Trắc nghiệm

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

*

2 1 1

2 2 0

( 2) 0

2 3 1

2 4 2

x x

x x

f x x x

x x

   

 

    

 

    

    

 

  

 

.

* 6 3 0 ¹

x x 2

     .

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng



^1;0



^.

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Gọi

 

²



¹



^{1 4 3 2 5}

g x  f x 4x x x  . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Hàm số ^{g x}

 

đống biến trên khoảng



^{ ; 2}



^{. B. Hàm số g x}

 

đồng biến trên khoảng



^1;0



^.

C. Hàm số ^{g x}

 

đồng biến trên khoảng



^0;1



^{. D. Hàm số g x}

 

nghịch biến trên khoảng



^1;



^.

Lời giải Chọn C

Xét ^{g x}

 

^{ 2f}



^1x



^{x33x22x 2f}



^1x

 

^{ 1x}



^{3 1 x}

Đặt 1 x t, khi đó^{g x}

 

trở thành ^{h t}

 

^{ 2f}

 

^{t t3t}

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta suy ra ^{h t}

 

nhận giá trị dương trên các khoảng



^{ 2; 1}



^và



^0;1



,nhận giá trị âm trên các khoảng



^1;0



^và



^1;



^.

hàm số ^{g x}

 

nhận giá trị dương trên



^2;3



^và



^0;1



,nhận giá trị âm trên



^1;2



^và



^;0



Vậy hàm số đồng biến trên khoảng



^0;1



^.

Câu 83: Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số

   

^{2 4 2 3 6 2}

2 3

x x

yg x  f x    x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^{2; 1}



^{. B.}



^{1; 2}



^{. C.}



^{6; 5}



^{. D.}



^{4; 3}



^.

Lời giải Chọn A

Cách 1:

Ta có ^{yg x}

 

^2xf

 

^{x2 2x32x212x.}

Đặt ^{h x}

 

^{2x32x212x.}

Bảng xét dấu ^{h x}

 

^:

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Đối với dạng toán này ta thay từng phương án vào để tìm ra khoảng đồng biến của ^{g x}

 

^.

Với

 

   

 

 

 

2 2

1; 4 0 2

2 0

2; 1 0

0 0

x f x

xf x

x x

h x h x

    

   

 

     

   



.

 

^{2 3 2}

 

2xf x 2x 2x 12x 0 g x 0

       . Vậy ^{g x}

 

đồng biến trong khoảng



^{2; 1}



^.

Với

 

   

 

 

 

2 2

1; 4 0 2

2 0

1; 2 0

0 0

x f x

xf x

x x

h x h x

    

   

 

   

   



.

 

^{2 3 2}

^{ }

2xf x 2x 2x 12x 0 g x 0.

       Vậy ^{g x}

 

nghịch biến trong khoảng



^{1; 2 .}



Kết quả tương tự với ^{x }



^{6; 5}



^{và x }



^{4; 3}



^.

Cách 2:

Ta có ^{g x}

 

^{2x f}_ ^

 

^{x2 x2 x 6}_^.

Bảng xét dấu của ^{g x}

 

trên các khoảng



^{6; 5}



^,



^{4; 3}



^,



^{2; 1}



^,



^{1; 2}



Từ bảng xét dấu ta chọn hàm số đồng biến trên khoảng



^{2; 1}



Câu 84: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng xét dấu như hình vẽ

Tìm khoảng đồng biến của hàm số 1 ⁵ 5 ^{4 3}

( ) 2 (1 ) 3x

5 4

yg x  f x  x  x  .

A.



^;0



^{. B.}



^2;3



^{. C.}



^0;2



^{. D.}



^{3; }



^.

Lời giải Chọn B

Coi ^{f '}

  

^{x  x2}



^x1

 

^{x x1}



có bảng xét dấu như trên.

4 3 2

'( ) 2 '(1 ) 5 6x

g x   f x x  x  Ta đi xét dấu g x'( ) P Q. Với:

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

          

2 ' 1 2 3 2 1 2 3 2 1

P  f x   x x x x  x x x x Bảng xét dấu của P

  

4 3 2 2

5 6x 2 3

Q x  x   x x x Bảng xét dấu của Q

Từ hai BXD của P Q, . Ta có P0,Q0với ^{ x}



^2;3



^{nên g x'( )P Q 0với  x}



^2;3



^.

Câu 85: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên  và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Biết ^{f x}

 

^{2, x }. Xét hàm số ^{g x}

 

^{ f}



^{3 2 f x}

  

^{x33x22020.}

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số ^{g x}

 

đồng biến trên khoảng



^{ 2; 1}



^.

B. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{0;1 .}



C. Hàm số ^{g x}

 

đồng biến trên khoảng



^{3; 4 .}



D. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{2;3 .}



Lời giải Chọn D

Ta có: ^{g x'}

 

^{ 2 'f}

 

^{x f ' 3 2}



^{ f x}

  

^3x26x.

Vì ^{f x}

 

^{2, x  nên 3 2 f x}

 

^{ 1 x }

Từ bảng xét dấu ^{f '}

 

^{x suy ra f ' 3 2}



^{ f x}

  

^{0, x }

Từ đó ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu trên, loại trừ đáp án suy ra hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng



^{2;3 .}



Câu 86: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên R đồng thời thỏa mãn điều kiện f(0)0 và



^{f x( ) 4 x f x}



^{( )9x42x21, x R}. Hàm số g x( ) f x( ) 4 x2020 nghịch biến trên khoảng nào ?

A.



^{ 1;}



^{. B.}



^1;



^{. C.}



^;1



^{. D.}



^1;1



^.

Lời giải Chọn B

Ta có



^{f x( ) 4 x f x}



^{( )9x42x21}

2 2 4 2

[ ( )]f x 4 . ( ) 4x f x x 9x 6x 1

     

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

2 2

2 2 2

2 2

( ) 2 3 1 ( ) 3 2 1

[ ( ) 2 ] (3 1) ,

( ) 2 3 1 ( ) 3 2 1

f x x x f x x x

f x x x x R

f x x x f x x x

       

       

       

 

 

Theo giả thiết f(0)0 nên chọn f x( ) 3x²2x1 Khi đó g x( ) f x( ) 4 x2020 3x²6x2019,xR

'( ) 6 6

g x   x ; g x'( )0 6x 6 0 x1 Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng



^1;



^.

Câu 87: Cho hàm số ^{y f x}

 

thỏa mãn:

Hàm số ^{y f}



^3x



^{ x x22} nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^3;5



^{. B.}



^;1



^{. C.}



^{2; 6 .}



^D.



^2;



^.

Lời giải Chọn A

Ta có

   

2 2

3 1 3 1

2 2

x x

y f x y f x

x x

 

             

   

.

Ta thấy



³



^{0 2 3 0 3 5}

3 3 0

x x

f x

x x

     

 

       

; Trên các khoảng



^{; 0}



^và



^3;5



^{thì 1} ₂

2 x x





đều có giá trị dương.

Suy ra trên các khoảng



^{; 0}



^và



^3;5



^thì:

 

3 1 2 0 ' 0

2

f x x y

x

      



Vậy hàm số^{y f}



^3x



^{ x x22} nghịch biến trên khoảng



^{; 0}



^và



^3;5



^.

Câu 88: Cho hàm số ( ) co bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số = −[ ( )] + 2[ ( )] −2 ( ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−2; 0). B. (0; 1). C. (1; 2). D. (2; 3).

Lời giải Chọn D

Ta có ′= −3[ ( )] ′( ) + 4[ ( )] ′( )−2 ′( ) Hàm số = −[ ( )] + 2[ ( )] −2 ( ) nghịch biến

⇔ −3[ ( )] ′( ) + 4[ ( )] ′( )−2 ′( ) < 0 ⇔ ′( )[−3[ ( )] + 4[ ( )]−2] < 0

⇔ ′( ) > 0 (vì −3[ ( )] + 4[ ( )]−2 < 0) ⇔ −1 < < 0

> 2 . Dạng 5: Tính đơn điệu của hàm liến kết h(x) = f(u)+g(x) biết các đồ thị

Câu 89: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên _. Đồ thị hàm số ^{y f x}

 

như hình bên dưới

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Đặt ^{g x}

 

^{ f x}

 

^x, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. g

 

2 ^ g

 

^1 ^ g

 

1 . B. g

 

1 ^g

 

^1 ^ g

 

2 . C. ^g

 

^{1  g}

 

^{1 g}

 

^{2 . D. g}

 

^{1  g}

 

^{1  g}

 

^{2 .}

Lời giải Chọn C

Ta có ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{ 1 0 f x}

 

^{1 x 1;x2.}

Dựa vào đồ thị ta thấy ^{g x}

 

^{ f x}

 

^{ 1 0,  x} _ ^{1; 2}_ và chỉ bằng không tại ba điểm

 1; 2

x x . Suy ra ^{g x}

 

nghịch biến trên đoạn



^{1; 2}



^.

Vậy g

 

^1 ^ g

 

1 ^ g

 

2 .

Câu 90: Cho hàm số = ( )có đạo hàm trên ℝ. Hàm số = ′( )có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt = ( ) = ( )− . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số = ( )đồng biến trên khoảng (1; 2). B. Đồ thị hàm số = ( )có 3 điểm cực trị.

C. Hàm số = ( )đạt cực tiểu tại = −1. D. Hàm số = ( )đạt cực đại tại = 1.

Lời giải Chọn D

Ta có: ′( ) = ′( )− ; ′( ) = 0⇔ ′( ) = (*).

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm giữa đồ thị hàm số = ′( )và đường thẳng

= .

Dựa vào hình bên ta thấy giao tại 3 điểm (−1;−1); (1; 1); (2; 2)

⇒(∗)⇔

=−1

= 1

= 2 .

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Từ bảng xét dấu ′( )ta thấy hàm số = ( ) = ( )− .

Đồng biến trên khoảng (−∞; 1)và (2; +∞); nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Hàm số = ( )đạt cực đại tại = 1.

Câu 91: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm trên. Đồ thị của hàm số y  f '( )x như hình vẽ. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x( )2 ( )f x x²2x2020.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên



^1;3



^. B. Hàm số ^{g x}

 

có 2 điểm cực trị đại.

C. Hàm số ^{g x}

 

đồng biến trên



^1;1



^. D. Hàm số ^{g x}

 

nghịch biến trên



^3;



^.

Lời giải Chọn C

Ta có ^{g x'( )2 '( ) 2f x  x 2 2}



^{f x'( ) ( x1)}



^.

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y x 1cắt đồ thị hàm số y f x'( )tại 3 điểm:

( 1; 2), (1;0), (3;2).  

Dựa vào đồ thị ta có

 

1

'( ) 0 2 '( ) ( 1) 0 1

3 x

g x f x x x

x

  

       

  .

 

^{1 1}

'( ) 0 2 '( ) ( 1) 0 3

g x f x x x

x

  

       

 

¹

'( ) 0 2 '( ) ( 1) 0

1 3

g x f x x x

x

  

        

y

x 2

1 3 O

-2 -1

y

x 2

1 3 O

-2 -1

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Câu 92: Cho hàm số y f x( )có đồ thị y f x'( ) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f(3 2 ) x 2019 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^{1; 2 .}



^B.



^{2; }



^{. C.}



^;1



^{. D.}



^1;1



^.

Lời giải Chọn A

Đặt ^{g x}

 

^{ f}



^{3 2 x}



^{2019g x}

 

^{ 2f}



^{3 2 x}



^.

Cách 1: Hàm số nghịch biến khi ^{g x}

 

^{ 2f}



^{3 2 x}



^{ 0 f}



^{3 2 x}



^0

1 2

1 3 2 1

3 2 4 1

2 x x

x x

 

    

 

     



. Chọn đáp án A Cách 2: Lập bảng xét dấu

     

3 2 1 2

2 3 2 0 3 2 0 3 2 1 1

3 2 4 1

2

x x

g x f x f x x x

x x



    

 

              

    

  

 Bảng xét dấu

Lưu ý : cách xác đinh dấu của g’(x). Ta lấy

       

3 2; ,g 3  2.f 3 2.3  2f 3 0(vì theo đồ thị thì ^{f }

 

³ nằm dưới trục Ox nên ^{f }

 

^{3 0)}

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án A

Câu 93: Cho hàm số ^{f x}

 

có mà đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x như hình bên. Hàm số



¹



^{2 2}

y f x x  x đồng biến trên khoảng

A.



^{1; 2 .}



^B.



^{1; 0}



^{. C.}



^{0;1 .}



^D.



^{2; 1}



^.

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Lời giải Chọn A

Ta có ^{y f x}



^1



^x22x

Khi đó ^{y x}

 

^{ f}



^x1



^2x2. Hàm số đồng biến khi y 0 ^{ f}



^x1



^2



^x1



^{0 1}

 

Đặt t x 1 thì

 

1 trở thành ^{f t}

 

^{2t 0 f}

 

^{t  2t.}

Quan sát đồ thị hàm số ^{y f t}

 

^{và y 2t} trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Khi đó ta thấy với ^t



^0;1



thì đồ thị hàm số ^{y f t}

 

luôn nằm trên đường thẳng y 2t. Suy ra ^{f t}

 

^{2t 0, t}



^0;1



^{. Do đó  x}



^{1; 2}



thì hàm số ^{y f x}



^1



^{x22x đồng}

biến.

Câu 94: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị của hàm ^{y f}

 

^x được cho như hình bên dưới. Hàm số

 

²

2 2

y  f x x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.



^{1; 0 .}



^B.



^{0; 2 .}



^C.



^{ 3; 2 .}



^D.



^{ 2; 1 .}



Lời giải Chọn A

Xét hàm số ^{y 2f}



^2x



^{x2 trên}



^{3; 2}



^có

     

' 2 2 2 ; 0 2 *

y  f x  x y  f x  x

Đặt ^{2   x t t}



^0;5



^

 

^{* có dạng f t}

 

^{ t 2}

Dựa vào đồ thị suy ra

   

 

 

 

0 0 0

1 1 1

3 1

2 4;5 0 2 3; 2

0; 2 2 0; 2

t x

f t t t t y x t x

t t x t x

    

 

              

       

 

BBT

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Từ BBT suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng



^{1; 0 .}



Câu 95: Cho hàm số ^{y f x}

 

là hàm số đa thức bậc bốn, có đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x như hình vẽ.

Hàm số ^{y f}



^{5 2 x}



^4x210x đồng biến trên các khoảng nào sau đây?

A.



^{3; 4 .}



^{B. 2 ;5}

2

 

 

 

. C. ³; 2

2

 

 

 

. D. 0 ;³

2

 

 

 

. Lời giải

Chọn B

Đặt ^{g x( ) f}



^{5 2 x}



^{4x2 10x} ^{g x( ) 2f}



^{5 2 x}



^8x10.

Cho g x( )0 ^{ 2f}



^{5 2 x}



^{8x10 0 f}



^{5 2 x}



^4x5.

Đặt t 5 2x ta có phương trình ^f

 

^{t  2t5}

Vẽ đồ thị hai hàm số ^{y f t}

 

^{và y  2t 5} trên cùng một hệ trục tọa độ.

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Ta có hoành độ các giao điểm:

, 0

1 , 5

2 t

t t

 

 



  

 





 





1

2

5; 2 2

;5 4 x x

x x x

  

  

  







  

    

  



.

Do đó g x( ) có bảng biến thiên như sau

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng 2 ;⁵ 2

 

 

 .

Câu 96: Cho hàm số ^{f x}

 

. Hàm số ^{y f '}

 

^x có đồ thị như hình bên. Hàm số

  

^{3 4}



^{8 2 12 2020}

g x  f  x  x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 1 5 4 4;

 

 

 . B. 1 1

4 4;

 

 

 . C. 5

4;

 

 

 . D. 1 3

4 4;

 

 

 . Lời giải

Chọn A

Ta có ^{g x}

 

^{ 4f}



^{3 4 x}



^16x12

Để ^{g x}

 

^{ f}



^{3 4 x}



^{8x212x2020} nghịch biến thì ^{g x}

 

^{ 4f}



^{3 4 x}



^{16x120.}

 

4f 3 4x 16x 12

     ^{ f}



^{3 4 x}



^{ 4x3.}

Đặt 3 4 xt.

Khi đó ta có ^f

 

^{t t} (Vẽ thêm đường thẳng yx).

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

1 5

2 2 2 3 4 2 4 4

4 3 4 4 1

4

t x x

t x

x

  

       

 

  

 

   

   



.

Vậy ^{g x}

 

nghịch biến trên các khoảng 1

; 4

  

 

  và 1 5 4 4;

 

 

 . Câu 97: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị hàm ^{y f}

 

^x như hình vẽ

Hàm số ^{y3f x}



^2



^x32019tăng trên đoạn



^{a b;}



^{với a b, ,b12. Giá trị}

min max

T  a blà

A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.

Lời giải Chọn C

Đặt ^{g x}

 

^{3f x}



^2



^{x32019 g x}

 

^3_^f



^x2



^x2_^.

 

⁰



²



²

g x   f x x

   

²

2 2 X x

f X X

  

 

  



Vẽ đồ thị hàm số ^{y f}

 

^{x và y}



^x2



²trên cùng hệ tọa độ ta được

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Dựa vào hình vẽ ta có:

   

²

2 2

2 0

2

X x X x

f X X X

     

 

 

  

   



2 x 2 0

       0 x 2.

 

y g x

  đồng biến trên



^{0; 2 , mà}



^{g x}

 

^{3f x}



^2



^x32019liên tục trên



0; 2 nên nó



đồng biến trên đoạn



^{0; 2}



^{yg x}

 

đồng biến trên mọi



^{a b;}

 

^{ 0; 2}



^nên

mina0, maxb2T 2

Câu 98: Cho hàm số f x( )có đồ thị của hàm số y f’( )x như hình vẽ:

Hàm số

3

(2 1) 2 2

3

y f x x x  xnghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.



^{ 6; 3}



^{. B.}



^3;6



^{. C.}



^6;



^{. D.}



^1;0



^.

Lời giải Chọn D

Ta có: ^{y’2 ’(2f x1)x22x22 ’(2f x1)}



^x1



^23

Nhận xét: Hàm số y f x( )có f’( )x    1 3 x3và 3 ( ) 1

’ x 3

f x

x

 

     Do đó ta xét các trường hợp:

Với      6 x 3 132x  1 7suy ra y’0hàm số đồng biến (loại) Với 3x  6 5 2x 1 11suy ra y’0hàm số đồng biến (loại) Với x 6 2x 1 11suy ra y’0hàm số đồng biến (loại)

Với      1 x 0 3 2x  1 1nên 2 ’(2f x1)2và ^{ 3}



^x1



^{2  3 2suy ra}

0

’

y  hàm số nghịch biến (nhận).

Câu 99: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{. Hàm số y f}

 

^x có đồ thị như hình vẽ.

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Hàm số



^{2 2}



^{3 2 3 4}

3

y f x x x x 

      

 

nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

A.



^{ ; 3}



^{. B.}

^

^{3; 0}

^

^{. C.}



^{1; 3 .}



^D.



^{ 3;}



^.

Lời giải Chọn C

Chọn ^f

  

^{x  x1}



^x2

 

^{2 x3}



^x4



Đặt

  

^{2 2}



^{3 2 3 4}

3

y g x f x x x x 

       

 

. Khi đó ^{g x}

 

^{2 .x f}



^x22

 

^{ x22x3}



^.



²



²

 

^{2 2}



²

 

²



2 .x x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 4 x 2x 3

           



²



²

 

^{2 2}



²

 

²



2 .x x 3 x 4 x 5 x 6 x 2x 3

       



²



^{3 0}

g   

 

^{3 10788 0}

g  

Cách 2: (TV phản biện)

Ta có ^{yg x}

 

^{2 .x f}



^x22

 

^{ x2 2x3}



Từ đồ thị ta có

 

2 2

2

2 0 2 1

3 2 4

f x x

x

  

    

  



 

   

3; 3

6; 5 5; 6

x x

  



    



. Suy ra ^2xf



^x22



^{0   x}



^{; 6}

 

^{  5; 3}

 

^{ 0; 3}

 

^{ 5; 6}



Nên ta lập được bảng xét dấu của ^{g x}

 

^{như sau}

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 3}



^,



^{1; 3 và}





^{5; 6 .}



Vậy đáp án đúng là đáp án

Câu 100: Cho hàm số ( ). Hàm số = ′( ) có đồ thị như hình bên. Hàm số ( ) = ( + 1) + − 3 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

A. (−1; 2). B. (−2; 0). C. (0; 4). D. (1; 5).

Lời giải Chọn A

Ta có ′( ) = ′( + 1) + −3 = ′( + 1) + ( + 1) −2( + 1)−2.

Khi đó ′( )≤ 0⇔ ′( + 1)≤ −( + 1) + 2( + 1) + 2 (1) Đặt = + 1. BPT (1) trở thành ′( )≤ − + 2 + 2 (2) Xét tương giao của ĐTHS = ′( ) và = − + 2 + 2

ta có nghiệm của BPT là 0≤ ≤3⇔0≤ + 1≤ 3⇔ −1≤ ≤ 2.

Suy ra hàm số ( ) = ( + 1) + −3 nghịch biến trên (−1; 2).

Câu 101: Cho hàm số = ( ). Hàm số = ( )có đồ thị là đường parabol như hình vẽ. Hàm số = (1− ) + 6 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞;−1). B. √2; +∞ . C. −√2; 0 . D. 1;√2 .

Lời giải Chọn D

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Đồ thị hàm số = ( )đi qua 3 điểm (2; 0), (1; 0), (0; 2)nên hàm số = ( )có dạng = ( ) = −3 + 2.

Xét hàm số = [ (1− ) + 6 ] =−2 (1− ) + 12

=−2 [(1− ) −3(1− ) + 2] + 12 =−2 ( + −6) = −2 ( −2)( + 3).

Bảng biến thiên của hàm số = (1− ) + 6 .

Hàm số đồng biến trên khoảng −∞;−√2 và 0;√2 ⇒ hàm số = (1− ) + 6 đồng biến trên khoảng 1;√2 .

Câu 102: Cho hàm số = ( )có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị của hàm số = ( )như hình vẽ

Hàm số ( ) = (−2 + 1) + ( + 1)(−2 + 4)đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. −2;− . B. (−∞;−2). C. − ; +∞ . D. − ; 2 .

Lời giải Chọn A

Xét ( ) = (−2 + 1) + ( + 1)(−2 + 4) = (−2 + 1)−2 + 2 + 4.

( ) =−2 (−2 + 1)−4 + 2.

Đặt =−2 + 1⇒ −2 = −1. Khi đó ( ) =−2 (−2 + 1)−4 + 2trở thành ( ) =−2 ( ) + 2 = 2 − ( ) .

Ta có ( ) = 2 − ( ) > 0⇔ > ( )

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

⇔ < −3

2 < < 5⇔ −2 + 1 <−3

2 <−2 + 1 < 5⇔ > 2

−2 < <− .

Vậy hàm số ( ) = (−2 + 1) + ( + 1)(−2 + 4)đồng biến trên các khoảng

−2;− ; (2; +∞).

Câu 103: Cho hàm số = ( )có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị hàm số = ( )như hình vẽ bên dưới.

Hàm số ( ) = (3 −1)−9 + 18 −12 + 2021nghịch biến trên khoảng.

A. (−∞; 1). B. (1; 2). C. (−3; 1). D. ; 1 .

Lời giải Chọn D

Ta có ( ) = 3 (3 −1)−3(9 −12 + 4); ( )≤0⇔ (3 −1)≤ (3 −2) . (1)

Đặt = 3 −1khi đó(1)⇒ ( )≤ ( −1) .

Dựa vào đồ thị ta suy ra ( )≤ ( −1) ⇔ ≤ 0

1≤ ≤ 2. (vì phần đồ thị của ′( )nằm phía dưới đồ thị hàm số = ( −1) ).

Như vậy (3 −1)≤(3 −2) ⇔ 3 −1≤0

1≤ 3 −1≤ 2⇔ ≤

≤ ≤ 1.

Vậy hàm số ( ) = (3 −1)−9 + 18 −12 + 2021nghịch biến trên các khoảng

−∞; và ; 1 .

Câu 104: Cho hàm số = ( ). Hàm số = ′( )có đồ thị như sau

Hàm số = ( −2)− + −3 + 4 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. −∞;√3 . B. (−3; 0). C. 1;√3 . D. −√3; +∞ .

Lời giải

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Chọn C Cách 1

Ta có ′= 2 ′( −2)−( + 2 −3) Xét ′< 0⇔2 ′( −2) < ( + 2 −3).

Bất phương trình trên khó giải trực tiếp nên ta chọn thỏa mãn: 2 ′( −2) < 0 + 2 −3 > 0 ( ) +) Xét > 0 thì ′( −2) < 0

> 1 ⇔ −2 < 1 3 < −2 < 4

> 1

⇔ 1 < < √3

√5 < <√6. +) Xét < 0 thì ′( −2) > 0

<−3 ⇔

1 < −2 < 2 2 < −2 < 3

−2 > 4

<−3

⇔ <−3.

Đối chiếu với các phương án ta chọn . Cách 2

Ta có ′= 2 ′( −2)−( + 2 −3)

+) Cho =−2 ⇒ ′(−2) =−4 ′(2)−(−3) = 3 > 0 nên loại phương án A, . +) Cho = 0 ⇒ ′(−2) = 0. ′(2)−(−3) = 3 > 0 nên loại phương án .

Câu 105: Cho hàm số ( ). Hàm số = ( ) có đồ thị như hình bên. Hàm số ( ) = − − 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. −∞;^√ . B. 0;^√ . C. ^√ ; 1 . D. (1; +∞).

Lời giải Chọn B

Tập xác định của hàm số ( ) là = (0; +∞).

Ta có ( ) = 2 . − − .

Hàm số ( ) nghịch biến ⇒ ( ) ≤0⇔ − ≤ (vì > 0). (1) Đặt = − >− thì = + .

(1) trở thành ( )≤ hay ( )≤ . (2)

Vẽ đồ thị ( ) của hàm số = với > − . (Đồ thị ( ) có TCĐ là =− )

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Dựa vào đồ thị ta thấy ( )≤ ⇔ −0,5 < ≤0

0,5≤ ≤ 1,5⇔ 0 < ≤

1≤ ≤ 2⇔ 0 < ≤ ^√ 1 ≤ ≤ √2

. Câu 106: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị hàm số = ( ) như hình vẽ bên. Hàm

số = ( ) + − đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1; 2). B. (−1; 0). C. (0; 1). D. (−2;−1).

Lời giải Chọn A

Ta có = − . ( ) + 2 −1.

Vì −1≤ ≤ 1⇔ −1≤ ( )≤ 1⇔ −1≤ − . ( )≤1,∀ ∈ ℝ.

Xét < 0, ta có ′ ≤1 + 2 −1 < 0,∀ < 0. Suy ra loại B và .

Xét 0 < < , ta có 0 < < 1 ⇒0 < ( ) < 1⇒ − . ( ) < 0 và 2 − 1 < 0.

Suy ra ′< 0,∀ ∈ 0; . Suy ra nghịch biến trên 0; . Suy ra loại .

′= − . ( ) + 2 −1 >−1 + 2.1−1 = 0,∀ ∈(1; 2) Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2). Vậy chọn .

Câu 107: Cho hàm số ( ) = + + có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng miền tô đậm (như hình vẽ) có diện tích bằng và điểm (2; ).

Hàm số = (2 −1)−4 −4 đồng biến trên khoảng nào?

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

A. (2; +∞). B. (−∞; 1). C. (−1; 2). D. (−1; +∞).

Lời giải Chọn A

Do (2; )∈ ( )nên ta có 16 + 4 + = ⇔16 + 4 = 0⇔ =−4 (1).

⇒ ( ) = −4 + . Mặt khác

−( −4 + ) = 32 15

⇔ (− + 4 ) =32 15

⇔ (− + 4 ) =32 15

⇔64

15 = 32

15⇒ = 1 2

⇒ = −2. Do đó hàm số ( ) = −2 + ⇒ ( ) = 2 −4 . Ta có = (2 −1)−4 −4 ⇒ = 2 (2 −1)−8 −4.

⇒ = 2[2(2 −1) −4(2 −1)]−8 −4 = 2(16 −24 + 12 −2−8 + 4)− 8 −4.

⇔ = 32 −48 = 32 − .

Để hàm số đồng biến thì ≥0⇔32 − ≥ 0⇔ − ≥ 0⇔ ≥ .

Câu 108: Vậy chọn phương án . Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó = [ ( )] + 2021 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ; 2 . B. ; 8 . C. −∞; . D. (−1; 1).

Lời giải Chọn A

Đặt ( ) = [ ( )] + 2021⇒ ′( ) = 4[ ( )] . ′( )

Để hàm số nghịch biến thì: ′( )≤ 0⇔4[ ( )] . ′( )≤0⇔

⎣

⎢

⎢

⎡ ( )≥0

′( )≤ 0 ( )≤0

′( )≥ 0

⇔

≤ −1 6≤ ≤ 8 1≤ ≤3 Câu 109: Cho hàm số ( ) và ( ) có đồ thị các đạo hàm cho như hình vẽ với ′( ) và ′( ) có đồ thị

như hình vẽ:

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Hỏi hàm số ℎ( ) = ( −1)− (2 ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (−1; 0). B. 0; . C. −1;− . D. 2; .

Lời giải Chọn A

Ta có ℎ( ) = ( −1)− (2 )⇒ ℎ′( ) = ′( −1)−2 ′(2 ).

Dựa vào đồ thị ta thấy ′( )−2 ′( )≥0k hi ∈ [−2; 0].

⇒ ℎ′( ) = ′( −1)−2 ′(2 )≥0 thì ( −1)∈ [−2; 0]

2 ∈[−2; 0] ⇔ ∈ [−1; 0].

⇒ Hàm số ℎ( ) = ( −1)− (2 ) đồng biến trên khoảng (−1; 0).

Câu 110: Cho hàm số ^{y f x}

 

^{,yg x}

 

. Hai hàm số ^{y f '}

 

^{x và yg x'}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số

  

⁴



^{2 3}

h x f x g x 2

     

 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ⁹_;3 4

 

 

 

. B. _5;³¹

5

 

 

 

. C. _6;²⁵

4

 

 

 

. D. ³¹_;

5

 

 

 

Lời giải Chọn A

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Ta có

  

⁴



^{2 2 3}

h x  f x  g x2

 

. Dựa vào đồ thị ta có ⁹; 3

x 4 

   

  ta có ^{25 4 7}



⁴

  

^{3 10}

4 x   f x  f  và

3 9 3

 

3 2 2 8 5

2 2 2

x g x  f

       

 

.

Do đó

  

⁴



^{2 2 3 0, 9; 3}

2 4

h x f x g  x  x  

          

   .

Vậy hàm số đồng biến trên ⁹;3 4

 

 

 .

Câu 111: Cho hàm số = ( ), = ( ), = ℎ( ) có đồ thị = ′( ), = ′( ), =ℎ′( ) như hình vẽ dưới, trong đó đường đậm hơn là của đồ thị hàm số = ′( ). Hàm số ( ) = ( + 7) +

(5 + 1)− ℎ 4 + đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A. − ; 0 . B. −∞; . C. ; 1 . D. ; +∞ .

Lời giải Chọn A

Cách 1.

′( ) = ′( + 7) + 5 ′(5 + 1)−4ℎ′ 4 + Từ đồ thị hàm số ta thấy

+) g′( )≥2,∀ ∈ ℝ ⇒ ′(5 + 1)≥ 2,∀ ∈ ℝ ⇒5 ′(5 + 1)≥ 10 +) h′( )≤5,∀ ∈ ℝ ⇒ ℎ′ 4 + ≤5,∀ ∈ ℝ ⇒ −4ℎ′ 4 + ≥ −20 Từ (1) và (2) suy ra:

5 ′(5 + 1)−4ℎ′ 4 + ≥ −10 +) Xét ′( + 7) ≥10

Từ đồ thị hàm số ta thấy ′( ) ≥10⇒3 < < 8

⇒ ′( + 7)≥ 10⇒3 < + 7 < 8⇒ −4 < < 1 Từ đó suy ra ′( ) > 0,∀ ∈ − ; 1 .

Có 2 đáp án A, C đều đúng.

Cách 2.

Xét từng đáp án +) Xét ∈ − ; 0

y=f'(x) y=g'(x)

y=h'(x) y

O x 5 10

3 4 8

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

⎩

⎨

⎧ + 7 ∈ ; 7 ⇒ ′( + 7) > 10

5 + 1 ∈(−17,75; 1)⇒ ′(5 + 1) > 2⇒5 ′(5 + 1) > 10 4 + 3 ∈ −13,5; ⇒ ℎ′ 4 + < 5 ⇒ −4ℎ′ 4 + >−20

⇒ ′= ′( + 7) + 5 ′(5 + 1)−4ℎ′ 4 + > 0,∀ ∈ − ; 0 .

Câu 112: Cho hàm số ( ) = + + + 1 và hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = + có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số ( ) cắt đồ thị hàm số ′( ) tại ba điểm phân biệt có tích các hoành độ bằng 2 và diện tích hình phẳng được cho như hình vẽ bằng . Hỏi hàm số

= (2 −1)−3 ( + 1) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn B

Ta có ′( ) = ′( )⇒

3 = > 0

= 0

= < 0

⇒ < 0

> 0

′( ) có hai nghiệm ⇒ < 0 ⇒ < 0 ′( ) = 0⇔ = ± − Đường thẳng qua hai điểm cực trị: = + 1⇒ − − + 1 =

− + + 1− = 0 có 3 nghiệm ; ; và = = 2.

⇒ −1 = 2 ⇔(− )√− = 3√3. √ ⇒ − = √3 ⇔ − = √3 ⇒ =−√3 .

⇒ ( ) = − √3 + 1; ′( ) = − √3 .

=∫ ′( ) − ∫ ( ) = ⇔ − √3 − − √3 + = .

Câu 113: Cho hai hàm số ( ) = + + − và ( ) = + + 1 ( , , , , ∈ ; . ≠ 0). Biết rằng đồ thị của hai hàm số = ( ) và = ( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3;−1; 1 ( tham khảo hình vẽ). Hàm số ℎ( ) = ( )− ( )− − + nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

A. (−3; 2). B. (−3; 3). C. (−3;−1). D. (−1; 2).

Lời giải Chọn C

Xét phương trình ( ) = ( )⇔ + ( − ) + ( − ) − = 0 Ta có: ( )− ( ) = ( + 3)( + 1)( −1)

Suy ra ( + 3)( + 1)( −1) = + ( − ) + ( − ) − Xét hệ số tự do suy ra: −3 =− ⇒ =

Do đó ( )− ( ) = ( + 3)( + 1)( −1). Vậy ℎ( ) = + −4 . Ta có: ℎ′( ) = + 3 −4 = 0 ⇔ = 1; =−4

Suy ra: ℎ′( ) < 0⇔ −4 < < 1. Vậy hàm số ℎ( ) nghịch biến trên khoảng (−3;−1).

Câu 114: Cho hàm số ( ) = + + + 1 và hàm số ( ) có đạo hàm ( ) = + có đồ thị như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số ( ) cắt đồ thị hàm số ( ) tại ba điểm phân biệt có tích các hoành độ bằng 2 và diện tích được cho như hình vẽ bằng . Hỏi hàm số = (2 −1)− 3 ( + 1) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. 0; . B. (0; 1). C. (−∞; 0). D. ; +∞ .

Lời giải Chọn A

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Gọi hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ( ) với trục hoành lần lượt là = , =− với > 0.

Từ đồ thị ta suy ra:

+ Công thức hàm số ( ) = ( − ) với < 0.

+ Công thức hàm số ( ) = ( − ) với > 0.

Khi đó ta có ( ) = − + 1 (do (0) = 1).

Ta có (− ) = (0)⇔ . + 1 =− (1)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ( ) và ( ):

− + 1 = ( − ) ⇔ − − + 1 + = 0.

Theo đề bài ta có tích các hoành độ giao điểm bằng 2 nên ta có: . . = 2 ⇔ = 2⇔ + 1 =− (2)

Từ (1) và (2) suy ra − = − ⇔ = 1⇒ + 1 =− (3) Mặt khác diện tích hình phẳng bằng nên ta có:

( )− ( ) =9

4⇔ ( −1)− 1

3 − −1 =9

4

⇔ 3 − − 1

12 −1

2 − =9

4⇔ −2

3 + 5

12 −1 =9 4(4) Từ (3) và (4) suy ra =−3

= 3 .

Suy ra ( ) = −3 + 1và ( ) =−3 + 3.

Xét hàm số = (2 −1)−3 ( + 1)

Ta có = 2. (2 −1)−3. ( + 1) = 6[(2 −1) −1] + 9[( + 1) −1] = 33 − 6

Hàm số nghịch biến ⇔ < 0⇔33 −6 < 0⇔0 < < .

Câu 115: Cho ba hàm số = ( ), = ( ), =ℎ( ) có đồ thị ba hàm số = ′( ), = ′( ), = ℎ′( ) có đồ thị như hình dưới đây

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Hàm số ( ) = ( + 7) + (5 + 1)− ℎ 4 + đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. − ; 0 . B. −∞; . C. ; 2 . D. ; +∞ .

Lời giải Chọn A

Ta có: ′( ) = ′( + 7) + 5 ′(5 + 1)−4ℎ′ 4 +

Dựa vào đồ thị ta thấy ′( ) > 10∀ ∈ (3; 8), ′( )≥ 2,ℎ′( )≤ 5,∀ ∈ ℝdo đó

′( ) = ′( + 7) + 5 ′(5 + 1)−4ℎ′ 4 + > 10 + 5.2−4.5 = 0 với mọi thỏa mãn 3 < + 7 < 8⇔ −4 < < 1

ĐẶNG VIỆ T ĐÔNG

Trong tài liệu Tính đơn điệu hàm hợp, hàm liên kết (VD – VDC) – Đặng Việt Đông - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247 (Trang 53-79)