẳngB Ecắt ADtạiK. Kéo dàiC K cătAB tạiF. Khi đóDF là phân giác của∠^ADB.

A

B

C D

E

K F

Bài tập 17.

Tính chất 21. Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn tâmI. GọiD,E,F lần lượt là tiếp điểm củaBC,C A,AB với(I)và M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳngM I cắt cạnhAB tạiN, đường thẳngDF cắt đường caoAH tại điểmP. Khi đó

1.

2. AN=AP. 3.

A B

C I

E

D

F

M N

H

P

Bài tập 18. Cho tam giác ABC vuông tạiAngoại tiếp đường tròn tâmI(2; 1). GọiD,E,F lần lượt là tiếp điểm củaBC,C A,AB với(I)và M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳngM I cắt cạnh AB tạiN, đường thẳngDF cắt đường cao AH tại điểmP. BiếtN(3; 4),P(1; 2)và đỉnhA thuộc đường thẳngx−3y−5=0. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C.

Tính chất 22. Cho tam giácABC có các đường caoAD,B Ecắt nhau tạiH. GọiM,Nlà điểm đối xứng của H qua A,B. các đường thẳngM E,D N cắt các cạnhBC,AC tương ứng tạiP,Q. Khi đóPQ∥AB.

A

C B

H

D E

P

N Q

Bài tập 19.

Tính chất 23. Cho tam giácABC vuông tạiAvà không cân có trung tuyếnAM. GọiH,K lần lượt là trực tâm các tam giác AM B,AMC. Các đường thẳngB K,C H cắt nhau tạiD. Khi đó AM⊥AD.

A

B C

M K

H D

Ta cóC K ∥B H vì cùng vuông góc với AM. Chú ý các tam giác AM B,AMC cân tại M nên các tam giác ^{AH B},AK C lần lượt cân tại ^H,K do đó ^DC = C K

= AK

hay ^AD∥C K. Mà^{C K}⊥AM nên

AD⊥AM. Bài tập 20.

Tính chất 24. Cho hình bình hànhABC D. Đường thẳng quaB vuông góc vớiAB cắt trung trực AC tạiE. Đường thẳng quaC vuông góc vớiC D cắt đường thẳng qua A và vuông góc B DtạiF. GọiK là điểm đối xứng củaAquaB, khi đóE,F là tâm ngoại tiếp và trực tâm tam giácAK C.

A

B C

D F

I E K

Dễ thấyB E,E I là trung trực của AK,AC nên E là tâm ngoại tiếp tam giác AK C. Ta có B I là đường trung bình của tam giácAK C màAF⊥B I nênAK⊥K C. mặt khácF C⊥C D nênC F⊥AK, vậy F là trực tâm tam giácAK C.

Bài tập 21. Cho hình bình hành ABC D. Đường thẳng quaB vuông góc với AB cắt trung trực AC tạiE. Đường thẳng quaC vuông góc vớiC D cắt đường thẳng qua A và vuông góc B DtạiF. BiếtA(−1;−3),E(83

20;− 3

80),F(17 10;123

40 ), tìm tọa độ các đỉnhB,C,D.

(Võ Quang Mẫn)

Tính chất 25. Cho hình chữ nhật ABC D,E là một điểm trên cạnh AD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc vớiB E cắt đường thẳngC D tạiF.E F cắtAC tạiH. Khi đóB H⊥E F.

A

B C

D E

H

Ta có∠^{AB E}=∠^{C B F} suy ra4AB E∼ 4C B F suy ra4ABC∼ 4E B F do đó∠^{B AH}=∠^{B E H} hay tứ giácB AE H nội tiếp suy raB H⊥E F.

Bài tập 22. Cho hình chữ nhật ABC D,E là một điểm trên cạnh AD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với B E cắt đường thẳng C D tại F.E F cắt AC tại H. Biết A(−2;−3),E(0;−3),H(54

25; 3

25). Tìm tọa độ các đỉnhB,C,D.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AE H có phương trình(AE H) : (x+1)²+y²=10. Đường thẳng B H đi quaHvà vuông góc AH nên có phương trìnhB H: 9x+13y−21=0. Tọa độB là nghiệm của hệ







9x+13y−21=0

(x+1)²+y²=10 ⇒B(−2; 3).

Đường thẳngE H: 13x−9y−27=0. Đường thẳngB Fđi quaBvà vuông gócB EnênB F:x−3y+11= 0. Tọa độF là nghiệm của hệ







x−3y+11=0

13x−9y−27=0 ⇒F(6;17 3 ).

Đường thẳngC D đi quaF song song vớiABnênC D:x−6=0. Đường thẳngBC đi quaBvà vuông góc AB nênBC :y=3. Giải ra ta đượcC(6; 3),D(6;−3).

Tính chất 26. Cho tam giácABC nội iếp đường tròn tâmI. Hai tiếp tuyến tạiB,C cắt nhau tạiD. Trung trựcAC cắt đường thẳngAB tạiK. Khi đó

1. Năm điểmB,K,I,C,Dnằm trên một đường tròn.

2. I K⊥K D. 3. DK∥AC.

A

B C

D K

I

1. Theo các tính chất kinh điển ta có∠^{B K C}=2∠^A=∠^{B IC}nên tứ giácB K ICnội tiếp. Mặt khác doIC⊥C DvàI B⊥B Dnên tứ giácB IC D nội tiếp. Do đó năm điểmB,K,I,C,Dnằm trên một đường tròn.

2. Theo ý 1. ta có tứ giácI K DC nội tiếp suy raI K⊥K D. 3. ∠^{B K D}=∠^{B I D}=∠^A suy raDK∥AC.

Bài tập 23. Cho tam giác ABC nội iếp đường tròn tâm I. Hai tiếp tuyến tạiB,C cắt nhau tạiD. Trung trựcAC cắt đường thẳngABtạiK. BiếtA(4; 5),D(4;−5),K(3

2; 0). Tìm tọa độ điểm B,C.

(Võ Quang Mẫn) Đường trung trực AC đia quaK và vuông gócK DnênK I: 2x−4y−3=0. ĐiểmC đối xứng với AquaK InênC(7;−1). Đường tròn ngoại tiếp tam giácK DCcó phương trình(K DC) : (x−4)²+(y+ 15

8 )²=625

64 .Tọa độ điểmIlà nghiệm của hệ







2x−4y−3=0 (x−4)²+(y+15

)²=625 ⇒I(4;5 4).

Tính chất 27. Cho tam giác ABC nhọn, phân giác AD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AB D,AC Dlần lượt cắt các cạnh AC,AB tạiE,F. Khi đóC E=B F.

A

B

C D

E F

Bài tập 24.

Tính chất 28. Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi M,N,P,Q là trung điểm cạnhAB,C D,BC,AD.

1. M P NQlà hình bình hành có tâmE.

2. Đường thẳng qua M,N,P,Q lần lượt vuông góc với C D,AB,AD,BC đồng quy tạiK, ở đâyK đối xứng vớiI quaE.

A B

C

M D

N

I K P

Q

Bài tập 25. Cho tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn tâmI(5; 0). Gọi M(1; 0),N(9; 2) là trung điểm cạnhAB,C D. Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABC, biếtA∈y+3=0.

(Võ Quang Mẫn)

Bài tập 26. Cho tứ giácABC Dnội tiếp đường tròn tâm. GọiM(1; 0),N(9; 2),P,Qlà trung điểm cạnh AB,C D,BC,AD. Đường thẳng quaP vuông góc vớiAD cắt đường thẳng quaQ vuông góc vớiBC tạiK(5; 2). Tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác ABC, biếtA∈y+3=0.

(Võ Quang Mẫn)

Tính chất 29. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâmI. GọiM,N là trung điểm BC,AC vàHlà hình chiếu vuông góc củaNlênAB.Dựng hình chữ nhậtM I EC. Khi đó

1. H,N,E thẳng hàng hayHnằm trên đường tròn đường kínhB E.

2. GọiC⁰là đối xứng củaC quaIvàF là trung điểmC⁰B, ta có năm điểmB,F,H,E,Cnội tiếp.

B C N

I

M

E

D C⁰

F

1. Ta cóI N⊥NC,I M⊥MCdo đó năm điểmI,N,E,C,Mnội tiếp. Suy ra∠^{E NC}=∠^{E IC}=∠^{IC M}= 90⁰−∠^A=∠^{AN H} do đóH,N,Ethẳng hàng hayH nằm trên đường tròn đường kínhB E. 2. Chú ýI F⊥B F,B F⊥BC nênB F EClà hình chữ nhật do đóF nàm trên đường tròn đường kính

B Ehay năm điểmB,F,H,E,C nội tiếp.

Bài tập 27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác nhọn ABC cóB(−2;−3)và C(10;−3)nội tiếp đường tròn tâmI(4;−1) .GọiN là trung điểmAC,H là hình chiếu vuông góc củaN lên AB.Tìm tọa độ của A biết rằng H thuộc đường thẳngx−2y+3=0và H có hoành độ dương.

(Võ Quang Mẫn) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình(ABC) : (x−4)²+(y+1)²=40.GọiM là trung điểmBC suy raM(4;−3). Dựng hình chữ nhật I MC E suy raE(10;−1). Đường tròn đường kínhB E có phương trình (B E) : (x−4)²+(y+2)²=37. Ta có H,N,E thẳng hàng hay H nằm trên đường tròn đường kínhB E. Tọa độ củaH là nghiệm của hệ







(x−4)²+(y+2)²=37

x−2y+3=0 ⇒H(5; 4).

Đường thẳngB Ađi quaB,Hnên có phương trình AB:x−y−1=0.Tọa độAlà nghiệm của hệ







(x−4)²+(y+1)²=40

x−y−1=0 ⇒A(6; 5).

Tính chất 30. Cho tam giácABC nhọn có các đường caoAD,B E,C F, trực tâmH. KẻAM,D N lần lượt vuông góc xuốngE F. Khi đó

1. M H đi qua trung điểmD N. 2. N D là phân giác∠^{B NC}. 3.

A

B C

D

E F

H M

N

K

Bài tập 28.

Tính chất 31. Cho tam giác nhọn ABC có tâm đường tròn nội tiếp I. Đường thẳng vuông góc với AI tạiI cắt các cạnhAB,AC lần lượt tạiM,N. Khi đó4B M I∼ 4I NC hayB M.C N= M I.N I=I M².

B

C I

M

N

Bài tập 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độOx y, cho tam giác nhọnABC có tâm đường tròn nội tiếpI(1; 0) .Đường thẳng vuông góc vớiAI tạiI cắt các cạnhAB,AClần lượt tạiM,Nsao choB M.C N=50.Viết phương trình đường thẳng AC biết rằngP(3; 11)thuộc đường thẳng AB,M thuộc đường thẳngx+y+7=0vàMcó hoành độ âm.

(HSG Nghệ An 2015)