Phương pháp: Tính nhanh khoảng cách từ điểm tới mặt
A.Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên của tứ diện
Xét bài toán : cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)
Giải
Kẻ AK vuông góc BC tại K Kẻ AH vuông góc SK tại H Thì d A SBC( ,( )) AH
Tính AH
TH1 :
Nếu tam giác ABC vuông tại A thì ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
AH SA AK AS AB AC
TH2 :
Nếu tam giác ABC vuông tại B ( hoặc C ) thì lúc này AK trùng với AB ( hoặc AC ):
2 2 2
1 1 1
AH SA AB , hoặc ( 1 2 12 1 2 AH SA AC )
TH3 :
Nếu tam giác ABC không vuông thi ta có:
2 2 2
1 1 1
( , ) AH SA d A BC
mà d A BC( , )bằng với độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên ta có thể dùng diện tích hoặc các công thức lượng giác để tính độ dài đường cao
Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình vẽ, hãy tính độ dài đường cao tam giác ABC biết độ dài các cạnh tam giác: AB a AC, a 3,BC a 5.
Áp dụng công thức diện tích ta có: 1 .
ABC 2
S AH BC 2SABC AH BC . Tính diện tích:
B1: bấm B2: bấm
KQ: là 11
4 vậy diện tích là 11 2 4 a .
Suy ra
2 11
2 4 55
5 10 a
AH a
a
B.Khoảng cách từ điểm không phải là chân đường cao tới mặt bên
Bước 1 :
Ta chỉ cần tính trước khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bước 2 :
Sau đó vì AM (SBC) H nên ( ,( ))
( ,( ))
d M SBC HM d A SBC HA
Còn nếu DA/ /BC thì : d D SBC( ,( )) d A SBC( ,( ))
Lưu ý khi tính toán thì để thuận tiện ta nên nhớ các kết quả sau : Cạnh , khoảng cách thì đơn vị là : a
Diện tích thì đơn vị là : a2 Thể tích thì đơn vị là : a3
Vì vậy ta chỉ cần tính số sau đó ráp các đơn vị tương ứng vào là được
Bài Tập
Bài 1 : Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , có AB a AC, a 3 và cạnh SA 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giải : dễ thấy bài toán này thỏa mãn công thức 1 vì vậy ta có ngay
2 2 2 2
1 1 1 1
( ,( ))
d A SBC SA AB AC thay (SA AB AC, , ) bởi (2,1, 3) thì ta có ngay ( ,( )) 2 57
19 d A SBC a
Bài 2 : Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , có AB a và cạnh 2
SA a, cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giải : dễ thấy bài toán này thỏa mãn công thức 2 vì vậy ta có ngay
2 2 2
1 1 1
( ,( ))
d A SBC SA AB thay (SA AB, ) bởi (2,1) thì ta có ngay ( ,( )) 2 5 5 d A SBC a
Bài 3 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy và SA=2a . Hãy tính các khoảng cách sau :
) ( ,( ))
a d A SBC b d A SBD) ( ,( )) c d O SBC) ( ,( )) Giải :
a) Dễ thấy khoảng cách này ứng với công thức 2 vì vậy ta có ngay
2 2 2
1 1 1
( ,( ))
d A SBC SA AB thay (SA AB, ) bởi (2,1) thì ta có ngay ( ,( )) 2 5 5 d A SBC a
b) Dễ thấy khoảng cách này ứng với công thức 1 vì vậy ra có ngay
2 2 2 2
1 1 1 1
( ,( ))
d A SBD SA AB AD thay (SA AB AC, , ) bởi (2,1,1) thì ta có ngay ( ,( )) 2
3 d A SBD a
c) Ta có : AO BC C nên suy ra d O SBC( ,( )) COd A SBC( ,( ))
CA mà 1
2 CO
CA nên ta có
( ,( )) 1 ( ,( ))
d O SBC 2d A SBC suy ra ( ,( )) 1 2 5. 5
2 5 5
a a
d O SBC
Bài 4 : Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ABC 60 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=2a , hãy tính các khoảng cách sau
) ( ,( ))
a d A SBC b d D SBC) ( ,( )) ) ( ,( ))
c d M SBC với M là trung điểm của cạnh SA ) ( ,( ))
d d N SBC với M là trung điểm của cạnh SD
Giải :
Tam giác ABC cân tại B và có góc B bằng 60 độ suy ra tam giác ABC đều cạnh a
a) áp dụng công thức ở trường hợp 3 ta có ngay
2 2 2
1 1 1
( ,( )) ( , )
d A SBC SA d A BC
Mà : 3
( , ) 2
d A BC a ( đường cao tam giác đều )
Vậy thay (SA d A BC, ( , )) bởi 3 2 , 2
a a ta có ngay 2 57
( ,( ))
19 d A SBC a
b) vì DA song song BC nên : ( ,( )) ( ,( )) 2 57 19 d A SBC d D SBC a
c) vì MA (SBC) S nên ta có ngay ( ,( )) SM ( ,( )) d M SBC d A SBC
SA
suy ra : ( ,( )) 1 ( ,( )) 2 57
2 38
d M SBC d A SBC a
d) vì DN (SBC) S nên ta có ngay ( ,( )) SN ( ,( )) d N SBC d D SBC
SD suy ra : ( ,( )) 1 ( ,( )) 2 57
2 38
d N SBC d D SBC a
