Công thức giải nhanh phần thể tích khối chóp THPT 12

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

CT 1. Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng



^SAB



^,



^SBC





^SAC



vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác

, ,

SAB SBC SAC lần lượt là

1,S ,S2 3

S .

Hình vẽ Thể tích

1 2 3

.

2 .S .S

S ABC 3 V  S

CT 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với



^ABC



^{, hai}

mặt phẳng



^SAB



^và



^SBC



vuông góc với nhau, BSC, ASB.

3 .

.sin 2 .tan .

S ABC 12

V _SB  

CT 3. Cho hình chóp đều

S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên

bằng b.

2 2 2

.

3

S ABC 12

a b a

V  

Khi a b được tứ diện đều

3 .

2

S ABC 12 V a CT 4. Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .

3 .

tan

S ABC 24

V _ a 

CT 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  .

3 2

.

3 .sin cos

S ABC 4

V b  

 CT 6. Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc .

3 .

.tan

S ABC 12

V _a 

C S

A

B

B A C

S

B S

A C

G M

CT 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và

SA SB SC SD b    .

2 2 2

.

4 2

S ABC 6

a b a

V 



Khi chóp tứ giác có tất cả các cạnh bằng a thì

3 .

2

S ABC 6 V a CT 8. Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt

phẳng đáy là  _. ^3.tan .

S ABCD 6

V _ a 

CT 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

SAB, với ; 4 2

   

 

 . ^{3 2}

.

tan 1

6 .

S ABCD

V a 

 CT 10. Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với    

 

0; 

2 .

 

3

. 2 3

4 .tan 3 2 tan

S ABCD

V a 





 CT 11. Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.

Gọi

 

^P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với



SBC



, góc giữa

 

P với mặt phẳng đáy là  .

3 .

cot .

S ABCD 24

V _a 

O B

A D S

C M

x

N A C

S

B

F

M G E

CT 12. Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập

phương cạnh a ³

6 . V  a

CT 13. Cho khối tám mặt

đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập

phương

3 3

2 2 2

3 27

a a

V  

  

LỜI GIẢI CHI TIẾT

CT 1. Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng



^SAB

 

^{, SBC}

 

^{, SAC}



vuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là S₁,S ,S_{2 3}. Thể tích khối chóp SABC là: _. 2 .S .S^{1 2 3}

S ABC 3 V  S

Lời giải

 

AS SBC 1 1

. . . .

3 ^ 6

V_SABC  S _SBC SA SA SB SC

2 2 2

1 1

. . . .

6 SA SB SC 6 SA SB SB SC SA SC

 

1 2 3

1 2 3

2 . . 1 2 .2 .2

6 3

S S S S S S

 

Áp dụng: Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng



^SAB

 

^{, SBC}

 

^{, SAC}



vuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC, , lần lượt là 15cm²,20cm²,18cm²Thể tích khối chóp SABC là

A. a³ 20. B.

3 20

3 .

a C.

3 20

2 .

a D.

3 20

6 . a

1 2 3 3

2 . . 3 20

ABCD

S S S

V  a Chọn đáp án A.

O1

O3

O4 O2

O O'

A B

D C

B'

D' C' A'

B A D

S

C

S'

N G2

M G1

C S

A

B

CT 2. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng



^ABC



, hai mặt phẳng



^SAB



^và



^SBC



vuông góc với nhau, BSC ,ASB. Thể tích khối chóp SABC là

3 .

.sin 2 .tan .

S ABC 12

V _SB  

Lời giải

+SABvuông tại A có : AB SB .sin, SA SB .cos +SBCvuông tại B có :

 .tan

BC SB  ¹ . ¹. ².sin .tan

2 2

S_ABC  AB BC SB  

2 .

1 1 1

. . . . .sin .tan . .cos

3 3 2

S ABC ABC

V  S_ SA SB  SB 

3.sin 2 .tan . 12

SB  



Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng



^ABC



, hai mặt phẳng



^SAB



^và



^SBC



vuông góc với nhau, SB a 3,BSC45^o,ASB30^o. Thể tích khối chóp SABC là A.

3 3

8 .

a B.

3 6

8 .

a C.

3 2

2 .

a D.

3 3

6 . a

3 3

.

.sin 2 .tan 3

12 8

S ABC

SB a

V _   _{ }

Chọn đáp án A.

CT 3. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích khối chóp S.ABC là

2 2 2

3 12 a b a

Lời giải

Gọi G là trọng tâm ABC ^SG



^ABC



ABCđều 3 2 AM a

  3

3 AG a

 

SGAvuông tại G có:

2 2 2

2 2 2 3

3 3

a b a

SG SA AG  b   

Vậy

2 2 2 2 2 2

1 1 3 3 3

. . . .

3 3 4 3 12

SABC ABC

a b a a b a

V  S SG   

Khi a b ³ 2

SABC 12 V a

 

B A C

S

A C

S

B G M

Áp dụng: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a. Thể tích khối chóp S.ABC là

A.

3 3

24 .

a B.

3 2

12 .

a C.

3 2

24 .

a D.

3 3

12 . a

 Chọn đáp án B.

CT 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc . Thể tích khối chóp S.ABC là

3tan 24

a 

A.

3 3

48 .

a B.

3

24. a

C.

3 3

24 .

a D.

3

12. a Lời giải

+ ABCđều _ABC a S_

  ² 3 4

+ Gọi G là trọng tâm ABC ^SG



^ABC



   



^{SBC , ABC}



^{SMG }

  

Xét SGM vuông tại G có :

1 3.tan

.tan . tan

3 6

SG GM SMG AM  a 

Vậy

2 3

1 1 3 3.tan tan

. . . .

3 3 4 6 24

SABC ABC

a a a

V S SG  

   

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60⁰. Thể tích khối chóp S.ABC là

A.

3 3

48 .

a B.

3

24. a

C.

3 3

24 .

a D.

3

12. a

3 3

tan 3

24 24

SABC

a a

V _  _

 Chọn đáp án C.

CT 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng đáy góc  . Thể tích khối chóp S.ABC là

3 2

3 .sin cos 4

b  

A C

S

B G M

Lời giải

+ Gọi G là trọng tâm ABC ^SG



^ABC



Xét SGA vuông tại G có:

.sin .sin SG SA  b 

.cos

AG SA  3 3 .cos

2 2

AM AG b 

  

+ ABC đều 3

AM 2 AB

2 3 .cos

AB 3 AM b 

  

 

2 3 2 3 3 3 cos2 2

3 .cos

4 4 4

ABC

AB b

S_ b  

   

Vậy

3 2

1 3 .sin cos

. .

3 4

SABC ABC

V S SG b  

  

CT 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc . Thể tích khối chóp S.ABC là

3.tan 12

a 

Lời giải

+ Gọi G là trọng tâm ABC ^SG



^ABC



Xét SGA vuông tại G có :

.tan 2 .tan

SG AG  3AM 

  

+ ABC đều 3

AM 2 AB

2 3 3.tan

. .tan

3 2 3

SG AB  a 

  

Vậy

2 3

1 1 3 3.tan .tan

. . .

3 3 4 3 12

SABC ABC

a a a

V S SG  

   

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 . Thể tích khối chóp S.ABC là ⁰

A.

3

48.

a B.

3

24. a

C.

3 3

24 .

a D.

3 3

36 . a

3tan 3 3

12 36 .

SABC

a a

V 

   Chọn đáp án D.

B S

A C

G M

B S

A C

G M

CT 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD b    . Thể tích khối chóp S.ABCD là

2 4 2 2 2

6 a b  a

Lời giải

   

ACBD O SO ABCD Gọi M là trung điểm AB.

2

2 2 2 2

4 SM SA AM b a

    

SOMvuông tại O có:

2 2 2 2

2 2 2 4 2

4 4 2

a a b a

SO SM OM  b     Vậy

2 2 2

1 4 2

. .

3 6

SABCD ABCD

a b a

V S SO 

 

Khi SA SB SC SD a    ³ 2 6 .

SABCD

V a

 

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA SB SC SD a    . Thể tích khối chóp S.ABCD là

A.

3 6

6 .

a B.

3 2

2 .

a C.

3 2

6 . a

D.

3 3

3 . a

 Chọn đáp án C.

CT 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là . Thể tích khối chóp S.ABCD là

3.tan 6 .

a 

Lời giải

   

ACBD O SO ABCD Gọi M là trung điểm CD

   



^{SCD ABCD}



^{SMO }

 ,  

+ Tam giác SOM vuông tại O có:

SO OM .tanSMO a.tan 2

SABCD ABCD

a a

V 1 S SO1 a²   ³tan

. . . . .tan

3 3 2 6

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là 45 . Thể tích khối chóp S.ABCD là ⁰

O

B S

D A

C

M

O

C S

A D

B

M

A.

3

12.

a B.

3 3

6 .

a C.

3 6

2 . a

D.

3

6 . a

3tan 3

6 6

SABCD

a a

V 

   Chọn đáp án D.

CT 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB, với 4 2;

   

 

 . Thể tích khối chóp S.ABCD là

3 2

tan 1

6 .

a 

Lời giải

   

ACBD O SO ABCD Gọi M là trung điểm AB.

SMAvuông tại M có:

.tan .tan

2 SM AM SAB a 

  

SOMvuông tại O có:

2 2

2 2 .tan

2 2

a a

SO SM OM      

   

tan2 1 2

a 

 

3 2

2 2

1 1 tan 1

. . . . tan 1

3 3 2 6

SABCD ABCD

a a

V  S SO a   ^

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB60⁰. Thể tích khối chóp S.ABCD là

A.

3 2

12 .

a B.

3 2

6 .

a C.

3 6

2 . a

D.

3

6 . a

3 2 3

tan 1 2

6 6

SABCD

a a

V 

   Chọn đáp án B.

O C

D A

S

B M

CT 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là  với   

 

0; 

2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là

 

3 2 3

4 .tan 3 2 tan

a 



 Lời giải

   

ACBD O SO ABCD Gọi M là trung điểm CD

   



^{SCD ABCD}



^SMO

 ,  60⁰

Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x + Tam giác SMC vuông tại M có:

SM SC²CM²  a²x² 4 + Tam giác SOM vuông tại O có:

OM SM SMO 1 a²x²

.cos .

2 4

2 2 2

2 2 2

cos . cos

2 4 2 4

x x x x

a a

 ^{ } 

      

 

a a a

x  

 



    

  



2 2 2 2 2

2

2 2

2

4 . 1

4 cos 1 tan 4

1 cos 1 2 tan

1 1 tan

x a

  

 ² 2

2 tan ^ABCD

S a

  



2 2

4 2 tan

Ta có: x a

SO OM SMO  

   

 ² .tan .tan .tan

2 2 tan

 

SABCD ABCD

a a a

V S SO  

  

  

  

2 3

2 2 2 3

1 1 4 .tan 4 .tan

. . . .

3 3 2 tan 2 tan 3 2 tan

CT 11. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi

 

P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với



^SBC



, góc giữa

 

^P với mặt phẳng đáy là  . Thể tích khối chóp S.ABC là

3cot 24 .

a 

O

C S

A D

B

M

Lời giải

+ ABCđều _ABC a S_

  ² 3 4

+ Gọi G là trọng tâm ABC ^SG



^ABC



+ Gọi

  

^{P  SBC}



^{EFEF/ /BC}

  

^{P SBC}



^Ax

   vớiAx/ /EF/ /BC + Gọi M là trung điểm của BC, SMEFN Ta có: AMBC SG, BC

 

BC SAM AN BC AN Ax

     

Mà AMBC BC, / /AxAMAx

   



^{P ABC}



^{NAM }

 ,  

Ta có: GSM NAM  (cùng phụ với SMA) Xét SGM vuông tại G có :

SG GM GSM 1 AM 

.cot . cot

3

a a

SG  

  1 3  3.cot

. .cot

3 2 6

Vậy _{SABC ABC} a a a

V S SG  

 1   1 ² 3 3.cot  ³cot

. . . .

3 3 4 6 24

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi

 

^P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với



^SBC



, góc giữa

 

^P với mặt phẳng đáy là 30 . Thể tích khối chóp ⁰ S.ABC là:

A. a³ 3

24 B. a³ 3

8 C. a³

8

D. 3a³ 8 Áp dụng bài này: _SABC a a

V  ³cot 30⁰  ³ 3

24 24  Chọn đáp án A x

N A C

S

B

F

M G

E

CT 12. Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể tích là

A.

3

12.

a B.

3 3

4 .

a C.

3

6 . a

D.

3 3

2 . a

Lời giải

+ _{2 3} 2

2 2

BD a

O O   _{1 2 3 4}



2 3



^{2 2}

O O O O 2

S O O a

   .

Chiều cao khối chóp O O O O_{1 2 3 4} là '

2 2

OO a h 

1 2 3 4 1 2 3 4

2 3

'

2 2. .1 .

3 2 2 12

OO O O O O OO O O O

a a a

V V  

     

 

 Chọn đáp án C.

CT 13. Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Tỷ số

a3

V gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 9,5. B. 7,8. C. 15,6. D. 22,6.

Lời giải

+ _{1 2} 2 1 2

3 3 3

G G  MN BD a

+

3 3

2 2 2

3 27

a a

V  

  

3 27 2

4 9, 5 a

 V    Chọn đáp án A.

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là . Mặt phẳng

 

^{P qua} AC và vuông góc với mặt phẳng



^SAD



chia khối chóp

.

S ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là ^{1 2}

2

cos V

V 

O1

O3

O4 O2

O O'

A B

D C

B'

D' C'

A'

B

A D S

C

S'

N G2

M G1

Lời giải:

Ta có:

2 2 2 2

2

. 1 cos

SD SN ND ON ND

SNO

   

2 2

1 1 cos 1

2 cos 2.cos

a a 



     Ta có :

1 1

. .

2 2

_SCD  

S CM SD SN CD

2 2

1 .

. 2 cos

1 cos

cos 1

2.cos

   

 

a a

SN CD a

CM SD a



 



2

2 2 2

2 2

.cos

1 cos 1 cos

     

 

a a

DM CD CM a 

 

2 2 2 2

.cos

1. . . 1. 1 1 cos cos

2. 2 2 2 1 cos

1 cos 2.cos

MACD MACD

SABCD SACD

a

V V DM DA DC DM

V V DS DA DC DS a



 

 



     

 

2 2

2 2 2

cos cos 1

1 cos 1 1 cos 1 cos

 

V^MACD    V^SABCD V^SABCM     V^SABCD   V^SABCD

   ^Vậy _SABCM^{MACD cos2}

V

V 

O B

A D S

C N M