TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
CHUYÊN ĐỀ: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
(Phương pháp, ví dụ có giải chi tiết + bài tập luyện tập)
HỌ VÀ TÊN:
MÃ HỌC SINH:
LỚP:
TRƯỜNG:
Thông tin học sinh
d (P)
(α)
H O
PHẦN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG DẠNG 1: DỰNG HÌNH CHIẾU VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
*) Quy trình tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (α) Bước 1: Tìm một mặt phẳng (P) d
với d là đường thẳng nằm trong ( ) Bước 2: Tìm ( )P ( )
Bước 3: Từ O kẻ OH
thì H là hình chiếu của O trên ( ) . Khi đó, d(O;(α)) = OH
*) Tính OH
Dùng công thức diện tích, các hệ thức lượng trong tam giác, tam giác đồng dạng để tính OH Với mỗi dạng bài ta lại có quy trình dựng cụ thể hơn mà chúng ta sẽ tìm hiểu dưới đây Dạng 1.1. Khoảng cách từ O đến (α) chứa đường cao hình chóp
Bước 1: ( ) đáy
*) Dựng hình chiếu OH Bước 1: ( ) đáy
Bước 2: Kẻ OH .
Chứng minh OH ( ) d O( ;( )) OH
*) Tính OH
Dạng này thường tính qua diện tích tam giác.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Δ
H A
B
D
C I
S
O
A – KIẾN THỨC CHUNG SI: đường cao ( ) : ( SIB)
H I
A D
B C
S
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = 2a;
BC = 3 2
a ; AD =3a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của BD.
Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Giải:
*) Dựng hình chiếu CH Kẻ CH BD, (HBD)
Ta có: SI (ABCD)SI CH (1) Mà, CH BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra,
( D)
CH SB d(C;(SBD)) = CH
*) Tính CH
Ta tính CH qua diện tích tam giác BCD.
D
1 1
. D.
2 2
SBC AB BC B CH .
D AB BC
CH B
. Trong đó :
2 2 2 2 2
D D (2a) (3a) 13a 13
B AB A a ; 3a
BC 2 2a.3a
2 3a
13 13
CH a
Vậy, 3a
d(C;(SBD)) =
13
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của CD, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 600 . Tính khoảng cách
a. Từ B đến (SAM) b. Từ C đến (SAH).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với AB = a 3 ; AC = a. Gọi I là điểm trên BC sao cho 1
BI 2IC và H là trung điểm của AI. Biết rằng SH(ABC) và góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính khoảng cách:
a. Từ B đến (SHC) b. Từ C đến (SAI).
B – VÍ DỤ
SI: đường cao ( ) : ( SBD); : DB
C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Δ d
H
M
A D
B
C O
S
60°
I
H K
C
A D
B
S
Dạng 2 : Khoảng cách từ O chân đường cao đến mặt phẳng (α) chứa cạnh trong mặt đáy
*) Dựng hình chiếu OH Bước 1 : Dựng mặt phẳng (P) qua O và vuông góc với CD bằng
cách kẻ từ S hoặc từ O đường vuông góc với CD.
Khi đó, (P) là (SOM)
Bước 2 : (SOM)(SCD)
Chứng minh OH ( ) d O( ;( )) OH
*) Tính OH
Dạng này thường dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ 1 : (Đề thi thử trường THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 2)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH=2AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 60 . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Giải :
*) Dựng hình chiếu HI Kẻ HKCD (KCD)
Ta có : SH (ABCD)SH CD Mà HK CD (SHK)CD
KẻHI SK I( HK) (1)CD(SHK)CDHI (2) Từ (1) và (2) suy ra HI (SCD)d H SC( ;( D))HI
*) Tính HI
Ta có : BH = 2AH 2 13
3 3
BH a CH a
39 3
SH a . Ta có :
2 2 2
1 1 1 13
4 HI a
HI SH SK
Vậy, 13
( ;( D)) 4 d H SC a A – KIẾN THỨC CHUNG
SO: đường cao ( ) :( SCD); ( ) : (P SOM)
:SM
B – VÍ DỤ
SH: đường cao ( ) :( SCD); ( ) : (P SHK)
:SK
(α)
O
I
M
(α)
O M
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB.
HÌnh chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC).
Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết SA(ABCD) , SC hợp với mặt phẳng ( ABCD) một góc với tan 4
5 , AB=3a, BC=4a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a,BAD60o. Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng
(ABCD) bằng 45 . Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
DẠNG 2 : DỜI ĐIỂM VÀ DỰNG KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP
Trong một số trường hợp việc dựng khoảng cách trực tiếp từ O trở nên khó khăn. Do đó, ta có thể dùng tính chất về tỉ số khoảng cách để dời khoảng cách từ O về khoảng cách từ điểm M đơn giản hơn (về dạng 1.1 và 1.2 ở trên). Cụ thể :
*) Tính chất
- Nếu OM cắt mặt phẳng ( ) tại I thì ta có : ( ;( )) ( ;( ))
d O O
d M M
I
I - Nếu OM / /( ) thì ( ;( ))d O d M( ;( ))
*) Chú ý : Một số bài phức tạp có thể phải dời đến 2 lần để việc tính tỉ số đơn giản hơn
C – BÀI TẬP LUYỆN TẬP
A – KIẾN THỨC CHUNG
60°
C
D K
H
O A
B
S
I
K
H
O M
C
A D
B
Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a 3 , hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trung điểm H của OB với O là tâm đáy. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tínhkhoảng cách từ B đến (SAC).
Giải : Thay vì dựng khoảng cách từ B đến (SAC) ta sẽ dựng khoảng cách từ H đến (SAC) (theo dạng 1.2)
*) Dựng khoảng cách HI Kẻ HK AC K( AC)
Ta có : SH (ABCD)SH AC Mà HK AC (SHK) AC KẻHI SK I( HK) (1)
( ) (2)
AC SHK AC HI Từ (1) và (2) suy ra HI (SAC)
( ;( )) d H SAC HI
*) Tính HI
Theo công thức trung tuyến tính được :
2 2 2 2
2 7 7 21
2 4 4 2 2
CO BC OB a a a
HC HC SH
Kẻ 3 3
( )
2 4
a a
BM AC MAC BM HK
2 2 2 2
1 1 1 128 42
21a 16
HI a
HI HK SH
( ;( )) 42
16 d H SAC a
*) Tính khoảng cách từ B
Ta có : d(B;(SAC)) BO a 42
BH (SAC) = O = = 2 d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) =
d(H;(SAC)) HO 8
Vậy, 42
( ;( )) 8 d B SAC a B – VÍ DỤ
Dời B về H SH: đường cao ( ) :( SAC); ( ) : (P SHK)
:SK
Bài 1: (Đề thi thử THPT Bình Minh-Ninh Bình 2016)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, BAD60 . Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 2 (Đề thi thử THPT Chuyên Hùng Vương 2016)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh bên SA(ABCD) ; cạnh bên SC tạo với đáy góc với 2
tan 5 . Gọi M là trung điểm BC , N là giao điểm của DM và AC, H là hình chiếu của A trên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDM).
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = a 3 . O là tâm hình vuông ABCD.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC) b. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 4: (Đề thi thử THPT Đông Du – ĐăkLăk 2016)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a. Cạnh bên SA vuông với đáy, SC tạo với đáy một góc 45o và SC 2a 2. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).
C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP
O B
A S
C
A D
B
S
DẠNG 3 : TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH
Trong một số trường hợp ngoài việc dừng hình chiếu hoặc dời điểm ta có thể tính khoảng cách thông qua công thức thể tích : 1 3
3 .
V S h h V
S . Cụ thể :
Bước 1: Tính thể tích hình chóp S.OAB ( Chọn đỉnh là S;A hoặc B).
Bước 2: Tính diện tích của tam giác SAB
+) Phát hiện tam giác đặc biệt để tính diện tích đơn giản hơn +) Nếu tam giác thường thì sử dụng hệ thức Herong :
SΔSAB = p(p - SA)(p - SB)(p - AB) với SA + SB + AB
p = 2 .
Bước 3: S.MAB (M;(SAB)) ΔSAB (M;(SAB)) S.MAB
ΔSAB
3V
V = 1.d .S d =
3 S
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA vuông góc với đáy; BAD 120 ; 3
2
SA a . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
Giải: +) Ta có ABC là tam giác đều cạnh a ( Vì AB = BC; BAC60 )
+) 1 1 3 2
2 2.2. 4
BCD ABCD ABC
S S S a
+) Tính VS BCD. có h = SA = 3 2 a
3 2
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 4 2 8
S BCD BCD
a a
V S SA a
+) Tính SSBC
2
2 2 2
2
2 2 2
3 7
; 2 2
3 7
2 2
a a
BC a SB SA AB a
a a
SC SA AC a
3
S.BCD 2 ΔSBC
3.a
3V 8 a 6
d(D;(SBC)) = = =
S a 6 4
4
Vậy, 6
( ;( )) 4 d D SBC a A – KIẾN THỨC CHUNG
B-VÍ DỤ
Bài 1: (Đại học khối A;A1_2014)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 3 2
SD a . Hình chiếu vuông góc của S lên đáy là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD).
Bài 2: (Đề thi thử THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu lần 1)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Biết SA vuông với đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc với 4
tan 5 , AB = 3a, BC = 4a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Bài 3: (Đại học khối D_2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC). Biết SB2a 3;SBC 30 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
C-BÀI TẬP LUYỆN TẬP
