Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Nguyễn Trọng - TOANMATH.com

MỤC LỤC

BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ ... 1

►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT... 2

►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ... 4

►DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ... 7

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ... 10

►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU 10 ►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC ... 12

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ... 17

► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG ... 17

►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ... 19

► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG ... 22

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ... 25

►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG ... 25

►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG ... 27

►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG 32 BÀI 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP ... 35

►DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG ... 35

►DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG... 37

►DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG ... 40

►DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG ... 42

► DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG ... 45

BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP ... 49

►DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM ... 49

►DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG. ... 51

►DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ... 54

►DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ... 56

BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ

►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT PHƯƠNG PHÁP:

. Định nghĩa: a=a1.i +a2.j+a3.k  =a

(

a1;a2;a3

)

.

. Tính chất: Cho a=

(

a a a1; 2; 3

)

;b =

(

b b b1; ;2 3

)

.

•

1 1

2 2

3 3

 =

=  =

 = a b

a b a b

a b .

• a b =

(

a1b a1; 2b a2; 3b3

)

.

• ka=

(

ka ka ka1; 2; 3

)

, k .

• ^{0=(0;0;0), i =}

(

^{1;0;0 ,}

)

^{j =}

(

^{0;1;0 ,}

)

^{k =}

(

^0;0;1

)

^.

• a cùng phương b ^{ k :a=kb}

(

^b0

)

^.

 ^{1 2 3}

(

1 2 3

)

1 2 3

, , 0

= =a 

a a

b b b

b b b

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ^a=

(

^{1; 2; 3−}

)

^{; b= −}

(

^{2; 2;0}

)

. Tọa độ vectơ c=2a−3b là A. ^c=

(

^{4; 1; 3− −}

)

^{. B. c=}

(

^{8; 2; 6− −}

)

^{. C. c=}

(

^2;1;3

)

^{. D. c= −}

(

^{2; 4;3}

)

^.

Lời giải Chọn B

Ta có:

( )

( )

2 2; 4; 6 3 6; 6; 0

 = −



 = − a b

Suy ra c=²a−³b =

(

2 6; 4 6; 6 0+ − − −

) (

^{8; 2; 6}

)

 =c − − .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{2; 5;3−}

)

^{, b =}

(

^{0; 2; 1−}

)

. Tọa độ vectơ x thỏa mãn 2a+ =x b là

A.

(

^{−4; 2;−7}

)

^{. B.}

(

^{−4; 2; 3}

)

^{. C.}

(

^{−4; 12; −7}

)

^{. D.}

(

^{−4; 12; −3}

)

^.

Lời giải Chọn C

Ta có 2a+ =  = −x b x b 2a

Ta có:

( )

( )

2 4; 10;

0; 2; 1 6



= −



=



− a

b

Suy ra x= −b ²a=

(

0 4; 2 10; 1 6− + − −

) (

^{4;12; 7}

)

 = −x − .

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ ^a=

(

^{3; 2;1−}

)

^{, b = −}

(

^{1;1; 2−}

)

^,

(

^{2;1; 3}

)

= −

c , ^u=

(

^{11; 6;5−}

)

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. u=3a−2b c+ . B. u=2a+ +3b c. C. u=2a− +3b c. D. u=3a−2b−2c. Lời giải

Giả sử u=xa+yb+zc Ta có hệ phương trình:

3 2 11

2 6

2 3 5

− + =

− + + = −

 − − =



x y z x y z

x y z

.

Giải hệ ta được:

2 3 1 x y z

 =

 = −

 =

 Vậy u=2a− +3b c. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a= − +i 2j−3k. Tọa độ của vectơ a là A.

(

^{−1; 2; 3−}

)

^{. B.}

(

^{2; 3; 1− −}

)

^{. C.}

(

^{2; 1; 3− −}

)

^{. D.}

(

^{−3; 2; 1−}

)

^.

Câu 2. Câu nào sau đây sai?

A. 3 ¹ 3;1;¹

2 2

 

= − + +  = − 

a i j k a . B. ¹ 5 ¹; 0; 5

2 2

 

= −  = − 

a i j a .

C. ^{a= −2i 3j =a}

(

^{2; 3;0−}

)

^{. D. 2 3 3; ;12}

5 5

 

= + −  = − 

a j k i a .

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ ^{u= −}

(

^{1;3; 2−}

)

^{và v=}

(

^{2;5; 1−}

)

^{. Tìm tọa}

độ của vectơ a=2u−3v

A. ^{a= −}

(

^{8;9; 1−}

)

^{. B. a= − −}

(

^{8; 9;1}

)

^{. C. a=}

(

^{8; 9; 1− −}

)

^{. D. a= − − −}

(

^{8; 9; 1}

)

^.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u= − −2j 3k và u= +i 2k, khi đó tọa độ của u v+ đối với hệ tọa độ Oxyz là:

A.

(

^{1; 2; 1− −}

)

^{. B.}

(

^{1; 0;1}

)

^{. C.}

(

^{1; 2; 2}

)

^{. D.}

(

^{−1; 0; 2}

)

^.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=(2; 3;1)− và b= −( 1;0; 4). Tìm tọa độ vectơ u= − +2a 3b.

A. u= −( 7;6; 10)− . B. u= − −( 7; 6;10). C. u=(7;6;10). D. u= −( 7;6;10). Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 vecto ^a=

(

^{5; 4; 1−}

)

^;b=

(

^{2; 5;3−}

)

^{và c thỏa mãn}

hệ thức c =2a−3 .b Tìm tọa độ c?

A. ^c=

(

^{4; 23; 11−}

)

^{. B. c=}

(

^{16;19; 10−}

)

^{. C. c =}

(

^{4; 7; 7}

)

^{. D. c =}

(

^{16; 23; 7}

)

^.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ ^a=

(

^{1; 2;3}

)

^{, b=}

(

^{2; 2; 1−}

)

^{, c=}

(

^{4;0; 4−}

)

^.

Tọa độ vectơ d= − +a b 2c là

A. ^{d = −}

(

^{7;0; 4−}

)

^{. B. d = −}

(

^{7;0; 4}

)

^{. C. d =}

(

^{7;0; 4−}

)

^{. D. d =}

(

^{7;0; 4}

)

^.

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho ^a=

(

^{1; 2; 3−}

)

^{, b= − −}

(

^{2; 4;6}

)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a=2b. B. b= −2a. C. a= −2b. D. b=2a.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, để hai véctơ ^a=

(

^{m; 2;3}

)

^{và b=}

(

^{1; ; 2n}

)

cùng phương thì m n+ bằng:

A. 11

6 . B. 13

6 . C. 17

6 . D. 2.

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ ^a=

(

^2;1;1

)

^{, b=}

(

^{3; 1; 2−}

)

. Tọa độ của vec tơ c thỏa mãn biểu thức 2b a− +3c=0 là:

A. ³;1; ⁵

2 2

− − 

 

 . B. ¹; 2; ⁵

2 2

− − − 

 

 . C. ⁷; 2; ⁵

2 2

− − 

 

 . D. ⁷;1; 1

2

− − 

 

 .

►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

. Định nghĩa: M x y z( ; ; )OM = x i. +y j. +z k (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) .

. Chú ý:

•^M

(

^Oxy

)

^{ =z 0;M}

(

^Oyz

)

^{ =x 0;M}

(

^Oxz

)

^{ =y 0}

•MOx = =y z 0;MOy = =x z 0;MOz = =x y 0.

. Tính chất: Cho A x( _A; y_A; z_A), B x( _B; y_B; z_B)

• AB=(x_B −x_A;y_B−y_A;z_B−z_A)

• AB = (x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²+(z_B−z_A)²

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ; ;

2 2 2

+ + +

 

 

 

A B A B A B

x x y y z z

M

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

• ; ;

3 3 3

+ + + + + +

 

 

 

A B C A B C A B C

x x x y y y z z z

G

• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

• ; ;

4 4 4

+ + + + + + + + +

 

 

 

A B C D A B C D A B C C

x x x x y y y y z z z z

G

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm ^A

(

^{1; 3; 2 ,−}

) (

^{B 0;1; 1−}

)

^{và C}

(

^{5; 1; 2−}

)

^.

Tọa độ là trọng tâm Gcủa tam giác ABC là

A. ^G

(

^{2; 1;1−}

)

^{. B. G}

(

^2;1;1

)

^{. C. G}

(

^{2;1; 1−}

)

^{. D. G}

(

^{−2;1; 1−}

)

^.

Lời giải Chọn A

G là trọng tâm tam giác ABC nên:

1 0 5

3 3 2

3 1 1

3 3 1

2 1 2

3 3 1

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

z z z

y

z

+ + + +

= =



+ + − + −

= = −

+ + =

 =



 =



= = +





− Vậy ^G

(

^{2; 1;1−}

)

^.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm ^A

(

^{1; 0; 2 ,−}

) (

^{B 2;1; 1 ,−}

) (

^{C 1; 3;3−}

)

^{và điểm}

M thỏa mãn hệ thức AM =2AB+3BC. Tìm tọa độ điểm M .

A.

(

^{0; 5; 6− −}

)

^{. B.}

(

^{0; 5; 2−}

)

^{. C.}

(

^{0; 10;12−}

)

^{.. D.}

(

^{0; 5; 4−}

)

^.

Lời giải Chọn C

Ta có: ^AB=

(

^1;1;1

)

^2AB=

(

^{2; 2; 2}

) (

^{1; 4; 4}

)

³

(

^{3; 12;12}

)

BC = − −  BC= − −

( )

2AB 3BC 1; 10;14

 + = − − .

Gọi ^{M x y z}

(

^{; ;}

)

^{AM =}

(

^{x−1; ;y z+2}

)

1 1 0

2 3 10 10

2 14 12

x x

AM AB BC y y

z z

− = − =

 

 

= +  = −  = −

 + =  =

 

Vậy ^M

(

^{0; 10;12−}

)

^.

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M

(

^{1; 2;3}

)

. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox. A.

(

^{2; 0; 0}

)

^{. B.}

(

^{1; 0; 0}

)

^{. C.}

(

^{3; 0; 0}

)

^{. D.}

(

^{0; 2;3}

)

^.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^M

(

^{1; 2;3}

)

. Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng

(

^Oxy

)

A. ^N

(

^{− − −1; 2; 3}

)

^{. B. N}

(

^{1; 2; 0}

)

^{. C. N}

(

^{− −1; 2;3}

)

^{. D. N}

(

^{1; 2; 3−}

)

^.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm ^A

(

^{1;1; 0}

)

^{, B}

(

^0;3;3

)

^{. Khi đó}

A. ^{AB= −}

(

^{1; 2;3}

)

^{. B. AB=}

(

^{1; 2;3}

)

^{. C. AB= −}

(

^{1; 4;3}

)

^{. D. AB=}

(

^0;3;0

)

^.

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ^A

(

^{1; 2; 0}

)

^{; B}

(

^{3; 1;1−}

)

^{và C}

(

^1;1;1

)

. Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

A. ^{5 2 2}; ; 3 3 3

 

 

 

G . B. ^{5 2 2}; ;

3 3 3

− 

 

 

G . C. ⁵; ^{2 2};

3 3 3

 − 

 

 

G . D. ⁵; ²; ²

3 3 3

 − − 

 

 

G .

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm (1;0; 2)A − , (2;1; 1)B − . Tìm độ dài của đoạn thẳng AB?

A. 2 . B. 18. C. 2 7. D. 3.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ

(

O i j k; , ,

)

,cho hai điểm ,A Bthỏa mãn OA=2i − +j kvà

= + −3

OB i j k. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB. A. ¹; 1; 2

2

− − 

 

 

M . B. ³; 0; 1

2

 − 

 

 

M . C. ^M

(

^{3; 0; −2}

)

^{. D. 1; 1; 2}

2

 − 

 

 

M .

Câu 17. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm là ^A

(

^{1;3; 1−}

)

^{, B}

(

^{3; 1;5−}

)

. Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA=3MB.

A. ^{5 13}; ;1 3 3

 

 

 

M . B. ^{7 1}; ;3

3 3

 

 

 

M . C. ^{7 1}; ;3 3 3

 

 

 

M . D. ^M

(

^{4; 3;8−}

)

^.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm ^A

(

^{1; 0; 2}

)

^{, B}

(

^−2;1;3

)

^{, C}

(

^{3; 2; 4}

)

^,

(

^{6;9; 5−}

)

D . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD.

A.

(

^{2;3; 1−}

)

^{. B.}

(

^{2; 3;1−}

)

^{. C.}

(

^2;3;1

)

^{. D.}

(

^−2;3;1

)

^.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A

(

^{1; 2; 1 ,−}

) (

^{B 2; 1;3 ,−}

) (

^{C −3;5;1}

)

^.

Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là

A. ^D

(

^{−4;8; 5−}

)

^{. B. D}

(

^{−2; 2;5}

)

^{. C. D}

(

^{−4;8; 3−}

)

^{. D. D}

(

^{−2;8; 3−}

)

^.

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ^{OM =}

(

^{1;5; 2}

)

^{, ON =}

(

^{3;7; 4−}

)

^{. Gọi P} là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. ^P

(

^{5;9; 10−}

)

^{. B. P}

(

^{7;9; 10−}

)

^{. C. P}

(

^{5;9; 3−}

)

^{. D. P}

(

^{2; 6; 1−}

)

^.

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^M

(

^{0;1; 2 ,}

) (

^{N 7;3; 2 ,}

) (

^{P − −5; 3; 2}

)

^{. Tìm}

tọa độ điểm Q thỏa mãn MN =QP.

A. ^Q

(

^{12;5; 2}

)

^{. B. Q}

(

^{−12;5; 2}

)

^{. C. Q}

(

^{−12; 5; 2−}

)

^{. D. Q}

(

^{− −2; 1; 2}

)

^.

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có^A

(

^{1; 2; 1−}

)

^{, B}

(

^{3; 0;3}

)

. Tìm tọa độ điểm C sao cho ^G

(

^{2; 2; 2}

)

là trọng tâm tam giác ABC.

A. ^C

(

^{2; 4; 4}

)

^{. B. C}

(

^{0; 2; 2}

)

^{. C. C}

(

^8;10;10

)

^{. D. C}

(

^{− − −2; 4; 4}

)

^.

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D.    . Biết tọa độ các đỉnh

(

^{3; 2;1}

)

A − ,^C

(

^{4; 2; 0}

)

^{, B −}

(

^2;1;1

)

^{, D}

(

^{3;5; 4}

)

. Tìm tọa độ điểm A của hình hộp.

A. ^{A −}

(

^3;3;1

)

^{. B. A − −}

(

^{3; 3;3}

)

^{. C. A − − −}

(

^{3; 3; 3}

)

^{. D. A −}

(

^3;3;3

)

^.

Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm ^A

(

^{3; 2;1 ,}

) (

^{B 1; 1; 2 ,−}

) (

^{C 1; 2; 1−}

)

^{. Tìm}

tọa độ điểm M thỏa mãn OM =2AB−AC.

A. ^M

(

^{−2; 6; −4}

)

^{. B. M}

(

^{2; −6; 4}

)

^{. C. M}

(

^{−2; −6; 4}

)

^{. D. M}

(

^{5; 5; 0}

)

^.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^A

(

^{1; 2;3}

)

, trên trục Oz lấy điểm M sao cho

= 5

AM . Tọa độ của điểm M là

A. ^M

(

^{0; 0;3}

)

^{. B. M}

(

^{0; 0; 2}

)

^{. C. M}

(

^{0; 0; 3−}

)

^{. D. M}

(

^{0;3; 0}

)

^.

►DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

PHƯƠNG PHÁP:

. Định nghĩa: Trong không gian Oxyzcho hai vectơ a=( ;a a a_{1 2}; ₃), b=( ;b b b_{1 2}; )₃ .

• Tích vô hướng của hai véc tơ: ^{a b. = a b. .cos}

( )

^{a b, =a b1 1+a b2 2+a b3 3}

• Tích có hướng của hai vectơ a và ,b kí hiệu là a b, , được xác định bởi

( )

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

,  ; ;  ; ;

  =  = − − −

 

 

a a a a a a

a b a b a b a b a b a b a b

b b b b b b

. Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

. Tính chất:

• [ , ]a b ⊥ a; [ , ]a b ⊥b

• a b, = −b a, 

• i j, = k; j k, =i; k i, = j

• [ , ]a b =a b. .sin

( )

a b,

• ,a b cùng phương  [ , ]a b =0.

. Ứng dụng của tích có hướng:

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: ,a b và c đồng phẳng  [ , ].a b c=0

• Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD = AB AD, 

• Diện tích tam giác ABC: 1

2 ,

ABC =  

S AB AC

• Thể tích khối hộp ABCDA B C D   : VABCD A B C D_{. ' ' ' '} = [AB AD AA, ]. 

• Thể tích tứ diện ABCD: 1

[ , ].

=6

VABCD AB AC AD

• Góc giữa hai vectơ:

( )

2 ^{1 1}2 2^{2 2} 2 ^{3 3}2 2

1 2 3 1 2 3

cos ; .

. .

+ +

= =

+ + + +

a b a b a b a b a b

a b a a a b b b

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ^a=

(

^{1; 2; 0 ,}

)

^b=

(

^{2; 1;1 ,−}

)

^{c =}

(

^{1; 1; 0−}

)

. Phát biểu nào sau đây

sai?

A. a = 5. B. a c. = −1. C. a⊥b. D. c⊥b. Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{c b. =2.1+ −}

( ) ( )

^{1 . − +1 1.0=  3 0 c b,} không vuông góc nhau.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho a= − +i j 2 ,k ^{b= +i}

(

^m+1

)

^{j k−} . Tìm tham số m để a⊥b. A. m=2. B. m= −2. C. m=0. D. m= −1.

Lời giải Chọn B

Ta có: ^a=

(

^{1; 1; 2 ,−}

)

^{b =}

(

^{1;m+ −1; 1}

)

^; a^{⊥ }b a b^. =  − − − =  = −^{0 1} m ^{1 2 0} m ².

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=

(

2;1;0

)

và b= −

(

1;0; 2−

)

. Tính

( )

cos a b, .

A. ^cos

( )

^{, 2}

= −25

a b . B. ^cos

( )

^{, 2}

= −5

a b . C. ^cos

( )

^{, 2}

=25

a b . D. ^cos

( )

^{, 2}

=5 a b B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 26. Trong không gian Oxyzcho u= −j 3k; v= +i k. Tìm tích vô hướng .u v.

A. – 3. B. – 2. C. 3. D. 2.

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto ^{→a = −}

(

^1;1;0

)

^{; →b=}

(

^1;1;0

)

^{; →c=}

(

^1;1;1

)

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai

A. a = 2. B. c = 3. C. a⊥b. D. b⊥c. Câu 28. Gọi  là góc giữa hai vectơ ^a=

(

^{1; 2;0}

)

^{và b=}

(

^{2;0; 1−}

)

^{, khi đó cos bằng}

A. 0. B. 2

5. C. 2

5. D. 2

−5. Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho ^u

(

^{1; 2;1 ,−}

) (

^{v −2;1;1}

)

; góc giữa hai vectơ là:

A. 5 6

 . B.

3

 . C.

6

 . D. 2

3

 .

Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz, độ dài của véc tơ u=(1; 2; 2) là

A. 3 . B. 5 . C. 2. D. 9 .

Câu 31. Tính góc giữa hai vecto a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)

A. 60°. B. 120°. C. 45°. D. 135°.

Câu 32. Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm ^A

(

^{−2,1, 0}

)

^{, B}

(

^{−3, 0, 4}

)

^{, C}

(

^{0, 7,3}

)

. Khi đó, ^cos

(

^{AB BC,}

)

bằng:

A. 14

3 118. B. ^{7 2}

−3 59 . C. ¹⁴

57. D. ¹⁴

− 57 .

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^a

(

^{4; 2; 4 ,− −}

)

^b=

(

^{6; 3; 2−}

)

^thì

(

^{2a−3b a}

)(

^+2b

)

có giá trị là:

A. 200. B. 200. C. 200². D. 200.

Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ ^a

(

^{3;0;1 ,}

) (

^{b 1; 1; 2 ,− −}

) (

^{c 2;1; 1−}

)

^{. Tính}

( )

= +

T a b c .

A. T =3. B. T =6. C. T =0. D. T =9.

Câu 35. Cho điểm ^A

(

^{4; 3; 5− −}

) (

^{,B 2;1; 2−}

)

^{. Gọi a} là số đo góc AOB với O là gốc tọa độ. Giá trị của a là

A. a=150. B. a= 30 . C. a=135. D. a= 45 . Câu 36. Cho bốn véc tơ ^{a= −}

(

^1;1;0

)

^{, b=}

(

^1;1;0

)

^{, c=}

(

^1;1;1

)

^{, d =}

(

^2;0;1

)

. Chọn mệnh đề đúng.

A. a, b, c đồng phẳng. B. a, b, c đồng phẳng.

C. a, b, c đồng phẳng. D. a, b, c đồng phẳng.

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{2; 2; 4−}

)

^{, b=}

(

^{1;1; 2−}

)

. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. a b,  = 0. B. a b,   0. C. a =2b. D. a=2b.

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết ^A

(

^1;1;1

)

^{, B}

(

^{4;3; 2}

)

^{, C}

(

^{5; 2;1}

)

^.

Diện tích tam giác ABC là A. ⁴²

4 . B. 42 . C. 2 42 . D. ⁴²

2 .

Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có

(

^{1; 0;1 ,}

)

A ^B

(

^{2; 0; 1 ,−}

)

^C

(

^{0;1;3 ,}

)

^D

(

^3;1;1

)

. Thể tích khối tứ diện ABCD là

A. ²

=3

V . B. ⁴

=3

V . C. V =4. D. V =2.

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ^A

(

^0;1;1

)

^,

(

^{1; 2; 0−}

)

B ,^C

(

^{−2;1; 1−}

)

. Diện tích tam giácABC bằng bao nhiêu?

A. 22 . B. 2 22 . C. ²²

2 . D. ¹¹

2 .

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU PHƯƠNG PHÁP:

. Dạng chính tắc:

(

^x−a

) (

^{2+ y b−}

) (

^{2+ −z c}

)

^{2 =R2, có tâm I a b c}

(

^{; ;}

)

, bán kính R.

. Dạng khai triển: x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+ =d 0, đk: a²+b²+ − c² d 0, có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

^{, bán}

kính R= a²+b²+ −c² d . A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình

(

^x+2

) (

^{2+ y−3}

)

^{2+z2 =5 là :}

A. ^I

(

^{2;3; 0}

)

^{, R= 5. B. I}

(

^{−2;3; 0}

)

^{, R= 5.}

C. ^I

(

^2;3;1

)

^{, R=5. D. I}

(

^{2; 2; 0−}

)

^{, R=5.}

Lời giải Chọn B

Mặt cầu có tâm ^I

(

^{−2;3; 0}

)

và bán kính là R= 5.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

^{S :x2+y2+z2−2x+4y−4z−25=0.}

Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu

( )

^{S .}

A. I

(

1; 2; 2 ; −

)

R= 34. B. I

(

−1; 2; 2 ; −

)

R=5. C. I

(

−2; 4; 4 ; −

)

R= 29. D. I

(

1; 2; 2 ; −

)

R=6.

Lời giải Chọn A

Từ phương trình ta có : a=1,b= −2,c=2,d = −25.

Suy ra

( )

^{S tâm} I

(

1; 2; 2 ; −

)

R= 1²+ −

( )

2 ²+2²+25= 34.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

^S có phương trình

( )

^{S :x2+y2+z2−2x−4y−6z+ =5 0}. Tính diện tích mặt cầu

( )

^{S .}

A. 42 . B. 36. C. 9 . D. 12.

Lời giải Chọn B

Mặt cầu

( )

^{S có tâm I}

(

^{1; 2;3}

)

và bán kính R= 1²+2² + −3² 5 =3. Diện tích mặt cầu

( )

^{S : S=4R2 =4 3 2 =36 .}

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) (

S ^: x−⁵

) (

²+ y−¹

) (

²+ z+²

)

² =¹⁶. Tính bán kính của

( )

^{S .}

A. 4. B. 16 . C. 7 . D. 5 .

Câu 2. Trong không gian Oxyz, mặt cầu

(

^x−1

) (

^{2+ y−2}

) (

^{2+ +z 3}

)

^{2 =4} có tâm và bán kính lần lượt là

A. ^I

(

^{1; 2; 3−}

)

^{, R=2. B. I}

(

^{− −1; 2;3}

)

^{, R=2.}

C. ^I

(

^{1; 2; 3−}

)

^{, R=4. D. I}

(

^{− −1; 2;3}

)

^{, R=4.}

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình

(

^x+1

) (

^{2+ y−3}

)

^{2+z2 =16}. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

A. ^I

(

^{−1;3; 0}

)

^{; R=16. B. I}

(

^{−1;3; 0}

)

^{; R=4.}

C. ^I

(

^{1; 3; 0−}

)

^{; R=16. D. I}

(

^{1; 3; 0−}

)

^{; R=4.}

Câu 4. Cho mặt cầu

( )

^{S :x2+y2+z2−2x+4y+2z− =3 0}. Tính bán kính R của mặt cầu

( )

^{S .}

A. R= 3. B. R=3. C. R=9. D. R=3 3.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

^{S :x2+y2+z2−6x+4y−8z+ =4 0.}

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu

( )

^{S .}

A. ^I

(

^{3; 2; 4 ,−}

)

^{R=25. B. I}

(

^{3; 2; 4 ,−}

)

^R=5.

C. ^I

(

^{−3; 2; 4 ,−}

)

^{R=25. D. I}

(

^{−3; 2; 4 ,−}

)

^R=5.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( )

^{S : x2+y2+z2−4x+2y−6z− =11 0}. Tìm tâm và bán kính của

( )

^{S là:}

A. ^I

(

^{2; 1; 3−}

)

^{,R=25. B. I}

(

^{2; 1; 3− −}

)

^,R=5.

C. ^I

(

^{2; 1; 3−}

)

^{,R=5. D. I}

(

^{2; 1; 3− −}

)

^{,R= 5.}

Câu 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

A. x²+y²+z²−2x−2y−2z− =8 0. B.

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

) (

^{2+ −z 1}

)

^{2 =9.}

C. 2x²+2y²+2z²−4x+2y+2z+16=0. D. 3x² +3y²+3z²−6x+12y−24z+16=0. Câu 8. Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu?

A. x²+y²+z²−10xy−8y+2z− =1 0. B. 3x²+3y²+3z²−2x−6y+4z− =1 0. C. x²+y²+z²−2x−4y+4z+2017=0. D. x²+

(

y−z

)

²−²x−⁴

(

y− − =z

)

^{9 0}.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( )

S ^:x²+

(

y−¹

)

²+z² =². Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu

( )

^{S ?}

A. ^M

(

^1;1;1

)

^{. B. N}

(

^{0;1; 0}

)

^{. C. P}

(

^{1; 0;1}

)

^{. D. Q}

(

^{1;1; 0}

)

^.

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho phương trình

( )

2 2 2 2

2 2 4 2 5 9 0

x +y +z − m+ x+ my− mz+ m + = . Tìm m để phương trình đó là phương trình của một mặt cầu.

A. −  5 m 5. B. m −5 hoặc m1. C. m −5. D. m1.

Câu 11. Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

2 2 2

4 2 2 0

+ + + − + + =

x y z x y z m là phương trình của một mặt cầu.

A. m6. B. m6. C. m6. D. m6.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^I

(

^{1; 2;1−}

)

và mặt phẳng

( )

^{ :x+2y−2z− =4 0. Mặt cầu}

( )

^{S có tâm I} và tiếp xúc với

( )

^ có phương trình là A.

(

^x−1

) (

^{2+ y+2}

) (

^{2+ z−1}

)

^{2 =9. B.}

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

) (

^{2+ z+1}

)

^{2 =9.}

C.

(

x−¹

) (

²+ y+²

) (

²+ −z ¹

)

² =³. D.

(

x−¹

) (

²+ y+²

) (

²+ −z ¹

)

² =³.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử tồn tại mặt cầu

( )

^S có phương trình

2 2 2

4 8 2 6 0

+ + − + − + =

x y z x y az a . Nếu

( )

^S có đường kính bằng 12 thì các giá trị của a là A. a= −2;a=8. B. a=2;a= −8. C. a= −2;a=4. D. a=2;a= −4.

►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC PHƯƠNG PHÁP: Xác định được tâm và bán kính, hoặc là các hệ số a b c d, , ,

. Mặt cầu có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

, bán kính R thì có phương trình chính tắc là:

(

^x−a

) (

^{2+ y b−}

) (

^{2+ −z c}

)

^{2 =R2}

. Mặt cầu có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

và đi qua điểm A

• Tính bán kính R⁼IA⁼

(

xA⁻xI

) (

²⁺ yA⁻yI

)

²

• Viết phương trình mặt cầu.

. Mặt cầu có đường kính AB

• Tìm tọa độ tâm I (trung điểm của đoạn AB)

• Tính bán kính

( ) (

²

)

²

2 2

− + −

= AB = x^B x^A y^B y^A R

• Viết phương trình mặt cầu.

. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD(hoặc là: Mặt cầu đi qua 4 điểm A B C D, , , có tọa độ cho trước)

• Gọi mặt cầu ( ) :S x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+ =d 0 (a²+b²+ − c² d 0)

• Thay tọa độ các điểmA B C D, , , vào phương trình mặt cầu, lập được hệ 4 phương trình 4 ẩn , , ,

a b c d.

• Kết luận phương trình cần lập.

. Mặt cầu có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

Và tiếp xúc với mặt phẳng

( )

^{P :Ax+By Cz+ + =D 0}

• Tính bán kính ⁼

(

^,

( ) )

^{= +}₂ ⁺₂ ⁺₂

+ + Aa Bb Cc D R d I P

A B C

• Viết phương trình mặt cầu:

(

^x−a

) (

^{2+ y b−}

) (

^{2+ −z c}

)

^{2 =R2}

. Mặt cầu có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

Và tiếp xúc với đường thẳng

( )

^{0 0 0}

1 2 3

: − − −

 x x = y y = z z

u u u

• Xác đinh tọa độ điểm M x y z

(

0; 0; 0

)

và véc tơ chỉ phươngu u u u

(

1; 2; 3

)

của đường thẳng

( )

^

• Tính bán kính ^{R=d I}

(

^,

( )

^{ =}

)

^{M I u0 , }

u

• Viết phương trình mặt cầu.

B. BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu

( )

^{S có tâm I}

(

^{−1; 4; 2}

)

và bán kính R=9. Phương trình của mặt cầu

( )

^{S là:}

A.

(

^x+1

) (

^{2+ y−4}

) (

^{2+ −z 2}

)

^{2 =81. B.}

(

^x+1

) (

^{2+ y−4}

) (

^{2+ −z 2}

)

^{2 =9.}

C.

(

^x−1

) (

^{2+ y+4}

) (

^{2+ −z 2}

)

^{2 =9. D.}

(

^x−1

) (

^{2+ y+4}

) (

^{2+ +z 2}

)

^{2 =81}

Lời giải Chọn A

Mặt cầu

( )

^{S có tâm I}

(

^{−1; 4; 2}

)

và bán kính R=9 nên

( )

^S có phương trình:

(

^x+1

) (

^{2+ y−4}

) (

^{2+ −z 2}

)

^{2 =81.}

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm ^I

(

^{−1; 2; 0}

)

và đi qua điểm ^A

(

^{2; 2; 0−}

)

^là

A.

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

)

^{2+z2 =100. B.}

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

)

^{2+z2 =5.}

C.

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

)

^{2+z2 =10. D.}

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

)

^{2+z2 =25.}

Lời giải Chọn D

Ta có: Tâm ^I

(

^{−1; 2; 0}

)

và bán kính R=IA= 3²+4² =5. Vậy phương trình mặt cầu có dạng:

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

)

^{2+z2 =25.}

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A

(

^{−2;1; 0}

)

^{, B}

(

^{2; 1; 2−}

)

. Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là

A. ^x2+y2+

(

^z−1

)

^{2 = 24. B. x2+y2+}

(

^z−1

)

^{2 = 6.}

C. ^x2+y2+

(

^z−1

)

^{2 =24. D. x2 +y2+}

(

^z−1

)

^{2 =6.}

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB khi đó

( )

2 0

0 0; 0;1 2

2 1

A B

I

A B

I

A B

I

x x x

y y

y I

z z z

 = + =



 = + = 



 = + =



.

(

^{0 2}

) (

^{2 0 1}

) (

^{2 1 0}

)

^{2 6}

IA= + + − + − = .

Mặt cầu đường kính AB nhận điểm ^I

(

^{0; 0;1}

)

làm tâm và bán kính R=IA= 6 có phương trình là: ^x2+^y2+

(

^z−¹

)

² =⁶.

Ví dụ 4. Gọi

( )

^S là mặt cầu đi qua 4 điểm^A

(

^{2; 0; 0}

)

^{, B}

(

^{1;3; 0}

)

^{, C}

(

^{−1; 0;3}

)

^{, D}

(

^{1; 2;3}

)

^.

Tính bán kính R của

( )

^{S .}

A. R=2 2. B. R=3. C. R=6. D. R= 6. Lời giải

Chọn D

Giả sử phương trình mặt cầu

( )

^{S :x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+ =d 0}

(

^{a2+b2+c2− d 0}

)

Vì

( )

^{S đi qua 4 điểmA}

(

^{2; 0; 0 ,}

) (

^{B 1;3; 0 ,}

) (

^{C −1; 0;3 ,}

) (

^{D 1; 2;3}

)

nên ta có hệ phương trình:

4 4 0

2 6 10 1

2 6 10 1

2 4 6 14 4

− + = − =

 

− − + = −  =

 

 − + = −  =

 

− − − + = −  = −

 

a d a

a b d b

a c d c

a b c d d

( )

2 2 2

0 1 1 4 6

 =R + + − − = .

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz cho điểm ^I

(

^{−1; 2;3}

)

và mặt phẳng

( )

^{P : 4x+ − − =y z 1 0}. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng

( )

^{P .}

A. (x+1)²+(y−2)²+ −(z 3)² =2. B. (x+1)²+ −(y 2)²+ −(z 3)² = 2. C. (x−1)²+(y+2)²+ +(z 3)² =2. D. (x+1)²+(y−2)²+ −(z 3)² =1.

Lời giải Chọn A

Gọi

( )

^S là mặt cầu tâm I, bán kính R và

( )

^S tiếp xúc với

( )

^{P : 4x+ − − =y z 1 0}

Ta có

( ( ) )

4.( 1) 2 3 1_{2 2 2} 6

2 4 1 ( 3 2

;

1)

− + − −

= =

+ + −

=  P

d I R

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: (x+1)²+(y−2)²+ −(z 3)² =2. B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Câu 14. Phương trình mặt cầu tâm ^I

(

^{1; 2; 3−}

)

^{bán kính R=2 là:}

A. x²+y²+z²−2x−4y+6z+10=0. B.

(

^x−1

) (

^{2+ y−2}

) (

^{2+ +z 3}

)

^{2 =2.}

C. x²+y²+z²+2x−4y−6z+10=0. D.

(

^x+1

) (

^{2+ y+2}

) (

^{2+ −z 3}

)

^{2 =22.}

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu

( )

^{S có tâm I( 1; 2;}

(

^{− 3}

)

^{và đi}

qua điểm ^A

(

^{3; 0; 2}

)

^.

A.

(

^x−1

) (

^{2+ y+2}

) (

^{2+ −z 3}

)

^{2 =3. B.}

(

^x+1

) (

^{2+ y−2}

) (

^{2+ +z 3}

)

^{2 =9.}

C.

(

^x−1

) (

^{2+ y+2}

) (

^{2+ −z 3}

)

^{2 =<}