Bài toán 2: Áp dụng công thức Moivre để thực hiện các phép tính

Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương n bé nhất để là số thực.

(Trích đề thi thử số 1 năm 2012, TT 46/1 Chu Văn An, Huế) Giải

Ta có:

Do đó

Số đó là số thực khi và chỉ khi

Số nguyên dương bé nhất cần tìm là . Ví dụ 3. Tính giá trị các biểu thức sau:

; b)

c) d)

Giải a) Ta có

b) Ta có

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 185

3

4

3 3

cos i sin cos i sin

5 5 5 5

C 4 4

cos i sin

cos15 i sin15 15 15

3 4 3 4 1 3

cos i sin i.

5 15 5 15 2 2

     

 

   

   

 

  

       

   

 

      

       

   

 

3 i n

1 i

  

 

  

 

3 i 2 cos i sin ; 1 i 2 cos i sin

6 6 4 4

 

      

           

      

3 i 5 5

2 cos i sin

1 i 12 12

 

  

     

n n

3 i 2 5n 5n

2 cos i sin

1 i 12 12

      

   

    

 

 

5n 5n 5n

sin 0 k k k

12 12 12

      

n 12

9 9

1 i 1 i

a) A 2 2

     

   

   

7 7

1 i 3 1 i 3

B 2 2

     

   

 

⁶

^{  }

⁵

^

⁵

 

⁶

C 1 i 3 1 i  1 i 1 i 3 ;

 

 

 

 

5 5

4 4

1 i 3 1 i 3

D

1 i 1 i

 

 

 

9

9 9 9

1 i 1 i

A cos i sin cos i sin

4 4 4 4

2 2

9 9 9 9

cos i sin cos i sin

4 4 4 4

9 9 9 9

cos i sin cos i sin cos cos 2

4 4 4 4 4 4

 

            

           

     

     

   

   

      

   

   

     

        

   

c) Ta có

d) Ta có

Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau

a)

7 7 7 7

1 i 3 1 i 3

B cos i sin cos i sin

2 2 3 3 3 3

7 7 7 7

cos i sin cos i sin

3 3 3 3

7 7 7 7

cos i sin cos i sin 2i sin i 3

3 3 3 3 3

             

           

   

   

      

   

    

     

  ^{   }  

 

 

6 5 5 6

6 5 5 6

6 5 6 5

5 5 6

C 1 i 3 1 i 1 i 1 i 3

1 i 3 1 i 1 i 1 i 3

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 cos i sin cos i sin

3 3 4 4

2 2 cos i sin cos

4 4 3

     

           

               

 

      

        

      

    

    

  

6

i sin 3

  

   

  

 

8

8

6 6 5 5

2 2 cos i sin cos i sin

3 3 4 4

5 5 6 6

2 2 cos i sin cos i sin

4 4 3 3

 

      

       

     

 

      

       

     

8 5 5 5 5 9 5

2 2 cos i sin cos i sin 2 2 cos 512

4 4 4 4 4

     

       

 

 

 

 

 

5 5

5 5

5 5

4 4 4 4

4 4

5 5 5 5

5 4

2 2

1 3 1 3

2 i 2 i

1 i 3 1 i 3 2 2 2 2

D

1 i 1 i 1 i 1 i

2 2

2 2 2 2

2 cos i sin

2 cos i sin

3 3

3 3

2 cos i sin

2 cos i sin

4 4

4 4

   

 

   

   

     

   

   

 

 

   

   

     

       

     

   

 

     

      

 

5 5

5 5 cos i sin

cos 3 i sin 3 3 3

8 8

cos i sin

5 5

cos i sin

4 4

1 i 3 1 i 3

8 8

2 2 2 2

1 1 8

   

     

   

 

  

   

   

   

   

 

   

   

   

   

 

4 4

5 5 5 5

A 1 cos i sin 1 cos i sin ;

3 3 3 3

     

       

   

b) ; c) . Giải

a) Ta có

b) Ta có

c) Ta có

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 187

4

4

1 cos i sin

6 6

B

1 cos i sin

6 6

  

  

 

   

 

2

2

8 8

1 cos i sin

3 3

C

8 8

1 cos i sin

3 3

  

  

 

   

 

4 4

4 4

2 2

4 4

5 5 5 5

A 1 cos i sin 1 cos i sin

3 3 3 3

5 5 5 5 5 5

2 cos 2i sin cos 2 cos 2i sin cos

6 6 6 6 6 6

5 5 5 5 5 5

2 cos cos i sin 2cos cos i sin

6 6 6 6 6 6

5 5

2 cos cos i sin

6 6

     

       

   

       

     

   

       

       

   

   

 

 

4 4

5 5 5 5

2 cos cos i sin

6 6 6 6

 

        

      

 

     

    

4 4

2 3 20 20 2 3 20 20

cos i sin cos i sin

2 6 6 2 6 6

20 20

9 2 cos 18 cos 9.

6 6

           

             

  

    

 

4 4

4 4

1 cos i sin 1 cos i sin

6 6 6 6

B

1 cos i sin 1 cos i sin

6 6 6 6

4 4 2 2

1 cos i sin 1 cos i sin

6 6 3 3

4 4 2 2

1 cos i sin 1 cos i sin

6 6 3 3

1 co

     

     

   

 

       

       

   

   

 

       

         

       





2 2 2 cos cos i sin

s 3 i sin 3 3 3 3

2 2

1 cos i sin 2 cos cos i sin

3 3 3 3 3

1 i 3

cos i sin

3 3 3 3 2 2

 

  

    

 

       

      

   

 

   

        

   

Ví dụ 5. a) Chứng minh số phức là số thực.

(Trích Trường THPT Kon Tum, lần 3 – 2012)

b) Tìm tất cả số nguyên dương n thỏa mãn là số thực.

(Trích Trường THPT Quế Võ số 1, lần 4 – 2013) Giải

a) Ta có:

b) Ta có

2 2

2 2

2

2

8 8 2 2

1 cos i sin 1 cos i sin

3 3 3 3

C

8 8 2 2

1 cos i sin 1 cos i sin

3 3 3 3

2 2 4 4

1 cos i sin 1 cos i sin

3 3 3 3

2 2 1 cos4

1 cos 3 i sin 3 3

     

     

   

 

     

     

   

         

         

       

   

 

    

  

 

i sin4 3

 

 

 

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 sin 3 2i sin 3 cos 3 2 sin 3 2i sin 3 cos 3

2 2 2 2 2 2

2 sin 2i sin cos 2 sin 2i sin cos

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

2 sin 3 sin 3 i cos 3 sin 3 i cos 3

2 2

2 2 2 sin i cos

2 sin sin i cos

3 3

3 3 3

        

     

     

 

     

 

 

    

 

  

 

 

   

 

cos i sin

6 6

cos i sin

6 6

cos i sin

6 6 1 i 3

cos i sin .

6 6 6 6 2 2

cos i sin

6 6

 

   

   

 

   

   

 

         

   

               

   

1 i 24

z 3 3i

  

  

  

3 i 3 n

A 3 3i

  

   

 

   

 

24 24 24

24 24

12 12

2 cos i sin

4 4

z 1 i

3 3i 2 cos i sin

6 6

cos 6 i sin 6 1 1

2 cos 4 i sin 4 2 4096

  

    

       

  

     

  

 

      

 

  

  

n n

3 i n n

A cos i sin cos i sin

2 6 6 6 6

A sinn 0 n 6k, k , k 1

6

       

      

      

Ví dụ 6. Giả sử z là số phức thỏa mãn . Tìm số phức

(Trích Trường THPT Chuyên ĐH Vinh – 2012) Giải

Từ giả thiết ta có

Với ta có:

Với ta có:

Ví dụ 7. Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .

(Trích Trường THPT Phan Bội Châu, Nghệ An lần 2 – 2013) Giải

Đặt

Do đó

Phần thực của z là 16, phần ảo của z là 16.

Ví dụ 8. Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho .

(Trích Trường THPT Nguyễn Văn Cừ, Bắc Ninh lần 3 – 2013) Giải

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 189 z22z 4 0 

1 3 z 7

w 2 z

   

   

z22z 4 0 



^{z 1}



^{2    3 z 1 3i}

z 1  3i

 

 

7

7 7

7 7

cos i sin

1 i 4 4

3 3i 1

w .

3 3i 3 i 8 2 cos i sin

6 6

  

 

     

        

 

7 7

cos i sin

1 . 4 4 1 1 i. 3 1 3 1i

7 7 8 32 32

8 2 cos i sin 3 i

6 6

      

     

  

z 1  3i

 

 

7 7

7 7

cos i sin

1 i 1 4 4

w .

3 i 8 2 cos i sin

6 6

  

 

  

 

  

   

 

7 7

cos i sin

1 . 4 4 1. 1 i 3 1 3 1i

7 7 8 32 32

8 2 cos i sin 3 i

6 6

    

    

     



^{z 1 2 i}

  

3 i z 2i 2

  

  z⁹

 

z x yi, x, y     z x yi



^{z 1 2 i}

  

^{3 i}



^{4 2i z}

 

^{3 i z 2 4i}

 

^{x y}

 

7y 3x i 2 4i



z 2i 2 x y 2

x y 1 z 1 i

7y 3x 4

  

            



  

        

 

⁹

9 9 9

z 2 cos i sin 16 16i

4 4

  

    

 

1 2

z , z

2 5

z 2cos z 1 0

21

 

   

 

n n

1 2

z z 1

Phương trình (1). (1) có Do đó các căn bậc hai của là . Vậy (1) có các nghiệm là

Ví dụ 9. Cho là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực, phần ảo

của số phức: , biết có phần ảo dương.

(Trích Trường THPT Can Lộc, Hà Tĩnh lần 2 – 2014) Giải

Vì nên phương trình có hai nghiệm phức: (do có phần ảo dương)

Ta có:

Do đó:

Vậy phần thực bằng 1, phần ảo bằng 0.

Vì n là số nguyên dương nhỏ nhất nên từ (*) suy ra .

Ví dụ 10. Cho số phức z biết . Viết dạng lượng giác của . Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Giải

Cách 1: Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Do đó:

2 5

z 2 cos z 1 0 21

 

   

  ²5 ²5

' cos 1 sin

21 21

 

    

'

i sin5 21

 

1 2

5 5 5 5

z cos i sin , z cos i sin

21 21 21 21

   

   

1 2

z , z z²2z 4 0 

2013 1 2

w z z

 

   z1

  3 z1 1 3i, z2  1 3i z₁

 

^{2 2 2}

1 2

1 3i

z 1 3i 1 3

i cos i sin

z 1 3i 4 2 2 3 3

    

  

        

2013 4026

1 2

z cos i sin cos1342 i sin1342 1

z 3 3

         

   

   

 

n n

n n

1 2

n n

5 5 5 5

z z 1 cos i sin cos i sin 1

21 21 21 21

5 5 5 5

cos i sin cos i sin 1

21 21 21 21

n5 n5 n5 n5

cos i sin cos i sin 1

21 21 21 21

n5 n5

cos cos

21

     

        

   

       

        

     

 

     

      

   

  

  

 

   

21 1

n5 n5 7 42k

cos cos k2 n k *

21 3 21 3 5 5



   

           

n 7

z 1  3i z

 

⁵

w 1 i z

1 i 3

z 2 2 cos i.sin

2 2 3 3

    

      

5 5 5 1 i 3

z 32 cos i.sin 32 16 16i 3

3 3 2 2

 

  

       

Suy ra:

Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là Cách 2: Dạng lượng giác của số phức

Ta có:

Áp dụng công thức Movie, ta có

Vậy phần thực của số phức w là và phần ảo của số phức w là

II. Bài tập rèn luyện

Bài tập 1. Tính các giá trị của số phức sau và viết kết quả của chúng dưới dạng

; b) ;

Hướng dẫn giải

a) Ta có

b) Ta có

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 191

       

w 1 i 16 16i 3 16 1 3 16 1 3 i

 

⁵

w 1 i z 16 16 3 16 16 3

z 1  3i

r 1 3 2

1 r 2

cos z 2 cos i sin

2 3 3

3 3

sin 2

   

     

      

    

 

  



 

5 5 5 5 1 i 3

z 2 cos i.sin 32 16 1 i 3

3 3 2 2

 

  

       

 

⁵

           

w 1 i z  1 i .16 1 i 3 16 1  3  1 3 i16 1 3 16 1 3 i

16 16 3 16 16 3

 

a bi, a, b 

5 5

a) A 5 cos i sin cos i sin

9 9 36 36

    

     

  

5

B i 3

cos i sin

6 6

  

 

10

5

2 2

2 cos i sin 3 cos i sin

3 3 3 3

c) C .

7 7

2 cos i sin

6 6

       

     

   

   

    

 

 

5 5

A 5 cos i sin cos i sin

9 9 36 36

5 5 5 2 5 2

5 cos i sin 5 cos i sin i .

9 36 9 36 4 4 2 2

    

     

  

       

           

     

 

c) Ta cĩ

Bài tập 2. Cho số phức . Tìm m nguyên để là số thực, là số ảo Hướng dẫn giải

Ta cĩ:

Bài tập 3. Cho số phức . Tính .

(Trích Trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – 2013) Giải

Ta cĩ

Suy ra

Bài tập 4. Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm phần thực của số phức .

(Trích Trường THPT Chuyên Trần Phú, lần 2 – 2013) Giải

Gọi số phức thay vào (1) ta cĩ:

5 5

3 cos i sin 3 cos i sin

2 2 2 2

B i 3

5 5

cos i sin

cos6 i sin6 cos6 i sin6 6 6

5 5 3 3

3 cos i sin 3 cos i sin i

2 6 2 6 3 3 2 2

     

   

   

  

  

        

     

   

       

             

       

   

10

5

2 2

2 cos i sin 3 cos i sin

3 3 3 3

C

7 7

2 cos i sin

6 6

20 20

32 3 cos i sin cos i sin

3 3 3 3

35 35

32 cos i sin

6 6

20 35 20 35

3 cos i sin

3 3 6 3 3 6

       

     

   

   

    

 

 

    

  

  

   

 

        

        

   



7 7

3 cos i sin

6 6

3 i 3 3

3 i

2 2 2 2

   

   

 



 

     

 

7 i m

z 4 3i

  

    z z

m m

7 i 2 m m

z 2 cos i sin (*)

4 3i 4 4

     

      

z là số thực m 4k, k ; z là số ảo m 4k 2, k   z 1  3i z⁷

1 3

z 1 3i 2 i 2 cos i sin

2 2 3 3

    

        

7 7 7

z 128 cos i sin 128 cos i sin 64 64 3i

3 3 3 3

     

       

   

z 6 7i

z 1 3i 5

  

 z²⁰¹³

 

z a bi, a, b     z a bi

Vậy phần thực của là

Bài tập 5. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực, phần ảo của

số phức .

(Trích Trường THPT Chuyên Quảng Bình, lần 2 – 2014) Giải

Ta có

Áp dụng công thức Moa-vrơ:

. Phần thực của w là -1, phần ảo là 0.

Bài tập 6. Cho các số phức z thỏa mãn: . Chứng minh rằng z có phần thực bằng 1.

(Trích Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị - 2014) Giải

Ta có không thỏa mãn phương trình nên .

nên đặt

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 193

   

 

 

a bi 1 3i

a bi 6 7i 6 7i

a bi a bi

1 3i 5 10 5

10a 10bi a 3b i b 3a 12 14i 9a 3b i 11b 3a 12 4i

9a 3b 12 a 1

11b 3a 14 b 1

 

  

      



       

     

    

    

 

^{2013 2013}

a b 1 z 1 i z2013 1 i 2 cos i sin

4 4

   

           

 

 

1006 2013 2013

2 . 2 cos isin

4 4

  

   

 

z2013

1006 2013 1006

2 2.cos 2

4

 

1 2

z , z z²  z 1 0

2014 2014

1 2

w z z

2 1

2

1 3

z i

2 2

z z 1 0

1 3

z i

2 2

  



   

  



1 2

1 3 1 3

z i cos i sin ; z i cos i sin

2 2 3 3 2 2 3 3

   

       

2014 1

2014 2

2014 2014 2 2

z cos i sin cos i sin cos i sin

3 3 3 3 3 3

2014 2014 2 2

z cos i sin cos i sin cos i sin

3 3 3 3 3 3

        

      

 

        

      

 

2 2

w cos cos 1

3 3

  

    



^{2 z}



^{5 z5}

z 0; z 2 



^{2 z}



^{5 z5 2 z 5 1}

z

  

    

 

2 z 0 z

  ^{2 z r cos}



^{i sin}



z

    

   

5

2 z 5

r cos 5 i sin 5 1 1 cos k2 i sin k2 z

  

          

 

Nên

Vậy z luôn có phần thực là 1.

Bài tập 7. Biết rằng số phức thỏa mãn . Hãy tính Hướng dẫn giải

Từ

Bài tập 8. Cho Tính

Hướng dẫn giải

Ta có:

a) Ta có

Do đó:

b) Ta có

2 z k2 k2 2 k2 k2

1 cos i sin 1 cos i sin 0

z 5 5 z 5 5

 

        

 

2 2 2

2 2

z 1 cosk2 i sink2 2 cosk cosk i sink

5 5 5 5 5

k k k k

cos 5 i sin 5 cos 5 i sin 5 1 i tank

k 5

k k k cos

cos cos i sin

5 5 5 5

  

    

    

 

    

   

  

  

 

z

z 1 1

 z ²⁰¹⁰ ₂₀₁₀1

z z



2010

2010

1 3

z i cos i sin

1 2 2 3 3 1

z 1 z 2

z z 1 3i cos -i sin z

2 2 3 3

  

   



     

    

    

    

    



1 i 3

z .

2

 

12 6 9 6 3

8 4 2 2 3 8

2 3 9 10 2009 2010 2011

a) A z z 1; b) B z z z 1;

c) C z 2z z ; d) D 1 z z z ... z ;

e) E 1 z z z ... z z ; f) F z z z .

      

        

         

1 i 3

z cos i sin

2 3 3

   

  

     

   

12

12 12 12

z cos i sin cos i sin 1

3 3 3 3

        

         

       

 

6

6 6 6

z cos i sin cos i sin 1

3 3 3 3

        

         

       

 

12 6

A z z  1 3

9

9 9 9

z cos i sin cos i sin 1

3 3 3 3

        

          

       

 

Vậy

Cách 2. Ta có thể xem B là tổng của cấp số nhân 4 số hạng liên tiếp, số hạng đầu là 1, công bội là .

Suy ra ta có:

Với Vậy

c) Ta có

Vậy

d) Ta có là tổng của cấp số nhân có 9 số hạng, số hạng đầu bằng 1, công bội là

Do đó:

với

Do đó:

e) Ta có là tổng của cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu bằng 1, công bội là

Do đó:

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 195

6

6 6 6

z cos i sin cos i sin 1

3 3 3 3

        

         

       

 

3

3 3 3

z cos i sin cos i sin 1

3 3 3 3

        

          

       

 

9 6 3

B z z z  1 0

z3

 

^{3 4}

4 12

9 6 3

1 3 3

1 z

1 q 1 z

B z z z 1 u

1 q 1 z 1 z

  

      

  

12 3

z 1, z  1. B 0.

2

2 2 2 1 i 3

z cos i sin cos i sin

3 3 3 3 2 2

        

           

       

 

4

4 4 4 1 i 3

z cos i sin cos i sin

3 3 3 3 2 2

        

           

       

 

8

8 8 8 1 i 3

z cos i sin cos i sin

3 3 3 3 2 2

        

           

       

 

8 4 2

C z 2z z  2

2 3 8

D 1 z z   z  ... z z

9 9

1

1 q 1 q

D u .

1 q 1 q

 

 

  z⁹ 1

 



^{4 1 i 3}

 

1 1 4

D 1 i 3.

1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3

2 2

  

    

  

 

2 3 9 10

E 1 z z   z  ... z z

z

Với

Và

.

Vậy f) Ta có

Với

Vậy .

Bài tập 9. Chứng minh rằng:

a) và

b) Cho số phức .

Tính

Hướng dẫn giải a) Ta có

b) Theo câu a) ta có

   

11 1 z 11 11

1 q 1 z

E 1 q 1 z 1 z

   

  

   

1 i 3 3 i 3

z z 1

2 2 2

     

11

11 11 11 1 i 3

z cos i sin cos i sin

3 3 3 3 2 2

        

          

       

 

11 3 i 3

z 1

2 2

   

3 3

i 3 3i 1 i 3

2 2

E .

2 2

3 3 3 3i

2 i 2

 

   

 

 

2009 2010 2011 2009 2

F z z z z 1 z z 

2 2

1 i 3 1 i 3

z z 1 z z 0

2 2 2

         

F 0

6 2

sin12 4

   6 2

cos .

12 4

  

6 2 6 2

z i

4 4

 

 

2 2

2 2

1 1 1 1

A z z 2 ; B z z 2i

z z z z

         

6 2

sin sin sin cos cos sin

12 3 4 3 4 3 4 4

6 2

cos cos cos cos sin sin

12 3 4 3 4 3 4 4

 

       

     

 

 

         

 

Ta cĩ

Do đĩ:

Vậy .

Bài tập 10. Tìm phần thực của số phức . Trong đĩ n thỏa mãn:

.

Giải

Phương trình: cĩ nghiệm duy nhất là (vì VT của phương trình là một hàm số đồng biến nên đồ thị của nĩ cắt đường thẳng tại một điểm duy nhất)

Ta cĩ:

Suy ra .

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 197

2 2

2

6 2 6 2

z i cos i sin

4 4 12 12

1 1

z 1 z 1 hay z.z 1 z và z

z z

   

   

       

 

     

2 2

2 2

2 2 2

1 1 1 1

A z z 2 z z 2

z z z z

z z 2.z.z z z z z z z với z z 2 cos 12

 

           

 

  

          

 

2

A 2 cos 2 cos 2 2 cos2 2 cos 2 1 cos 2 cos

12 12 12 12 6 12

3 6 2 6 2

2 1 2. 2 3 .

2 4 2

          

         

     

   

      

4 2 3 6 2

A 2

  



      

2 2

2 2

2 2

1 1 1 1

B z z 2i z 2i z

z z z z

z z 2i z z z z z z 2i - z z

2i sin .2 cos 2i 2i sin 2i sin 2i 2i sin

12 12 12 6 12

1 6 2 6 6 2

2i sin 1 sin 2i 1 i.

6 12 2 4 2

 

           

 

         

    

     

 

      

        

 

ⁿ

z 1 i , n

   

4 5

log n 3 log n 6 4

   

4 5

log n 3 log n 6 4 n 19

y4

     

   

19 19

19 19

19

19 19

9 9

1 1

z 1 i 2 i 2 cos i sin

4 4

2 2

19 19 1 1

2 cos i sin 2 i 2 i.2

4 4 2 2

    

         

 

 

 

  

       

   

Re z 2 9 512

Bài tập 11. Cho số phức . Viết z dưới dạng lượng giác. Tìm phần thực và phần

ảo của số phức .

Giải

Ta có:

Khi đó:

Vậy phần thực của w là , phần ảo là .

Bài tập 12. Tìm điều kiện đối với các số phức a,b,c sao cho với mọi số phức z thỏa mãn thì là số thực.

Lời giải Vì là số thực nên ta có các giá trị đặc biệt:

 Chọn thì (1)

 Chọn thì (2)

 Chọn thì (3)

 Chọn thì (4)

Từ (1) và (2) ta có Nhưng từ (3) và (4) ta có do đó Khi đó, từ (1) và (3) thì

Vì nên đặt ta có:

khi và chỉ khi

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị cần tìm là và c là một số thực tùy ý.

7 i 3 z 1 2i 3

 



 

⁵

w 1 i 3 z

  

 

²

2

7 i 3 1 2i 3 7 i 3

z 1 i 3

1 2i 3 1 2 3

 

    

  

z 2 cos i sin

3 3

  

   

 

 

   

5

5

w 1 i 3 2 cos i sin

3 3

5 5 1 i 3

1 i 3 .2 cos i sin 32. 1 i 3 32 32i 3

3 3 2 2

   

     

 

 

 

  

          

32 32 3

z 1 az2bz c

az2bz c

z 1 a b c R.   z 1 a b c R.  

z i  a ib c R.  z i  a ib c R. 

b R. ib R b 0.

a,c R.

z 1 ^{z cos  i sin }



^R



   

 

az2 bz c a cos 2 i sin 2 b cos i sin c a cos 2 c ia sin 2 R

          

    

a sin 2  0, a0 a b 0

Bài toán 3. Tìm môđun và acgumen của số phức

Phương pháp: Nhìn chung các bài tập này có cách giải như sau:

Giả sử ta cần tìm một acgumen của số phức z. Ta cần biến đổi sao cho z có dạng

1. Với ta có mô đun của là

Và 1 acgumen của là thỏa ;

2. Với thì có mô đun là và 1 acgumen của là 3. Với

4. Với

I. Các ví dụ điển hình thường gặp

Ví dụ 1. Cho số phức . Tìm một acgumen của số phức z.

Giải

Do neân . Vậy, một acgumen của z là Ví dụ 2. Cho số phức z có mô đun bằng 1 và là một acgumen của z

a) Tìm một acgumen của

b) Tìm một acgumen của nếu

Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra

a) Ta có

Vậy một acgumen của z là b) Ta có :

 Nếu thì . Lúc đó là một acgumen của

 Nếu thì . Lúc đó là một acgumen

Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 199

 

z r cos  isin

z a bi,(a, b  ) z r a²b²

z 

2

2 2

cos a

a b



  ²

2 2

sin b

a b



 

z r(cos isin ) z r z 

z r(cos i sin ) r cos(    ) isin() z r(sin i cos ) r cos( ) i sin( )

2 2

   

       

 

   

z 1 sin i cos , 0

2

       

2

z 1 sin i cos 1 cos i sin

2 2

2 sin 2i sin cos

4 2 4 2 4 2

2 sin sin i cos

4 2 4 2 4 2

2 sin cos i sin

4 2 4 2 4 2

   

             

   

     

         

     

 

     

         

     

 

     

         

     

0 2

   2 sin 0

4 2

  

 

  4 2

 

 z

z

z z cos 0 z cos  isin

       

cos i sin z cos i sin

cos 2 i sin 2 z cos i sin cos i sin

  

  

       

     

 2 z z 2 cos  

cos 0 ^{z z 2 cos}   ^{2 cos}



cos 0 i sin 0



0 z z cos 0 ^{z z}  2 cos .( 1)   2 cos



cos i sin



 z z