Tớnh chất của hai tam giỏc đồng dạng Nếu hai tam giỏc đồng dạng với nhau thỡ:

• Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số hai đường phõn giỏc tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số cỏc chu vi bằng tỉ số đồng dạng.

• Tỉ số cỏc diện tớch bằng bỡnh phương tỉ số đồng dạng.

VẤN ĐỀ I. Sử dụng tam giỏc đồng dạng để tớnh toỏn I. Các ví dụ và định h-ớng giải:

Ví dụ 1: Bài 29(SGK – T79) – (H8 – Tập 2)

Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đ-ờng chéo AC và BD a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC.

b) Đ-ờng thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.

CMR:

OK OA =

CD AB

* Tìm hiểu bài toán : Cho gì?

Chứng minh gì?

* Xác định dạng toán:

? Để chứng minh hệ thức trên ta cần chứng minh điều gì?

TL:

OC OA =

OD OB

P 6

? Để có đoạn thẳng trên ta vận dụng kiến thức nào.

TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA. OD = OB.OC

Sơ đồ :

+ A1 = C1 (SLT l AB // CD)

+ AOB = COD ( Đối đỉnh)

 OAB P OCD (g.g)

 OC

OA = OD

OB

 OA.OD = OC.OC b) OK

OH = CD

AB

Tỷ số OK

OH bằng tỷ số nào?

TL : OK OH =

OC OA

? Vậy để chứng minh OK OH =

CD

AB ta cần chứng minh điều gì.

TL: CD AB =

OC OA

Sơ đồ :

+H = K = 90⁰

+ A1 = C1.(SLT; AB // CD) Câu a

 

OAH P OCK(gg) OAB P OCD

 

OK OH =

OC

OA

CD AB =

OC OA

OK

OH = CD

AB

Ví dụ 2:

Cho hai tam gíac vuông ABC và ABD có đỉnh góc vuông C và D nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đ-ờng thẳng qua P vuông góc với AB tại I.

CMR : AB² = AC. AP + BP.PD

O C

D K C

H B

O A

A I B Định h-ớng:

- Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB)

 AB² = ? (AB.(AI + IB) = AB . AI + AB. IB)

- Việc chứng minh bài toán trên đ-a về việc chứng minh các hệ thức AB.AI = AC.AP

AB.IB = BP.PD

- HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P) Sơ đồ : + D = I = 90⁰ + C = I = 90⁰

+ PBI chung + PAI chung

 

ADB P PIB ACB P AIP (gg)  

AB

PB = ^DB

IB ^AB

AP = ^AC AI  

AB.AI = PB.DB AB . AI = AC . AP

AB . IB + AB . AI = BP . PD + AC . AP



AB (IB + IA) = BP . PD + AC . AP 

AB² = BP . PD + AC . AP Ví dụ 3: Trên cơ sở ví dụ 2 đ-a ra bài toán sau:

Cho  nhọn ABC, các đ-ờng cao BD và CE cắt nhau tại H. A CMR: BC2 = BH . BD + CH.CE D Định h-ớng: Trên cơ sở bài tập 2 E Học sinh đ-a ra h-ớng giải quyết bài tập này. H

 Vẽ hình phụ (kẻ KH  BC; K  BC).

Sử dụng P chứng minh t-ơng tự ví dụ 2 B C Ví dụ 4: Cho  ABC, I là giao điểm của 3 đ-ờng phân giác, đ-ờng thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần l-ợt ở M và N. Chứng minh rằng.

a) AM . BI = AI. IM A

b) BN . IA = BI . NI M c) ^AM

BN = AI 2

BI

 

 

 

* Định h-ớng:

a) ? Để chứng minh hệ thức AM. BI = AI. B N C IM ta cần chứng minh điều gì. ^{AM IM}

AI BI

  

 

  b) Để chứng minh đẳng thức trên ta cần chứng minh điều gì.

( AMI P AIB) Sơ đồ:

A1 = A2 (gt) I1 = B1 * CM: I1 = B1

I

v MIC: IMC = 90⁰ - 2 C

AMI P AIB (gg) ABC: A + B +C = 180⁰(t/c tổng...)

 

2 A +

2 B +

2 C = 90⁰ AM

AI = ^IM

BI Do đó: IMC =

2 A +

2 B (1)

 Mặt khác: IMC= A₁ + I₁(t/c góc ngoài ) AM. BI = AI . IM hay IMC =

2

A + I₁ (2) Từ 91) và (2) 

2

B = I₁ hay B₁ = I₁

AMI P AIB (A₁ = A₂ ; I₁ = B₁)

 ^AM

AI = ^IM

BI  AM . BI = AI. IM b) T-ơng tự ý a.

Chứng minh BNI P BIA (gg)

 ^BN

BI = ^NI

IA  BN . IA = BI. IN

c) (Câu a) (Câu b)

 

- HS nhận xét AI 2

IA

 

 

  =

2 2

AI

BI AMI P AIB BNI P BIA

 

Tính AI² ; BI²  AI²₂

BI ^AM

AI = ^IM

BI ^BI

AB = ^BN BI

 

(Tính AI² ; BI² nhờ P) AI² = AM . AB BI² = BN . AB

2 2

AI

BI = ^AM BN



AI 2

BI

 

 

  = ^AM BN II. Bài tập đề nghị:

+ Bài 1: Cho hình thanh ABCD (AB // CD), gọi O là giao điểm của 2 đ-ờng chéo. Qua O kẻ đ-ờng thẳng song song với 2 đáy cắt BC ở I cắt AD ở J.

CMR : a) ¹

OI = ¹

AB + ¹ CD

b) ²

IJ = ¹

AB + ¹ CD

+ Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC). trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho ACI = BDA.

CMR: a) AD . DI = BD . DC b) AD² = AB . AC - BD . DC

Bài 1. Cho tam giỏc ABC đũng dạng với tam giỏc ABC theo tỉ số k.

a) Tớnh tỉ số chu vi của hai tam giỏc.

b) Cho k 3

 5 và hiệu chu vi của hai tam giỏc là 40dm. Tớnh chu vi của mỗi tam giỏc.

HD: a) P P k

 b) P 60(dm P), 100(dm).

Bài 2. Cho tam giỏc ABC đồng dạng với tam giỏc ABC theo tỉ số k 4

 3. Tớnh chu vi của tam giỏc ABC, biết chu vi của tam giỏc ABC bằng 27cm.

HD: P20,25(cm).

Bài 3. Cho tam giỏc ABC cú độ dài cỏc cạnh là AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm. Tam giỏc ABC

đồng dạng với tam giỏc ABC và cú chu vi bằng 75cm. Tớnh độ dài cỏc cạnh của ABC.

HD: A B 15cm B C,  25cm A C,  35cm. Bài 4. Cho tam giỏc ABC và cỏc đường cao BH, CK.

a) Chứng minh ABH  ACK. b) Cho ACB40⁰. Tớnh AKH. HD: b) AKH ACB40⁰.

Bài 5. Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P và Q sao cho BP = BQ. Gọi H là hỡnh chiếu của B trờn đường thẳng CP.

a) Chứng minh BHP  CHB. b) Chứng minh: ^{BH CH} BQCD. c) Chứng minh CHD  BHQ. Từ đú suy ra DHQ90⁰.

HD: c) Chứng minh DHQ CHD CHQ  BHQ CHQ BHC90⁰.

Bài 6. Hai tam giỏc ABC và DEF cú AD, BE, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm.

a) Tớnh độ dài cỏc cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm.

b) Cho diện tớch tam giỏc ABC bằng 39,69cm². Tớnh diện tớch tam giỏc DEF.

HD: a) ABC  DEF  EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) S_DEF 22,33(cm²). Bài 7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là

hỡnh chiếu của H lờn AB, AC.

a) Chứng minh AKI  ABC. b) Tớnh diện tớch tam giỏc ABC.

c) Tớnh diện tớch của tứ giỏc AKHI.

HD: b) S_ABC39cm² c) S_AKHI 216cm²

 13 .

Bài 8. Cho tam giỏc ABC, cú A90⁰B, đường cao CH. Chứng minh:

a) CBAACH b) CH²BH AH.

Bài 9. Cho tam giỏc ABC, hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tớnh diệnt ớch tam giỏc GMN, biết diện tớch tam giỏc ABC bằng S.

HD: _GMN S S 12.

Bài 10. Cho hình vuông ABCD, cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho DM = DA.

a) Chứng minh EMC  ECB. b) Chứng minh EB.MC = 2a². c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

HD: c) S_EMC 4a²

 5 .

Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB, lấy điểm M sao cho 2AM3MB. Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC tại N. Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC tại D.

a) Chứng minh AMN   NDC.

b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm. Tính diện tích các tam giác AMN, ABC và NDC.

HD: b) S_AMN24cm², S_ABC 200cm²

 3 , S_NDC 32cm²

 3 .

VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Bài 1 : Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = 2AC. Chứng minh rằng

a). ADEABC b). Tìm tỉ số đồng dạng.

Giải

E

D

B C

A

a) 2

 1

 AE AC AD

AB =>BC//ED(Định lý Talet đảo)

=>ADEABC(định lý hai tam giác đồng dạng)

b) 2

AB AD

Bài 3 : Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho

2

 1 MC

MB . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB ở D. Qua M kẻ đ\ường thẳng song song với AB cắt AC ở E.

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

b) Tính chu vi tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm.

HD

D

E

M C

B

A

a) DBMABC

EMCABC

EMCDBM

b)Chu vi tam giác P_DBM 8cm cm

P_EMC 16

Trong tài liệu Các dạng toán và phương pháp giải Toán 8 – Ngô Văn Thọ - THCS.TOANMATH.com (Trang 168-174)