Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 Toán 9 năm 2021 - 2022 trường THCS Giảng Võ - Hà Nội - THCS.TOANMATH.com

(1)

TRƯỜNG THCS GIẢNG VÕ

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

NĂM HỌC 2021-2022

Môn: TOÁN 9 Ngày kiểm tra: 11/3/2022 Thời gian làm bài: 90 phút Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức:

2

2 3

A x

x

= −

+ ^và

3 2 7 6

2 2 4

x x

B x x x

+ −

= − −

+ − − ^vớix 0; x  4.

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x =16.

2) Cho biểu thức B.

P = A Chứng minh: 2 3

2 . P x

x

= +

+

3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 .m Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9 ,m tăng chiều rộng thêm 7 ,m sao cho khu vườn vẫn là hình chữ nhật, do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

Bài III (2,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình :

2 2

1 2 6.

5 1

1 2 3

x y

 + =

 + −

 − =

 + −



2) Cho phương trình: ^x² ⁻²

(

^m⁻¹

)

^{x m}⁺ ²⁻³^m ⁼ ^{0 (1)}⁽^x là ẩn số).

a) Giải phương trình

( )

¹ ^khi^m ⁼^5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình

( )

¹ có hai nghiệm.

Bài IV (3,0 điểm). Cho đường tròn

( )

^O ^{và điểm}^K nằm bên ngoài đường tròn

( )

^O ^.^{Kẻ hai}

tiếp tuyến KA KB, với đường tròn

( )

^{O A}^, ^và^B là các tiếp điểm. Từ điểm K vẽ đường thẳng d cắt đường tròn

( )

^O tại hai điểm C D KC, ( KD,d không đi qua tâm O).

1) Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi giao điểm của đoạn thẳng AB với đoạn thẳng OK là M. Chứng minh

2 . . .

KA =KC KD =KM KO

3) Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD. Bài V (0,5 điểm)

Cho a b, là các số dương thỏa mãn a b+ = 3. Chứng minh rằng:

   

+ + + 

   

   

2 2

1 1 169

18 .

a b

b a

…….………Hết……….

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Ý Đáp án Điểm

Bài I 2,0 điểm

1)

Tính giá trị của biểu thức A khi x =16. 0,5

Thay x =16 (tmđk) vào biểu thức A 0,25

Tính được 16 2 2

2 16 3 11

A −

= =

+ ^0,25

2)

Cho biểu thức B.

P = A Chứng minh: 2 3

2 . P x

x

= +

+ ^1,0

3 2 7 6

2 2 4

x x

B x x x

+ −

= − −

+ − −

( )( )

3 2 7 6

2 2 2 2

x x

x x x x

+ −

= + −

+ − + −

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

3 2 2 2 7 6

2 2 2 2 2 2

x x x x

x x x x x x

+ − + −

= + −

+ − + − + −

0,25

( )( ) ( )( )

2 3 6 2 4 7 6 4 4

2 2 2 2

x x x x x x x

x x x x

− + − + + − + − +

= =

+ − + − ^0,25

( )

( )( )

2 2 2

x x

x x x

− −

= =

+ − + ^0,25

2 2 3

2. 2

B x x

P A x x

− +

 = =

+ −

2 3

2 P x

x

 = +

+ ^0,25

3)

Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. 0,5

2 3 2 4 1 1

2 2 2 2

x x

P x x x

+ + −

= = = −

+ + +

Với x  0 thì 1 1

0 2 2

2 2

x x

  +   x 

+

1 3 3

2 .

2 2

2 P

 − x   

+

0,25

Dấu “=” xảy ra khi x =0 (TMĐK) 3 minP 2

 = khi x = 0. Vậy khi x = 0 thì P đạt giá trị nhỏ nhất.

0,25

Bài II 2,0 điểm

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 240 .m Người ta dự định mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều dài thêm 9 ,m tăng chiều rộng thêm 7 ,m do vậy diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu.

2,0

(3)

+) Gọi chiều dài của mảnh vườn là ^{x m x}

( )(

^ ^{0 ;}

)

chiều rộng của

mảnh vườn là ^{y m y}

( ) (

^ ^0,^x ^^y

)

^. ^0,25

+) Vì chu vi mảnh vườn là 240m nên ta có phương trình

( )

2 x y+ =240= + =x y 120. ^0,25

+) Chiều dài sau khi mở rộng là ^x ⁺⁹

( )

^m ^; chiều rộng sau khi mở rộng

là ^y⁺⁷

( )

^m ^. ^0,25

+) Diện tích mảnh vườn ban đầu là ^{xy m}

( )

² ^;diện tích mảnh vườn sau

khi mở rộng là

(

^x⁺⁹

)(

^y⁺⁷

) ( )

^m² ^. ^0,25

+) Vì diện tích khu vườn sẽ tăng thêm 963m², nên ta có phương trình:

(

^x⁺⁹

)(

^y⁺⁷

)

⁻^xy ⁼ ⁹⁶³^=⁷^x ⁺⁹^y ⁼^900. ^0,25

+) Ta có hệ phương trình:

120 7 7 840 120

7 9 900 7 9 900 2 60

x y x y x y

x y x y y

 + =  + =  + =

 =  = 

 + =  + =  =

  

  

0,25

120 90

30 30

x y x

y y

 + =  =

 

=  = =  = ^(TMĐK) ^0,25

Vậy chiều dài, chiều rộng của khu vườn ban đầu lần lượt là 90 ; 30 .m m 0,25

Bài III 2,5 điểm

1)

Giải hệ phương trình :

( )

2 2

1 2 6

5 1

1 2 3

x y I

x y

 + =

 + −

 − =

 + −



1,0

Điều kiện x  −1;y 2. _0,25

( )

1 1

1 2 3

5 1

1 2 3

x y

I

x y

 + =

 + −

  − =

 + −



 + =

 + −

  =

 +

1 1

1 2 3

6 6

1

x y

x

0,25

 + =

 −

  =

 +

1 1 3

2

1 1

1 y x

 =

  −

 =

 +

1 2

2

1 1

1 y x

 − =

 

 + =

 2 1 1 12 y

x ^0,25

5 20 y x

 =

 

 =

(TMĐK).

Vậy hệ phương trình có nghiệm

( )

^{x y}^; = ^^0;⁵₂^^.

 

0,25

2) Cho phương trình: ^x² ⁻²

(

^m⁻¹

)

^{x m}⁺ ²⁻³^m ⁼ ^{0 (1)}⁽^x là ẩn số). 1,5

(4)

D C

O

B A

K

M

D C

O

B A

K

a) Giải phương trình

( )

¹ ^khi^m ⁼^5.

b) Tìm tất cả giá trị của m để phương trình

( )

¹ có hai nghiệm.

a) Thay m =5 vào phương trình

( )

¹ ta nhận được:

( )

2 2 5 1 52 3.5 0 2 8 10 0.

x − − x + − = = x − x + = ^0,25

+) Tính được  = =  ' 6 ' 0. 0,25

Phương trình

( )

¹ có hai nghiệm phân biệt x₁ = +4 6; x₂ = −4 6. 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm là ^S ⁼



⁴⁺ ^{6; 4}⁻ ^{6 .}



^0,25

b) ^{ =}^'

(

^m⁻¹

)

² ⁻^m² ⁺³^m ⁼^m⁺^1. ^0,25

Phương trình

( )

¹ có hai nghiệm    ' 0 m+  1 0 m  −1.

Kết luận phương trình có hai nghiệm khi m  −1. 0,25

Bài IV 3,0 điểm

1)

Chứng minh tứ giác KAOB là tứ giác nội tiếp. 1,25 +) Vẽ hình đúng đến câu 1. 0,25 0,25 +) Lập luận được

KAO =KBO =90 . ^0,25

+) Tứ giác KAOB có:

180 ,

KAO KBO+ =  mà hai góc ở vị trí đối nhau => tứ giác

KAOB là tứ giác nội tiếp.

0,25 0,25

2)

Chứng minh KA² =KC KD. =KM KO. . 1,25

+) Lập luận được AB ⊥OK tại .

M 0,25

+) Lập luận được

2 . .

KA =KM KO ^0,25

+) Xét

( )

^O ^có:^KAC ⁼^ADK

(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn

. AC

0,25

+) Chỉ ra được KAC đồng dạng với KDA.

2 . .

KA KC KD

= = ^0,25

2 . . .

KA KC KD KM KO

= = = ^0,25

3)

Chứng minh đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD. _0,5 +) Từ KC KD. =KM KO. lập

luận được tứ giác CMOD là tứ 0,25

(5)

K

A

B O C

D

M

giác nội tiếp

; .

DMO OCD CMK ODC

= = =

+) OCD cân tại O , OCD ODC

= = nên suy được

DMO =CMK =CMA =DMA

=> đường thẳng AB chứa tia phân giác của CMD.

0,25

Bài V 0,5 điểm

Cho a b, là các số dương thỏa mãn a b+ = 3. Chứng minh rằng:

   

+ + + 

   

   

2 2

1 1 169

18 .

a b

b a

0,5

+) Chứng minh:

(

^a² ⁺^b²

)

^ ₂¹

(

^{a b}⁺

)

²^;_a¹ ^{+ }_b¹ _{a b}⁴₊

+) Ta có:

       

+ + +  + + +  + + 

       + 

       

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 4

. . (1)

2 2

a b a b a b

b a a b a b

0,25

Thay a b+ = 3.

     

+ + +  + =

     

     

2 2 2

1 1 1 4 169

2. 3 3 18

a b

b a

+) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = = 3 2. a b

0,25

C2

+) Chứng minh: +  +

1 1 4

a b a b +) Ta có:

       

+ +  +  + +  +

       

       

2 2

1 169 13 1 1 169 13 1

2. (1)

36 6 36 3

a a a a

b b b b

+) Tương tự, có:    

+ +  +

   

   

1 2 169 13 1 36 3 (2)

b b

a a

0,25

(6)

+) Cộng vế với vế của

( )

¹ ^và

( )

^{2 ,}^{ta có :}

( )

2 2

1 1 169 13 1 1

18 3

1 1 169 13 4 169

18 3 9

1 1 169

18 .

a b a b

b a a b

a b a b

b a a b

a b

b a

 

     

+ + + +   + + + 

     

      

     

=  +  + +  +   + + +  =

   

  +  + +  

   

+) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = = 3 2. a b

0,25

(7)