Chuyên đề phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

(1)

1

y

u u

M1 M2

CHUYÊN ĐỀ :

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A. LÝ THUYẾT I. Tọa độ

1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi một vuơng gĩc với nhau với ba vectơ đơn vị i j,



ⁱ ^{ }^j ¹



^.

2. u x y ; u xi y j; M(x;y)

1 2

OM OM

OM  xiy j

3. Tọa độ của vectơ: cho u x y v x y( ; ), ( '; ')

a. u  v x x y';  y' b. ^{u v}^{  }^{x x y}^'; ^^y^' c. ku( ;kx ky) d. u v. xx'yy'

e. u v xx'yy' 0 f. u  x²y² ,v  x²y² g. ^cos

 

^, ^.

. u v 

u v u v

.

4. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA), B(xB;yB)

a.AB



xBxA^;yB yA



b.AB



xB xA

 

²  yB  yA



²

c. G là trọng tâm tam giác ABC (tứ giácABCD tương tự) ta cĩ:

GA GB GCO, 3

OA OB OC

OG    x_G=

3

A B C

x x x

; y_G=

3

A B C

y  y  y

d. M chia AB theo tỉ số k: MAk MB ;

1 1

A B A B

M M

x kx y ky

x y

k k

 

 

  (2 véc tơ gốc M)

Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; .

2 2

A B A B

M M

x x y y

x  ^ y  ^

e) Tứ giác ABCD là hình bình hành  ABDC h) Tính chất đường phân giác:

Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngồi của gĩc A (D BC; E BC), ta cĩ:

DB AB DC

  AC ; EB ^ABEC

 AC k) Diện tích :

* Công thức tính diện tích tam giác ABC với : AB = (x1;y1), AC = ( x2;y2) 1 . . os

S  2AB AC c BAC ^S ^¹₂ ^{AB AC}²^. ²^



^{AB AC}^.



² thì S = 2

1 | x₁y₂ – x₂y₁|

* Cơng thức khác: ¹ ¹ sin ( )( )( )

2 ^a 2 4

S ah ab C abc pr p p a p b p c

   R     

(Với a, b, c là ba cạnh, h_a là đường cao thuộc cạnh a, ¹( )

p 2 a b c  , R và r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp ABC)

g/



u cùng phương với '



u  ' ' y y

x x

= xy’ – x’y = 0x x:  y y: 

-A,B,C phân biệt thẳng hàng khi ¹ ¹

2 2

x y AB k AC

x y

   , với AB = (x₁;y₁), AC = ( x₂;y₂), k0 Chú ý các bài tốn hình học cơ bản của lớp 9

o x

i j

M

(2)

2 II. Phương trình đường thẳng

1. Một đường thẳng  được xác định khi biết một điểm M(x₀;y₀) và một vectơ pháp tuyến



^;



n A B

*Phương trình tổng quát A x



x0



B y



y0



 0 .AxBy C 0

hoặc có một vectơ chỉ phương ^u^

 

^{a b}^; ta có thể chọn VTPT: ⁿ^



^A^^{b B}^; ^{ }^a



*Phương trình tham số: khi biết một điểm M(x₀;y₀) và một vectơ chỉ phương ^u^

 

^{a b}^; ^,

0 0

x x at y y bt

 

  

 ,



^t^^R



^.M  ( ) M x



0at y; 0bt



hoặc có một vectơ pháp tuyến ⁿ^



^{A B}^;



ta có thể chọn ^u^



^a^^{B b}^; ^{ }^A



*Phương trình đường thẳng qua M(x0;y0) có hệ số góc k: yk x



x0



 y0.

* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x_A;y_A) khác B(x_B;y_B): ^A ^A

B A B A

x x y y

  

  nhân

chéo

2. Khoảng cách từ một điểm M(x_M;y_M) đến một đường thẳng :AxBy C 0 là:

 

2 2

, Ax^M By^M C d M

A B

 

   .

-Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt tại H thì ^{d M}



^,^{ }



^MH

- Hoặc H x



0at y; 0bt

  

 d nên NH u. _d 0 tìm được t nên tìm được H

-PT đường thẳng cách đều hai đường thẳng AxBy C 0, A x^/ B y C^/  ^/ 0 là

/ / /

2 2 / 2 / 2

A x B y C Ax By C

A B A B

 

   (*) hay là tập hợp các điểm cách đều 2 đường thẳng.

Nếu 2 dường thẳng song song thì PT (*) trên có 1 đường thẳng

Nếu 2 đường thẳng trên cắt nhau thi PT trên(*) là 2 đường thẳng phân giác của 2 đường thẳng đó.

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng

0 :

2 2 2 2

1 1 1 1













c y b x a

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ₁ và₂ ta xét số nghiệm của hệ phương trình













0 0

2 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x

a (I)

u n



(3)

3

 Chú ý: Nếu a2b2c2 0 thì :

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

//

c c b b a a

b b a a





























4. Góc giữa hai đường thẳng.

*Góc giữa hai đường thẳng ₁ và₂của (I) có VTPT



 2 1 vàn

n được tính theo công thức:

2 2 2 1 2 2 2 1

2 1 2 1

2 1

2 1 2

1 2

1 .

|

||

|

| . ) |

, cos(

) , cos(

b b a a

b b a a n

n n n n

n  

 





 _ _



 



hoặc tính theo véc tơ chỉ phương thay n bằng u

* Góc giữa hai đường thẳng:(): y = k₁x + b và (’): y = k₂x + b’ là:

tan ² ¹

1 2

( ; ')

1 .

k k k k

   

 (Công thức tan)

*Bài toán min,Max: MA+MB đạt min, MA MB đạt Max A,B cố định M thuộc đường thẳng hoặc MA MB MC min hoặc đạt min cho A,B, C cố định M thuộc đường nào đó

Ví dụ: A(1;-1) B(-1;3) C(0;-5) và đường thẳng (d) 3x-4y +10=0 tìm M thuộc (d) mà MA MB MC MA2MB3MC MA²MB²MC²;MA²2MB²3MC² đạt min Có MAMBMC3MG min vậy từ G hạ đoạn vuông góc xuống (d) tại M

Có MA2MB3MCMIIA2MI2IB3MI3IC6MI(IA2IB3IC)

Tìm điểm I thoả mãn IA2IB3IC0 I là điểm gọi là tâm tỉ cự 3 điểm xác định, từ I kẻ đoạn vuông góc với đường thẳng (d) tại M là điểm cần tìm

** Đường phân giác trong của tam giác là trục đối xứng của 2 cạnh bên và khoảng cách từ 1 điểm trên P giác cách đều 2 cạnh tam giác. d(M/)=d(M/)

III. Phương trình đường tròn

1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.

Phương trình:

Dạng 1:



^x^^a

 

² ^ ^y^^b



² ^^r²^.

Dạng 2: x²y² 2ax2by c 0, điều kiện a²b² c 0 và r a²b²c. Tâm I(a;b)

* Nếu a² + b² – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

* Nếu a² + b² – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 2. Điều kiện để đường thẳng : AxBy C 0 (1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:



^,



^Aa ₂^Ba ₂^C

d I r

A B

 

  



(C) r



I

M

(4)

4

+Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b 0 thì đường thẳng (1) thành ykx b hoặc 0

kx  y b thì bài toán đơn giản hơn dùng cho cả tiếp tuyến và giao tuyến đường tròn và đường thẳng.

*Chú ý tính chất cung góc lượng giác bán kính dây cung lớp 9 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M0 .

Tiếp tuyến tại điểm M0(x₀ ; y₀) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: ^{M x y}

 

^; ^

IM 



x0a y; 0b



là véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến hay sử dụng tính chất:

0. _O 0

IM M M  ta có (x – x₀) (x₀ – a)+ (y – y₀) (y₀ – b)= 0 hoặc x x₀ y y₀ a x( x₀)b y( y₀) c 0

IM0.(IMIM0) 0 IM IM0 IM0² 0



x0a x a



 

 

y0b



y b 



R²( CT tách đôi) Ngoài ra có thể dùng PTHĐGĐ

  

²



² ²

0

x a y b r

Ax By C

    



  

 có nghiệm kép là tiếp tuyến có 2 nghiệm là cắt nhau tại 2 điểm.

Chú ý tính chất bán kính và dây cung: IH là đường trung trực của AB IV. Ba đường conic

I.ElipE



Mmp MF/ 1MF2 2a



, F F₁, ₂ là 2 tiêu điểm 1. Phương trình chính tắc:

2 2

2 2 1

x y

a  b  , (a>b>0).

2. Các yếu tố: c² a² b², a> c>0.,a>b>0

Tiêu cự: F1F2=2c; Độ dài trục lớn A1A2=2a Độ dài trục bé B1B2=2b.

Hai tiêu điểm F1



c; 0 ,



F c2

 

; 0 .

Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn A1



a; 0 ,



A a2

 

; 0 , 2 đỉnh trên trục bé B1



0;b



, B2

 

0;b .

Tâm sai: c 1 e a

Bán kính qua tiêu điểm: M(x y₀; ₀)thuộc (E) thì

1 1 0

2 2 0

MF r a c x a MF r a c x

a

   



   



3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: dùng điều kiện nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm.

B. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x:   y 1 0, phân giác trong BN: 2x  y 5 0.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn:

+ Do ABCH nên AB: x  y 1 0.

B C

A

H

N

x y

F2

F1

B2

B1

A2

A1

O

M

I

A B

 H

(5)

5 Giải hệ: ² ⁵ ⁰

1 0 x y x y

  

   

 ta có (x; y)=(-4; 3).

Do đó: ABBN B( 4;3) .

+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A'BC. - Phương trình đường thẳng (d) qua A và

Vuụng gúc với BN là (d): x2y 5 0. Gọi I ( )d BN. Giải hệ: ² ⁵ ⁰

2 5 0

x y x y

  

   

 . Suy ra: I(-1; 3)A'( 3; 4)  + Phương trình BC: 7x y 250. Giải hệ: ⁷ ²⁵ ⁰

1 0 x y x y

  

   

 Suy ra: ( ¹³; ⁹)

4 4

C   . + ( 4 13 / 4)² (3 9 / 4)² ⁴⁵⁰

BC      4 ,

2 2

7.1 1( 2) 25

( ; ) 3 2

7 1

d A BC   

 

 .

Suy ra: ¹ ( ; ). ¹.3 2. ⁴⁵⁰ ⁴⁵.

2 2 4 4

SABC  d A BC BC 

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d₁:xy30 và

0 6

2:xy 

d . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Hướng dẫn:

Ta có: d₁d₂ I. Toạ độ của I là nghiệm của hệ:







 















2 / 3 y

2 / 9 x 0 6 y x

0 3 y

x . Vậy 



 



 2

;3 2

I 9 Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm

cạnh AD M d₁Ox Suy ra M( 3; 0) Ta có: 3 2

2 3 2

3 9 2 IM 2 AB

2 2

 



 







 

 



Theo giả thiết: 2 2

2 3

12 AB

AD S 12

AD . AB

S_ABCD     ^ABCD   Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 d₁AD

Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT:

0 3 y x 0 ) 0 y ( 1 ) 3 x (

1         . Lại có: MA  MD  2

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:

 



















2 y

3 x

0 3 y x

2 2

   









 

















 















 

1 3 x

x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x

3 x y 2 y 3 x

3 x y

2 2 2 2







 

1 y

2 x hoặc









 1 y

4 x . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)

Do 



 



 2

;3 2

I 9 là trung điểm của AC suy ra:























2 1 3 y y 2 y

7 2 9 x x 2 x

A I C

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1

( ; 0) I 2

(6)

6

A B

I

Đường thẳng AB cú phương trỡnh: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A õm. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật đú.

HƯỚNG DẪN +) ( , ) ⁵

d I AB  2 AD = 5  AB = 2 5  BD = 5.

+) PT đường trũn ĐK BD: (x - 1/2)² + y² = 25/4 +) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:

2 2

2

1 25

( ) 2

( 2; 0), (2; 2)

2 4

2 2 0 2

0 x

x y y

A B

x y x

y

 



     

    

   

    

  

C(3; 0),D( 1; 2) 

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3;

- 2), có diện tích bằng ³

2 và trọng tâm thuộc đ-ờng thẳng _: 3x – y – 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.

H-ớng dẫn:

Ta có: AB = 2, M = ( ⁵; ⁵

2 2), pt AB: x – y – 5 = 0 SABC= ¹

2 d(C, AB).AB = ³

2  d(C, AB)= ³ 2

Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= ¹ 2

 d(G, AB)= ⁽³ ^{8) 5} 2 t t 

= ¹

2 t = 1 hoặc t = 2

G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)

Mà CM 3GM C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4) Bài 5:

Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3x4y 4 0. Tỡm trờn  hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tớch tam giỏc ABC bằng15.

Hướng dẫn:

1. Gọi ( ;³ ⁴) (4 ;^{16 3} )

4 4

a a

A a  B a  . Khi đú diện tớch tam giỏc ABC là

¹ . ( ) 3

ABC 2

S  AB d C   AB. Theo giả thiết ta cú

2

2 6 3 4

5 (4 2 ) 25

2 0 a a

AB a

a

 

  

        Vậy hai điểm cần tỡm là A(0;1) và B(4;4).

Bài 6:

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elớp

2 2

( ) : 1

9 4

x y

E   và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) . Tỡm trờn (E) điểm C cú hoành độ và tung độ dương sao cho tam giỏc ABC cú diện tớch lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta cú PT đường thẳng AB:2x+3y=0 Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đú ta cú

2 2

9 4 1 x y

  và diện tớch tam giỏc ABC là

D C

(7)

7

1 85 85

. ( ) 2 3 3

2 2 13 13 3 4

ABC

x y

S  AB d CAB  x y   85 ² ² 170

3 2 3

13 9 4 13

x y

 

    

 

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

1 2 9 4 3

2 3 2 2

x y

x x y

y

   

 

 

 

   



. Vậy (^{3 2}; 2)

C 2 .

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.

Tỡm toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc cú 3 cạnh nằm trờn (d₁), (d₂), trục Oy.

Hướng dẫn:

Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta cú A(3 ;0)

Gọi B là giao điểm d₁ với trục Oy ta cú B(0 ; - 4) Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta cú C(0 ;4)

Gọi BI là đường phõn giỏc trong gúc B với I thuộc OA khi đú ta cú I(4/3 ; 0), R = 4/3 Bài 8:

Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trỡnh đường trũn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xỳc với đường thẳng (d).

Hướng dẫn:

Giả sử phương trỡnh cần tỡm là (x-a)² + (x-b)² = R²

Vỡ đường trũn đi qua A, B và tiếp xỳc với d nờn ta cú hệ phương trỡnh

2 2 2

2 2

(1 )

(1 ) (2 )

( 1) 2

a b R

a y R

a b R

   

    

   

 ²

0 1 2 a b R

 

 

 



Vậy đường trũn cần tỡm là: x² + (y - 1)² = 2 Bài 9 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x² + y² - 2x - 2my + m² - 24 = 0 cú tõm I và đường thẳng : mx + 4y = 0. Tỡm m biết đường thẳng  cắt đường trũn (C) tại hai điểm phõn biệt A,B thỏa món diện tớch tam giỏc IAB bằng 12.

Hướng dẫn :

Đường trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5.

Gọi H là trung điểm của dõy cung AB.

Ta cú IH là đường cao của tam giỏc IAB.

IH =

2 2

| 4 | | 5 |

( , )

16 16

m m m

d I

m m

   

 

2

2 2

(5 ) 20

25 16 16

AH IA IH m

m m

    

  Diện tớch tam giỏc IAB là

12 2S 12

IAB IAH

S_   _ 

 ²

3

( , ). 12 25 | | 3( 16) 16

3 m

d I AH m m

m

  

     

  

 Bài 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(2;5),

đỉnh C nằm trên đ-ờng thẳng x40, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đ-ờng thẳng 2x3y60. Tính diện tích tam giác ABC.

H-ớng dẫn:

I

A B

 H

5

(8)

8 Ta có C(4;y_C). Khi đó tọa độ G là

2 3 3

5 , 1

3 1 4 2

1 _C _C

G G

y y y

x          .

Điểm G nằm trên đ-ờng thẳng 2x3y60 nên 26 y_C 60, vậy

2

yC , tức là )

2

; 4

(

C . Ta có AB(3;4), AC(3;1), vậy AB5, AC  10, AB.AC 5 . Diện tích tam giác ABC là

 

²⁵^.¹⁰ ²⁵

2 . 1

2 .

1 2 2 ²  

 AB AC ABAC

S =

2 15

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với )

2

; 1 ( , ) 1

; 2

(  B 

A , trọng tâm G của tam giác nằm trên đ-ờng thẳng 0

2



 y

x . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 .

H-ớng dẫn:

Vì G nằm trên đ-ờng thẳng x y20 nên G có tọa độ G(t;2t). Khi đó )

3

; 2

(t t

AG   , AB(1;1) Vậy diện tích tam giác ABG là

 

²



⁽ ²⁾ ⁽³ ⁾



¹

2 . 1

2 .

1 2 2 2

2

2      

 AG AB AGAB t t

S =

2 3 2t

Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 5

, 4 3 : 5 ,

13  . Vậy 4,5 2

3 2t 

, suy ra t 6 hoặc t 3 . Vậy có hai điểm G : )

1

; 3 ( , ) 4

; 6

( ₂

1  G   

G . Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên x_C 3x_G(x_a x_B)và )

(

3 _G _a _B

C y y y

y    .

Với G₁(6;4) ta có C₁ (15;9), với G₂(3;1)ta có C₂ (12;18) Bài 12.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đ-ờng tròn (C): x²+ y² - 2x + 4y - 4 = 0 và đ-ờng thẳng d có ph-ơng trình x + y + m = 0.

Tìm m để trên đ-ờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đ-ợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

H-ớng dẫn:

Từ ph-ơng trình chính tắc của đ-ờng tròn ta có tâm I(1;-2), R

= 3, từ A kẻ đ-ợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đ-ờng tròn và ABAC=>

tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3IA3 2









 







 

 7

6 5 1 2

3 2

1

m m m

m

Bài 13:

Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () cú phương trỡnh: x – 2y – 2 = 0 và hai điểm A (-1;2);

B (3;4). Tỡm điểm M() sao cho 2MA² + MB² cú giỏ trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn :

M M(2t2; ),t AM (2t3;t2),BM (2t1;t4)

2 2 2

2AM BM 15t  4t 43 f t( ) Min f(t) = ²

f 15=> M ²⁶; ² 15 15

  

 

 

Bài 14:

(9)

9

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

2 2

4 3 4 0

x y  x  .

Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.

Hướng dẫn:

A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’

Pt đường thẳng IA : ^{2 3} 2 2

x t

y t

 

  

 , I'IA => I’( 2 3 ; 2t t2), 2 ' ¹ '( 3;3) AI  I A  t 2 I (C’):



^x^ ³



²^



^y^³



² ^⁴

Bài 15:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Hướng dẫn:

BDABB(7;3), pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0

(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7

AABA a a CBCC c  c a c ,

I = ² ¹; ² ¹⁷

2 2

a c  a c

 

 

  là trung điểm của AC, BD.

IBD3c a 18  0 a 3c 18 A c(6 35;3c18)

M, A, C thẳng hàng MA MC, cùng phương => c² – 13c +42 =0  ⁷⁽ ⁾ 6 c loai c

 

  c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)

Bài 16:

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình

 

^C₁ ^:^x²^^y²^⁴^y^{ }⁵ ⁰^và

 

^C₂ ^:^x²^^y²^⁶^x^⁸^y^¹⁶^^0. Lập phương trình tiếp tuyến chung của

 

C1 và

 

C2 . Hướng dẫn:

   

C1 :I1 0; 2 ,R13;

 

C2 :I2



3; 4 ,



R23.

Gọi tiếp tuyến chung của

   

C1 , C2 là ^^:^Ax^^{By C}^{ }⁰



^A²^^B² ^⁰



 là tiếp tuyến chung của

   

C1 , C2

 

   

 

2 2

1 1

2 2

2 3 1

;

; 3 4 3 2

B C A B

d I R

A B C A B

      

 

        Từ (1) và (2) suy ra A2B hoặc ³ ²

2 A B C   Trường hợp 1: A2B.

Chọn B      1 A 2 C 2 3 5 : 2x  y 2 3 50 Trường hợp 2: ³ ²

2 A B

C   . Thay vào (1) được

(10)

10 Bµi 17:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn

2 2

( ) :C x  – 2 – 2 1 0,y x y   ( ') :C x² y²4 – 5 0x  cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho

MA= 2MB.

Hướng dẫn:

+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R1,R'3, đường thẳng (d) qua M có phương trình a x(  1) b y(   0) 0 ax by  a 0, (a²b² 0)(*).

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

Khi đó ta có: MA2MB IA²IH² 2 I A' ²I H' '² ^{ }¹



^{d I d}^{( ; )}



² ^^4[9^



^{d I d}^{( '; ) ]}



² ^,

. IAIH

  

²



² 2 ² 2 2 ² 2

4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 9a b 35

d I d d I d

a b a b

     

 

2 2

36a b 35 36

a b

    

 Dễ thấy b0 nên chọn 1 ⁶

6

  

    b a

a .

Kiểm tra điều kiện IAIH rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.

Bài 18:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(1; 0), chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0; 2), trung điểm cạnh AB là M(3; 1).

Hướng dẫn:

+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận ( 1; 2)

HK  làm vtpt và AC đi qua K nên (AC) :x2y 4 0. Ta cũng dễ có:

(BK) : 2x  y 2 0.

+ Do AAC B, BK nên giả sử (2 4; ), ( ; 2 2 ).

A a a B b  b Mặt khác M(3; 1)là trung điểm của AB nên ta có hệ:

2 4 6 2 10 4

2 2 2 2 0 2.

a b a b a

a b a b b

     

  

 

        

  

Suy ra: A(4; 4), (2;B 2).

+ Suy ra: AB  ( 2; 6), suy ra: (AB) : 3x  y 8 0.

+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HA(3; 4), suy ra:

(BC) : 3x4y 2 0.

KL: Vậy : (AC) :x2y 4 0, (AB) : 3x  y 8 0, (BC) : 3x4y 2 0.

Bài 19: (đề 2010)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: 3x y 0 và d2: 3x y 0. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B.

Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương.

Hướng dẫn:

. Ta thấy d d₁, ₂ tạo với Oy góc 30⁰ Từ đó AOB60 ;⁰ ACB30⁰

M K H

C B

A

(11)

11

C E



2 2

1 3 3 3

. 1

2 2 2 2

S_ABC  AB BC  AB  AB  AB ² _. ² ¹ _{; 1}

3 3 3

OA AB A  

4 2

2 ; 2

3 3

OC OA C  Đường tròn (T) đường kính AC có: ¹ ; ³ , 1

2 2

2 3

I   R AC

Phương trình (T):

2 2

1 3

2 1 x 2 3 y

      

   

 

Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y  4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Hướng dẫn:

Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB Ta có



^,



^{6 6 4} ^{4 2}

d A  2

  

Vì là đường trung bình của ABC



^;



²



^;



^{2.4 2} ^{8 2}

d A BC d A

    

Gọi phương trình đường thẳng BC là: x  y a 0

Từ đó: ^{6 6} 8 2 12 16 ⁴

2 28

a

a a

a



  

       

Nếu a 28 thì phương trình của BC là x y 280, trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và, vô lí. Vậy a4, do đó phương trình BC là: x  y 4 0.

Đường cao kẻ từ A của ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) vàBC:x  y 4 0 nên có phương trình là x y 0.

Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình

⁰ ²

4 0 2

x y x

x y y

   

 

      

 

Vậy H (-2;-2)

Vì BC có phương trình là x  y 4 0 nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a) Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-a; a)

Suy ra: ^CE^{   }



⁵ ^a^{; 3} ^a



^,ÂB^⁽â^{   }^{6; 4} â ⁶⁾

Vì CEAB nên ^{AB CE}^. ^{ }⁰



^a^⁶



^a^{  }⁵

 

^a ³



^a^¹⁰



^⁰

 2 ² 12 0 ⁰ 6 a a a

a

 

      Vậy

 

0; 4 4; 0 B C

 

 

 hoặc

 

6; 2 2; 6 B C

 

 

 .

Â

B

(12)

12

Bài 21: ( Đề 2011- khối A) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x² + y² – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

1HD: Diện tích MAI=5 =¹ . 5

2AM  AM 2 5và MI² = IA² + AM² = 25 M   M(m; -m – 2). Vậy MI  (2 m m; 3) nên ta có phương trình:

2 2

4m 4m m 6m 9 25  m² + m – 6 = 0  m = 2 hay m = -3

 M (2; -4) và M (-3; 1).

C. BÀI TẬP TỰ RÈN

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y9=0 và x+3y5=0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B.

ĐS: A(1;4), B(5;0).

2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) x² y² 4x4y 6 0 và đường thẳng : xmy2m 3 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình 1 9 16

2 2



 y

x .

Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

ĐS: M



² ⁷^;⁰

 

^,N ⁰^; ²¹



^,MNmin ⁷ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x1)²+(y2)²=4 và

đường thẳng d: xy1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).

ĐS: A(1;0), B(3;2) 5. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình là x3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0.

Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.

6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E): 1 1 4

2 2



 y

x .

Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

ĐS: _







 









7 3

; 4 7 , 2 7

3

;4 7

2 B

A hoặc _















 

7 3

;4 7 , 2 7

3

; 4 7

2 B

A

7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d1: x+y +3=0, d2: xy 4=0, d3: x2y

=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d₃ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d₁

bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. ĐS:

M(22;11), (2;1).

(13)

13

8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x²+y²2x2y+1=0 và đường thẳng d:

xy+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

ĐS: M1(1;4), M2(2;1) 9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x 2y+3=0. ĐS: A(2;0), B(0;4).

10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x1)²+(y+2)²=9 và đường thẳng d:

3x4y+m=0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

ĐS: m=19, m=41 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB.

Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x2y3=0 và 6xy4=0. Viết phương trình đường thẳng AC. ĐS: AC: 3x4y+5=0

12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x+y5=0. Viết phương trình đường thẳng AB.

ĐS: AB: y5=0; x4y+19=0

13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(2;2) và C(4;2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: x²+y²x+y2=0

14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d1: x+y+3=0, d2: xy4=0, d3: x2y=0. Tìm tọa độ điểm M mằm trên đường thẳng d₃ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d₁ bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d₂. ĐS: M₁(22;11), M₂(2;1) 15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: xy=0 và d2: 2x+y1=0. tìm tọa độ

các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;1), D(0;0) 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và ^B



^ ³^;^¹



. Tìm tọa độ trực tâm và

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS: ^H



³^;^¹

 

^,^I ^ ³^;¹



17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x y 30, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

18. ĐS: _







  

3 3 2

;6 3

3 4

G 7 hoặc _







    3

3 2

; 6 3

1 3

G 4

19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)²+y²=4/5 và hai đường thẳng 1: xy=0, 2: x7y=0. Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ₁, ₂ và tâm K thuộc đường tròn (C). ĐS:

5 2 , 2

5

;4 5

8  



 



 R

K

20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(1;1), đường phân giác trong của

(14)

14

góc A có phương trình xy+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y1=0. ĐS:



 



4

;3 3 C 10

21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y2=0, d2: x+y8=0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. ĐS: B(1;3), C(3;5) hoặc B(3;1), C(5;3)

22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x²+y²2x6y+6=0 và điểm M(3;1).

Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2. ĐS: T1T2: 2x+y3=0

23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

ĐS: (C1): (x2)²+(y1)²=1 hoặc (x2)²+(y7)²=49 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;3). Tìm điểm C thuộc đường

thẳng x2y1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

ĐS:

 





 



  11

; 27 11 , 43

3

;

7 ₂

1 C

C

25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, ⁰

^

90

BAC . Biết M(1;1) là trung điểm cạnh BC và 



 



 ;0 3

G 2 là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

ĐS: A(0;2), B(4;0), C(2;2) 26.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm _



 



 ;0 2

I 1 , phương trình đường thẳng AB là x2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. ĐS: A(2;0), B(2;2), C(3;0), D(1;2)

