§1. Hai đường thẳng vuông góc
1. Xác định góc giữa hai đường thẳng (dùng định nghĩa).
Câu 22. Cho tứ diệnOABC có OA,OB,OC đôi một
vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm củaBC (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳngOM và AB bằng
A. 90◦. B. 30◦. C. 60◦. D. 45◦.
B M A
O C Lời giải.
Gọi N là trung điểm củaAC ta có M N là đường trung bình của tam giác ABC nên AB//M N ⇒(OM\;AB) = (OM;\M N) Đặt OA=OB =OC = 1 ta có:
Tam giác OAB vuông cân tại O nên AB = √
2⇒ M N =
√2
2 Tam giác OAC vuông cân tại O nên AC =√
2⇒ON =
√2 2
Tam giác OBC vuông cân tại O nên BC = √
2 ⇒ OM =
√2
2 Vậy tam giác OM N đều nên (OM;\M N) =OM N\ = 60◦
Chọn đáp án C
6
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 7
§2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1. Xác định quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng và đường thẳng.
Câu 23. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông tạiC, AC =a, BC =a√
2,SA vuông góc với mặt đáy, SA=a, góc giữa đường thẳngSB và mặt đáy bằng
A. 60◦.. B. 90◦.. C. 30◦.. D. 45◦..
Lời giải.
Chọn đáp án C
2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng.
Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có SAvuông góc với mặt phẳng đáy,AB =avà SB = 2a. Góc giữa đường thẳngSB và mặt phẳng đáy bằng
A. 60◦. B. 45◦. C. 30◦. D. 90◦. Lời giải.
Chọn đáp án A
Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
tất cả các cạnh bằnga. GọiM là trung điểm củaSD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳngBM và mặt phẳng (ABCD) bằng
A.
√2 2 . B.
√3 3 . C. 2
3. D. 1
3.
D M
C S
A B
Lời giải.
Gọi G là giao điểm của BM và SO Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại N Khi đó ta cóM N//SO ⇒M N⊥(ABCD).⇒ N là hình chiếu của M trên (ABCD)
⇒(BM; (ABCD)) =\ (BM\; BD) =M BD.\ Xét tam giác SBD ta có M B và BD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G
⇒G là trọng tâm tam giácSBD ⇒OG= 1
3SO.Ta có: BO= 1
2BD= a√ 2 2
⇒SO =√
SB2−OB2 =
a2− a2
2 = a√ 2
2 ⇒ OG= a√ 2
6 . ⇒ tanM BD\ = OG
OB = a√ 2 6 . 2
a√ 2 = 1
3.
Chọn đáp án D
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng
A. 60◦. B. 90◦. C. 30◦. D. 45◦. Lời giải.
8 Chương 3. Véc-tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABCD).
Góc giữa đường thẳngSB và mặt phẳng đáy bằng góc giữa SB và AB.
Tam giácSAB vuông tại A, cosABS[ = AB SB = 1
2
⇒ABS[ = 60◦.
S
A
B C
D
Chọn đáp án A
§3. Hai mặt phẳng vuông góc
1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng, đường và mặt.
Câu 27.
Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có tâm O. Gọi I là tâm hình vuôngA0B0C0D0 vàM là điểm thuộc đoạn thẳngOI sao cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ). Khi đó cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng(M C0D0) và (M AB) bằng
A. 6√ 85
85 . B. 7√ 85
85 . C. 17√ 13
65 . D. 6√ 13 65 .
A D
O
A0
B0 C0
I B
M
C
D0
Lời giải.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử các cạnh của hình lập phương bằng 6.
GọiP, Qlần lượt là trung điểm của D0C0 vàAB. Khi đó ta có M P =√
IM2+IP2 =√
10, M Q=√
34, P Q= 6√ 2.
Áp dụng định lí cô-sin ta được cosP M Q= M P2+M Q2−P Q2
2M P.M Q = −14
√340.
Gócα là góc giữa hai mặt phẳng (M C0D0) và(M AB)ta có cosα = 14
√340 = 7√ 85 85 .
A D
O
A0
B0 C0
I B
M
P C
D0 Q
Chọn đáp án B
Câu 28. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 có tâmO.
Gọi I là tâm của hình vuông A0B0C0D0 và M là điểm thuộc đoạn thẳngOI sao cho OM = 1
2M I (tham khảo hình vẽ).
Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (M C0D0) và (M AB) bằng
A. 17√ 13
65 . B. 6√
85 85 . C. 7√
85
85 . D. 6√
13
65 . A0 D0
A
B C
C0 D
B0 O
I M
Hai mặt phẳng vuông góc 9 Lời giải.
Chọn đáp án D
Câu 29. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = 2√
3 và AA0 = 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A0B0, A0C0 và BC (tham khảo hình vẽ bên). Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB0C0) và (M N P) bằng
A. 6√ 13
65 . B.
√13
65 . C. 17√
13
65 . D. 18√
13 65 . Lời giải.
Dễ thấy (AB0C\0) ; (M N P) =(AB0C0\) ; (M N CB) =
= 180◦−(AB0C\0) ; (A0B0C0)−(M N BC) ; (A\ 0B0C0) = 180◦−(A0BC) ; (ABC\ )−(M N BC) ; (ABC).\ Ta có (A0BC) ; (ABC) =\ (A\0P;AP) = A\0P A = arctan2
3. Và (M N BC) ; (ABC\ ) = (SP\;AP) = SP A[ = arctan4
3,
với S là điểm đối xứng vớiA qua A0, thì SA= 2AA0 = 4.
Suy ra cos(AB0C\0) ; (M N P) = cos
Ç
1800 −arctan2
3 −arctan4 3
å
=
√13 65 .
Chọn đáp án B
Câu 30. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có tâmO.
Gọi I là tâm của hình vuông A0B0C0D0 và M là điểm thuộc đường thẳng OI sao cho M O = 2M I (tham khảo hình vẽ).
Khi đósincủa góc tạo bởi hai mặt phẳng(M C0D0)và(M AB) bằng:
A. 6√ 13
65 .. B. 7√
85 85 ..
C. 17√ 13
65 .. D. 6√
85 85 ..
A D
O
A0
B0 C0
I B
M
C
D0
Lời giải.
Cách 1: Không giảm tính tổng quát, ta giả sử cạnh hình lập phương bằng 6.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B0. Khi đó,C0(6; 0; 0), D0(6; 6; 0), M(3; 3; 1), A(0; 6; 6), B(0; 0; 6).
# »
M C0(3;−3;−1), # »
M D0 = (3; 3;−1)
Suy ra vectơ pháp tuyến của (M C0D0)là n#»1 =h# » M C0,# »
M D0i= (6; 0; 18) = 6 (1; 0; 3).
# »
M A(−3; 3; 5), # »
M B = (−3;−3; 5)
Suy ra vectơ pháp tuyến của (M AB) làn#»1 =h# » M A,# »
M Bi= (30; 0; 18) = 6 (5; 0; 3).
Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (M C0D0)và (M AB), ta có cosα= |n#»1.n#»2|
|n#»1| |n#»2| = 14
√340. Vậysinα=√
1−cos2α= 6√ 85 85 .
Cách 2: Không giảm tính tổng quát, ta giả sử cạnh hình lập phương bằng 6.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm D0C0 và AB. Khi đó,M P =√
IM2+IP2 =√
10, M Q=√ 34, P Q= 6√
2.
cosP M Q\ = M P2+M Q2−P Q2
2M P.M Q = −14
√340.
10 Chương 3. Véc-tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (M C0D0) và (M AB), ta có cosα= 14
√340. Vậy sinα =√
1−cos2α= 6√ 85 85 .
Chọn đáp án D
§4. Khoảng cách
1. Tính độ dài đoạn thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Câu 31. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha√
3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
A. a√ 5
3 .. B. a√
3
2 .. C. a√
6
6 .. D. a√
3 3 ..
Lời giải.
Chọn đáp án B
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= 2a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
A. 2√ 5a
5 . B.
√5a
3 . C. 2√
2a
3 . D.
√5a 5 . Lời giải.
Trong tam giácSAB dựng AH vuông góc SB thì AH ⊥(SBC) Do đó khoảng cách cần tìm là AH.
Ta có 1
AH2 = 1
SA2 + 1
AB2 = 5
4a2 suy ra AH = 2a√ 5 5 .
S
B
A H C
Chọn đáp án A
Câu 33. Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông cân tạiC,BC =a, SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
A. √
2a. B.
√2a
2 . C. a
2. D.
√3a 2 . Lời giải.
Chọn đáp án B
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Câu 34. Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0 có
Khoảng cách 11 cạnh bằng a (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường
thẳng BD và A0C0 bằng A. √
3a.
B. a.
C.
√3a 2 . D. √
2a.
A0 A
B
B0 C0
C D
D0
Lời giải.
Chọn đáp án B
Câu 35. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật,AB =a,BC = 2a,SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
A.
√6a
2 . B. 2a
3 . C. a
2. D. a
3. Lời giải.
S
A
B C
D E
Dựng hình bình hànhACBE ta cóAC k(SBE) nên AC,SB = d(A,(SBE)) =h.
Do AS, AB, AE đôi một vuông góc nhau nên 1
h2 = 1
SA2 + 1
AB2 + 1
AE2 = 9 4a2. Như vậy d(A,(SBE)) =h= 2a
3 .
Chọn đáp án B
Câu 36. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = a và OB = OC = 2a. Gọi M là trung điểm củaBC. Khoảng cách giữa hai đường thẳngOM vàABbằng
A.
√2a
2 . B. a. C. 2√
5a
5 . D.
√6a 3 . Lời giải.
Chọn đáp án D
Câu 37. Cho tứ diệnOABC cóOA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,OA=OB =a;OC = 2a. Gọi M là trung điểm củaAB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng.
A.
√2a
3 .. B. 2a√
5
5 .. C.
√2a
2 .. D. 2a
3 ..
Lời giải.
Gắn hệ tọa độ Oxyz, O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0;a; 0), C(0; 0; 2a), M
Åa 2;a
2; 0
ã
# »
AC(−a; 0; 2a),# »
OC(0; 0; 2a),# » OM =
Åa 2;a
2; 0
ã
Khoảng cách giữa hai đường thẳngOM và AC bằng d(OM, AC) =
h# » OM ,# »
ACi.# » OC
h# » OM ,# »
ACi = 2a 3 .
Chọn đáp án D