⇔89=11x+2y Ta thấy0≤2y ≤18nên71≤11x ≤89, do đó7≤x ≤8.
• x=7thìy=6.
• x=8thì2y=1, loại.
Anh Tâm sinh năm1976, đến năm1999thì23tuổi.
Bác Đức23tuổi năm19abvà1+9+a+b =23.
Do đóa+b =13. Vì1960≤19ab≤1975nên ab=67.
Bác Đức sinh năm1967−23=1944.
Kinh nghiệm giải toán
Có thể giải phương trình11x+2y=89theo cách giải phương trình nghiệm nguyên được(x;y) là(2t+1; 39−11t)với tnguyên, kết hợp với2t+1 ≥ 0và39−22t ≥ 0được (x;y) là(1; 39), (3; 28),(5; 17),(7; 6). Do đóxvàylà các chữ số nênx=7vày=6.
Cách giải này dài do không tận dụng được x vày là các số tự nhiên nhỏ hơn 10ngay từ ban đầu.
BÀI TẬP
Bài 3.1: Đầu năm mới1997, Thành vui vẻ nói với các bạn:
Năm nay là năm may mắn với mình: Tuổi của mình đúng bằng tổng các chữ số của năm sinh.
Bạn tính xem Thành sinh năm nào?
Thành sinh năm1995, đến năm1997thì tròn22tuổi(1+9+7+5=22).
Bài 3.2: Một ngày đầu năm2010, bé Hải Chi (chưa đến10tuổi) nói với bạn rằng năm nay mình có tuổi bằng tổng các chữ số của năm sinh.
a) Hải Chi sinh năm nào?
b) Những người sinh năm nào ở thế kỉ XXđến năm2010cũng có tuổi bằng tổng các chữ số của năm sinh?
a) Hải Chi sinh năm2004, đến năm2010tròn6tuổi(2+0+0+4=6).
b) Những người sinh năm1986đến năm2010tròn24tuổi(1+9+8+6 =24). Bài 3.3: Ngày đầu năm mới, Thủy tính tuổi của mẹ và của mình, chợt phát hiện ra:
- Mẹ ơi, tổng các chữ số của tuổi mẹ đúng bằng tuổi con.
Mẹ Thủy hỏi lại:
- Thế tổng các chữ số của tuổi con bằng tuổi ai?
- A, đúng bằng tuổi của em Tuấn!
Tuổi của mỗi người là bao nhiêu, nếu tuổi của ba mẹ con cộng lại là54.
Gọi tuổi của mẹ Thủy làabthì tuổi của Thủy làa+b. Tuổi của Thủy là một số có hai chữ số, vì nếu là một số có một chữ số thì tuổi của Thủy bằng tuổi của bé Tuấn.
Ta lại cóa+b ≤18nên Thủy1mtuổi, bé Tuấn1+mtuổi, ít hơn Thủy9tuổi. Tuổi của bé Tuấn là a+b−9. Ta có ab+ (a+b) + (a+b−9) = 54. Rút gọn được4a+b = 21. Xét các trường hợp:
a=3vàb =9, thỏa mãna+b ≥10.
a=4vàb =5, loại vìa+b <10.
a=5vàb =1, loại vìa+b <10.
Đáp số: Mẹ của Thủy39tuổi, Thủy12tuổi, bé Tuấn3tuổi.
Bài 3.4: Nhân dịp Tết, các cụ phụ lão, các anh chị thanh niên và các em thiếu nhi tất cả gồm15 người, mang50chiếc bánh chưng đến tặng đơn vị bộ đội. Mỗi cụ phụ lão mang4chiếc bánh, mỗi anh chị thanh niên mang6chiếc bánh, mỗi em thiếu nhi mang1chiếc bánh. Có bao nhiêu phụ lão, thanh niên, thiếu nhi?
Gọi số phụ lão, số thanh niên, số thiếu nhi theo thứ tự làx,y, z. Theo đề bài thìx,y,zlà các số nguyên lớn hơn1. Giải hệ phương trình
x+y+z =15
4x+6y+z =50 với nghiệm nguyên lớn hơn1.
Đáp số: Có5phụ lão,4thanh niên,6thiếu nhi.
Bài 3.5: Các bạn Tuấn, Hùng, Cường cùng với các anh chị của mình là Mai, Vân, Nga (không nhất thiết viết đúng thứ tự) dạo chơi hội hoa xuân. Cô bán hàng nói với họ rằng ai mua bông hoa nào giá bao nhiêu nghìn (giá mỗi bông hoa là một số nguyên nghìn) thì phải mua từng ấy bông hoa đó. Tính ra mỗi bạn đều mua ít hơn chị của mình là48 nghìn đồng. Ngoài ra Tuấn mua ít hơn chị Vân9bông, Hùng mua ít hơn chị Mai7bông.
Hãy xác định các cặp chị em và tính xem mỗi người mua bao nhiêu bông hoa, biết rằng mỗi người chỉ mua một loại hoa?
Nếu một bạn nào đó mua x bông hòa thì phải trảx2 (nghìn đồng). Chị của bạn đó my bông hoa thì phải trảy2(nghìn đồng). Ta cóy2−x2=48. Giải phương trình trên với nghiệm nguyên dương ta được
x1=11 y1 =13
x2 =4 y2=8
x3 =1 y3 =7 .
Tuấn mua ít hơn chị Vân9bông nên Tuấn mua4bông, chị Vân mua1bông, Hùng mua ít hơn chị Mai7bông nên Hùng mua1bông, chị Mai mua 8bông. Còn lại Cường mua11bông, chị Nga mua7bông.
Các cặp chị em là: Vân - Cường, Mai - Tuấn, Nga - Hùng.
Bài 3.6: Tân và Hùng gặp nhau trong hội nghị học sinh giỏi Toán. Tân hỏi số nhà của Hùng.
Hùng trả lời:
- Nhà mình ở chính giữa đoạn phố, đoạn phố ấy có tổng các số nhà bằng161, và không có số nhà nào đánha,b,...
Nghĩ một chút, Tân nói:
- Bạn ở số nhà 23 chứ gì!
Hỏi Tân đã tìm ra như thế nào?
Cách 1:Gọinlà số nhà của dãy x+2,x+4,x+6, ...,x+2n.
Ta có(x+2) + (x+4) +...+ (x+2n) = 161⇔ (x+2+x+2n)·n
2 =161
⇔(x+n+1)·n=161.
Ta cóx+n+1 >n>1nên
x+n+1=23 n =7
⇔
x =15 n =7
. Các số nhà của đoạn phố là17, 19, 21, 23, 25, 27, 29.
Số nhà ở chính giữa là23.
Cách 2: Gọi số nhà của Hùng (ở chính giữa đoạn phố) là x. Trung bình cộng của hai số nhà cách đều nhà Hùng cũng bằngx. Gọi số các số nhà lànthìx·n=161.
161có bốn ước tự nhiên là1, 7, 23, 161.
Loại các trường hợp:
Có1nhà, số nhà là161;
Có23nhà, số nhà ở chính giữa là7;
Có161nhà, số nhà ở chính giữa là1;
Còn một trường hợp: Có7số nhà, số nhà ở chính giữa là23.
Bài 3.7: Một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là các số nguyên dương khác nhau và số đo chu vi (tính bằng mét) bằng số đo diện tích (tính bằng mét vuông). Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật theo thứ tự làxvày(mét).
Ta có2(x+y) = xy⇔ xy−2x−2y=0⇔(x−2)(y−2) = 4.
Ta tìm đượcx=6,y=3.
Chiều dài là6m, chiều rộng là3m.
Bài 3.8: Tìm hai số nguyên dương, biết rằng tổng của chúng, hiệu của chúng (số lớn trừ số nhỏ), tích của chúng, thương của chúng ( số lớn chia số nhỏ) cộng lại bằng50.
Gọi số lớn và số nhỏ theo thứ tự làxvày. Ta có (x+y) + (x−y) +xy+ x
y =50⇔ x(y+1)2=50y.
Ta có50...(y+1)2, màyvày+1nguyên tố cùng nhau nên50...(y+1)2. Ta có bảng giá trị sau
(y+1)2 1 25
y+1 1 5
y 0, loại 4
Vớiy=4thìx =8.
Bài 3.9: Ba người bạn đi câu được một số cá. Buổi tối họ ngủ lại bên bờ sông. Nữa đêm, người thứ nhất thức dậy, muốn về trước, thấy số cá chia cho3dư1nên quẳng một con xuống nước, lấy một phần ba mang về. Người thứ hai thức dậy tưởng hai người bạn còn ngủ, đếm thấy số cá chia3dư1nên cũng vứt một con xuống nước, lấy một phần ba mang về. Người thứ ba thức dậy, cũng vứt một con cá xuống nước, lấy một phần ba mang về.
Hỏi cả ba người câu được bao nhiêu con cá, biết rằng họ là những người câu cá tồi?
Cách 1:Gọixlà số cá cả ba người câu được.
Số cá còn lại sau khi người I lấy là 2
3(x−1)tức là 2 3x−2
3. Số cá còn lại sau khi người II lấy là 2
3 2
3 −2 3−1
tức là 4
9x−10 9 . Số cá còn lại sau khi người III lấy là 2
3 4
9x−10 9 −1
tức là 8
27x−38 27. Gọi số cá còn lại sau khi người III lấy lày.
Ta phải giải phương trình sau với nghiệm nguyên dương 8
27x− 38
27 = y tức là8x−27y = 38 (1).
Do y...2, đặt y = 2k(k ∈ N∗). Thay vào(1) được 4x−27k = 19 ⇔ x = 27k+19
4 = 7k+5− k+1
4 . Đặt k+1
4 =t(t ∈ N∗)thìk=4t−1⇒ x=7(4t−1) +5−t=27t−2.
Vì ba chàng câu cá tồi, chọnt =1đểxnhận giá trị nguyên dương và nhỏ nhất, ta cóx =25.
Ba chàng câu được25con cá.
Số cá họ mang về theo thứ tự là8con,5con,3con.
Cách 2:Gọixlà số cá câu được. Gọia,b,ctheo thứ tự là số cá người I, người II, người III mang về. Ta có hệ phương trình
x−1=3a (1) 2a−1 =3b (2) 2b−1=3c (3)
Từ(3)suy raclẻ. Đặtc =2k+1(k ∈N). Thay vào(3)đượcb=3k+2.
Thay vào(2)được2a=9k+7.
Đặtk =2t+1(t∈ N)thì2a ≈18t+16nên a=9t+8.
Thay vào(1)đượcx =27t+25.
Vì ba chàng câu cá tồi, chọnt =0, số cá họ câu là25con.
Bài 3.10: Trong một đợt thi đua, An làm vượt mức10sản phẩm, Bách vượt mức13sản phẩm, Dũng vượt mức 26sản phẩm. Số sản phẩm vượt mức của mỗi người gồm loại I và loại II. Số sản phẩm vượt mức của ba người khác nhau nhưng do sản phẩm loại II được thưởng ít tiền hơn loại I nên ai cũng được thưởng140 nghìn đồng. Tính xem mỗi người làm vượt mức bao nhiêu sản phẩm từng loại và tiền thưởng cho một sản phẩm mỗi loại bao nhiêu?
Gọi số sản phẩm làm vượt mức loại I của An, Bách, Dũng theo thứ tự làx,y, zchiếc(1 ≤x <
10; 1 ≤ y < 16; 1 ≤ z < 26) và x,y,z ∈ N∗, tiền thưởng cho một sản phẩm loại I là t nghìn đồng, loại II làunghìn đồng.
Ta có hệ phương trình
tx+u(10ưx) =140 (1) ty+u(16ưy) =140 (2) tz+u(26ưz) =140 (3)
⇔
(tưu)x+10u =140 (tưu)y+16u=140 (tưu)z+26u=140 Lấy hai phương trình trên lần lượt trừ đi phương trình cuối được
(tưu)(xưz) = 16u (4) (tưu)(yưz) =10u (5) Do đó xưz
yưz = 8 5 (6)
Suy ra(xưz)...8. Theo đề bài,t>unên từ(4)suy rax>z.
Ta lại có1≤ x≤9nên1≤ xưz ≤8. Do đóxưz=8.
Vậy x=9;z=1. Thay vào(6)đượcy=6.
Thay các giá trị củaxvàzvào(1)và(3)được
9t+u=140 t+25u=140
. Hệ phương trình này chot=15;u =5.
Bài 3.11: Hiện tại là 0giờ, các kim giờ, kim phút, kim giây đều chập nhau. Ngoài thời điểm trên, trong khoảng từ0giờ đến12giờ, còn các thời điểm nào để:
a) Kim giờ và kim phút chập nhau?
b) Cả ba kim đều chập nhau?
a) Trong một giờ, kim phút quay được1vòng, kim giờ quay được 1
12 vòng.
Khoảng thời gian để kim phút gặp lại kim giờ lần tiếp theo là1 :
1ư 1 12
= 12 11 (giờ).
Các thời điểm để kim giờ và kim phút chập nhau là 12
11m(giờ) vớim ∈N. Do0 ≤ 12 11m≤ 12nên 0 ≤ m ≤ 11. Ngoài thời điểm 0 giờ, còn11 thời điểm khác nhau mà kim giờ và kim phút chập nhau là1 1
11 giờ,2 2
11 giờ,3 3
11 giờ,...,1010
11 giờ,12giờ.
b) Trong một giờ, kim giây quay được 60vòng, kim giờ quay được 1
12 vòng. Khoảng thời gian để kim giây gặp lại kim giờ lần tiếp theo là1 :
60ư 1 12
= 12
719 (giờ).
Các thời điểm để kim giờ và kim giây chập nhau là 12
719n(giờ) vớin∈ N.
Để tìm thời điểm cả ba kim đồng hồ chập nhau, ta phải giải phương trình sau với nghiệm tự nhiên 12m
11 = 12n
719 ⇔719m =11n.
Ta có719m...11, mà(719, 11) = 1nênm...11.
Như vậy, ngoài thời điểm0 giờ, chỉ có thời điểm12 giờ là cả ba kim đồng hồ đều chập nhau.
Lưu ý.Có các thời điểm mà kim giờ và kim phút chập nhau, còn kim giờ lệch đi một chút. Ta xét tất cả các thời điểm mà kim giờ và kim phút chập nhau, trừ lúc0giờ và lúc12giờ, đó là:
1 1
11 giờ =1giờ5phút27 3
11 giây;2 2
11 giờ=2giờ10phút54 6
11 giây 3 3
11 giờ=3giờ16p hút 21 9
11 giây;4 4
11 giờ=4giờ21phút49 1
11 giây5 5
11 giờ=5giờ27phút16 4
11 giây;6 6
11 giờ=6 giờ32phút43 7
11 giây;7 7
11 giờ=7giờ38phút1010
11 giây;8 8
11 giờ=8giờ43phút38 2 11 giây;
9 9
11 giờ=9giờ49phút5 5
11 giây;1010
11 giờ=10giờ54phút32 8 11 giây.
Xét các thời điểm trên, ta thấy vào lúc3 giờ16phút21 9
11 giây và 8giờ43 phút38 2
11 giây thì kim giờ và kim phút chập nhau, còn kim giây lệch đi một chút.
Tại các thời điểm3giờ16phút16giây và8giờ43phút43giây, trong ba kim đồng hồ không có hai kim nào hoàn toàn chập nhau, nhưng cả ba kim rất sát nhau.
Bạn đọc từ tìm các thời điểm kim giờ và kim giây chập nhau, còn kim phút lệch đi một chút;
kim phút và kim giây chập nhau, còn kim giờ lệch đi một chút.