Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Định nghĩa: Nếu d P

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Định nghĩa:

Nếu ^d

 

^{P ( ;d P}

 

^{) 90 0}

Nếu ^{d }

 

^{P }



^{d P;}

  

^



^{d d; '}



^



^AIH



^{với d'} là hình chiếu của d lên

 

^P

Chú ý: ^00



^{d P;}

  900

2. Góc giữa hai mặt phẳng

 Định nghĩa:

Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng

 

^{P và}

 

^Q

. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng

 

^P và

 

^Q chính là góc giữa hai đường thẳng a và b

Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d.

Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b

5. Thể tích khối đa diện

a. Công thức tính thể tích khối chóp

Trong đó: là diện tích đáy, là chiều cao khối chóp.

(P)

d'

d A

H I

c

a b



 

d b

a I

1 . V 3S h

S h

ÔN TẬP : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN (TỰ HỌC) – 15-8-2021

Chú ý: Cho khối chóp và , , là các điểm tùy ý lần lượt thuộc , , ta có

.

b. Công thức thể tích khối lăng trụ : V B h. (Blà diện tích đáy, hlà chiều cao) XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP

a) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp S ABC. ^có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức

( )

SA ABC thì chiều cao của hình chóp là SA.

b) Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ: Hình chóp S ABCD. có mặt bên (SAB) ^vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABCD) thì chiều cao của hình chóp là SH ^{là chiều} cao của SAB.

c) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.

Ví dụ: Hình chóp .

S ABCD có hai mặt bên (SAB) ^và (SAD) ^cùng vuông góc với mặt đáy

(ABCD) thì chiều cao của hình chóp là SA.

d) Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Đối với hình chóp đều đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G của tam giác đều.

Ví dụ: Hình chóp đều .

S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông

ABCD thì có đường cao là SO.

XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP .

S ABC A' B' C' SA SB SC

. ' ' ' .

' ' '

. .

S A B C S ABC

V SA SB SC V  SA SB SC

1. Diện tích tam giác vuông.

S= nửa tích 2 cạnh góc vuông.

 Pitago: AB² AC² AC²

2. Diện tích tam giác đều.

 S= (cạnh)².^√

 h= (cạnh).^√

3. Diện tích hình vuông:

. S= (cạnh)²

. Pitago: AB²AD² BD²

.Đường chéo hình vuông bằng cạnh. 2

4. Diện tích hình chữ nhật:

. S= dài x rộng.

5. Diện tích hình thoi:

. 1 . . S  2 AC BD

. S= 2.SABC=2.SADC

6. Diện tích hình thang:

. S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé)

. ^{S  1}₂^{AH AB CD.}



^



II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Thể tích khối đa diện

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Công thức tỉ số thể tích

 Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SA và mặt phẳng



^SBC



^{bằng 45}( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S ABC. bằng:

A. ³ 8

a . B. 3 ³

8

a . C.

3 3

12

a . D.

3

4 a . Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặt đáy.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính diện tích đáy

B2: tính thể tích khối lăng trụ V S h.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm BC thì AM BC và SA BC nên BC



SAM



. Từ đây dễ thấy góc cần tìm là  ASM  45 .

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và 3 2 SA AM a .

Suy ra

2 3

.

1. 3. 3

3 2 4 8

S ABC

a a a

V  

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a² và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng

A. 6a³. B. 2a³. C. 3a³. D. a³.

Lời giải Chọn B

Ta có 1 1 ^{2 3}

. 3 .2 2

3 ^đ 3

V  S h a a a .

Câu 2. Thể tích V của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng 3B là A. V 3Bh. B. 1

V 3Bh. C. 1

V 6Bh. D. V Bh. Lời giải

Chọn D Ta có 1

3.3 .

V  B h Bh .

Câu 3. Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thà nào?

A. Tăng 4 lần. . B. Tăng 8 lần.. C. Tăng 2 lần. D. Không thay đổi.

Lời giải Chọn B

Thể tích khối chóp là: 1 3 . V  B h.

Độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích mặt đáy tăng 2² 4 lần.

Cạnh bên tăng lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên 2 lần.

Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần.

Câu 4. Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là

A. 4

V  3Bh. B. 1

V 3Bh. C. V Bh. D. 1 V  2Bh. Lời giải

Chọn B

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 V 3Bh.

Câu 5. Khối chóp S ABCD. có A, B, C, D cố định và S chạy trên đường thẳng song song với AC. Khi đó thể tích khối chóp S ABCD. sẽ:

A. Giảm phân nửa.. B. Tăng gấp đôi.. C. Tăng gấp bốn. D. Giữ nguyên..

Lời giải.

Chọn D

Gọi  là đường thẳng qua S và song song AC. Ta có: 1

3 . V  B h

+ song songACnên ^_



^ABCD



^{d S ABCD}



^,

  

^d



^,



^ABCD

 

^h không đổi.

+A, B, C, D cố định nên diện tích tứ giác ABCD cũng không đổi.

Vì vậy thể tích khối chóp S ABCD. sẽ giữ nguyên.

Câu 6. Cho khối chóp

 

^H có thể tích là 2a³, đáy là hình vuông cạnh a 2. Độ dài chiều cao khối chóp

 

^{H bằng.}

A. 3a. B. a. C. 4a. D. 2a.

Lời giải Chọn A

2 3 3

2

1 1 6

. ( 2 ) 2 3

3 3 2

V B h a a h a a

     a  .

Câu 7. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng a³.Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A. h a .. B. h2 .a. C. h3 .a . D. h 3 .a . Lời giải

Chọn C Ta có:

3 2

1 3 3

. 3 .

3

V a

V S h h a

S a

     .

Câu 8. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng 3a³. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A. 3

3

h a. B. 3 2

h a. C. h 3a. D. 3 6 h a . Lời giải

Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên

 

2 ² 3 2

4 3

_ABC  a 

S a .

Mà

3 2

1 3 3

. 3

3 ^  3

 _ABC    

ABC

V a

V S h h a

S a ^.

Câu 9. Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên 5 lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của khối chóp sẽ tăng lên

A. 5lần. B. 20lần. C. 15 lần. D. 10 lần.

Lời giải Chọn A

Thể tích khối chóp sẽ tăng lên 5 lần.

Câu 10. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a. Tính thể tích của hình chóp đã cho.

A.

2 3 3 3

V  a . B.

4 3 3 3

V  a . C.

3 3

3

V a . D.

3 3

4 V a . Lời giải

Chọn C

Do đáy là tam giác đều nên

2 3

ABC 4

S_  a .

Mà 1 1 ² 3 ³ 3

. . .4

3 ^ABC 3 4 3

a a

V  S_ h a .

Câu 11. Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB a ,AC2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích của khối chóp S ABC. .

A. V a³. B.

3

2

V  a . C.

3

3

V a . D.

3

4 V a . Lời giải

Chọn B

Diện tích đáy 1 ²

2 .2

B S ABC  a a a Chiều cao: h a

3 2 ' ' '

1 1

. .

3 3 3

ABCA B C

V  B h a a a

Câu 12. Cho hình chóp tam giác S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích của khối chópS ABC. .

A.

2 3

3

V  a B. ³ 3 12

V  a C. ³ 3

3

V a D. ³ 3

4 V a . Lời giải

V

V a

Chọn B

Diện tích đáy

2 3

ABC 4

B S  a Chiều cao: h a

2 3

' ' '

1 1 3 3

. .

3 3 4 12

ABCA B C

a a

V  B h a

Câu 13. Cho khối chóp S ABC. có SA vuông góc với



^ABC



^{, đáy ABC} là tam giác vuông cân tại A, 2

BC a , góc giữa SB và



^ABC



^{là 30}. Tính thể tích khối chóp S ABC. . A.

3 6

9

a . B.

3 6

3

a . C.

3 3

3

a . D.

3 2

4 a . Lời giải

Chọn A

Ta có AB là hình chiếu của SB lên



^ABC



suy ra góc giữa SB và



^ABC



^{là góc SBA 30 .}

Tam giác ABC vuông cân tại A, BC2a AB AC a  2 . Xét SAB vuông tại A có .tan 30 2. 3 6

3 3

SA AB  a  a .

Ta có 1 ^{2 2}

ABC 2

S  AB a . Vậy

2 3 .

1 1 6 6

. . . .

3 3 3 9

S ABC ABC

a a

V  SA S  a  .

Câu 14. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật,AB a , AD a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng



^SBC



tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích ^o V của khối chóp S ABCD. .

A. V 3a³. B.

3 3

3

V  a . C. V a³. D.

3

3 V a . Lời giải

A 30° C

B S

Chọn C

Ta có S_ABCD  AB AD a a.  . 3 3a². Dễ thấy BCAB BC; SBSBA60^o.

Xét tam giác vuông ^{SAB A}



^1v



^{có: tan 60o } _AB^{SASA AB tan 60o a 3}

Vậy _. 1 1 ^{2 3}

. 3. 3

3 3

S ABCD ABCD

V  S SA a a a .

Câu 15. Cho hình chóp S ABC. có SA a và vuông góc với đáy ABC. Biết rằng tam giác ABC đều và mặt phẳng



^SBC



hợp với đáy



^ABC



một góc 30. Tính thể tích Vcủa khối chóp S ABC. . A.

3 3

3

V a . B.

2 3

3

V  a . C.

3 3

12

V a . D.

3

3 V a . Lời giải:

Chọn A

Gọi I là trung điểm BC, ta có SIA 30

Xét tam giác SIA vuông tại A ta có SA a AI a 3

Ta có 3

2 2 .

AI AB AB a

Diện tích ² 3 ²

4 3

SABC AB a

Thể tích 1 ³ 3

3. . ^ABC 3 V  SA S  a

Câu 16. Cho khối chóp S ABC. có SA vuông góc với



^ABC



^{, đáy ABC} là tam giác vuông cân tại A, 2

BC a , góc giữa SB và



^ABC



^{là 30}. Tính thể tích khối chóp S ABC. .

a 60

a 3

D

A B

C S

A. ³ 6 9

a . B. ³ 6

3

a . C. ³ 3

3

a . D. ³ 2

4 a . Lời giải:

Chọn A

AB là hình chiếu của SB lên



^ABC



suy ra góc giữa SB và



^ABC



^{là góc SBA 30 .}

Tam giác ABC vuông cân tại A, BC2a AB AC a  2 .

3 6

.tan 30 2.

3 3

SA AB  a  a .

2 2

1

ABC 2

S  AB a .

2 3 .

1 1 6 6

. . . .

3 3 3 9

S ABC ABC

a a

V  SA S  a  .

Câu 17. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S ABC. .

A.

3

2

V a . B. V a³. C.

3 3

2

V  a . D. V 3a³. Lời giải:

Chọn B

Gọi H là trung điểm của AB.

   

   

 

 

SAB ABC SAB ABC AB

SH ABC SH AB

SH SAB

 

    

 

 

3 3

2

SH  AB a , ² 3 ² 3

ABC 4

S  AB a .

3 .

1 .

S ABC 3 ABC

V  SH S a .

A 30° C

B S

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy



^ABCD



^{. Biết SD2a 3} và góc tạo bởi đường thẳng

SC và mặt phẳng



^ABCD



^{bằng 300}. Tính thể tích Vcủa khối chóp S ABCD. . A.

2 3 3 7

V  a . B.

3 3

13

V  a . C.

3 3

4

V a D.

4 3 6 3 V  a Lời giải

Chọn D.

… Ta có SC SD 2a 3, SI SC.sinSCI2a 3.sin 30⁰ a 3,

 ⁰

.cos 2 3.cos30 3

CISC SCI a  a.

3 2

2

SI AB AB a. ^{BC  CI2BI2 }

 

^{3a 2a2 2a 2}

Từ đó: S_ABCD  AB BC. 2 .2a a 24a² 2 Vậy

3 2

.

1 1 4 6

. . .4 2. 3

3 3 3

S ABCD ABCD

V  S SI  a a  a .

Câu 19. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB BC a  , AD2a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng



^ABCD



trùng với trung điểm cạnh AB. Biết rằngSC a 5. Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD. .

A. ³ 5

4

V a B. ³ 15

3

V  a . C. ³ 15 4

V a . D. 2 ³ 5 3 V  a . Lời giải

Chọn C.

Gọi M là trung điểm AB. Ta có: ^{2 2} 5 2

MC BC MB a suy ra 15

2 SM a .

Nên

 

³

.

1 15 2 15

3 2 . 2 4

S ABCD

a a a

a a

V 

  .

Câu 20. Cho khối chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích

M

A D

B C

S

V của khối chóp S ABC. A.

13 3

12

V  a . B.

11 3

12

V  a . C.

11 3

6

V  a . D.

11 3

4 V  a . Lời giải

Chọn B.

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có

2

2 3

4 2

a a

AI a   , và 2 2 3 3

3 3.2 3

a a

AO AI   . Trong tam giác SOA vuông tại O ta có

2

2 11

4 3 3

a a

SO a   Vậy thể tích khối chóp S ABC. là

1 1 3 11 11 3

. .

3 2 2 3 12

a a a

V  a  .

 Mức độ 2

Câu 1. Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng



^SAB



^{một góc 30 .0} Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A.

2 3

3

V  a . B.

6 3

3

V  a . C.

2 3

3

V  a . D. V  2a³. Lời giải

Chọn A

Ta có ^CB



^SAB



^_^{SC SAB;}

  

^_^{ SC SB;}



^{CSB300}

Suy ra SB BC .cot 30⁰ a 3; SA SB²AB² a 2 Thể tích khối chóp :

1 2 3

3 ^ABCD. 3 V  S SA a .

Câu 2. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , BC2a, SA2a, SA vuông góc với mặt phẳng



ABCD . Tính thể tích khối chóp



S ABCD. tính theo a.

A.

8 3

3

a B.

4 3

3

a C.

6 3

3

a D. 4a³

Lời giải Chọn B

O I

A C

B S

Ta có S_ABCD  AB CD. 2a².

Thể tích khối chóp S ABCD. là _. 1 .

S ABCD 3 ABCD

V  SA S 12 .2 ² 4 ³

3 3

a a a

  .

Câu 3. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB a 5, AC a . Cạnh bên 3

SA a và vuông góc với mặt phẳng



^ABC



. Tính thể tích khối chóp S ABC. . A.

3 5

2 .

a B. a³. C. 3 .a³ D. 2 .a³ Lời giải

Chọn B.

Vì tam giác ABC vuông tại C nên BC AB²AC²  5a²a² 2 .a

1 1 2

. . .2 .

2 2

SABC  AC BC a a a

2 3

.

1 1

. .3 .

3 3

S ABC ABC

V  SA S  a a a (đvtt). .

Câu 4. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , BC2a, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



^{và SA3a}. Thể tích của khối chóp S ABCD. bằng

A. 2a³. B. 3a³. C. 6a³. D. a³.

Lời giải Chọn A

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có _. 1 . .2 .3

S ABCD 3

V  a a a^2a3.

Câu 5. Cho hình chóp S ABC. có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy



^ABC



. Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, AB2a. Tính theo a thể tích V của khối chóp

. S ABC. A.

3

2

V  a B. V 2a³ C.

3

6

V  a D.

2 3

3 V  a Lời giải

2a a

3a

B C

A D

S

Chọn D

Ta có: 1. .

3 ^ABC

V  SA S_  1 . .1 .

3SA 2 AB AC ^{1. . 2}

 

²

6 a a

 2 ³

3a

 (dvtt).

Câu 6. Cho khối chóp tam giác S ABC. có ^SA



^ABC



, tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là AB5a

; BC8a; AC7a, góc giữa SB và



^ABC



là 45. Tính thể tích khối chóp S ABC. . A. 50 3a³. B. 50 3 ³

3 a . C. 50 ³

3 a . D. 50 7 ³

3 a . Lời giải

Chọn B

Ta có nửa chu vi ABC là 10

2 AB AC BC

p    a. Diện tích ABC là S_ABC  10 .5 .3 .2a a a a 10 3a².

 

SA ABC nên SAB vuông, cân tại A nên SA AB 5. Thể tích khối chóp S ABC. là _. 1

3 .

S ABC ABC

V  SA S_ 1 ²

5 .10 3

3 a a

 50 3 ³

3 a

 .

Câu 7. Cho hình chóp S ABC. có mặt phẳng



^SAC



vuông góc với mặt phẳng



^ABC



^{, SAB là tam}

giác đều cạnh a 3, BC a 3 đường thẳng SC tạo với mặt phẳng



^ABC



^{góc 60}. Thể tích của khối chóp S ABC. bằng

A. ³ 3 3

a . B. ³ 6

2

a . C. ³ 6

6

a . D. 2a³ 6. Lời giải

Chọn C

A C

B S

Ta thấy tam giác ABC cân tại B, gọi H là trung điểm của AB suy ra BH AC. Do



^SAC

 

^{ ABC}



^{nên BH }



^SAC



^.

Ta lại có BA BC BS  nên B thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC SA SC .

Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng



^ABC



^{ SCA600.}

Ta có SCSA.cot 60⁰ a, ₀ 2 sin 60

AC SA  a HC a BH  BC²HC² a 2.

. S ABC

V ¹ .

3BH S^SAC

 1

6BH SA SC. .

 ³ 6

6

a .

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng



^SAD



tạo với đáy một góc 60^. Tính thể tích khối chóp S ABCD. .

A. 3 ³ 3 4

V  a . B. 3 ³ 3 8

V  a . C. 8 ³ 3 3

V  a . D. 4 ³ 3 3 V  a . Lời giải

Chọn C

Ta có:

 

 

SB ABCD

SB AD AD ABCD

  

  mà ADABAD SA .

   

 

 

, ,

SAD ABCD AD AB AD AB ABCD SA AD SA SAD

  

  

  

   



^{SAD ; ABCD}



^



^{SA AB;}



^{SAB60}

Ta có: SB BD .tan 60^2a 3. Vậy

3

1 1 2 8 3

. 2 3.4

3 ^ABCD 3 3

V  SB S  a a  a .

Câu 9. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng



^SAB



^và



^SAD



cùng vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

60^o

A

C B

S H



^ABCD



^{bằng 60}. Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD. .

A. 3a³. B.

3 6

9

a . C.

3 6

3

a . D. 3 2a³. Lời giải

Chọn C

Ta có

   

   

   

 

SAB ABCD

SAD ABCD SA ABCD

SAB SAD SA

 

   

  



AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng



^ABCD



 



^{SC ABCD,}



^{SCA 60}

   

Tam giác SAC vuông tại A có SA AC .tan 60 a 6. Khi đó

3

1 1 2 6

. . . 6.

3 3 3

SABCD ABCD

V  SA S  a a  a .

Câu 10. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , BC a 3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng



^SAB



một góc 30. Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. theo a.

A. 2 6 ³ 3

V  a . B.

2 3

3

V  a . C. V  3a³. D. 3 ³ 3 V  a . Lời giải

Chọn A

Ta có: ^{BC SA BC}



^SAB



BC AB

 

 

 

 SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng



^SAB



^.

 



^{SC SAB,}

 

^{ SC SB,}



^{CSB 30}

    .

Xét tam giác SBC vuông tại B có tan 30 BC 3 SB a

  SB   . Xét tam giác SAB vuông tại A có SA SB²AB² 2a 2.

Mà S_ABCD AB BC a.  ² 3.

Vậy 1 2 ³ 6

3 ^ABCD. 3

V  S SA a .

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích ⁰ Vcủa khối chóp S ABCD. .

A. ³ 6

2

V  a . B. ³ 6 3

V  a . C. ³ 3 2

V a . D. ³ 6 6 V a Lời giải

Chọn.D.

Ta có: S_ABCD a².

Chiều cao SO:  2 ⁰ 6

.tan .tan 60

2 2

a a

SO OB SBO  .

Vậy

3 2

.

1 1 6 6

. . . .

3 3 2 6

S ABCD ABCD

a a

V  S SO a  .

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Tính thể tích ⁰ Vcủa khối chóp S ABCD. .

A.

3 6

2

V  a . B.

3 6

3

V  a . C.

3 3

2

V a . D.

3 6

6 V a Lời giải

Chọn D.

Ta có: S_ABCD a².

Gọi M là trung điểm BC, góc giữa mặt bên (SBC) và (ABCD) là SMO

Ta có 1 .

2 2

OM  ABa

Chiều cao SO:  ⁰ 3

.tan .tan 60

2 2

a a

SO OB SBO  . Vậy

2 3 .

1 1 3 3

. . . .

3 3 2 6

S ABCD ABCD

a a

V  S SO a  .

Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABC.A B C  có đáy là tam giác cân tại A, AB AC 2a, CAB120^, góc giữa



^{A BC}



^và



^ABC



^{là 45}. Tính thể tích lăng trụ đã cho.

A. ³ 6

2

V  a . B. ³ 3 3

V  a . C. ³ 3 2

V a . D. V a³ 3 Lời giải

Chọn D.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có AM BC và



_{CAM  60 ( do}ABCcân tại A) Ta xác định được góc giữa



^{A BC}



^và



^ABC



^là



_{A MA  45}

Ta có _{S ABC} ¹ AB.AC.sinBAC

 2 ¹. 2a sin120

 

²

2 a² 3 và AM AC cos MAC 2a.cos60a^; _AAAM .tan A MA



 a VậyV_{ABC.A B C  }AA .S _ABC a³ 3 (đơn vị thể tích).

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo đáy góc 60⁰. Thể tích của khối chóp đó bằng:

A.

3 3

12

a . B.

3 3

6

a . C.

3 3

36

a . D.

3 3

18 a . Lời giải

Chọn A

Ta có: ² 3

ABC 4

S a . Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra ^SO



^ABC



^.

Ta có AO là hình chiếu của SA lên mặt phẳng



^ABC



^.

Suy ra



^{SA ABC,}

  

^



^{SA AO,}



^{SAO600}. Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:

  2 ⁰ 2 3

tan .tan .tan 60 . . . 3

3 3 2

SAO SO SO AO SAO AM a a

 AO      .

Vậy _. 1 1 ² 3 ³ 3

. . .

3 3 4 12

S ABC ABC

a a

V  S SO a .

60

O M

A C

B S

Câu 15. Cho hình lăng trụ đều ABC A B C.   . Mặt phẳng (A BC )tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30 và tam giác A BC có diện tích bằng 8a². Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   .

A.

2 3

12

V  a . B. V 8a³ 3. C.

8 3

6

V  a . D.

2 3

4 V  a . Lời giải

Chọn B.

Kẻ đường cao AM của tam giác ABC. Khi đó M là trung điểm của BCBC(A AM ) Tam giác A AM^' vuông tại A nên góc 'A MA là góc nhọn.

Góc giữa hai mặt phẳng ( 'A BC)và (ABC)bằng góc giữa A M và AM và bằng góc A MA , bằng 30

Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giácA BC trên (ABC) Suy ra S_ABC S_{A BC'} . os30c ^o4a² 3.

Đặt AB x 0. Diện tích tam giác đều ABC theo x là

2 3

ABC 4

S  x .

Vậy có ² 3 4 ² 3 4 3 2 3

4 2

x  a   x a AM  x  a

Tam giác A MA vuông tại A, 1

.tan30 2 3. 2

3 AA AM o a  a^. Thể tích của lăng trụ ABC A B C.    _{là V AA S. ABC2 .4a a}² _38a³ _3.

Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a .Tính thể tích hình hộp chữ nhật này.

A. V 3a³. B. V 9a³. C. V a³. D. V 6a³. Lời giải

Chọn B.

2 '2 '2 9 2 3

BD BD DD  a BD a

ABCD là hình vuông 3

2 AB a

   B S _ABCD  9 ² 4 a

4a 5a

D' C'

B' A'

D C

A B

Vậy V B h S.  _ABCD.AA' 9 a³

Câu 17. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB a , AC2a. Hình chiếu vuông góc của S lên



^ABC



là trung điểm M của AC. Góc giữa SB và đáy bằng 60. Thể tích S ABC. là bao nhiêu?

A.

3 3

2

a . B.

3

2

a . C.

3

4

a . D.

3 2

12 a . Lời giải

Chọn B.

Diện tích ABC : 1 . 3 ²

2 2

S_ABC  AB BC a

 ^{0 0}

* SBM 60 SM MB.tan 60 a 3 Thể tích S.ABC :

3 .

1 .

3 2

S ABC ABC

V  SM S_ a .

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB2a, AD a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng



^ABCD



là trung điểm H của cạnh AB, đường thẳng SC tạo với đáy một góc45⁰. Tính thể tích Vcủa khối chóp S ABCD. .

A. 2 2 ³ 3

V  a . B.

3

3

V  a . C.

2 3

3

V  a . D. 3 ³ 2 V  a Lời giải

Chọn A.

Ta có S_ABCD 2 .a a2a².

DoSC tạo với đáy một góc45⁰ nên SH HC.

Mà HC BH²BC²  a²a² a 2. Vậy 1. . 1.2 .² 2 2 ³ 2

3 3 3

ABCD ABCD

V  S SH  a a  a . Câu 19. Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa



^SBC



và mặt đáy bằng 60^o. Tính thể tích

.

S ABCD bằng:

A.

2 3 3 3

a . B.

8 3 3 3

a . C.

4 3 3 3

a . D. 2a³ 3. Lời giải

Chọn B

Gọi H là trung điểm AD.

Ta có:

   

     

SAD ABCD

SAD ABCD AD SH ABCD SH AD





   

 



.

ABCD là hình vuông cạnh 2a nênS_ABCD AB²4a².

Tam giác SBC cân tại S SM BC, mà HM BC  góc giữa mặt phẳng



^SBC



^{và mặt}

phẳng



^ABCD



là góc giữa hai đường thẳng HM , SM chính là góc SMH. Theo bài ra có

 60^o SMH .

2 .tan 60o 2 3

SH a a

   .

Vậy thể tích S ABCD. :

3

1 . 1.2 3.4 2 8 3

3 3 3

SABCD ABCD

V  SH S  a a  a .

Câu 20. Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích Vcủa khối chóp S ABC. .

A. ³ 3

4

V a . B. 3 ³ 3 2

V  a . C. 3 ³ 3 4

V  a . D.

3 3

4 V  a . Lời giải

Chọn D

Diện tích đáy

 

^{. 3 2 3} 3 ² 3

4 4

ABC

a a

B S   ;

3

3 3

AB a

AH   a

Chiều cao: h SH  SA²AH²  4a²a² a 3

2 3

.

1 1 3 3 3

. . 3

3 3 4 4

S ABC

a a

V  B h a 

 Mức độ 3

Câu 1. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, ^SA



^ABCD



^{, SA a . Gọi G là trọng}

tâm tam giác SCD. Tính thể tích khối chóp G ABCD. . A. 1 ³

6a . B. 1 ³

12a . C. 2 ³

17a . D. 1 ³

9a . Lời giải

Chọn D

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CD và SD.

Ta có

   

 



^,



1

3 ,

d G ABCD GM

SM d S ABCD

  .

Ta có .

   

³

1 1 1

, . . .

3 3 3 9

G ABCD ABCD ABCD

V  d G ABCD S  SA S a .

Câu 2. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB a , BC2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng



^SAG



tạo với đáy một góc 60. Thể tích khối tứ diện ACGS bằng

A. ³ 6

36

V  a B. ³ 6

18

V  a C. ³ 3

27

V a D. ³ 6

12 V a Lời giải

Chọn A

G N

M C

A D

B

S

Ta có: 1. . ²

ABC 2

S_  AB BC a 1 ²

3 3

ACG ABC

S_ S_ a

   .

Gọi H là trung điểm của AB ^{SH }



^ABC



^.

Gọi N là trung điểm của BC, I là trung điểm của AN và K là trung điểm của AI. Ta có AB BN a  BI AN HK AN.

Do ^AG



^SHK



nên góc giữa



^SAG



và đáy là SKH 60 .

Ta có: 1 2

2 2

BI AN  a 1 2

2 4

HK BI a

   , .tan 60 6

4 SH SK  a .

Vậy V V _ACGS V_{S ACG.} ¹. . ^{3 6}

3 ^ACG 36

SH S_ a

  .

Câu 3. Cho hình chóp S ABC. có tam giác ABC vuông cân tại B, AC a 2, mặt phẳng



^SAC



vuông góc với mặt đáy



^ABC



. Các mặt bên



^SAB



^,



^SBC



tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60. Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABC. .

A.

3 3

2

V  a B.

3 3

4

V  a C.

3 3

6

V  a D.

3 3

12 V  a Lời giải

Chọn D

Ta có:



^SAC

 

^{ ABC}



^và



^SAC

 

^{ ABC}



^{ AC.}

Trong mặt phẳng



^SAC



^{, kẻ SH AC thì SH }



^ABC



^.

Gọi I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC thì



^

  



^{SAB , ABC}



^{SIH và}

 SAC , ABC 

^SKH.

K I

G N

H

A C

B S

Mà SIH SKH  60 nên HI HK  tứ giác BIHK là hình vuông H là trung điểm cạnh AC.

Khi đó tứ giác BIHK là hình vuông cạnh 2

a và .tan 60 3

2 SHHI   a .

Vậy 1

3 .

SABC ABC

V  S SH 1 3

 

^{2 2 3} 3

. .

3 2 4 12

SABC

a a a

V   .

Câu 4. Hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy



^ABCD



. Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng



^SCD



^và



^ABCD



^{bằng 2 17}

17 . Thể tích Vcủa khối chóp S ABCD. là A.

3 13 6

V  a . B.

3 17

6

V  a . C.

3 17

2

V  a . D.

3 13

2 V a . Lời giải

Chọn A

Gọi H là trung điểm AB ^SH 



^ABCD



, K là trung điểm CDCD SK

Ta có



^



^SCD

 

^{, ABCD}

 

^



^{ SK HK,}



^{SKH . cosSKH  HK}_SK ^{SK  a} ₂^{17 SH a} ₂¹³

Vậy 1

. . 3 ^ABCD

V  SH S 1 13 ²

. .

3 2

a a

 ³ 13

6

 a .

Câu 5. Cho hình chóp S ABCD. với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên SC a 15. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B tới mặt phẳng



^SHC



^{bằng 2 6a}. Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. ?

A. V 8 6a³. B. V 12 6a³. C. V 4 6a³. D. V 24 6a³. Lời giải

Chọn C

   

   

,

SAD ABCD AD

SH ABCD SH AD SH SAD

 

  

  



Ta có SH  SD²DH² a 3, HC  SC²SH²  15a²3a² 2 3a.

2 2 12 2 2 11

CD HC HD  a a a . Ta có ^{BF BC BF}



^SHC



BF SH

 

 

 

 ^{nên d B SHC}



^,

  

^{BF2 6a.}

1 1 2

. .2 3 .2 6 6 2

2 2

SHBC  BF HC a a a

Đặt ABx nên 1 . .

2 2

AHB

S  AH AB a x;

1 2 11

2 . 2

CDH

S  DH DCa

   

1 11

ABCD 2

S  CD AB AD  a x a.

AHB ABCD CDH BHC

S S S S ^ ₂^a.x



^{a 11x a}



^a2₂^{116 2a2  x}



^{12 2 11}



^a.

 



^{11 12 2 11}



^{12 2 2}

SABCD  a   a a a .

Vậy _. 1 1 ^{2 3}

. . 3.12 2 4 6

3 3

S ABCD ABCD

V  SH S  a a  a .

Câu 6. Cho hình chópS ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; biết

2 , .

ABAD a CD a Góc giữa hai mặt phẳng



^SBC



^và



^ABCD



^{bằng 60 . Gọi 0 I là}

trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng



^SBI



^và



^SCI



cùng vuông góc với mặt phẳng



^ABCD



. Tính thể tích của khối chóp S ABCD. . A. 3 5 ³

8

a . B. 3 15 ³ 5

a . C. 3 5 ³ 5

a . D. 3 15 ³ 8

a . Lời giải

Chọn B

A B

D C

S

F H

. Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng và cùng vuông góc với nên nên SI là đường cao của S ABCD. .

Kẻ tại K. Khi đó ta chứng minh được . Ta vẽ hình phẳng của mặt đáy. Ta có ta chứng minh được CD là đường tủng bình của tam

giác ABM. Khi đó . Ta có

.

Khi đó . .

Câu 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, mặt bên



^SAB



là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp

.

S OCD bằng

3

3

a . Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng



^SBD



^?

A. 2 6 3

h a. B. 3

3

ha . C. 2 3 3

h a. D. h2 3a. Lời giải

Chọn A

. Gọi x là độ dài AB,kẻ SF AB tại F, ta có

2 3 3

.OCD .ABCD

1 1 1

.SF 2 2

2 ^S 4 ^S 12 24 3

x a

SF V  V  AB  x   x a.

 

^SBI

 

^SCI



^ABCD



 

SI ABCD

IK BC ^SKI^



^



^{SBC ABCD}

 

^;

 

^60

 

M AD BC

   

4 ;  2 ² 4 ² 2 5; 3

AM a BM a a a IM a KMIAMB

    3 .2  3

2 5 5

IM IK IK a a a

BM AB a

 .tan60  3 . 33 3

5 5

a a

SI IK ^{1 3 3 1}₃^{. .}₂



^{2 .2}



^{3 3}₅¹⁵

5

a a

V a a a

Do F là trung điểm củaAB nên khoảng cách h từ A đến mặt phẳng



^SBD



^{gấp 2 lần}

khoảng cách d từ F đến mặt phẳng



^SBD



^mà

sin 45^o 2 2

FB x

EF   a. Tính d: kẽ FEDB; FH SE, ta chứng minh được ^SH



^SBD



^,

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 3 6

2 2 3

FH a d

FH  FE FS a  a  a    , vậy 2 6

2 .

3 h d  a

. Câu 8. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 1

BC 2AD a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng



^ABCD



^{bằng  sao cho tan 15}

  5 . Tính thể tích khối chóp S ACD. theo a. A.

3

. 2

S ACD

V a . B.

3

. 3

S ACD

V  a . C.

3 .

2

S ACD 6

V a . D.

3 .

3

S ACD 6

V a . Lời giải

Chọn D

Gọi H là trung điểm AB, từ giả thiết ta có: ^{SH }



^ABCD



^,



^{SC ABCD,}

  

^{SCH.}

Đặt AB x , ta có:

2 2 2 2

4 HC BH BC  x a ,

2 2 15

.tan .

4 5

SH HC  x a .

Mặt khác 3

2

SH  x . Vậy ta có:

2 2 15 3

4 . 5 2

x x

a   x a.

 

^. 3 ²

2 2

ABCD

AD BC AB a

S 

  ; 2 ²

ACD 3 ABCD

S  S a ;

3 .

1 3

3 . 6

S ACD ACD

V  SH S a .

Câu 9. Cho hình chóp .S ABCDcó đáy là hình chữ nhật; AB a AD ; 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mp



^ABCD



^bằng

45. Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến



^SAC



^.

A. 1513

89

d a . B. 2 1315 89

d a . C. 1315 89

d a . D. 2 1513 89 d  a . Lời giải

Chọn A

Gọi H là trung điểm đoạnAB^{SH }



^ABCD



^.

Xét BCH vuông tại B, có:

2

2 17

4 4 2

a a CH  a   . Xét SHC vuông cân tại H, có: 17 34

2 ; 2

a a

SH  SC . Xét SAH vuông tại H, có:

2 2

17 3 2

4 4 2

a a

SA   a. Xét ABC vuông tại B, có: AC  a²4a² a 5.

89 2 SAC 4

S a

 _  .

Ta có:

3 .

1 17

. .

3 3

S ABCD ABCD

V  V SH S  a ;

3 .

1 17

2 6

S ACD

V  V  a .

3

. .

1 17

2 12

S ACM S ACD

V  V  a . Mà _. 1 89 ²

. . .

3 12

S MAC SAC

V  d S_  a d  1513 89 d a .

Câu 10. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho biết AB a , SA2SD. Mặt phẳng



^SBC



^{tạo với}

đáy một góc 60^o. Thể tích khối chóp S ABCD. là A.

3 3

2

a B.

5 3

2

a C. 5a³ D.

15 3

2 a Lời giải

Chọn B

Gọi H là hình chiếu của S lên cạnh AD, I là hình chiếu của H lên cạnh BC, ta có

 

SH ABCD và ^BC



^SHI



^

 

^SBC

 

^{; ABCD}

 

^{SIH 60o. Suy ra SH a 3.}

Trong tam giác vuông SAD đặt SA2SD2x nên từ SA SD.

SH  AD ta có 2

3 5

a  x .

Do đó 15

2

xa . Suy ra AD x 5 ^{5 3} 2

 a . a

I B

C

A

D S

H

Thể tích khối chóp S ABCD. là 1 5. 3. 3

3 2

V  a a a 5 ³ 2

 a .

Câu 11. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của Strên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho

3

HA HD. Biết rằng SA2 3a ^{và SC} tạo với đáy một góc bằng 30. Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD. .

A. V8 6a^{3. B. 8 6 3} 3

V a ^{. C.} V8 2a^{3. D. V} ^{8 6}₉^a3. Lời giải

Chọn B

2 . 3 2 3

SH HD HA HD SH HD Có:





2 2

tan 3

3 2 4

tan 3 SDH SH

SA SA

DH SD a DA SD SA a

SA SD

SDH SD

  

         

 



.

1

DH4DAa^.

Tam giác SHC có tan tan 30 3

tan 30

SH SH SH

SCH HC a

HC HC

       ^.

Tam giác DHC có DC DH²HC² 2 2a Vậy

3 .

1 1 8 6

. . . 3 .4 .2 2

3 3 3

S ABCD

V  SH AD DC a a a a ^.

Câu 12. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh 2a,  SAB SCB  90 . Gọi M là trung điểm của SA. Biết khoảng cách từ A đến



^MBC



^{bằng 6}

21

a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A. 8 ³ 39 3

a . B. 10 ³ 3 9

a . C. 4 ³ 13 3

a . D. 2a³ 3. Lời giải

Chọn A

Trong mp



^ABC



xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD vuông tại A và C Khi đó ta có: AB AD

AB SD AB SA

 

 

 

 ^;

CB CD

CB SD CB SC

 

 

 

 Vậy ^SD



^ABCD



.

1 .

S ABC 3 ABC

V SD S_

 

Có tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2aS_ABC a² 3 Ta đi tìm

Gọi I là trung điểm AC

vì tam giác ABC đều, ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD  I BD ACBD Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và N là trung điểm BC

Vì tam giác ABC đều ANBC AN // CD, tương tự CG BD //

Dễ thấy AGCD là hình thoi 2 2 32 2 3

3 3 2 3

CD AG AN a a

    

 

¹

Xét hình chóp S ANCD. có đáy ANCD là hình thang vuông tại C, N.

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng



^MNC



^{bằng 6}

21

a vì



^MNC

 

^{ MBC}



^.

Trong mp



^ABCD



^gọi

 

^{E CNAD}

Trong mp



^SAD



^{kẻ tia At SD/ / gọi}

 

^{P EM At}

Gọi K là hình chiếu của G trên mặt phẳng



^CMB



Khi đó ta có ^^{AP SD}_AN^{/ /}_CN^{AP CN }



^APN



^CN

M

G

B I

D A

C

S

N

SD

S

F

P M

E

D A

C

N H

Trong mp



^APN



^{kẻ AH PN ta có}



^,

  

⁶

21 AH d A MCN  a

Mà tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2aANa 3 Từ 1 ₂ 1₂ 1₂

AH  AP AN 1₂ 21₂ 1₂ 1₂

36 3 4

AP a a a

    AP2a

Dễ thấy APM  SFM SF AP2a

 

²

Xét tam giác EAN có CD AN/ / nên 2 3 ED CD

EA  AN  (theo

 

^{1 )}

Xét tam giác EAP có FD PA/ / nên FD ED

PA  EA 2 4

3 3

FD a

PA FD

   

 

³

Từ

 

^{2 và}

 

^{3 ta có 10}

3 SD SF FD   a

Vậy

3 2

.

1 . 1 10. . 3 10 3

3 3 3 9

S ABC ABC

a a

V  SD S_  a  .

Câu 13. Cho hình chóp S ABC. biết rằng SA SB SC a   , ASB120, BSC60 và ASC 90 . Thể tích khối chóp S ABC. là

A.

3 2

12

a . B.

3 2

6

a . C.

3 3

4

a . D.

3 3

8 a . Lời giải

Chọn A

Ta có SB SC a  , BSC60 suy ra tam giác BSC đều BC a .

Lại có SA SC a  , ASC 90 suy ra tam giác ASC vuông cân tại S AC a 2. Mặt khác, SA SB a  , ASB120, áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB, ta được:



2 2 2 2 . . 3 2 3

AB SA SB  SA SB cos ASB a  AB a .

Xét tam giác ABC có BC²AC²a²2a²3a² AB² suy ra tam giác ABC vuông tại C. Vậy diện tích tam giác ABC là:

1 2 2

2 . 2

ABC

S_  AC BC a .

Gọi O là trung điểm của cạnh AB suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mà SA SB SC  ^